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Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas

Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas Asignatura: Algebra, trigonometría y Geometría Analitica Grupo: 551108_19 Tutor: Jaime Julio Buelvas Universidad Nacional Abierta y a Distancia 2.020

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Por:
Yina Cedeño
Angélica Delgado
Juan David Mena
Yisela Trespalacios
Desarrollo de las siguientes
expresiones algebraicas:
𝟏) 3 ∗ 𝑥 + 2 2 − 2 ∗ 𝑥 − 2 2
2) 𝑥 + 1 3 − 𝑥 + 1 2 − 𝑥 + 1
3) 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 + 2 3 − 𝑥2
4) 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 − 9
5) 4 ∗ 𝑥 + 2 − 3 ∗ 𝑥 + 2 2
𝟏) 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟐 𝟐
Esta expresión algébrica esta compuesta
por dos términos, por lo tanto es un
binomio.
Para desarrollar esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al
cuadrado (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏2 + 𝑏2
𝑎 = 𝑥 𝑏 = 2 de la siguiente manera:
3 ∗ 𝑥 + 2 2
− 2 ∗ 𝑥 − 2 2
Aplicar formula del binomio al cuadrado
= 𝑥2
+ 2𝑥 ∗ 2 + 22
Simplificar
= 𝑥2 − 4𝑥 + 4
= 3 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 2 𝑥2
− 4𝑥 + 4 Expandir
3 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 : 3𝑥2
− 12𝑥 + 12 = 3𝑥2
+ 12𝑥 + 12 (𝑥2
−4𝑥 + 4)
-2 𝑥2 + 4𝑥 + 4 : −2𝑥2 + 8𝑥 − 8 = 3𝑥2 + 12𝑥 + 12 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 8
Simplificar
= 𝑥2
+ 20𝑥 + 4
Solución → 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐
− 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟐 𝟐
= 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒
Procedimientos
2) 𝒙 + 𝟏 𝟑− 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 + 𝟏
Esta expresión algebraica está compuesta por tres términos,
por lo cual es un trinomio
Procedimientos
Para resolver esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al cubo (𝑎 + 𝑏)3
=
𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
𝑎 = 𝑥 𝑏 = 1 De la siguiente manera:
𝒙 + 𝟏 𝟑
− 𝒙 + 𝟏 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 Aplicar formula del binomio al cubo
= 𝑥3
+ 3𝑥2
∗ 1 + 3𝑥 ∗ 12
+ 13
Simplificar
= 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1
= 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 2
− (𝑥 + 1) Aplicar formula del binomio al cuadrado
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
= 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 − (𝑥2
+ 2𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) Quitar los paréntesis y aplicar las reglas de los signos.
= 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 − 𝑥2
− 2𝑥 − 1 − (𝑥 + 1) Quitar los paréntesis y aplicar las reglas de los signos.
= 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 − 𝑥2
− 2𝑥 − 1 − 𝑥 − 1) Simplificar
= 𝑥3
+ 2𝑥2
− 1
Solución → 𝒙 + 𝟏 𝟑
− 𝒙 + 𝟏 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 𝟑
+ 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟏
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Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas

  • 1. Por: Yina Cedeño Angélica Delgado Juan David Mena Yisela Trespalacios
  • 2. Desarrollo de las siguientes expresiones algebraicas: 𝟏) 3 ∗ 𝑥 + 2 2 − 2 ∗ 𝑥 − 2 2 2) 𝑥 + 1 3 − 𝑥 + 1 2 − 𝑥 + 1 3) 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 + 2 3 − 𝑥2 4) 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 − 9 5) 4 ∗ 𝑥 + 2 − 3 ∗ 𝑥 + 2 2
  • 3. 𝟏) 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟐 𝟐 Esta expresión algébrica esta compuesta por dos términos, por lo tanto es un binomio.
  • 4. Para desarrollar esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏2 𝑎 = 𝑥 𝑏 = 2 de la siguiente manera: 3 ∗ 𝑥 + 2 2 − 2 ∗ 𝑥 − 2 2 Aplicar formula del binomio al cuadrado = 𝑥2 + 2𝑥 ∗ 2 + 22 Simplificar = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 3 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 2 𝑥2 − 4𝑥 + 4 Expandir 3 𝑥2 + 4𝑥 + 4 : 3𝑥2 − 12𝑥 + 12 = 3𝑥2 + 12𝑥 + 12 (𝑥2 −4𝑥 + 4) -2 𝑥2 + 4𝑥 + 4 : −2𝑥2 + 8𝑥 − 8 = 3𝑥2 + 12𝑥 + 12 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 8 Simplificar = 𝑥2 + 20𝑥 + 4 Solución → 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟐 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 Procedimientos
  • 5. 2) 𝒙 + 𝟏 𝟑− 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 Esta expresión algebraica está compuesta por tres términos, por lo cual es un trinomio
  • 6. Procedimientos Para resolver esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al cubo (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 𝑎 = 𝑥 𝑏 = 1 De la siguiente manera: 𝒙 + 𝟏 𝟑 − 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 Aplicar formula del binomio al cubo = 𝑥3 + 3𝑥2 ∗ 1 + 3𝑥 ∗ 12 + 13 Simplificar = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 2 − (𝑥 + 1) Aplicar formula del binomio al cuadrado = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 − (𝑥2 + 2𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) Quitar los paréntesis y aplicar las reglas de los signos. = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 − 𝑥2 − 2𝑥 − 1 − (𝑥 + 1) Quitar los paréntesis y aplicar las reglas de los signos. = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 − 𝑥2 − 2𝑥 − 1 − 𝑥 − 1) Simplificar = 𝑥3 + 2𝑥2 − 1 Solución → 𝒙 + 𝟏 𝟑 − 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏
  • 7. 3) 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝒙 𝟐 Esta expresión algebraica está compuesta por dos términos, por lo tanto es un binomio.
