Clase 21 - PFCS - PFCM.pdf

AUTOEVALUACIÓN CARRERAS ESPOCH
FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA
SOFTWARE
SEPTIEMBRE 2022 – MARZO 2023
TÉCNICAS DE SIMULACIÓN
UNIDAD II. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Temas:
- Análisis de problemas de colas con Población Finita (PFCS y PFCM).
- Ejemplos de aplicación de problemas de Población Finita (PFCS y PFCM).

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Recordamos: Partes de un Sistema de Colas:
1. Proceso de llegada: Un proceso estocástico que describe cómo llegan los elementos al sistema
desde el medio ambiente.
2. Proceso de servicio: Un proceso estocástico que describe la longitud del tiempo que un
servidor dedicará a una tarea.
3. El número de servidores y sus tasas de servicio.
4. La disciplina de la cola: Las reglas mediante las cuales se decide qué trabajo o trabajos serán
atendidos.
5. Capacidad del sitio de espera.
6. Población de posibles usuarios.

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Recordamos: Gráficamente un Sistema de Colas: Parámetros:
• M: Tamaño de la población.
• λ (lambda): Tasa a la cual llegan los clientes
para ser atendidos. Tasa de llegada.
• µ (mu): Tasa a la cual cada unidad de servicio
puede atender al cliente. Tasa de servicio.
Representa la máxima capacidad de servicio.
• k: Número de servidores.
M: Población Infinita / Finita. Muy grande o muy pequeña.
K: Número de Servidores. Simple (k=1) / Multicanal (k>1).

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Algunas consideraciones: Problemas de Colas de Población Finita
M: Población Finita: Cuando estamos en presencia de un tamaño de población conocido y pequeño.
• En algunos casos, el número de clientes potenciales es pequeño. Si este valor es tan pequeño que la llegada de un cliente afecta la
probabilidad de futuras llegadas, entonces la suposición de una población infinita no es válida.
• Por ejemplo, si un operador atiende tres máquinas y cada una requiere atención a intervalos aleatorios, las máquinas (clientes)
provienen de una población Finita.
• Como regla empírica, si la población es menor que 30 deben usarse las ecuaciones correspondientes a una población finita.
• Si se define M como la población total de clientes y L como el número de clientes que ya están en el sistema, cualquier llegada debe
provenir de los M-L que aún no están en el sistema. Esta diferencia suele usarse para establecer alguna condición mínima de
permanencia de usuarios fuera del sistema. Ejemplo: M = 4; L = 1; M-L = 3; M – L >= Valor mínimo.
• Los sistemas cumplen con la condición de estabilidad. El número de usuarios dentro del sistema es limitado a la población.

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Notación de Kendall para el caso de PFCS: Forma de representar los diferentes tipos de problemas
de colas. David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953, pero ha ido cambiando.
Notación: M/M/1/M/M.
• Tiempos entre llegadas aleatorios con distribución exponencial.
• Tiempos de servicio aleatorios con distribución exponencial.
• K = 1; un único servidor.
• Sitio de espera restringido según la población.
• M: Población es FINITA.

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - M/M/1/M/M - PARÁMETROS DEL MODELO
• M: Población conocida.
• K = 1.
• λ (lambda): Tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos. Tasa de llegada. Debe ser
conocida.
• µ (mu): Tasa a la cual cada unidad de servicio puede atender al cliente. Tasa de servicio. Debe
ser conocida.
• Los sistemas de colas de población finita cumplen la condición de estabilidad.

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - M/M/1/M/M - FORMULACIÓN MATEMÁTICA
1. La probabilidad de hallar el sistema vacío u ocioso, probabilidad que tienen los usuarios de no
esperar o de ser atendidos sin esperar en cola:
2. Probabilidad de hallar el sistema ocupado, utilización del sistema, probabilidad que tienen los
usuarios de esperar para ser atendidos: 𝑃𝐸 = 1 − 𝑃0
Ejemplo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 1; 𝑀 = 4; 𝑃0 = 0,4; 𝑃𝐸 = 0,6
 


 

















