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GEOMETRÍA
ANALÍTICA
SESIÓN 6
SECCIONES CÓNICAS
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Secciones Cónicas
Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, pueden obtenerse al cortar
con un plano un cono circular recto de doble rama. Al variar la posición del
plano, obtenemos una circunferencia, una elipse, una parábola, o una
hipérbola.
Cónicas Degeneradas
Se obtienen cónicas degeneradas si el plano corta el cono en solo un punto o
a lo largo de una o dos rectas que se encuentren en el cono.
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
La Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de
todos los puntos de un plano cuya
distancia a un punto fijo C (centro) es r.
Ecuación de una
circunferencia
La forma estandar de la
ecuaci´on de una circunferencia
con centro (h, k) y radio r es
2 2 2
(x − h) + (y − k) = r
La forma general de la
ecuación de una
circunferencia es
x2
+ y2
+ ax + by + c = 0
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ejemplo
Para determinar el centro y el radio
de la circunferencia con ecuaci´on
general dada por
x2
+ y2
− 2x − 3 = 0
reescribimos la ecuación en la forma
estandar, para lo cual completamos
cuadrados en el caso de la variable x
así:
x2
+ y2
− 2x − 3 = 0
(x2
− 2x + 1) + y2
+ (− 3 − 1) = 0
2 2
(x − 1) + y = 4
lo que muestra que la ecuación
corresponde a una circunferencia
con centro (h, k) = (1, 0) y radio
r = 2, cuya grafica es:
x
y
(1, 0)
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
La Parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes
de un punto fijo F (el foco) y una recta fija l (la directriz) que est´a en el
plano.
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ecuación de la Parábola
Eje Focal paralelo al eje y
(x − h)2
= 4p(y − k)
o y = ax2
+ bx + c, donde
1 p = 1 . V értice (h, k)
2
4a
Directriz: y = k − p
3
4
Foco F (h, k + p)
Longitud del Lado recto 4 |p|
Eje focal paralelo al eje x
2
(y − k) = 4p(x − h)
o x = ay2
+ by + c, donde
1 p = 1 . V értice (h, k)
2
4a
Foco F (h + p, k)
3
4
Directriz: x = h − p
Longitud del Lado recto 4 |p|
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.
Determine que representa la ecuación y2
− 12x − 2y + 7 = 0
Notemos que la ecuación
y2
− 12x − 2y + 7 = 0 se puede
reescribir (completando cuadrados
en y) como
2
(y − 1) = 12 x −
1
2
∫ ,
que es la ecuaci´on de una par´abola
con eje focal paralelo al eje x, con
1
2
p = 3, vértice V = , 1 , foco
7
F = 2 , 1 y recta directriz x = − 2.
x
y
V F
Ejercicio 2.
Hallar la ecuación de la parábola con vértice V = (−4, 3) y foco
F = (− 4, 1)
Tenemos que V = (h, k) = (−4, 3) y F = (h, k + p)(−4, 1), por tanto
tenemos una par´abola con eje focal paralelo al eje y, con h = −4, k = 3,
p = −2 y recta directriz con ecuaci´on y = 5cuya ecuaci´on estandar es:
(x + 4)2
= −8(y − 3)
y
x
V
F
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
La Elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tal que la suma
de las distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una
constante positiva.
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Elementos de la Elipse
1
2
C : Centro. V, V ′
vértices
Ejes Mayor y Menor V V ′
, A A ′
3 Lado Recto M M ′ = 2b2
a
4 Excentricidad e = c
5
6
a
a2
= b2
+ c2
. Notar que a > c
Eje focal: que pasa por los focos
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Eje focal paralelo al eje y
Ecuación:
b2
+
2 2
(x − h) (y − k)
a2
= 1
Elementos:
1 C = (h, k)
2 Focos F ′
= (h, k − c),
F = (h, k + c)
3 V értices V ′
= (h, k − a),
4
V = (h, k + a)
Eje Focal x = h
Ejemplo: Eje focal el eje y y centro
C = (0, 0)
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Eje focal paralelo al eje x
Ecuación y Elementos:
+
2 2
(x − h) (y − k)
a2 b2
1 C = (h, k), Eje Focal y = k
2 Focos F ′
= (h − c, k),
= 1 F = (h + c, k)
3 V értices V ′
= (h − a, k),
V = (h + a, k)
Ejemplo: Eje focal el eje x y centro C = (0, 0)
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ejercicio resuelto
Ejercicio 3.
