Propiedades de los números racionales

1. ¿Cómo resolver ecuaciones con números
enteros utilizando propiedades?
Las operaciones matemáticas que nos permiten hacer
cálculos numéricos y resolver ecuaciones matemática
son la suma (+), la resta (-), el producto (.) y el
cociente (:). Para realizar correctamente las
operaciones matemáticas utilizamos propiedades de
los conjuntos numéricos, en nuestro caso los números
enteros y de los racionales, y la jerarquía u orden de
cada operación.
Recordemos que los pasos para resolver cálculos
numéricos son los siguientes:
1. Se realizan las operaciones que están entre
paréntesis, de adentro hacia afuera, primero se
resuelven los (), luego [ ], finalmente { }
2. Se calculan las potencias y raíces.
3. Se realizan los productos y cocientes de
izquierda a derecha.
4. El último paso son las sumas y restas
Para resolver ecuaciones con números enteros y
fraccionarios, además de utilizar los 4 pasos
mencionados arriba, se emplean las siguientes
propiedades1
:
a. Propiedad asociativa de la suma. Por ejemplo:
[2 + (-3)] + 5 = 2 + [(-3) + 5]. La resta no cumple
esta propiedad2
.
b. Existe un número neutro para la suma. Es
decir, un número que al sumarlo con otro, no lo
aumenta di lo disminuye, en nuestro caso se
trata del número cero. Por ejemplo 4 + 0 = 4 .
c. Todo numero tiene su opuesto, menos el cero.
Por ejemplo, el opuesto de 13 es -13 y el
1 Todas las propiedades quese mencionan son compartidas por
los números enteros y racionales,con excepción de la propiedad
g) que no se cumple para los enteros
2 La resta no es asociativa, más aun,no es realmente una
operación definida como lo es la suma.La operación resta,
tenemos que pensarla como la suma de un número negativo. En
el siguienteejemplo se muestra que la resta no es asociativa
3 − (5 − 1) ≠ (3 − 5) − 1
3 − (4) ≠ (−2) − 1
3 − 4 ≠ −2 − 1
−1 ≠ −3
opuesto de -7 es 7, cuya suma da como
resultado el neutro de la suma.
d. La suma es conmutativa, es decir, el orden no
modifica el resultado. Por ejemplo 1 + (−2) =
−2 + 1
e. La multiplicación es asociativa. Por ejemplo:
f. Existe un número neutro para la multiplicación,
es decir, un número que al multiplicarlo con
otro, no lo aumenta ni lo disminuye, en nuestro
caso se trata del número uno. Por ejemplo
i) 5.1 = 5 ii) −8.1 = −8
g. todo número tiene un inverso, menos el cero,
los cuales al multiplicarse dan como resultado
el neutro de la multiplicación. Por ejemplo: i)
3. 3−1 = 1, ii)(−12). (−12)−1 = 1. Aclaración, el
numero (−12)−1 puede expresarse como un
numero fraccionario de la siguiente forma:
(−12)−1 = (−
1
12
) Así el ejemplo ii) se puede
expresar de la siguiente forma: (−12).(−
1
12
) =
1 También podemos expresarla usando una
división, por ejemplo (−12). (−12)−1 = 1 se
puede expresar como una división3.
h. La multiplicación es conmutativa, es decir, el
orden no modifica el resultado. Por ejemplo
1.(−2) = (−2).1
i. La multiplicación es distributiva a derecha e
izquierda respecto a la suma. Por ejemplo:
2.( 𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 es lo mismo que ( 𝑥 +
3).2 = 2𝑥 + 6. La división solo es distributiva a
derecha4
3 Recordar que al igual quela resta,la división no es una
operación definida para el conjunto de números racionales,por
eso todas las propiedades serefieren a la multiplicación. Para
simplificar las cuentas en nuestro ejemplo la expresión ii) puede
reemplazarsepor: (−12):(−12) = 1
4
La división no sepuede distribuiráizquierda: 4:(1 − 2) ≠
2: 1 − 4: 2 = 2 − 2 = 0, pues resolviendo el paréntesis queda:
4: (−1) = −4, que es el resultado correcto.
2. (3.5)= (2.3).5
2. (15)= (6).5
30=30

2. El objetivo de toda ecuación es “despejar la x”, es decir, ir transformando la
ecuación original en otras equivalentes de modo que la incógnita vaya quedando sola
de un lado de la igualdad. El siguiente ejemplo muestra una manera de resolver
ecuaciones usando algunas de las propiedades de los números enteros y de los
racionales. Completa con tu compañero los cuadros vacíos de la derecha, recordando
que cada transformación debe poder justificarse con alguna de las propiedades
vistas.
• Pasos: 𝟑. 𝟕 + 𝒙 = 𝟑. 𝟕 + 𝟑. 𝒙
•Por i) la multiplicacionesdistributivarespectode la
suma
•Recordarque 3.x se escribe simplificado3x
3. 7 + 𝑥 = −12
21 + 3𝑥 = −12
• Pasos: 𝟐𝟏 + 𝟑𝐱 − 𝟐𝟏 = 𝟑𝒙 + 𝟐𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟑𝒙 +
𝟐𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟑𝒙 + 𝟎 = 𝟑𝒙
• por d) lasuma esconmutativa 21 + 3x = (3𝑥 + 21)
• por a) la sumaes asociativa 3𝑥 + 21 − 21 = 3𝑥 + 21 − 21
•Por c) existe el opuestode 21,que es -21. De modoque +
21 - 21 = 0 porlo que3𝑥 + 21 − 21 = 3𝑥 + 0
• Por b) existe neutroparalasuma por loque 3𝑥 + 0 = 3𝑥
21+3𝑥 − 21 = −12 − 21
3𝑥 = −33
• Pasos: 𝟑𝒙:𝟑 = 𝟑. 𝒙 :𝟑 = 𝒙. 𝟑 : 𝟑 = 𝒙. 𝟑: 𝟑 =
𝒙. 𝟏 = 𝒙
•por h) la multiplicacionesconmutativaluego 3. 𝑥 : 3 =
𝑥. 3 :3
• por e) la multiplicacionesasociativa,luego 𝑥. 3 :3 =
𝑥. 3:3
•Por g) existe el inversode 3que es
1
3
, con locual 3:3 =
3.
1
3
= 1
• por f) el 1 esel neutrode lamultiplicacionporlotanto
𝑥. 1 = 𝑥
3𝑥 = −33
3𝑥: 3 = −33: 3
𝑥 = −11

3. A continuación se muestran transformaciones de ecuaciones, decidir si los pasos son
correctos justificando las respuestas con las propiedades y pasos que correspondan.
• Pasos:
•
•
•
𝑥 − 7 = −1
𝑥 − 7 + 7 = −1 + 7
𝑥 = 6
• Pasos:
•
•
•
•
•
•
2𝑥 − 5 = −11
2𝑥 − 5 + 5 = −11 + 5
2𝑥: 2 = −6: 2
𝑥 = −3
• Pasos:
•
•
•
•
•
4𝑥 − 8: 4 = −12:4
𝑥 − 8 = −3
𝑥 − 8 − 8 = −3 − 8
𝑥 − 0 = +5
𝑥 = 5