M
n
n
n
n
M
M
P
0
0
!
!
1



SOFTWARE
3. La probabilidad de hallar exactamente n clientes dentro del sistema:
Considerar que:
Esta probabilidad nos permite encontrar la probabilidad de que en el sistema se encuentre una
cantidad de usuarios, probabilidad de ocurrencia de un evento simple en relación a la cantidad de
usuarios dentro del sistema. Considerar que en el sistema pueden estar desde 0 hasta M usuarios,
o sea, el sistema puede estar desde vacío hasta máximo toda la población de usuarios en él.
  0
!
!
P
n
M
M
P
n
n 











1
0



M
n
n
P

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Algunos ejemplos de uso de: 𝑃𝑛 ; Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 1; 𝑀 = 4;
• Probabilidad de encontrar un usuario en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=1 = 0,32.
• Probabilidad de encontrar uno o dos usuarios en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=1 + 𝑃𝑛=2 = 0,32 + 0,19 = 0,45.
• Probabilidad de encontrar máximo dos usuarios en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=0 + 𝑃𝑛=1 + 𝑃𝑛=2 = 0,4 + 0,32 + 0,19 = 0,91.
• Probabilidad de encontrar al menos dos usuarios en el sistema: 
𝑃 = 𝑃𝑛=2 + 𝑃𝑛=3 + 𝑃𝑛=4 = 𝑃𝑛
𝑀
𝑛=2
; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑃𝑛
𝑀
𝑛=0
= 1; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑃 = 1 − 𝑃𝑛
1
𝑛=0
= 1 − 𝑃𝑛=0 + 𝑃𝑛=1 = 0,28.
• Probabilidad de encontrar dos usuarios en cola:  𝑃 = 𝑃𝑛=3 = 0,08.
• Probabilidad de encontrar dos o tres usuarios en cola:  𝑃 = 𝑃𝑛=3 + 𝑃𝑛=4 = 0,08 + 0,01 = 0,09.
• Probabilidad de encontrar máximo dos usuarios en cola:  𝑃 = 𝑃𝑛 = 0,40 + 0,32 + 0,19 + 0,08 = 0,99
3
𝑛=0
• Probabilidad de encontrar al menos un usuario en cola:  𝑃 = 1 − 𝑃𝑛
1
𝑛=0 = 1 − 𝑃𝑛=0 + 𝑃𝑛=1 = 0,28.

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Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 1; 𝑀 = 4
4. Número esperado de clientes en el sistema:  L = 0,99 clientes.
5. Número esperado de clientes en la cola:  Lq = 0,39 clientes.
6. Número esperado de clientes en la cola no vacía: 𝐿𝑛 =
𝐿𝑞
𝑃𝐸
 Ln = 0,65 clientes.
 







M
n
n
n P
M
nP
L
0
0
1


 
0
1 P
M
Lq 







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Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 1; 𝑀 = 4
7. Tiempo esperado en el sistema: 𝑊 = 𝑊
𝑞 +
1
μ
 W = 3,30 h/c.
8. Tiempo esperado en cola: 𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
(𝑀−𝐿)λ
 Wq = 1,30 h/c.
9. Tiempo esperado en cola para colas no vacías: 𝑊
𝑛 =
𝑊𝑞
𝑃𝐸
 Wn = 2,16 h/c.

SOFTWARE
Notación de Kendall para el caso de PFCM: Forma de representar los diferentes tipos de
problemas de colas. David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953, pero ha ido
cambiando.
Notación: M/M/k/M/M.
• Tiempos entre llegadas aleatorios con distribución exponencial.
• Tiempos de servicio aleatorios con distribución exponencial.
• K > 1; varios servidores.
• Sitio de espera restringido según la población.
• M: Población es FINITA.

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MODELO MATEMÁTICO PFCM - M/M/k/M/M - PARÁMETROS DEL MODELO
• M: Población conocida.
• K > 1. Valor conocido.
• λ (lambda): Tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos. Tasa de llegada. Debe ser
conocida.
• µ (mu): Tasa a la cual cada unidad de servicio puede atender al cliente. Tasa de servicio. Debe
ser conocida.
• Los sistemas de colas de población finita cumplen la condición de estabilidad.