Hallar una ecuación para la elipse con centro C = (−3, 4), eje mayor
de longitud 8, eje menor de longitud 6 y eje mayor paralelo al eje x
Como el eje mayor es paralelo al eje x entonces la ecuación en la forma
estandar de la elipse tiene la forma
2 2
(x − h) (y − k)
a2 b2
+ = 1
con h = −3 y k = 4. Como el eje mayor tiene longitud 8, entonces a = 4 y
como el eje menor tiene longitud 6, entonces b= 3 por tanto la ecuaci´on
pedida es:
16
+
(x + 3)2
(y − 4)2
9
= 1
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
La Hip´erbola
Una hipérbola es el conjunto de
todos los puntos P del plano
tal que el valor absoluto de la
diferencia de las distancias de P a
dos puntos fijos F y F′ (los focos)
es una constante positiva.
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Elementos de la Hip´erbola
1
2
3
Centro C = (h, k).
V értices V, V ′
Eje Transverso V V ′
4
5
6
Eje Conjugado A A ′
c2
= a2
+ b2
.
Eje focal: pasa por los focos
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ecuacio´n de la Hip´erbola
Ecuación: Eje focal paralelo al eje x
a2
−
2 2
(x − h) (y − k)
b2
= 1
Las asíntotas conforman el lugar
geométrico de la ecuación
a2
−
2 2
(x − h) (y − k)
b2
= 0
Ejemplo: Hipérbola con centro
(0, 0) y eje focal el eje x
Ecuación: Eje focal paralelo al eje y
−
2 2
(y − k) (x − h)
a2 b2
= 1
Las asíntotas conforman el lugar
geométrico de la ecuación
a2
−
2 2
(y − k) (x − h)
b2
= 0
Ejemplo: Hipérbola con centro
(0, 0) y eje focal el eje y
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Ejercicio resuelto
Ejercicio 4.
Determine que lugar geométrico representa la ecuación
x2
− 4y2
+ 6x + 24y − 31 = 0
Reescribimos la ecuación en la forma estandar, para lo cual completamos
cuadrados en las variables x e y as´ı:
x2
− 4y2
+ 6x + 24y − 31 = 0
(x2
+ 6x + 9) − 4(y2
− 6y + 9) − 31 − 9 + 36 = 0
(x + 3)2
− 4(y − 3)2
= 4
Por tanto la ecuación representa una hipérbola con ecuación estandar:
4
−
(x + 3)2
(y − 3)2
1
= 1
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Problemas de Aplicación
Ejercicio 5.
El cable del puente ilustrado en la figura tiene la forma de una parábola.
Las torres que sostienen la estructura están separadas por una distancia de
600 pies, y tienen una altura de 80 pies. Si el cable toca la superficie del
camino a la mitad de la distancia entre las torres, ¿cual es la altura del
cable en un punto situado a 150 pies del centro del puente?
Ya que el cable tiene forma de parábola podemos pensar en una parábola con
vertice en el origen (0, 0) y eje focal el eje y con ecuación
x2
= 4py
Los datos del problema nos indican ademas que el punto (300, 80) pertenece
a la parábola, es decir satisface su ecuaci´on lo que nos permite hallar el
valor de p
3002
= 4p(80)
así
p = =
3002
1125
4 · 80 4
y la ecuación queda
x2
= 1125y
Para hallar la altura y a 150 pies del vértice basta ver que el punto (150,y)
satisface la ecuación, por tanto
y =
1502
1125
= 20 pies
Ejercicio 6.
Una pista de atletismo tiene forma de elipse, con 100 pies de largo y 60 de
ancho. Determine su ancho a 10 pies del v´ertice.
Para solucionar el problema podemos tomar una elipse con centro en (0, 0),
a = 50 y b = 30 con ecuaci´on estandar es:
x2
y2
502
+
302
= 1
Como queremos determinar su ancho a 10 pies del vértice, entonces estamos
a 40 pies del centro, es decir que el punto (40, y) pertenece a la elipse siendo
2y el ancho a 10 pies del vértice, por tanto basta sustituir x = 40 en la
ecuacion para determinar y
s ∫
402
,
2
y = 1 −
502 · 30 = 18
por tanto el ancho a diez pies del vértice es de aproximadamente 36 pies.
U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8
Referencias
Sullivan, M. A´lgebra y Trigonometr´ıa, 7a
Edici´on. Editorial Pearson
Prentice Hall, 2006.
