Expresiones Algebraicas Y Factorizaciones

1. Expresiones Algebraicas Y
Factorización De
Números
Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Integrantes: Paul Dobobuto
Jose Luna
Gustavo Torrealba
Luis Gonzalez
Jesus Morillo

2. Suma y resta de expresiones
algebraicas
La suma es la operación que reúne dos o más expresiones algebraicas en un solo
valor algebraico.
Así pues, tenemos a y b, la suma sería 𝒂 + 𝒃 esta expresión representa la reunión de
las dos
cantidades dadas, en este caso de a y b.
La resta es la operación que disminuye las cantidades algebraicas para encontrar la
diferencia.
Así pues, volviendo con a y b, si de a queremos restarle a b la diferencia será 𝒂 − 𝒃
esta expresión representa la diferencia, si sumada con b nos da la misma cantidad
de a: 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎
Hay que tomar en cuenta las reglas de los signos, en Algebra
las cantidades pueden ser tanto positivas como negativas, la suma y la resta en
Algebra
son tomadas como conceptos más generales, basado en esto la suma puede significar
aumento o disminución y la resta igual, puede significar disminución o aumento.

3. Por ejemplo:
Dos números con el mismo signo se suman:
− 4 – 3 = −𝟕
Tanto el “-4” como el “-3” son números negativos (−)(−) = +, lo que quiere decir que las
expresiones se van a sumar y el resultado va a quedar con el símbolo negativo debido a que
ambas cantidades son negativas.
3 + 4 = 𝟕 El “3” y el “4” son dos números positivos (+)(+) = +, así que les corresponde
sumar y el resultado debe ser positivo, el “3” no tiene signo así que se sobreentiende que
es positivo.
Dos números con diferente signo se restan:
3 – 5 = −𝟐 El “3” es número positivo y el “-5” es número negativo (+)(−) = −, la regla dice
que se tienen que restar y el resultado debe permanecer con el símbolo del número mayor,
en este caso es “-5” así que será negativo.
−2 + 9 = 𝟕 El “-2” es negativo, mientras que el “9” es positivo (−)(+) = −, entonces toca
restar las cantidades y el resultado debe seguir con el símbolo del número mayor, en este
caso es “9” así que será positivo.
−2 + 2 = 𝟎 El “cero” no representa una cantidad, así que no lleva signo o bien lo podemos
sobreentender con un signo positivo.

4. Ejercicios resueltos Suma y Resta de
expresiones Algebraicas:
a) −3 + 4 = 𝟏
b) −6 − 10 = −𝟏𝟔
c) −8 + 1 = −𝟕
d) 4𝑥 + 5𝑥 = 𝟗𝒙
e) −12𝑥𝑦 + 8𝑥𝑦 = −𝟒𝒙𝒚
f) 3𝑥 + 2𝑦 − 3 + 4𝑦 − 2𝑥 + 2 + −5𝑥 − 1 + 2𝑦 = −𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟐

5. Valor Número de Expresiones Algebraicas:
El Valor Numérico en Algebra es el resultado que se obtiene cuando se sustituye las
letras
por números, después tenemos que realizar las operaciones indicadas.
Por ejemplo: Tenemos que hallar el valor número de 2𝑎𝑏 para 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2.
Sustituimos la a y la b con su valor respectivo, tendremos la siguiente operación:
2 𝑥 1 𝑥 2 = 𝟒
Ahora vamos a buscar el valor numérico de 5𝑎2
𝑏3
𝑐 donde 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2 y 𝑐 = 3.
Sustituimos y nos queda la siguiente operación: 5 𝑥 12
𝑥 23
𝑥 3 = 5 𝑥 1 𝑥 8 𝑥 3 =
𝟏𝟐𝟎
Ejercicios de Valor Numérico: para 𝑎 = 2 ,𝑏 = 3 , 𝑐 =
1
2
5𝑎𝑏 = 5 𝑥 2 𝑥 3 = 𝟑𝟎
𝑎2𝑏3𝑐4 = 2233(
1
2
)4 = 4 𝑥 27 𝑥
1
16
=
𝟐𝟕
𝟒

6. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas:
La Multiplicación es una operación donde dos cantidades multiplicador y multiplicando son
factores que deben hallar una tercera cantidad que se llama producto.
El orden de los factores no altera el producto esta propiedad al igual que en aritmética
también se cumple en Algebra.
La Multiplicación se puede representar con varios símbolos (x) (.) (*), en este caso representaré
las multiplicaciones con x. Así pues, tenemos a multiplicando a b y el producto será ab: 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎𝑏
La Ley de los Exponentes en Multiplicación consta de sumar las potencias de una misma base:
𝑎4
∗ 𝑎3
∗ 𝑎2
= 𝑎4+3+2
= 𝑎9
La División es una operación donde el dividendo y el divisor son dos factores que deben
encontrar el otro factor que se llama cociente. Se puede decir que el cociente multiplicado
por el divisor reproduce el dividendo.
La División se representa con el símbolo de dividir (÷) aunque también lo podemos expresar
de otras formas como (/). Así pues, tenemos 2𝑎 dividiendo a 10𝑎2
, ahora debemos hallar
una cantidad que multiplicada por 2𝑎 que nos de 10𝑎2
, el cociente será 5𝑎: 2𝑎 ÷ 10𝑎2
= 5𝑎
La Ley de los Exponentes en división consiste en restar las potencias de una misma:
𝑎5
÷ 𝑎3
= 𝑎5−3
= 𝑎2

7. Tanto en Multiplicación como en División en Algebra se tiene que tomar muy en cuenta
la regla de los signos, el signo del producto proveniente de dos factores, en este caso la
regla dice: Signos iguales se suman (+) y signos diferentes se restan (-). A diferencia de la
suma o resta el producto tendrá el signo que corresponda con la operación.
Por Ejemplo:
1) 2 𝑥(−2) = −4 nótese que multipliqué primero los signos (+)(−) = − para
después
2) sacar el resultado.
2) 10 ÷ −2 = −5 aquí el cociente es un número multiplicado por (-2) que nos da 10
positivo: (−5) 𝑥 −2 = 10
Ejercicios Multiplicación y División:
−15 ∗ 16 = −𝟐𝟒𝟎
2𝑏2
∗ −3𝑏 = −𝟔𝒃𝟑
−5𝑎3
𝑦 ∗ 𝑎𝑦2
= −𝟓𝒂𝟒
𝒚𝟑
−63 ÷ −7 = 𝟗
−5𝑎2
÷ −𝑎 = 𝟓𝒂
14𝑎3
𝑏4
÷ −2𝑎𝑏2
= −𝟕𝒂𝟐
𝒃𝟐

8. Productos Notables de Expresiones Algebraicas:
Los Productos Notables son aquellos productos que cumplen con reglas fijas, su resultado
puede ser escrito por simple inspección, sin comprobar la multiplicación.
Tenemos el Cuadrado de la Suma de dos cantidades: Elevar al cuadrado 𝑎 + 𝑏 equivale a
multiplicar este binomio por lo mismo, lo que nos da:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
Si Efectuamos esta cantidad lograremos conseguir la formula que nos servirá para hacer
las operaciones:
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏
𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Es decir: (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad más el
doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Así pues,
podemos desarrollar el siguiente ejemplo: (𝑥 + 4)2
Lo primero que debemos hacer es sacar el cuadrado de la primera cantidad (𝑥), después
multiplicamos el doble del primero por el segundo ( 2 ∗ 𝑥 ∗ 4 ) y por último el cuadrado
del segundo (4)2
:
(𝑥 + 4)2
= 𝑥2
+ 2𝑥4 + (4)2
= 𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔

9. Por otro lado, tenemos el Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Ahora tenemos que
restar, elevar (𝑎 − 𝑏) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por si misma, hacemos
el mismo proceso anterior pero esta vez con el menos (-) :
𝑎 − 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎2 − 𝑎𝑏
𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Es decir: (𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
“menos” el doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ahora con esta fórmula podemos restar y desarrollar el siguiente ejemplo: (𝑏 − 7)2
Hacemos exactamente el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior sólo que esta vez
tenemos que restar el cuadrado de la primera cantidad con el doble de la primera por
la segunda.
(𝑏 − 7)2
= 𝑏2
− 2𝑏7 + 7 2
= 𝒃𝟐
− 𝟏𝟒𝒃 + 𝟒𝟗
Posteriormente, tenemos Producto de la Suma por la Diferencia de dos cantidades:
Tenemos el Producto: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 .
Si efectuamos esta multiplicación nos encontraremos con la siguiente formula:

10. 𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏
− 𝑎𝑏 − 𝑏2
= 𝑎2
− 𝑏2
Es decir: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
La Suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado de la
diferencia menos el cuadrado de la segunda cantidad que está restando.
Con esta formula podemos desarrollar la siguiente operación: 2𝑎 + 3𝑏 2𝑎 − 3𝑏 .
Tomando en cuenta la formula podemos determinar que:
2𝑎 + 3𝑏 2𝑎 − 3𝑏 = (2𝑎)2
−(3𝑏)2
= 𝟒𝒂𝟐
− 𝟗𝒃𝟐
Ejercicios de Producto Notable de Expresiones Algebraicas:
(𝑥 + 𝑦)2
= 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
(7𝑥 + 11)2
= (7𝑥)2
+2 ∗ 7𝑥 ∗ 11 + 11 2
= 𝟒𝟗𝒙𝟐
+ 𝟏𝟓𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝟏
(9 + 4𝑚)2
= (9)2
+2 ∗ 9 ∗ 4𝑚 + 4𝑚 2
= 𝟖𝟏 + 𝟕𝟐𝒎 + 𝟏𝟔𝒎𝟐

11. (2𝑚 − 3𝑛)2
= (2𝑚)2
−2 ∗ 2𝑚 ∗ 3𝑛 + 3𝑛 2
= 𝟒𝒎𝟐
− 𝟏𝟐𝒎𝒏 + 𝟗𝒏𝟐
(4𝑎𝑥 − 1)2
= (4𝑎𝑥)2
−2 ∗ 4𝑎𝑥 ∗ 1 + 1 2
= 𝟏𝟔𝒂𝟐
𝒙𝟐
− 𝟖𝒂𝒙 + 𝟏
𝑚 + 𝑛 𝑚 − 𝑛 = 𝒎𝟐
− 𝒏𝟐
Factorización de Producto Notable:
La Factorización, es escribir una expresión algebraica como un producto de factores,
una suma, una resta, una matriz, un polinomio, etc. Tal que estos factores sean primitivos
entre si dos a dos, si es que los hubiese. Los términos de factorización, simplificación y
productos notables, están estrechamente relacionados entre sí.
A continuación, presentaremos algunos de los casos más comunes que nos podemos encontrar:
Factor Común: significa escribir esa expresión o ese número como una multiplicación
de factores. Entonces, factorizar es lo inverso de la multiplicación.
Cuando multiplicamos, escribimos:
5(𝑥 + 𝑦) = 5𝑥 + 5𝑦

12. EJERCICIO 1
Factoriza la expresión 5𝑥 + 5𝑦5𝑥 + 5𝑦.
Fácilmente, podemos mirar que el 5 es un factor tanto en el término 5x5x como en el
término 5y5y. Entonces, extrayendo el 5, tenemos:
5𝑥 + 5𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦)5𝑥 + 5𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦)
EJERCICIO 2
Factoriza la expresión 8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧.
En este caso, el 4 es un factor común de todos los términos. Entonces, escribimos al
4 en la izquierda de los paréntesis:
8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧 = 4(2𝑥 − 𝑥 + 3𝑧)8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧 = 4(2𝑥 − 𝑥 + 3𝑧)
Para verificar la factorización, podemos multiplicar y expandir el paréntesis. Al hacer esto,
deberíamos obtener la expresión original.
Ten en cuenta que, la expresión dentro del paréntesis no debe tener otros factores comunes.

13. Producto Notable al Cuadrado, o
Factorización de una ecuación con términos cuadráticos:
Factorización de diferencias de cuadrados o
Producto de binomios con distinto signo:
Producto notable al cubo o Factorización de una ecuación con términos al cubo:
Factorización de diferencias o sumas de términos al cubo:

14. Factorización de ecuación de segundo grado ó desarrollo de producto de dos binomios:

15. Bibliografia
Definiciones de las operaciones: www.es.wikipedia.org
¿Cómo resolver operaciones algebraicas?:
https://youtu.be/_6uyQISZvBc?si=U9HD7w5Cagc1Wo6z
Ejercicios De Factorizacion:
https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-ecuaciones-cuadraticas-por-
factorizacion-con-ejemplos/#3-resolver-ecuaciones-cuadraticas-por-
factorizacion-ejercicios-resueltos
Definicion De Factorizacion:
https://es.slideshare.net/JuanCHdez1/factorizacin-41129598