  • 8. Procedimientos Para desarrollar esta expresión algebraica se aplica la propiedad distributiva 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎 = 𝑥 𝑏 = 2 𝑐 = 2𝑥 𝑑 = −3 De la siguiente manera: 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 + 2 3 − 𝑥2 Aplicar la propiedad distributiva = 𝑥 ∗ 2𝑥 + 𝑥 −3 + 2 ∗ 2𝑥 + 2(−3) Aplicar las reglas de los signos = 2𝑥𝑥 − 3𝑥 + 2 ∗ 2𝑥 − 2 ∗ 3 Simplificar = 2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥2 + 𝑥 − 6 + 2(3 − 𝑥2 ) Expandir 2 3 − 𝑥2 → poner los paréntesis utilizando: 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = 𝑥2 = 2 ∗ 3 − 2𝑥2 Multiplicar = 6 − 2𝑥2 = 2𝑥2 + 𝑥 − 6 + 6 − 2𝑥2 Simplificar = 𝑥 Solución → 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝒙 𝟐 = 𝒙
  • 9. 4) 𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝟐 − 𝟗 Esta expresión algebraica está compuesta por tres términos, por ende , es un trinomio
  • 10. Procedimientos Para resolver esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 = 𝑥 𝑏 = 3 De la siguiente manera: 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 − 9 Aplicar la fórmula del binomio al cuadrado = 𝑥2 +2𝑥 ∗ 3 + 32 Simplificar = 𝑥2 +6𝑥 + 9 = 𝑥2 − 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9 Quitar los paréntesis y aplicar la regla de los signos 𝑥2 − 𝑥2 − 6𝑥 − 9 − 9 Simplificar = −6𝑥 − 18 Solución → 𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝟐 − 𝟗 = −𝟔𝒙 − 𝟏𝟖
  • 11. 5) 𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟐 − 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐 Esta expresión algebraica es un binomio porque está compuesta por dos términos.
  • 12. Procedimientos Para desarrollar esta expresión algebraica se aplica la fórmula del binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 = 𝑥 𝑏 = 2 De la siguiente manera: 4 ∗ 𝑥 + 2 − 3 ∗ 𝑥 + 2 2 Aplicar la fórmula del binomio al cuadrado = 𝑥2 + 2𝑥 ∗ 2 + 22 Simplificar = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 4 𝑥 + 2 − 3(𝑥2 + 4𝑥 + 4) Poner los paréntesis utilizando: 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑎𝑐 𝑎 = 4 𝑏 = 𝑥 𝑐 = 2 = 4𝑥 + 4 ∗ 2 Multiplicar = 4𝑥 + 8 = 4𝑥 + 8 − 3(𝑥2 + 4𝑥 + 4) Aplicar la regla de los signos = −3𝑥2 − 12𝑥 − 12 = 4𝑥 + 8 − 3𝑥2 − 12𝑥 − 12 Simplificar −3𝑥2 − 8𝑥 − 4 Solución → 𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟐 − 𝟑 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝟐 = −𝟑𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙
  • 13. De la siguiente lista de polinomios Realizar las siguientes operaciones 𝑹 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒 𝑺 𝒙 = (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟐 𝑵 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝑴 𝒙 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖 𝑸 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟓 + 𝟔𝒙 𝟒 + 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 1. 𝑹 𝒙 − 𝑵(𝒙) 2. 𝑸 𝒙 + 𝑹(𝒙) 3. 𝑺 𝒙 − 𝑴(𝒙) 4. 𝑵 𝒙 ∗ 𝑴(𝒙) 5. 𝑸 𝒙 𝑷(𝒙)
  • 14. 1. 𝑹 𝒙 − 𝑵(𝒙) 𝑹 𝒙 = 𝑥2 −4 − 𝑵 𝒙 = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 En esta operación se debe restar un monomio con un polinomio Expresión coeficiente Literal signo Grado 𝑥2 −4 4 x - 2 −𝑥2 + 2𝑥 − 1 2, 1 x -, +, - 2
  • 15. Procedimientos Para resolver esta operación, se implementa la resta de polinomios, de la siguiente manera:
  • 16. 𝟐. 𝑸 𝒙 + 𝑹(𝒙) Expresión coeficiente Literal signo Grado 4𝑥5 + 6𝑥4 + 9𝑥2 − 12𝑥 4,6,9,12 x +, - 5, 4, 2 −𝑥2 + 2𝑥 − 1 2, 1 x -, + 2 𝑸 𝒙 = 4𝑥5 + 6𝑥4 + 9𝑥2 − 12𝑥 + 𝑹 𝒙 = 2𝑥2 − 4 Esta operación es una suma entre un polinomio y un monomio.
