carlos herrera

I.E “SANTA MARIA REINA” QUINTO AÑO : A-B-C-D
Lic. HUGO RIVERA PRIETO visite matematicafutura
LA CIRCUNFERENCIA I
Indicador:
 Reconocen y grafican la ecuación de
una circunferencia
DEFINICIÓN
Se llama circunferencia al conjunto de
puntos del plano que se encuentran a
una distancia constante (radio) de un
punto fijo (centro de ese plano).
Si P(x;y) es un punto genérico de una
circunferencia de centro C(h;k) y radio
CP = r, entonces por la definición de
circunferencia se tiene:
CP = r  CP 2
= r2
Es decir:
A esta ecuación se conoce como la
ECUACIÓN ORDINARIA o FORMA
ORDINARIA de la ecuación de una
circunferencia.
Observación:
La circunferencia de centro en el origen
de coordenados y radio r tiene por
ecuación:
FORMA CANÓNICA
Donde: h = 0 y k = 0
Ejemplo 1:
Determinar el centro y radio de la
circunferencia cuya ecuación es:
(x + 7)2
+ y2
= 9
Resolución:
Sabemos que:
(x-h)2
= (x+7)2  h = -7
También:
(y - k)2
= (y-0)2
 k = 0
Por otro lado:
r2
= 9  r = 3 ; r > 0
Luego:
C (-7;0) y r = 3
Ejemplo 2:
Determinar la ecuación de la
circunferencia que tiene los puntos A(2;-
2) y B(2;4) como extremos de un
diámetro.
Resolución:
a) El centro C(h,k) es el punto medio del
diámetro, de coordenadas:
h =
2
22 
 h = 2 y k =
2
)2(4 
 k = 1
Luego: C(2;1)
b) El radio: r = 90   r = 3
c) La ecuación buscada es:
(x-2)2
+ (y-1)2
= 9
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
x2 + y2 = r2

CONSTRUYENDO
MIS
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
1. Determinar el centro y el radio de la
circunferencia:
C = (x,y)  R .R./ (x-1)2 + (y + 2)2 = 1
Resolución :
2. Hallar la relación cuya gráfica es la
circunferencia de centro C(2;-3) y radio
5
Resolución :
3. Determinar la ecuación de la
circunferencia de centro C(2;3) y que
pasa por el punto P(5;7)
Resolución :
4. Hallar la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos (1;-4), (5;2) y
(4;-1)
Resolución :
5. Los extremos de un diámetro de una
circunferencia son los puntos A(2;3) y
B(-4;5). Hallar la ecuación de la curva
Resolución :
de centro C(2;-4) y que es tangente
al eje y
Resolución :
7. La ecuación de una circunferencia es
(x-3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrar que
el punto A(2;-5) es interior a la
circunferencia y que el punto B(-4;1) es
exterior.
Resolución :
1. Escribir la ecuación de la
circunferencia de centro C(-3;-5) y
radio 7:
2. Hallar la ecuación de la
circunferencia cuyo centro es el
punto C(7;-6) y que pasa por el
punto A(2,2)
3. Una circunferencia pasa por los
puntos: (2;-2); (6;0) y (0;2). Hallar
su ecuación
4. Hallar el centro y el radio de la
circunferencia x2
+ y2
– 6x – 8y + 9
= 0
circunferencia de centro (1;2) y
pasa por el centro (3;-1)
circunferencia tangente al eje y en

el punto P(0;3) y que pasa por el
punto T(-2;-1)
x2
+ y2
= 50. El punto medio de una
cuerda de esta circunferencia cual
es.
8. Si los extremos del diámetro de una
circunferencia son (0;0) y (-12;0).
Calcular la ecuación de la
circunferencia.
9. Del gráfico calcular la ecuación de la
cicunferencia
circunferencia; que pasa por el
origen de coordenadas y el punto
P(-6;0)
Indicador:
 Formulan y grafican la ecuación
general de la circunferencia
1. ECUACIÓN GENERAL DE LA
CIRCUNFERENCIA
Si la ecuación ordinaria de la
circunferencia se desarrolla, ntonces
se tiene:
x2
– 2hx + h2
+ y2
– 2ky+k2
= r2
Ordenando la ecuación, obtenemos:
x2
+y2
– (-2h) x + (-2k)y + (h2
+k2
-r2
)= 0
Haciendo:
D = -2h; E = -2k, F = h2
+k2
- r2
Ecuación que tiene la forma:
La ecuación anterior es llamada forma
general de la ecuación de la
circunferencia.
Observación:
Para saber si una ecuación de la forma:
x2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 representa
una circunferencia, procedemos a
completar cuadrados y obtenemos:
(x2
+ Dx + D2
2/4)+ (y2
+ Ey + E2
/4) +
F-D2
/4 –E2
/4 = 0
 (x+D/2)2
+ (y+E/2)2
= (D2
+E2
-4F)/4
Comparando esta ecuación con la
ecuación:
(x-h)2
+ (y - k)2
= r2
Observamos que toda ecuación de la
forma:
x2
+ y2
+Dx +Ey + F = 0
Representa una circunferencia de
centro:
Donde: h = -D/2 y k = -E/2
Siempre que se cumpla la condición
D2
+ E2
– 4F > 0
Análisis:
a) Si: D2
+ E2
– 4F = 0, entonces r = 0
y la ecuación se reduce a un punto,
al centro.
b) Si: D2
+ E2
– 4F = 0, entonces el
radio r será imaginario (complejo),
luego, la ecuación no tendrá
representación geométrica real.
Es decir la ecuación representa a
una circunferencia imaginaria
c) Si: D2
+ E2
– 4F = 0, entonces r > 0
y la ecuación representará a una
circunferencia de centro y radio
dados.
EJEMPLO 1:
La ecuación x2
+ y2
– 2x – 4y + 4 = 0,
corresponde a una circunferencia. Hallar
el centro y el radio.
LA CIRCUNFERENCIA II
(x2 +y2 + Dx+Ey+F= 0
Centro = (-D/2; -E/2)
Radio = r =

