Resumen ecuaciones matematicas

1. RESUMEN ECUACIONES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Quitar denominadores.
2. Operar paréntesis.
3. Operaremospara despejarla incógnita (losmiembroscon x a una parte de la
igualdad y los númerosa la otra).
4. Simplificarlostérminos semejantes.
5. Despejarla incognita
Ejemplo:
𝑥 − 1 −
3𝑥 − 2
9
−
8( 𝑥 − 2)
27
=
𝑥 − 1
3
1. Quitardenominadores:Paraquitarlosdenominadores,debemosencontrarun
denominadorcomún.Eneste casoel 27 (minimocomúnmúltiplode 9,27 y 3).
2. Ponemosel mismodenominadoracada uno de lostérminos.Hay que tenercuidado
encambiar tambiénel numeradorde cadafracción,para ellohayque hacerel
denominadornuevo,entre el denominadoranteriorporel numerador.
27(𝑥 − 1)
27
−
3(3𝑥 − 2)
27
−
8( 𝑥 − 2)
27
=
9(𝑥 − 1)
27
3. Comotenemosel mismonumeradorenlasdospartespodemosquitarlo:
27( 𝑥 − 1) − 3(3𝑥 − 2) − 8( 𝑥 − 2) = 9(𝑥 − 1)
4. Quitamosparéntesis,paraellohacemoslasmultiplicaciones:
27𝑥 − 27 − 9𝑥 + 6 − 8𝑥 + 16 = 9𝑥 − 9
5. Pasamoslosmiembrosconx a una parte de la igualdadylosmiembrossinx a la otra.
27𝑥 − 9𝑥 − 8𝑥 − 9𝑥 = 27 − 6 − 16 − 9
6. Sumamosy despejamosx.
𝑥 = −4

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
Las ecuacionesde segundogradosonde estaforma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Las completas,se resuelvenutilizandoestafórmula: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Ecuacionesincompletas:
 Si b=0; 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐜 = 𝟎
SOLUCIÓN EJEMPLO
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 2𝑥2 − 50 = 0
𝑎𝑥2 = −𝑐 2𝑥2 = 50
𝑥2 =
−𝑐
𝑎
𝑥2 =
50
2
= 25
𝒙 = ±√
−𝒄
𝒂
𝑥 = ±√25
𝒙 = ±𝟓
 Si c=0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
SOLUCIÓN:
 Sacar factor común x: 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
 Las solucionesson: 𝒙 = 𝟎 𝑒𝑡𝑎 𝒙 =
−𝒃
𝒂
Ejemplo:
 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
 𝑥(3𝑥 + 6) = 0
 𝒙 = 𝟎
 3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 = −6
𝑥 =
−6
3
𝒙 = −𝟐

3. ECUACIONES YA FACTORIZADAS:
Para despejareste tipode ecuacionesbastaconigualarcada uno de losmiembrosacero y
resolvercadauna de lasecuacionesresultantes.Ejemplo:
2𝑥( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) = 0
2𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥2 = 3
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥3 = −1
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥4 = 2
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS:
Bicuadradas:
Las ecuacionesbicuadradassondel tipo: 𝒂𝒙 𝟒 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Para resolver:
1. Hacer cambiovariable; 𝒙 𝟐 = 𝒕 𝑦 𝒙 𝟒 = 𝒕 𝟐 Porloque nosquedauna ecuaciónde
segundogrado.
2. Despejarlaecuaciónde segundogrado,cont como incognita
3. Para obtenerlosvaloresde x,hacerraíz cuadradaa cada uno de losvaloresde t
obtenidos.
Ejemplo
𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
Cambiovariable: 𝑥2 = 𝑡 ; 𝑥4 = 𝑡2
𝑡2 + 10𝑡 + 9 = 0
Resolver: 𝑡 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡 =
10±√(−10)2−4∙1∙9
2∙1
𝑡 =
10 ± 8
2
{
𝑡1 =
10 + 8
2
𝑡1 = 9
𝑡2 =
10 − 8
2
𝑡2 = 1
Sacar los valoresde x,sustituyendo ten 𝑥2 = 𝑡
{
𝑥2 = 9 𝑥 = ±√9 𝑥 = ±3
𝑥2 = 1 𝑥 = ±√1 𝑥 = ±1

