Examen acumulativo corregido de la 2ª Evaluación de matemáticas de CC. Sociales de 1º de bachillerato

1. COLEGIO RETAMAR
1º DE Bachillerato. Matemáticas
EXAMEN Nº 09
ACUMULATIVO
Alumno: Nº Grupo: 1º Hoja 1. Fecha: 13 de abril, 2016
1ª Evaluación: Ejercicio 1; 2ª Evaluación: Ejercicios 2-4; 3ª Evaluación: Ejercicio 5.
Recuerda que hay 1 p. por una redacción y expresión correcta de las soluciones.
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss. (1,5 p.)
−𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −1
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 3
2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4
Vamos a resolver este sistema poniéndolo primero en forma matricial
�
−1 2 −1 −1
1 −1 2 3
2 −1 1 4
� = (𝐹𝐹2 → 𝐹𝐹2 + 𝐹𝐹1) = �
−1 2 −1 −1
0 1 1 2
2 −1 1 4
� = (𝐹𝐹3 → 2𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹3) =
= �
−1 2 −1 −1
0 1 1 2
0 3 −1 2
� = (𝐹𝐹3 → 3𝐹𝐹2 − 𝐹𝐹3) = �
−1 2 −1 −1
0 1 1 2
0 0 4 4
� ⇒
⇒ 4𝑧𝑧 = 4 ⇒ 𝑧𝑧 = 1
Por lo tanto,
𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 + 1 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 = 1
y, finalmente,
−𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −1 ⇒ −𝑥𝑥 + 2 − 1 = −1 ⇒ 𝑥𝑥 = 2
Es decir, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (2,1,1)
2. Razona adecuadamente la veracidad o falsedad de la siguiente frase (1 p.):
Sabiendo que 𝑷𝑷(𝒙𝒙) y 𝑸𝑸(𝒙𝒙) son dos funciones continuas, tales que
𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟏𝟏
𝑷𝑷(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎 𝐲𝐲 𝐪𝐪𝐪𝐪𝐪𝐪 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟏𝟏
𝑸𝑸(𝒙𝒙) = ∞
Entonces,
𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟏𝟏
𝑷𝑷(𝒙𝒙)
𝑸𝑸(𝒙𝒙)
= 𝟎𝟎 𝐲𝐲 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟏𝟏
𝑷𝑷(𝒙𝒙) 𝑸𝑸(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎
Es falso, puesto que, aunque sea el primer resultado sea cierto, el segundo no lo es, ya
que depende de lo “rápido” que tienda 𝑄𝑄(𝑥𝑥) a infinito. Un ejemplo muy claro de esto es:
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 y 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥
.
Nota

2. 3. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) (0,5 p.), haciendo un estudio de:
a. Su dominio (0,25 p.)
b. Puntos de corte (0,25 p.)
c. Asíntotas (0,5 p.)
d. Máximos y mínimos (1 p.).
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒙𝒙𝟐𝟐
+ 𝟖𝟖
𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒
El dominio de la función viene limitado por los puntos donde se anula el denominador:
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ − {±2}
Los puntos de corte son:
Con el eje Y, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑓(0) = −2 ⇒ (0, −2)
Con el eje X no corta, puesto que, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ
Sólo tiene un único punto de corte con los ejes.
Asíntotas:
No tiene asíntota oblicua (A.O.), porque el grado del numerador es igual al de
denominador. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas verticales (A.V.) y horizontales
(A.H.).
Tiene una A.V. en 𝑥𝑥 = 2 y otra en 𝑥𝑥 = −2 y se da que:
lim
𝑥𝑥→2+
𝑥𝑥2
+ 8
𝑥𝑥2 − 4
= +∞
lim
𝑥𝑥→2−
𝑥𝑥2
+ 8
𝑥𝑥2 − 4
= −∞
lim
𝑥𝑥→−2+
𝑥𝑥2
+ 8
𝑥𝑥2 − 4
= −∞
lim
𝑥𝑥→−2−
𝑥𝑥2
+ 8
𝑥𝑥2 − 4
= +∞
Tiene también una A.H. en:
𝑦𝑦 = lim
𝑥𝑥→±∞
𝑥𝑥2
+ 8
𝑥𝑥2 − 4
= 1
Los puntos críticos los hallamos derivando la función:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥(𝑥𝑥2
− 4) − 2𝑥𝑥 · (𝑥𝑥2
+ 8)
(𝑥𝑥2 − 4)2
=
−24𝑥𝑥
(𝑥𝑥2 − 4)2
= 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =
−24(𝑥𝑥2
− 4)2
+ 96𝑥𝑥2(𝑥𝑥2
− 4)
(𝑥𝑥2 − 4)4
=
24(3𝑥𝑥2
+ 4)
(𝑥𝑥2 − 4)3
Como 𝑓𝑓′′(0) = −3/2 < 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 = −2 hay un máximo en ese punto.
También vemos que 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇒ 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑛𝑛.
Por lo tanto, con todos estos datos
podemos dibujar la siguiente gráfica.