  • 17. Procedimiento Para resolver esta operación, se utiliza la suma de polinomios, de la siguiente manera:
  • 18. 𝟑. 𝑺 𝒙 − 𝑴(𝒙) 𝑺 𝒙 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 −𝑴 𝒙 = −𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 − 8 Esta operación es una resta de polinomios Expresión coeficiente Literal signo Grado 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 4,,12,9 x +, - 2 −𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 − 8 2, 5, 8 x - 3,2
  • 19. Procedimientos Para resolver esta operación primero se aplica la fórmula del binomio al cuadrado al término (2𝑥 − 3)2 (𝒂 − 𝒃) 𝟐= 𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 = 𝟐𝒙 𝒃 = 𝟑 𝑆 𝑥 = (2𝑥 − 3)2 → Aplicar formula del binomio al cuadrado = 2𝑥2 − 2 ∗ 2𝑥 ∗ 3 + 32 = 4𝑥2 − 12 − 9
  • 20. 𝟒. 𝑵 𝒙 ∗ 𝑴(𝒙) 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 ∗ (𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖) En esta expresión se debe realizar una multiplicación de polinomios, la cual esta conformada por un trinomio y un cuatrinomio. Expresión coeficiente Literal signo Grado 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 2, 1 x +, - 2 (𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖) 2, 5, 8 x + 3,2
  • 21. Procedimientos Para resolver esta multiplicación de polinomios se multiplica cada uno de los términos por el otro, es decir, cada término de la primera expresión se multiplica por cada término de la segunda expresión. 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 ∗ (𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖) = 𝑥5 + 2𝑥4 + 5𝑥3 + 8𝑥2 − 2𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 − 16𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 8 →Verificar los términos semejantes y sumarlos = 8𝑥2 − 10 + 2𝑥2 = 0 = 5𝑥3 − 4𝑥3 + 𝑥3 = 2𝑥3 = 2𝑥4 − 2𝑥4 = 0 = 16𝑥 + 5𝑥 = −11𝑥 N(x)*m(x)= 𝑥5 + 2𝑥3 − 11𝑥 − 8
  • 22. 5. 𝑸 𝒙 𝑷(𝒙) En esta operación se debe realizar una división de polinomios, que consta de un trinomio y un binomio. Expresión coeficiente Literal signo Grado 𝟒𝒙 𝟓 + 𝟔𝒙 𝟒 + 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 4, 6, 9, 12 x +, - 5, 4, 2 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 2, 3, 4 x -, + 3, 2
  • 23. Procedimientos Para resolver la división de polinomios primero identificamos el dividendo y el divisor, en este caso, el dividendo es Q(x) y el divisor es P(x), luego se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se coloca en el cociente, después se multiplica el termino del cociente por cada uno de los términos del divisor y se suma en el dividendo verticalmente las dos expresiones que se tienen. Hay que seguir dividiendo hasta que la expresión que quede en el dividendo sea menor que el divisor.
  • 24. Tarea 3. Realizar las siguientes divisiones de polinomios aplicando la división sintética. 1. 2𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 ÷ (x + 1) 2. 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 − 2 ÷ (x − 2) 3. 6𝑥4 + 7𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 2 ÷ (3x − 1) 4. 6𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 − 3 ÷ (2x − 3) 5. 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 15𝑥 + 4 ÷ (3x + 4)
  • 25. 1. 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 ÷ 𝐱 + 𝟏 En esta operación de debe realizar una división sintética entre un trinomio y un binomio. . 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 𝐱 + 𝟏 cociente cociente cociente cociente literal literal literal literalgrados grados
  • 26. Procedimiento Para desarrollar la operación primero se determina los coeficientes del dividendo 3𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥→ Coeficientes 2 3 − 6 Después hay que igualar el divisor a cero x + 1 = 0 → Buscar un valor para X que haga que X más 1 sea 0 −1 + 1 = 0 → Por lo tanto x = −1 Luego hay que organizar los términos en el formato de división sintética, Llevar abajo el coeficiente principal, sin cambios, por debajo del símbolo de división, después multiplicar el valor acumulado por el cero del denominador y llevar el resultado a la siguiente columna y así se hace con todos los coeficientes hasta obtener el residuo. 2 3 − 6 0 -1 −2 − 1 7 2 1 − 7 7 Escribir el resultado en formato polinomico 2𝑥2 + 𝑥 − 7 7 (𝑥+1)
  • 27. 2. 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐 ÷ (𝐱 − 𝟐) En esta operación de debe realizar una división sintética entre un polinomio y un binomio. . 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐 ÷ (𝐱 − 𝟐) gradosgrados cociente cocientecociente literal literal literal
  • 28. Procedimiento Para realizar la división sintética primero se determina los coeficientes del dividendo 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 − 2 → Coeficientes 1 1 − 5 − 2 Después hay que igualar el divisor a cero x − 2 = 0 → Buscar un valor para X que haga que X menos 2 sea 0 2 − 2 = 0 → Por lo tanto x = 2 Luego hay que organizar los términos en el formato de división sintética, Llevar abajo el coeficiente principal, sin cambios, por debajo del símbolo de división, después multiplicar el valor acumulado por el cero del denominador y llevar el resultado a la siguiente columna y así se hace con todos los coeficientes hasta obtener el residuo. 1 1 − 5 − 2 2 2 6 21 3 1 0 Escribir el resultado en formato polinomico 𝑥2 + 3𝑥 + 1
  • 29. 3. 𝟔𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐 ÷ (𝟑𝐱 − 𝟏) En esta operación de debe realizar una división sintética entre un polinomio y un binomio. . ൫ ൯ 𝟔𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐 (𝟑𝐱 − 𝟏) grados grados grados cociente cociente cociente cociente literal