4. Ecuaciones de grado superior a dos y no bicuadradas
La resolución de estas ecuaciones consiste en factorizar el polinomio, dejándolo como
ecuacionesde primer y/o de segundo grado. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los
factores y resolver las ecuaciones resultantes para hallar los resultados de la ecuación.
Pasos para factorizar:
1. Ver si hay factor común de x
2. Si no tenemos factor común x o aun habiendo nos sigue quedando una ecuación de
grado mayor de dos, hay que factorizar por Ruffini* hasta conseguir una ecuación de
segundo grado.
3. Escribir el poliniomio factorizado, para ello debemos cambiar el signo a las raíces
obtenidas.Porejemplo,si lasraícesdel polinomioson -2y 1, factorizadolopondremos
como (x+2)(x-1).
EJEMPLOS
𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 = 0
Factor común x:
𝑥 ∙ ( 𝑥2 + 4𝑥 − 5) = 0
{
𝑥1 = 0
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 {
𝑥2 = 1
𝑥3 = −5
Resolver como ecuación
segundo grado
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Descomponer por Ruffini,
hasta conseguir una de
segundo grado:
1 2 − 1 − 2
1 1 3 2
1 3 2 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 0
{
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥1 = 1
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 {
𝑥2 = −1
𝑥3 = −2
2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
Descomponer por Ruffini,
hasta conseguir una de
segundo grado:
2 1 − 8 − 1 6
1 2 3 − 5 − 6
2 3 − 5 − 6 0
-1 −2 − 1 6
2 1 − 6 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)(2𝑥2 + 𝑥 − 6)
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1
2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 → {
𝑥 = 3
2⁄
𝑥 = −2

5. Ecuaciones irracionales
SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIONES LINEALES (De primer grado)
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥+ 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Donde a1, a2 b1 y b2 son números reales.
La solucióndel sistemaesunparde números (x,y) que verificalasdosecuaciones del sistema.
Para resolver estos sistemas se puede hacer de tres formas diferentes:
 SUSTITUCIÓN:
o En una de la ecuaciones se despeja una
incógnita.
o La expresiónobtenida en el punto anterior la
sustituimos enla otra ecuación (Obtenemos una
ecuación de primer grado y una incognita)
o Resolver la ecuación.
o Una vez obtenido el valor de la incognita,
sustiruir ese valor enla ecuacióndel punto uno
para obtener el valor de la otra .
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
En la (1) despejamos x: 𝑥 =
13−3𝑦
4
Sustituimos este valor de x en la (2) y resolvemos:
5 (
13 − 3𝑦
4
) − 6𝑦 = 3 →
65 − 15𝑦
4
− 6𝑦 = 3 →
65 − 15𝑦
4
−
24𝑦
4
=
12
4
→ 65 − 15𝑦− 24𝑦 = 12 → 𝒚 =
𝟓𝟑
𝟑𝟗
P Sustituir el valor de yen la ecuación despejada, para obtener x:
𝑥 =
13 − 3
53
39
4
→ 𝑥 =
13 −
159
39
4
→ 𝑥 =
507 − 159
39
4
→ 𝑥 =
348
39
4
𝑥 =
348
156
→ 𝒙 =
𝟖𝟕
𝟑𝟗
 IGUALACIÓN:
o En las dos ecuaciones despejamos la misma
incognita.
o Igualamos las expresiones obtenidas.
o Resolver la ecuaciónde primer gradoobtenida.
o Una vez calculado el valor de la incógnita,
sustituir en alguna de las dos ecuaciones del
punto uno, para obtener el valor de la otra
incógnita.
 REDUCCIÓN:
o Tenemos que anular una de las dos incognitas,
haciendo operacionesentre ambasecuaciones.
o Para ello, multiplicamos uno o las dos
ecuacionespara que los coeficientes de x o y
sean iguales pero de signo diferente.
o Haciendola suma obtendremos una ecuaciónde
una incógnita, la resolvemos.
o Después, se calcula la otra incognita.
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
En la (1) despejamos x: 𝑥 =
13−3𝑦
4
En la (2) despejamos x: 𝑥 =
3+6𝑦
5
P Igualamos las dos ecuaciones: 𝑥 = 𝑥 →
13−3𝑦
4
=
3+6𝑦
5
Despejar: 5(13− 3𝑦) = 4(3 + 6𝑦) → 65 − 15𝑦 = 12 + 24𝑦
EKUAZIO EZ-LINEALAK:
Sistema hauetan ekuazio bat edo biak ez dira linealak. Hauek ebazteko 2. mailako ekuazioak
ebazteko erabiltzen ditugun metodoak eta sistema linealak aplikatuko ditugu.
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑐2

6. {
𝑎1 𝑥2 + 𝑏1 𝑦2 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
EBAZPENA
o Mota honetako sistemak ebazteko x edo y bakanduko ditugu ekuazio batean
(bietako errezenean).
o Bestean ordezkatuko dugu eta ekuazioa murriztu.
o Ekuazioa ebatzi.
o Amaitzeko bakandutako ekuazioan aurkitutako balioak ordezkatuko ditugu
beste ezezaguna kalkulatzeko.
Expresiones algebraicas más comunes