Swokowski, E.W. Cole, J.A. A´lgebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa
Anal´ıtica 13a
Edici´on. Editorial Cengage Learning, 2011
Zill, D. G. Dewar, J. M. A´lgebra, Trigonometr´ıa y Geometr´ıa Anal´ıtica, 3a
Edici´on. Editorial McGraw-Hill, 2012.

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  • 2. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Secciones Cónicas Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, pueden obtenerse al cortar con un plano un cono circular recto de doble rama. Al variar la posición del plano, obtenemos una circunferencia, una elipse, una parábola, o una hipérbola. Cónicas Degeneradas Se obtienen cónicas degeneradas si el plano corta el cono en solo un punto o a lo largo de una o dos rectas que se encuentren en el cono.
  • 3. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 La Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo C (centro) es r. Ecuación de una circunferencia La forma estandar de la ecuaci´on de una circunferencia con centro (h, k) y radio r es 2 2 2 (x − h) + (y − k) = r La forma general de la ecuación de una circunferencia es x2 + y2 + ax + by + c = 0
  • 4. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ejemplo Para determinar el centro y el radio de la circunferencia con ecuaci´on general dada por x2 + y2 − 2x − 3 = 0 reescribimos la ecuación en la forma estandar, para lo cual completamos cuadrados en el caso de la variable x así: x2 + y2 − 2x − 3 = 0 (x2 − 2x + 1) + y2 + (− 3 − 1) = 0 2 2 (x − 1) + y = 4 lo que muestra que la ecuación corresponde a una circunferencia con centro (h, k) = (1, 0) y radio r = 2, cuya grafica es: x y (1, 0)
  • 5. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 La Parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo F (el foco) y una recta fija l (la directriz) que est´a en el plano.
  • 6. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ecuación de la Parábola Eje Focal paralelo al eje y (x − h)2 = 4p(y − k) o y = ax2 + bx + c, donde 1 p = 1 . V értice (h, k) 2 4a Directriz: y = k − p 3 4 Foco F (h, k + p) Longitud del Lado recto 4 |p|
  • 7. Eje focal paralelo al eje x 2 (y − k) = 4p(x − h) o x = ay2 + by + c, donde 1 p = 1 . V értice (h, k) 2 4a Foco F (h + p, k) 3 4 Directriz: x = h − p Longitud del Lado recto 4 |p|
  • 8. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ejercicios resueltos Ejercicio 1. Determine que representa la ecuación y2 − 12x − 2y + 7 = 0 Notemos que la ecuación y2 − 12x − 2y + 7 = 0 se puede reescribir (completando cuadrados en y) como 2 (y − 1) = 12 x − 1 2 ∫ , que es la ecuaci´on de una par´abola con eje focal paralelo al eje x, con 1 2 p = 3, vértice V = , 1 , foco 7 F = 2 , 1 y recta directriz x = − 2. x y V F
  • 9. Ejercicio 2. Hallar la ecuación de la parábola con vértice V = (−4, 3) y foco F = (− 4, 1) Tenemos que V = (h, k) = (−4, 3) y F = (h, k + p)(−4, 1), por tanto tenemos una par´abola con eje focal paralelo al eje y, con h = −4, k = 3, p = −2 y recta directriz con ecuaci´on y = 5cuya ecuaci´on estandar es: (x + 4)2 = −8(y − 3) y x V F
  • 10. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 La Elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tal que la suma de las distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.
  • 11. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Elementos de la Elipse 1 2 C : Centro. V, V ′ vértices Ejes Mayor y Menor V V ′ , A A ′ 3 Lado Recto M M ′ = 2b2 a 4 Excentricidad e = c 5 6 a a2 = b2 + c2 . Notar que a > c Eje focal: que pasa por los focos
  • 12. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Eje focal paralelo al eje y Ecuación: b2 + 2 2 (x − h) (y − k) a2 = 1 Elementos: 1 C = (h, k) 2 Focos F ′ = (h, k − c), F = (h, k + c) 3 V értices V ′ = (h, k − a), 4 V = (h, k + a) Eje Focal x = h Ejemplo: Eje focal el eje y y centro C = (0, 0)
  • 13. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Eje focal paralelo al eje x Ecuación y Elementos: + 2 2 (x − h) (y − k) a2 b2 1 C = (h, k), Eje Focal y = k 2 Focos F ′ = (h − c, k), = 1 F = (h + c, k) 3 V értices V ′ = (h − a, k), V = (h + a, k) Ejemplo: Eje focal el eje x y centro C = (0, 0)
  • 14. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ejercicio resuelto Ejercicio 3. Hallar una ecuación para la elipse con centro C = (−3, 4), eje mayor de longitud 8, eje menor de longitud 6 y eje mayor paralelo al eje x Como el eje mayor es paralelo al eje x entonces la ecuación en la forma estandar de la elipse tiene la forma 2 2 (x − h) (y − k) a2 b2 + = 1 con h = −3 y k = 4. Como el eje mayor tiene longitud 8, entonces a = 4 y como el eje menor tiene longitud 6, entonces b= 3 por tanto la ecuaci´on pedida es: 16 + (x + 3)2 (y − 4)2 9 = 1
  • 15. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 La Hip´erbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P del plano tal que el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P a dos puntos fijos F y F′ (los focos) es una constante positiva.