CONSTRUYENDO
MIS
RESOLUCIÓN
Completando cuadrados podemos
transformar la ecuación dada en la
forma:
(x2
– 2x+1)+(y2
-4y+4)-1 = 0
(x-1)2
+ (y-2)2
= 1
Luego: C(1;2) y r = 1
EJEMPLO 2:
La ecuación: x2
+ y2
+ 4x + 2y + 1 = 0,
representa o no a una circunferencia
RESOLUCIÓN
Si la ecuación representa a una
circunferencia, se debe cumplir:
D2
+ E2
-4F > 0
Reemplazamos valores:
42
+ 22
– 4(I) > 0
16 > 0
Efectivamente se cumple:
El radio: r = 16
2
1
 r = 2
Centro: C 






2
2
;
2
4
 C(-2;1)
EJEMPLO 3:
Determinar la ecuación de una
circunferencia que pasa por los puntos:
A(4;6); B(-2;-2) y C(-4;2)
RESOLUCIÓN
Los tres puntos dados siempre que no
esten sobre una misma recta,
determinan 3 condiciones geométricas
que permiten definir a la circunferencia.
Si reemplazamos las coordenadas de
cada punto en la ecuación general de
una circunferencia:
x2
+ y2
+ Dx +Ey+F = 0
se obtienen 3 ecuaciones con 3
incognitas o constantes arbitrarias D, E y
F:
4D+6E+F = -52 …………….. (1)
-2D+2E+F = -8 ……………… (2)
-4D+2E+F = -20 …………… (3)
Resolviendo el sistema se encuentran los
valores:
D = -2 ; E = -4 y F = -20
La ecuación de la circunferencia es:
x2
+ y2
– 2x – 4y – 20 = 0
Esta solución se ha determinado
siguiendo un método estrictamente
algebraico.
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de
centro (-2;5) y es tangente a la recta x=7
Resolución :
C(-2;4) y que pasa por la intersección de
las rectas:
L1: 4x – 7y + 10 = 0
L2: 3x + 2y – 7 = 0
Resolución :
cuyo centro es el punto C(-4;-1) y es
tangente a la recta 3x+2y-12=0
Resolución :

REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
4. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2
= 25, está sobre la recta cuya ecuación
es: x – 7y + 25 = 0. Hallar la longitud
de la cuerda
Resolución :
5. Sobre la circunferencia: x2 + y2 – 6x -
14y + 33 = 0. Hallar los puntos que
distan 5 unidades del punto C(-1;-1)
Resolución :
6. ¿Cuánto debe valer “t” para que la recta:
2x + 3y = -t sea tangente a la
circunferencia: x2 +y2 + 6x + 4y = 0?
Resolución :
circunferencia cuyo centro es el
punto C(0,-2) y es tangente a la
recta 5x – 12y + 2 = 0
circunferencia de radio 5 y cuyo
centro es el punto de intersección
de las rectas:
L1: 3x – 2y - 24 = 0
L2: 2x + 7y + 9 = 0
que pasa por el punto A(7;-5) y cuyo
centro es el punto de intersección de
las rectas: L1: 7x – 9y - 10 = 0 y
L2: 2x - 5y + 2 = 0
4. Hallar la ecuación de la mediatriz de
la cuerda A(-4;3) y B(3;4) y
demostrar que pasa por el centro de
la circunferencia
5. Una circunferencia pasa por los
puntos A(-3;3) y B(1;4) y su centro
está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0.
Hallese su ecuación
6. Las ecuaciones de los lados de un
triángulo son:
L1: 9x + 2y + 13 = 0
L2: 3x + 8y – 47 = 0
L3: x - y – 1 = 0
Hallar la ecuación de la
circunferencia circunscrita
x2
+ y2
= 50. El punto medio de una
cuerda de esta circunferencia es
M(-2,4). Hallar la ecuación de la
cuerda.
(x - 4)2
+ (y - 3)2
= 20. Hallar la
ecuación de la tangente a este
círculo en el punto P(6;7)
circunferencia cuyo centro está
sobre la recta L: 6x + 7y – 16 = 0 y
es tangente a cada una de las
rectas: L1: 8x + 15y + 7 = 0 y L2: 3x
– 4y – 18 = 0
10. Hallar la ecuación de la circunferencia;
que pasa por los puntos A(-8;5) y por
las intersecciones de las
circunferencias:
x2
+ y2
– 8x – 6y + 17 = 0
x2
+ y2
– 18 – 4y + 67 = 0

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