3. 4. Expresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el
segundo sea doble del primero. Si el producto de los tres es máximo, determina el
valor de dicho producto. (2 p.)
En este problema las condiciones son:
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 60
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
⇒ 3𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 = 60
La función a maximizar es el producto de los tres números
𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥2
𝑧𝑧 = 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧)
Para poder derivar respecto a una sola variable vamos a despejar 𝑧𝑧 de la condición y
sustituirla en 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧), es decir:
𝑧𝑧 = 60 − 3𝑥𝑥 ⇒ 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2(60 − 3𝑥𝑥) ⇒ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 120𝑥𝑥2
− 6𝑥𝑥3
Para saber dónde se hace esta función máxima hay que derivarla e igualar a cero.
𝑃𝑃′(𝑥𝑥) = 240𝑥𝑥 − 18𝑥𝑥2
= 0 ⇒ 6𝑥𝑥(40 − 3𝑥𝑥) = 0 ⇒
𝑥𝑥1 = 0
𝑥𝑥2 = 40/3
Para comprobar cuál de los dos valores hace el producto máximo, tenemos que hacer la
derivada segunda y sustituir en ella los puntos:
𝑃𝑃′′(𝑥𝑥) = 240 − 36𝑥𝑥
⇒
𝑃𝑃′′(𝑥𝑥1) = 𝑃𝑃′′(0) = 240 > 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥1 = 0 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑃𝑃′′(𝑥𝑥2) = 𝑃𝑃′′(40/3 ) = 240 − 480 = −240 < 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥2 = 40/3 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥.
Si sustituimos en las condiciones para obtener 𝑦𝑦 y 𝑧𝑧, tenemos:
𝑧𝑧 = 60 − 3𝑥𝑥 = 20
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 = 80/3
Por lo tanto, los números que buscamos son:
𝑥𝑥 = 40/3, 𝑦𝑦 = 80/3, y 𝑧𝑧 = 20
5. Calcula las siguientes integrales: (2 p.)
�
𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 3 �
𝑥𝑥
2 + 𝑥𝑥2
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3
2
�
2𝑥𝑥
2 + 𝑥𝑥2
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3
2
ln|2 + 𝑥𝑥2| + 𝐶𝐶
�
𝟏𝟏
√𝒙𝒙
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐜𝐜𝟐𝟐
�√𝒙𝒙� 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 2 �
1
2√𝑥𝑥
sec2
�√𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 tan�√𝑥𝑥� + 𝐶𝐶
�
𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟓𝟓
𝒙𝒙 + 𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒅𝒅 = �
2(𝑥𝑥 + 2) + 1
𝑥𝑥 + 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �2 +
1
𝑥𝑥 + 2
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 2 · 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �
1
𝑥𝑥 + 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2𝑥𝑥 + ln|𝑥𝑥 + 2| + 𝐶𝐶
� 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒆𝒆𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒅𝒅 = � 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑣𝑣 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
� = 𝑥𝑥2
𝑒𝑒 𝑥𝑥
− 2 � 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑣𝑣 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
� =
= 𝑥𝑥2
𝑒𝑒 𝑥𝑥
− 2 �𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥
− � 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑� = 𝑥𝑥2
𝑒𝑒 𝑥𝑥
− 2𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥
+ 2𝑒𝑒 𝑥𝑥
+ 𝐶𝐶
= 𝑒𝑒 𝑥𝑥
[(𝑥𝑥 − 1)2
+ 1] + 𝐶𝐶

4. BORRADOR