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MODELO MATEMÁTICO PFCM - M/M/k/M/M - FORMULACIÓN MATEMÁTICA
1. La probabilidad de hallar el sistema completamente vacío, de que todos los servidores estén
desocupados u ociosos a la vez:
   







 



































M
n
k
n
n
k
n
k
n
n
n
k
k
n
M
M
n
n
M
M
P




!
!
!
!
!
!
1
1
0
0

SOFTWARE
2. La probabilidad de hallar exactamente n clientes dentro del sistema:
Considerar que:
Esta probabilidad nos permite encontrar la probabilidad de que en el sistema se encuentre una
cantidad de usuarios, probabilidad de ocurrencia de un evento simple en relación a la cantidad de
usuarios dentro del sistema. Considerar que en el sistema pueden estar desde 0 hasta M usuarios,
o sea, el sistema puede estar desde vacío hasta máximo toda la población de usuarios en él.
1
0



M
n
n
P

SOFTWARE
Algunos ejemplos de uso de: 𝑃𝑛 ; Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 2; 𝑀 = 4;
• Probabilidad de encontrar un usuario en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=1 = 0,38.
• Probabilidad de encontrar uno o dos usuarios en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=1 + 𝑃𝑛=2 = 0,38 + 0,11 = 0,49.
• Probabilidad de encontrar máximo dos usuarios en el sistema:  𝑃 = 𝑃𝑛=0 + 𝑃𝑛=1 + 𝑃𝑛=2 = 0,48 + 0,38 + 0,11 = 0,97.
• Probabilidad de encontrar al menos dos usuarios en el sistema: 
𝑃 = 𝑃𝑛=2 + 𝑃𝑛=3 + 𝑃𝑛=4 = 𝑃𝑛
𝑀
𝑛=2
; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑃𝑛
𝑀
𝑛=0
= 1; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑃 = 1 − 𝑃𝑛
1
𝑛=0
= 1 − 𝑃𝑛=0 + 𝑃𝑛=1 = 0,14.
• Probabilidad de encontrar dos usuarios en cola:  𝑃 = 𝑃𝑛=4 = 0,002.
• Probabilidad de encontrar máximo dos usuarios en cola:  𝑃 = 𝑃𝑛 = 1.
4
𝑛=0
• Probabilidad de encontrar al menos un usuario en cola:  𝑃 = 𝑃3 + 𝑃4 = 1 − 𝑃𝑛
2
𝑛=0 = 0,025.

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3. Probabilidad de hallar el sistema completamente ocupado, de que un usuario que llega tenga
que esperar, probabilidad de que haya k o más usuarios en el sistema:
𝑃𝐸 = 𝑃𝑛
𝑀
𝑛=𝑘
= 1 − 𝑃
𝑛
𝑘−1
𝑛=0
4. Probabilidad de no esperar:
𝑃𝑁𝐸 = 1 − 𝑃𝐸
Ejemplo: Suponiendo: 𝜆 =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 2; 𝑀 = 4; 𝑃0 = 0,48; 𝑃𝐸 = 0,14; 𝑃𝑁𝐸 = 0,86;

SOFTWARE
Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 2; 𝑀 = 4
4. Número esperado de clientes en el sistema:  L = 0,69 clientes.
5. Número esperado de clientes en la cola:  Lq = 0,03 clientes.
6. Número esperado de clientes en la cola no vacía: 𝐿𝑛 =
𝐿𝑞
𝑃𝐸
 Ln = 0,19 clientes.
 
 




















1
0
1
0
1
k
n
n
k
n
n
n
M
n
k
n
n
n P
k
P
k
n
nP
L
 





M
n
k
n
n
q P
k
n
L

SOFTWARE
Suponiendo: λ =
0,1𝑐
ℎ
; µ =
0,5𝑐
ℎ
; 𝑘 = 1; 𝑀 = 4
7. Tiempo esperado en el sistema: 𝑊 = 𝑊
𝑞 +
1
μ
 W = 2,08 h/c.
8. Tiempo esperado en cola: 𝑊
𝑞 =
𝐿𝑞
(𝑀−𝐿)λ
 Wq = 0,08 h/c.
9. Tiempo esperado en cola para colas no vacías: 𝑊
𝑛 =
𝑊𝑞
𝑃𝐸
 Wn = 0,59 h/c.