  • 30. Procedimiento Para realizar la operación principalmente hay que factorizar el coeficiente del divisor 3x − 1 = 3 ∗ 𝑥 − 1 3 6𝑥4 + 7𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 2 → Coeficiente del dividendo 6 7 − 6 7 − 2 Hay que establecer el divisor en cero 3 𝑥 − 1 3 = 0 → Dividir ambos lados entre 3 3 𝑥 − 1 3 3 = 0 3 → Simplificar x − 1 3 = 0 →Sumar 1 3 ambos lados x − 1 3 + 1 3 = 0 + 1 3 → Simplificar 𝑥 = 1 3 Luego hay que organizar los términos en el formato de división sintética, Llevar abajo el coeficiente principal, sin cambios, por debajo del símbolo de división, después multiplicar el valor acumulado por el cero del denominador y llevar el resultado a la siguiente columna y así se hace con todos los coeficientes hasta obtener el residuo. 1 3 6 7 − 6 7 − 2 2 3 − 1 2 6 9 − 3 6 0 Escribir el resultado en formato polinomico 6𝑥3 + 9𝑥2 − 3𝑥 + 6→ Simplificar 2𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2
  • 31. 4. 𝟔𝒙 𝟑 − 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 ÷ (𝟐𝐱 − 𝟑) En esta operación de debe realizar una división sintética entre un polinomio y un binomio. . 𝟔𝒙 𝟑 − 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 (𝟐𝐱 − 𝟑) 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒 ÷ (𝟑𝐱 + 𝟒) grados grados cociente cociente cociente cociente literal literal
  • 32. Procedimiento Para realizar la operación principalmente hay que factorizar el coeficiente del divisor 2x − 3 = 2 ∗ 𝑥 − 3 2 6𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 − 3 → Coeficiente del dividendo 6 − 13 − 8 − 3 Hay que establecer el divisor en cero 2 𝑥 − 3 2 = 0 → Dividir ambos lados entre 2 2 𝑥− 3 2 2 = 0 2 → Simplificar x − 3 2 = 0 →Sumar 3 2 ambos lados x − 3 2 + 3 2 = 0 + 3 2 → Simplificar 𝑥 = 3 2 Luego hay que organizar los términos en el formato de división sintética, Llevar abajo el coeficiente principal, sin cambios, por debajo del símbolo de división, después multiplicar el valor acumulado por el cero del denominador y llevar el resultado a la siguiente columna y así se hace con todos los coeficientes hasta obtener el residuo. 3 2 6 − 13 − 8 − 3 9 − 6 3 6 − 4 2 0 El último valor es el resto: 0 Escribir el resultado en formato polinomico 6𝑥2 − 4𝑥 + 2 → Dividir por el divisor = 6𝑥2−4𝑥+2 2 → Simplificar = 3𝑥2 −2𝑥 + 1
  • 33. 5. 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒 ÷ (𝟑𝐱 + 𝟒) En esta operación de debe realizar una división sintética entre un polinomio y un binomio. . (𝟑𝐱 + 𝟒)൫ ൯ 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒 grados cociente cociente cociente cociente cociente literal literal
  • 34. Procedimiento Para realizar la operación principalmente hay que factorizar el coeficiente del divisor 3x + 4 = 3 ∗ 𝑥 + 4 3 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 15𝑥 + 4 → Coeficiente del dividendo 3 − 2 1 15 4 Hay que establecer el divisor en cero 3 𝑥 + 4 3 = 0 → Dividir ambos lados entre 3 3 𝑥+ 4 3 3 = 0 3 → Simplificar x + 4 3 = 0 →Restar 4 3 ambos lados x + 4 3 − 4 3 = 0 − 4 3 → Simplificar 𝑥 = − 4 3 Luego hay que organizar los términos en el formato de división sintética, Llevar abajo el coeficiente principal, sin cambios, por debajo del símbolo de división, después multiplicar el valor acumulado por el cero del denominador y llevar el resultado a la siguiente columna y así se hace con todos los coeficientes hasta obtener el residuo. 4 3 3 − 2 1 15 4 −4 8 − 12 − 4 3 − 6 9 3 0 El último valor es el resto: 0 Escribir el resultado en formato polinomico 3𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 9 → Dividir por el divisor = 3𝑥3−6𝑥2+9𝑥+9 3 → Simplificar 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
  • 35. Tarea 4. Los siguientes polinomios propuestos termine el valor de la variable x en las siguientes expresiones racionales y compruebe su solución con Geogebra. 1. 2𝑥2−2 𝑥+1 + 7𝑥+4 𝑥+2 − 2x = 3 2. 2𝑥2−9x−1 2𝑥+3 + 3𝑥−5 𝑥+1 + 3 = x 3. 13+2𝑥 4𝑥+1 = 3 4 4. 𝑥+1 𝑥+4 + 3 𝑥−4 = 3𝑥+8 𝑥2−16 5. 𝑥+1 3𝑥+2 + 𝑥−2 2𝑥−3 = 0
  • 36. 1. 2𝑥2−2 𝑥+1 + 7𝑥+4 𝑥+2 − 2x − 3 = 3 Expresión Coeficiente Literal Signo Grado 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐 2, 2 x - 2 𝒙 + 𝟏 1 x + 𝒙 + 𝟐 2 x + 𝟕𝒙 + 𝟒 7, 4 x + −𝟐𝒙 − 𝟑 2, 3 x -, - 𝟑 3 + En esta operación de debe simplificar los polinomios, escribir todo en una sola expresión sin denominadores y despejar la x.
  • 37. Procedimiento Para el desarrollo de esta expresión, lo primero que hay que hacer es simplificar el primer término: 2𝑥2−2 𝑥+1 → Simplificar = 2(𝑥 − 1) = 2 𝑥 − 1 + 7𝑥+4 𝑥+2 − 2𝑥 = 3 → Multiplicar ambos lados por x + 2 2 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 7𝑥+4 𝑥+2 𝑥 + 2 − 2𝑥 𝑥 + 2 = 3(𝑥 + 2) Simplificar 7𝑥+4 𝑥+2 𝑥 + 2 = 7𝑥 + 4 2 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 7𝑥 + 4 − 2𝑥 𝑥 + 2 = 3(𝑥 + 2) Resolver 2 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 7𝑥 + 4 − 2𝑥 𝑥 + 2 = 5𝑥 Resolver 3 𝑥 + 2 = 3𝑥 + 6 5𝑥 = 3𝑥 + 6 → Restar 3x de ambos lados 5𝑥 − 3𝑥 = 3𝑥 + 6 − 3𝑥 → Simplificar 2𝑥 = 6→ Dividir ambos lados entre 2 2𝑥 2 = 6 2 → Simplificar 𝑥 = 3
  • 39. 2. 2𝑥2−9x−1 2𝑥+3 + 3𝑥−5 𝑥+1 + 3 = x Expresión Coeficiente Literal Signo Grado 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏 2, 9, 1 x, x -, - 2 𝟐𝒙 + 𝟑 2, 3 x + 𝟑𝒙 − 𝟓 3, 5 x - 𝒙 + 𝟏 1 x + 𝒙 x 𝟑 3 + En esta operación de debe simplificar los polinomios, escribir todo en una sola expresión sin denominadores y despejar la x.