  • 16. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Elementos de la Hip´erbola 1 2 3 Centro C = (h, k). V értices V, V ′ Eje Transverso V V ′ 4 5 6 Eje Conjugado A A ′ c2 = a2 + b2 . Eje focal: pasa por los focos
  • 17. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ecuacio´n de la Hip´erbola Ecuación: Eje focal paralelo al eje x a2 − 2 2 (x − h) (y − k) b2 = 1 Las asíntotas conforman el lugar geométrico de la ecuación a2 − 2 2 (x − h) (y − k) b2 = 0 Ejemplo: Hipérbola con centro (0, 0) y eje focal el eje x
  • 18. Ecuación: Eje focal paralelo al eje y − 2 2 (y − k) (x − h) a2 b2 = 1 Las asíntotas conforman el lugar geométrico de la ecuación a2 − 2 2 (y − k) (x − h) b2 = 0 Ejemplo: Hipérbola con centro (0, 0) y eje focal el eje y
  • 19. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Ejercicio resuelto Ejercicio 4. Determine que lugar geométrico representa la ecuación x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0 Reescribimos la ecuación en la forma estandar, para lo cual completamos cuadrados en las variables x e y as´ı: x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0 (x2 + 6x + 9) − 4(y2 − 6y + 9) − 31 − 9 + 36 = 0 (x + 3)2 − 4(y − 3)2 = 4 Por tanto la ecuación representa una hipérbola con ecuación estandar: 4 − (x + 3)2 (y − 3)2 1 = 1
  • 20. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Problemas de Aplicación Ejercicio 5. El cable del puente ilustrado en la figura tiene la forma de una parábola. Las torres que sostienen la estructura están separadas por una distancia de 600 pies, y tienen una altura de 80 pies. Si el cable toca la superficie del camino a la mitad de la distancia entre las torres, ¿cual es la altura del cable en un punto situado a 150 pies del centro del puente?
  • 21. Ya que el cable tiene forma de parábola podemos pensar en una parábola con vertice en el origen (0, 0) y eje focal el eje y con ecuación x2 = 4py Los datos del problema nos indican ademas que el punto (300, 80) pertenece a la parábola, es decir satisface su ecuaci´on lo que nos permite hallar el valor de p 3002 = 4p(80) así p = = 3002 1125 4 · 80 4 y la ecuación queda x2 = 1125y Para hallar la altura y a 150 pies del vértice basta ver que el punto (150,y) satisface la ecuación, por tanto y = 1502 1125 = 20 pies
  • 22. Ejercicio 6. Una pista de atletismo tiene forma de elipse, con 100 pies de largo y 60 de ancho. Determine su ancho a 10 pies del v´ertice. Para solucionar el problema podemos tomar una elipse con centro en (0, 0), a = 50 y b = 30 con ecuaci´on estandar es: x2 y2 502 + 302 = 1 Como queremos determinar su ancho a 10 pies del vértice, entonces estamos a 40 pies del centro, es decir que el punto (40, y) pertenece a la elipse siendo 2y el ancho a 10 pies del vértice, por tanto basta sustituir x = 40 en la ecuacion para determinar y s ∫ 402 , 2 y = 1 − 502 · 30 = 18 por tanto el ancho a diez pies del vértice es de aproximadamente 36 pies.
  • 23. U d e A - u´ltima actualiz aci ´on: 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 1 8 Referencias Sullivan, M. A´lgebra y Trigonometr´ıa, 7a Edici´on. Editorial Pearson Prentice Hall, 2006. Swokowski, E.W. Cole, J.A. A´lgebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica 13a Edici´on. Editorial Cengage Learning, 2011 Zill, D. G. Dewar, J. M. A´lgebra, Trigonometr´ıa y Geometr´ıa Anal´ıtica, 3a Edici´on. Editorial McGraw-Hill, 2012.