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - PFCM - ANÁLISIS ECONÓMICO
ESCENARIO
1. Suponiendo: λ𝑐/ℎ; µ𝑐/ℎ; 1 día laborable = 8 horas; Costos Unitarios  $/h
2. Teniendo:
• Costo Unitario por Tiempo en Cola (tiempo de espera de los clientes): CTE  $/h.
• Costo Unitario por Tiempo en el Sistema (tiempo en el sistema de los clientes): CTS  $/h.
• Costo Unitario por Tiempo de Servicio (tiempo en el servicio de los clientes): CTSE  $/h.
• Costo Unitario por el Servidor (alquiler, salario, funcionamiento): CS  $/d.
3. Objetivo: Calcular el Costo Total Diario ($/d) ocasionado en el Sistema.
• El costo total sería la sumatoria de los costos individuales de cada concepto.

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - PFCM - ANÁLISIS ECONÓMICO
FÓRMULAS DE COSTOS; Sí: λ𝑐/ℎ; µ𝑐/ℎ; 1 día laborable = 8 horas; Costos Unitarios  $/h
1. Costo Diario por el Tiempo de Espera en Cola (CTE  $/h): 𝐶𝑇𝑇𝐸
$
𝑑
= λ ∗ 8 ∗ 𝑊
𝑞 ∗ 𝐶𝑇𝐸.
2. Costo Diario por el Tiempo en el Sistema (CTS  $/h): 𝐶𝑇𝑇𝑆
$
𝑑
= λ ∗ 8 ∗ 𝑊 ∗ 𝐶𝑇𝑆.
3. Costo Diario por el Tiempo de Servicio (CTSE  $/h): 𝐶𝑇𝑇𝑆𝐸
$
𝑑
= λ ∗ 8 ∗
1
𝜇
∗ 𝐶𝑇𝑆𝐸.
4. Costo Diario del Servidor (CS  $/d): 𝐶𝑇𝑆
$
𝑑
= 𝑘 ∗ 𝐶𝑆.
5. Costo Total Diario del Sistema (según corresponda): 𝐶𝑇
$
𝑑
= 𝐶𝑇𝑇𝐸 + 𝐶𝑇𝑇𝑆 + 𝐶𝑇𝑇𝑆𝐸 + 𝐶𝑇𝑆.

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - PFCM - ALGUNAS TENDENCIAS

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MODELO MATEMÁTICO PFCS - PFCM - ALGUNAS TENDENCIAS
• Planteamiento de una meta u objetivo.
• Encontrar k que cumpla la meta u objetivo:
Experimentación – Suponiendo valores de k
– Proceso iterativo.
• Aplicación de una heurística.
• Ejemplo: Encontrar el valor de k si “Se desea
minimizar los costos”  Min(CT).
• 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒌 =3.
• Observación: Es el único valor de k en
donde se tiene el costo mínimo.

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EJEMPLO #1: Caso Mecánico.
Un mecánico atiende cuatro máquinas, para cada una, el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene
una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuando una
máquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $20 por hora. El servicio del mecánico cuesta $50 diarios.
a. ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación?
b. ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día?
c. ¿Sería conveniente tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dos máquinas?
DATOS: Cliente: Máquinas; Servicio del Mecánico;
M = 4; k = 1; PFCS; λ = 0,1 m/ℎ; µ=0,5 m/ℎ; CTS = 20 $/h; CS = 50 $/d.

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a. ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación?
R/ El número esperado de máquinas que estarían funcionando (en operación fuera del sistema del mecánico) sería:
M - L = 4 - 1 = 3 máquinas.

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b. ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día?
El tiempo perdido es el tiempo que pasan las máquinas en el sistema del mecánico (en todo el taller, esperando y/o siendo atendidas).
Suponiendo un día de 8 horas laborables: 𝐶𝑇𝑇𝑆
$
𝑑
= λ ∗ 8 ∗ 𝑊 ∗ 𝐶𝑇𝑆 = 8 ∗ 𝐿 ∗ 𝐶𝑇𝑆 =
160$
𝑑
.
R/ El costo del tiempo perdido es: 160 $/d.