  • 40. Procedimiento Para resolver esta operación primero hay que encontrar el mínimo común múltiplo de 𝟐𝒙 + 𝟑 y 𝒙 + 𝟏 2𝑥 + 3 → Mínimo común múltiplo = (2x+3) 𝑥 + 1 → Mínimo común múltiplo =(x+1) 2𝑥2−9x−1 2𝑥+3 + 3𝑥−5 𝑥+1 + 3 = x → Multiplicar por el mínimo común múltiplo (x+1) (2x+3) 2𝑥2−9x−1 2𝑥+3 x + 1 2x + 3 + 3𝑥−5 𝑥+1 x + 1 2x + 3 + 3 x + 1 2x + 3 = x(x + 1) (2x + 3) Simplificar 2𝑥2 − 9x − 1 x + 1 + 3x − 5 2x + 3 + 3 x + 1 2x3 = x(x + 1)(2x + 3) Expandir (x + 1)(2x + 3) 2𝑥2 + 5𝑥 + 3 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 − 7 = 𝑥(2𝑥2 + 5𝑥 + 3) Expandir (2𝑥2 + 5𝑥 + 3) 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 − 7 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 Resolver 2𝑥2 − 9x − 1 x + 1 + 3x − 5 2x + 3 + 3 x + 1 2x3 = 2𝑥3 +5𝑥2 + 4𝑥 − 7 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 − 7 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥→ Sumar 7 a ambos lados 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 − 7 + 7 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 7→ Simplificar 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 7→ Restar 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 a ambos lados 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 7 −(2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥) Simplificar 𝑥 = 7
  • 42. 3. 13+2𝑥 4𝑥+1 = 3 4 Expresión Coeficiente Literal Signo Grado 𝟏𝟑 + 𝟐𝒙 13, 2 x + 𝟒𝒙 + 𝟏 4, 1 x + 𝟑 3 + 𝟒 4 + En esta operación de debe simplificar los polinomios, escribir todo en una sola expresión sin denominadores y despejar la x.
  • 43. Procedimiento Para resolver esta expresión se utiliza la multiplicación cruzada o regla de tres: si 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 entonces 𝑎 ∗ 𝑑 = 𝑏 ∗ 𝑐 13 + 2𝑥 ∗ 4 = 4𝑥 + 1 ∗ 3 Resolver 13 + 2𝑥 ∗ 4 = 52 + 8𝑥 Resolver 4𝑥 + 1 ∗ 3 = 12𝑥 + 3 52 + 8𝑥 = 12𝑥 + 3→ Restar 52 de ambos lados 52 + 8𝑥 − 52 = 12𝑥 + 3 − 52 → Simplificar 8𝑥 = 12𝑥 − 49→ Restar 12x de ambos lados 8𝑥 − 12𝑥 = 12𝑥 − 49 − 12𝑥→ Simplificar −4𝑥 = −49 → Dividir ambos lados entre -4 −4𝑥 4 = −49 4 → Simplificar 𝑥 = 49 4
  • 45. 4. 𝑥+1 𝑥+4 + 3 𝑥−4 = 3𝑥+8 𝑥2−16 Expresión Coeficiente Literal Signo Grado 𝒙 + 𝟏 1 x + 𝒙 + 𝟒 4 x + 𝟑 3 + 𝒙 − 𝟒 4 x - 𝟑𝒙 + 𝟖 3, 8 x + 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔 16 x - 2 En esta operación de debe simplificar los polinomios, escribir todo en una sola expresión sin denominadores y despejar la x.
  • 46. Procedimiento Para resolver esta operación principalmente se debe encontrar el mínimo común múltiplo de 𝑥 + 4 y 𝑥 − 4 𝑥 + 4 → Mínimo común múltiplo= (𝑥 + 4) 𝑥 − 4 → Mínimo común múltiplo= (𝑥 − 4) Multiplicar por el mínimo común múltiplo 𝑥+1 𝑥+4 (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) + 3 𝑥−4 (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) = 3𝑥+8 𝑥2−16 (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) Simplificar 𝑥 + 1 𝑥 − 4 + 3 𝑥 + 4 = 3𝑥 + 8 → Resolver 𝑥 = 3 𝑥 = 0
  • 48. 5. 𝑥+1 3𝑥+2 + 𝑥−2 2𝑥−3 = 0 Expresión Coeficiente Literal Signo Grado 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏 2, 9, 1 x, x -, - 2 𝟐𝒙 + 𝟑 2, 3 x + 𝟑𝒙 − 𝟓 3, 5 x - 𝒙 + 𝟏 1 x + 𝒙 x 𝟑 3 + En esta operación de debe simplificar los polinomios, escribir todo en una sola expresión sin denominadores y despejar la x.
  • 49. Procedimiento Para encontrar el valor de X, hay que empezar hallando el mínimo común múltiplo de 3𝑥 + 2 y 2𝑥 − 3 3𝑥 + 2 →Mínimo común múltiplo = (3𝑥 + 2) 2𝑥 − 3 →Mínimo común múltiplo = (2𝑥 − 3) Multiplicar la expresión por el mínimo común múltiplo 𝑥+1 3𝑥+2 (3𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) + 𝑥−2 2𝑥−3 (3𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) = 0(3𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) Simplificar 𝑥 + 1 2𝑥 − 3 + 𝑥 − 2 3𝑥 + 2 = 0→ Resolver 𝑥 = 5 + 165 10 𝑥 = 5 − 165 10
  • 51. Tarea 5. Determine el dominio de las siguientes funciones y comprobar con el recurso Geogebra. 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 (𝑥+1)(𝑥−3) 2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + 3 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 (𝑥−4)(𝑥+2) 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥+5 𝑥2+12𝑥+27 5. 𝑓 𝑥 = 4 − 1 − 2𝑥
  • 52. 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 (𝑥+1)(𝑥−3) En esta operación de debe despejar las X en cada uno de los monomios que se encuentran en el denominador, y ubicarlos en el plano cartesiano. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) Literal Signo Cociente Literal Signo Cociente Literal Signo Cociente
  • 53. Procedimiento El dominio de una función es el conjunto de entradas o valores de los argumentos para los cuales la función es real y definida. Para encontrar el dominio de esta función racional se debe encontrar los valores que hacen cero el denominador y quitárselo a ℝ 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 (𝑥+1)(𝑥−3) → El denominador debe ser distinto de cero 𝑥 + 1 ≠ 0 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 ≠ −1 𝑥 ≠ 3 → El dominio de la función es 𝑥 < −1 𝑜 − 1 < 𝑥 < 3 𝑜 𝑥 > 3→ Por lo tanto la notación de intervalo es (−∞, −1) ∪ (−1,3) ∪ (3, ∞)
  • 55. 2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + 3 En esta operación de debe despejar las X en cada uno de los monomios y ubicarlos en el plano cartesiano. Literal Radical Signo Cociente Cociente Signo
  • 56. Procedimiento Cuando tenemos una raíz par, lo que está dentro de esta raíz no nos podría dar 0 porque no se cumpliría la función. Es decir que x debe ser mayor o igual a -1 (X-1≥0) Despejamos x y -1 pasa al otro lado en signo contrario y nos queda X= ≥ 1 Esto nos quiere decir que nuestro intervalo es F(X) = [3, ∞)
  • 58. 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 (𝑥−4)(𝑥+2) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 (𝑥 + 4)(𝑥 + 2) Literal Signo Cociente Literal Cociente Literal Signo Cociente Signo En esta operación de debe despejar las X en cada uno de los monomios que se encuentran en el denominador, y ubicarlos en el plano cartesiano.
  • 59. Procedimiento Despejamos la X en ambos monomios que se encuentran en el denominador: X +4 = 0 X = -4 X +2= 0 X= -2 Estos valores X= -4, X= -2 nos muestra en el plano cartesiano que el dominio de la función se puede expresar -4<X<-2 (no se pueden tener en cuenta los resultados de X ya que nos daría el denominador 0). Dándonos un intervalo F(X)= (-4,-2) esto significa que podemos elegir cualquier numero en el plano cartesiano entre -4 y -2.
  • 61. 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥+5 𝑥2+12𝑥+27 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑥2 + 12𝑥 + 27 En esta operación de debe despejar las X en el polinomio que se encuentra en el denominador, y ubicarlos en el plano cartesiano. Grado Literal Signo Cociente Cociente Signo Literal Signo Cociente Literal
  • 62. Procedimiento Para comenzar a solucionarlo nos damos cuenta que en denominador hay un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥2 + 12𝑥 + 27 Despejamos x, como esta al cuadrado la ponemos doble (x )(x ) A continuación ponemos el primer signo (+) después multiplico ambos signos (+*+) y lo escribo (x+ )(x+ ) Buscamos un número que multiplicado me de 27 y sumado me de 12, seria 9x3=27 y 9+3=12 Colocamos primero el mayor y segundo el menor (x+9)(x+3)
  • 64. 5. 𝑓 𝑥 = 4 − 1 − 2𝑥 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 − 1 En esta operación de debe despejar las X en cada uno de los monomios y ubicarlos en el plano cartesiano. Literal Radical Signo Cociente Cociente Signo
  • 65. Procedimiento Cuando tenemos una raíz par, lo que está dentro de esta raíz no nos podría dar 0 porque no se cumpliría la función. Es decir que x debe ser mayor o igual a 0 (1- 2x≥0) Despejamos x 2x≥0Pasamos el 1 al lado contrario con signo contrario -2x≥ −1 Como el -2 está multiplicando pasa a dividir x≥ − 1 2 Como debemos tener positivo para que se cumpla la función multiplicamos por -1, y el signo cambia 𝑥 ≤ 1 2 Esto nos quiere decir que nuestro intervalo es F(X) = (-∞,12 ]