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c. ¿Sería conveniente tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dos máquinas?
Opciones:
1. Mantener la situación actual, un mecánico atiende a las cuatro máquinas:
M = 4; k = 1; PFCS; λ = 0,1 m/ℎ; µ=0,5 m/ℎ; CTS = 20 $/h; CS = 50 $/d; 1día = 8horas; 𝐶𝑇
$
𝑑
= 8 ∗ 𝐿 ∗ 𝐶𝑇𝑆 +𝑘 ∗ 𝐶𝑆 =
210$
d
.
2. Dos mecánicos similares, cada uno atiende a solo dos máquinas (dos sistemas similares, con los mismos datos en sus parámetros):
M = 2; k = 1; PFCS; λ = 0,1 m/ℎ; µ=0,5 m/ℎ; CTS = 20 $/h; CS = 50 $/d; 1día = 8horas; 𝐶𝑇
$
𝑑
= 2 ∗ (8 ∗ 𝐿 ∗ 𝐶𝑇𝑆 +𝑘 ∗ 𝐶𝑆) =
228$
d
.
3. Dos mecánicos que atienden a las cuatro máquinas:
M = 4; k = 2; PFCM; λ = 0,1 m/ℎ; µ=0,5 m/ℎ; CTS = 20 $/h; CS = 50 $/d; 1día = 8horas; 𝐶𝑇
$
𝑑
= 8 ∗ 𝐿 ∗ 𝐶𝑇𝑆 +𝑘 ∗ 𝐶𝑆 =
208,80$
d
.

SOFTWARE
EJEMPLO #2: Caso estaciones de una compañía.
Una compañía ha decidido utilizar subestaciones localizadas en la región de mercadeo para atender sus camiones de reparto. El
vicepresidente de mercadeo desea que los requerimientos de servicio y mantenimiento no interfieran al servicio de entrega. Puesto que los
camiones operan 24 horas, pueden llegar a solicitar servicio en cualquier momento pero generalmente lo requieren cada 8 horas. Los
procedimientos de mantenimiento requieren una estación con capacidad para atender 10 camiones durante un período de 8 horas. El tiempo
entre llegadas se aproxima a una distribución de Poisson. El vicepresidente ha solicitado que sólo la mitad de los camiones que llegan estén
obligados a esperar servicio. ¿Por cuántos camiones debe responder cada estación?
DATOS: Cliente: Camiones; Servicio de mantenimiento en subestaciones de iguales condiciones;
Varios sistemas iguales; M = ?; k = 1; PFCS; λ = 1 c/8ℎ; µ = 10 c/8ℎ; Meta u Objetivo: 𝑷𝟎≥ 𝟎, 𝟓𝟎.
RESOLUCIÓN: Experimentar valores de M y encontrar el número máximo de camiones que se deben asignar a cada estación, en base a la
meta u objetivo.
𝑃𝑎𝑟𝑎 M = 3 ⇒ 𝑃0 = 0,73. Satisface. 𝑃𝑎𝑟𝑎 M = 5 ⇒ 𝑃0 = 0,56. Satisface.
𝑃𝑎𝑟𝑎 M = 4 ⇒ 𝑃0 = 0,65. Satisface. 𝑃𝑎𝑟𝑎 M = 6 ⇒ 𝑃0 = 0,48. No Satisface.
R/ M = 5; sería el número máximo de camiones que se pueden asignar para garantizar que solo la mitad estén obligados a esperar.

AUTOEVALUACIÓN CARRERAS ESPOCH
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Actividades Asincrónicas - Aula Virtual:
1. Revisar contenido publicado (Texto Guía Capítulo II):
• Análisis de Problemas de Colas con Población Infinita Canal Simple (PICS). Ejemplos de aplicación de PICS.
• Análisis de problemas de colas con Población Infinita Canal Múltiple (PICM). Ejemplos de aplicación de PICM.
• Análisis de problemas de colas con Población Finita (PFCS, PFCM). Ejemplos de aplicación de PFCS y PFCM.
2. Revisar los demás recursos educativos del aula virtual (vídeos y páginas web).
3. Actividad: “Wiki de Teoría de Colas”, disponible hasta el 15/Noviembre/2022.
4. Actividad: “Foro: Campos o Ejemplos de Aplicación de la Teoría de Colas”, disponible hasta el 15/Noviembre/2022.
5. Actividad: Demostración de Fórmulas de Teoría de Colas, disponible hasta el 15/Noviembre/2022.
6. Programación de fórmulas de los modelos matemáticos.
7. Resolución de problemas propuestos.
Muchas Gracias su atención.

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