  • 67. Tarea 6. Factorizar los siguientes ejercicios 𝑚2 − 4𝑚 + 3; 27 − 𝑥3 𝑦3 𝑎2 𝑏2 − 16; 𝑥2 − 49 18𝑎3 − 8𝑎; 3𝑚3 − 6𝑚2 + 15𝑚 𝑦3 − 2𝑦2 + 𝑦 − 2; 2𝑎3 + 8𝑎 4𝑏2 − 4𝑏 − 24; 𝑐2 − 25
  • 68. -3 + -1 = -4 Eso es Solución •m2 -4m+3; 27-x3y3 m2 -4m+3 1: multiplica el coeficiente del primer término por la constante 1 • 3 = 3 2: Encuentra dos factores de 3 cuya suma es igual al coeficiente del término medio, que es -4 3: Reescribe el polinomio dividiendo el término medio usando los dos factores encontrados en el paso 2 anterior, -3 m2 - 3m - 1m – 3 4: Sume los primeros 2 términos, extrayendo factores similares: m • (m-3) Sume los 2 últimos términos y extraiga factores comunes: 1 • (m-3) Paso 5: Sume los cuatro términos del paso 4: (m-1) • (m-3)} Cuál es la factorización deseada (m - 1) • (m - 3) 27 –x³y³ Teoría: una diferencia de dos cubos perfectos, a3 - b3 se puede factorizar en (a-b) • (a2 +ab +b2) (a-b)•(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-ba2-b2a-b3 = a3+(a2b-ba2)+(ab2-b2a)-b3 = a3+0+0+b3 = a3+b3 27 es el cubo de 3 x3 es el cubo de x1 y3 es el cubo de y1 La factorización es (3 – x y) • (9 + 3xy + x2y2)
  • 69. 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 − 𝟏𝟔; 𝒙 𝟐 − 𝟒𝟗 a²b² - 16 Una diferencia de dos cuadrados perfectos, A2 - B2 se puede factorizar en (A+B) • (A-B) (A+B) • (A-B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2 AB = BA es la propiedad conmutativa de la multiplicación. - AB + AB es igual a cero y, por tanto, se elimina de la expresión. 16 es el cuadrado de 4 a2 es el cuadrado de a1 b2 es el cuadrado de b1 La factorización es: (ab + 4) • (ab - 4) FACTORIZACION x² - 49 Una diferencia de dos cuadrados perfectos, A2 - B2 se puede factorizar en (A+B) • (A-B) (A+B) • (A-B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2 AB = BA es la propiedad conmutativa de la multiplicación. - AB + AB es igual a cero y, por tanto, se elimina de la expresión. 49 es el cuadrado de 7 x2 es el cuadrado de x1 La factorización es: (x + 7) • (x - 7)
  • 70. -5 + -1 = -6 -1 + -5 = -6 1 + 5 = 6 5 + 1 = 6 •18a3-8a; 3m3- 6m2+15m 18a³ -8ª Saque los factores similares: 18a3 - 8a = 2a • (9a2 - 4) Factorización: 9a2 - 4 una diferencia de dos cuadrados perfectos, A2 - B2 se puede factorizar en (A+B) • (A-B) AB = BA es la propiedad conmutativa de la multiplicación. Nota : - AB + AB es igual a cero y, por tanto, se elimina de la expresión. 9 es el cuadrado de 3 4 es el cuadrado de 2 a2 es el cuadrado de a1 La factorización es: (3a + 2) • (3a – 2) 3m³ - 6m² + 15m Sacar los factores similares: 3m3 - 6m2 + 15m = 3m • (m2 - 2m + 5) Factorización m2 - 2m + 5 1: multiplica el coeficiente del primer término por la constante 1 • 5 = 5 2: Encuentra dos factores de 5 cuya suma es igual al coeficiente del término medio, que es -2 ¡¡No se pueden encontrar dos de estos factores!! : Trinomial no se puede factorizar RESULTADO 3m • (m2 - 2m + 5)
  • 71. Grupo 1: y-2 Grupo 2: y3-2y2 Retirar de cada grupo por separado: Grupo 1: (y-2) • (1) Grupo 2: (y-2) • (y2) ------------------- Sume los dos grupos: (y-2) • (y2+1) Cuál es la factorización deseada 2.3 Encuentra raíces (ceros) de: F(y) = y2+1 para cual F(y)=0 El teorema de la raíz racional establece que si un polinomio tiene ceros para un número racional P/Q luego P es un factor de la constante final y Q es un factor del coeficiente principal En este caso, el coeficiente principal es 1 y la constante final es 1. Los factores son: del coeficiente principal: 1 de la constante final: 1 resultado ( 𝑦2+ 1). ( y – 2 ) 2a³ + 8a Sacar los factores similares: 2a3 + 8a = 2a • (a2 + 4) Encuentra raíces (ceros) de: F(a) = a2 + 4 para cual F(a)=0 El teorema de la raíz racional establece que si un polinomio tiene ceros para un número racional P/Q luego P es un factor de la constante final y Q es un factor del coeficiente principal En este caso, el coeficiente principal es 1 y la constante final es 4. Los factores son: del coeficiente principal: 1 de la constante final: 1 ,2 ,4 Resultado 2 a⋅ (un2+4)
  • 72. Sacar los factores similares: 4b2 - 4b - 24 = 4 • (b2 - b - 6) Factorización b2 - b - 6 El primer término es, b2 su coeficiente es 1 . El término medio es, -b su coeficiente es -1 . El último término, "la constante", es -6 Paso 1: multiplica el coeficiente del primer término por la constante 1 • -6 = -6 Paso 2: Encuentra dos factores de -6 cuya suma es igual al coeficiente del término medio, que es -1 . -6 + -1 = -5 -3 + 2 = -1 Paso 3: Reescribe el polinomio dividiendo el término medio usando los dos factores encontrados en el paso 2 anterior, -3 y 2 b2 - 3b + 2b - 6 Paso 4: Sume los primeros 2 términos, extrayendo factores similares: b • (b-3) Sume los últimos 2 términos y extraiga factores comunes: 2 • (b-3) Paso 5: Sume los cuatro términos del paso 4: (b+2) • (b-3) la factorización 4 • (b + 2) • (b - 3) c² - 25 Una diferencia de dos cuadrados perfectos, A2 - B2 se puede factorizar en (A+B) • (A-B) (A+B) • (A-B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2 AB = BA es la propiedad conmutativa de la multiplicación. - AB + AB es igual a cero y, por tanto, se elimina de la expresión. 25 es el cuadrado de 5 c2 es el cuadrado de c1 La factorización es: (c + 5) • (c - 5)
  • 73. Tarea 7. Efectuar las operaciones de las siguientes expresiones algebraicas y simplificarlas: 51𝑎𝑑 60𝑏𝑐 ∗ 48𝑎𝑏 27𝑐𝑑 99𝑎𝑐3 27𝑏 ÷ 54𝑎2 𝑐2 12𝑎𝑏 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 3𝑦 ∗ 𝑥2 9𝑦2 𝑥2− 𝑦2 𝑎 + 1 𝑎3 − 𝑎 + 2 𝑎2 + 𝑎 + 3 𝑎 4𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦
  • 74. 51𝑎𝑑 60𝑏𝑐 ∗ 48𝑎𝑏 27𝑐𝑑 Para efectuar esta expresión se debe multiplicar las fracciones, de la siguiente manera 𝑎 𝑏 ∗ 𝑐 𝑑 = 𝑎∗𝑐 𝑏∗𝑑 = 51𝑎𝑑∗48𝑎𝑏 60𝑏𝑐∗27𝑐𝑑 → Eliminar los términos comunes: d = 51𝑎∗48𝑎𝑏 60𝑏𝑐∗27𝑐 → Eliminar los términos comunes: b = 51𝑎∗48𝑎 60𝑐∗27𝑐 Resolver 51𝑎 ∗ 48𝑎 51𝑎 ∗ 48𝑎 = 1620𝑐𝑐→ Aplicar las leyes de los exponentes 𝑎 𝑏 ∗ 𝑎 𝑐 = 𝑎 𝑏+𝑐 𝑎𝑎 = 𝑎1+1 = 2448𝑎𝑎1+1=2 = 2448𝑎2 = 2448𝑎2 60𝑐∗27𝑐 Resolver 60𝑐 ∗ 27𝑐 60𝑐 ∗ 27𝑐 = 2448𝑎𝑎→ Aplicar las leyes de los exponentes 𝑎 𝑏 ∗ 𝑎 𝑐 = 𝑎 𝑏+𝑐 𝑐𝑐 = 𝑐1+1 = 1620𝑐𝑐1+1=2 = 1620𝑐2 = 2448𝑎2 1620𝑐2 → Eliminar los términos comunes: 36 = 68𝑎2 45𝑐2
  • 75. 𝟗𝟗𝒂𝒄 𝟑 𝟐𝟕𝒃 ÷ 𝟓𝟒𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟐𝒂𝒃 Para resolver esta expresión hay que dividir las facciones, mediante la siguiente formula: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎∗𝑑 𝑏∗𝑐 = 99𝑎𝑐3∗12𝑎𝑏 27𝑏∗54𝑎2 𝑐2 → Eliminar los términos comunes: b = 99𝑎𝑐3∗12𝑎 27∗54𝑎2 𝑐2 → Simplificar = 1168𝑎𝑎𝑐3 27𝑎2 𝑐2 → Eliminar los términos comunes: 54 = 22𝑎𝑎𝑐3 27𝑎2 𝑐2→ Eliminar los términos comunes: a = 22𝑎𝑐3 27𝑎𝑐2 → Aplicar las leyes de los exponentes: 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎−𝑏 𝑐3 𝑐2 = 𝑐3−2 = 22𝑎𝑐3−2 27𝑎 → Restar 3-2 =1 y eliminar los términos comunes: a = 22𝑎𝑐 27𝑎
  • 76. 𝒙 − 𝒚 𝒙 + 𝟑𝒚 ∗ 𝒙 𝟐 𝟗𝒚 𝟐 𝒙 𝟐− 𝒚 𝟐 Para desarrollar esta operación se debe multiplicar las fracciones, teniendo en cuenta la siguiente formula: 𝑎 𝑏 ∗ 𝑐 𝑑 = 𝑎∗𝑐 𝑏∗𝑑 = 𝑥 − 𝑦 𝑥2 ∗ 9𝑦2 𝑥 + 3𝑦 (𝑥3−𝑦2) Factorizar 𝑥 + 3𝑦 (𝑥2 −𝑦2 ) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) Factorizar 𝑥2 − 𝑦2 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥−𝑦 𝑥2∗9𝑦2 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)(𝑥+3𝑦) → Eliminar términos comunes: x-y = 𝑥2∗9𝑦2 (𝑥+1)(𝑥+3𝑦)
  • 77. 𝒂 + 𝟏 𝒂 𝟑 − 𝒂 + 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒂 + 𝟑 𝒂 Para resolver esta expresión primeramente hay que hallar el mimino común múltiplo de 𝑎3, 𝑎2, 𝑎 𝑎3 , 𝑎2 , 𝑎 𝑀𝐶𝑀 = 𝑎3 Reescribir las fracciones basándose en el mínimo común múltiplo = 𝑎+1 𝑎3 − (𝑎+2)𝑎 𝑎3 + 𝑎+3 𝑎2 𝑎3 → Como los denominadores son iguales, combinar las fracciones 𝑎+1− 𝑎+2 𝑎+ 𝑎+3 𝑎2 𝑎3 Expandir − 𝑎 + 2 = 𝑎 + 1 − 𝑎2 − 2𝑎 + (𝑎 + 3)𝑎2 Expandir 𝑎 + 3 𝑎2 = 𝑎 + 1 − 𝑎2 − 2𝑎 + 𝑎3 + 3𝑎2 Simplificar 𝑎 + 1 − 𝑎2 − 2𝑎 + 𝑎3 + 3𝑎2 𝑎3 + 2𝑎2 − 𝑎 + 1 = 𝑎3+2𝑎2−𝑎+1 𝑎3
  • 78. 𝟒𝒙 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝒚 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 + 𝒚 𝒙 − 𝒚 Para resolver este ejercicio primero hay que factorizar 𝑦2 − 𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 → Factorizar (𝑦 + 𝑥)(𝑦 − 𝑥) = −4𝑥2 (𝑦 + 𝑥)(𝑦 − 𝑥) − 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 Encontrar el mínimo común múltiplo de 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 → MCM = −(𝑥 + 𝑦)(𝑦 − 𝑥) Reescribir la fracción con base en el mínimo común múltiplo y como los denominadores son iguales, combinar las fracciones = −4𝑥2− 𝑥−𝑦 2+(𝑥−𝑦)2 (𝑦+𝑥)(𝑦−𝑥) →Aplicar las propiedades de las fracciones 𝑎 −𝑏 = − 𝑎 𝑏 = − −4𝑥2− 𝑥−𝑦 2+(𝑥−𝑦)2 (𝑦+𝑥)(𝑦−𝑥) Expandir −4𝑥2 − 𝑥 − 𝑦 2 + (𝑥 − 𝑦)2 −4𝑥2 + 4𝑥𝑦 = − −4𝑥2+4𝑥𝑦 (𝑥+𝑦)(𝑦−𝑥) → Cancelar = − 4𝑥 𝑥+𝑦
  • 79. Bibliografía Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583 Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7425 Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66 Elles, L. (2018). OVI Clasificación de las Expresiones algebraicas [Archivo de video]. Recuperado de Video que trata sobre el concepto de expresiones algebraicas. Carlos, L.(2020).OVI lenguaje algebraico. Bogota D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117 Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11601