Ejercicios UTN contabilidad investigación operativa Contabilidad Semipresencial Ing. Sandra Caicedo

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
Nombre: Luis Muenala
Nivel: 4 A
TAREA 4
1. Ozark Farms consume diariamente un mínimo de 800 lb de un alimento especial, el cual es una
mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones:
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo
de 5% de fibra. El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo.
PRIMERA FASE:
Nomenclatura
𝑥1 ∈ 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎í𝑧
𝑥2 ∈ 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑦𝑎
Minimizar la función objetivo
𝑧 = 0.3𝑥1 + 0.9𝑥2
SEGUNDA FASE:
Establecer las Restricciones
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 800
0.09x1 + 0.60x2 ≥ 0.3(x1 + x2)
−0.21𝑥1 + 0.30𝑥2 ≥ 0
0.02x1 + 0.06x2 ≤ 0.05(x1 + x2)
−0.03𝑥1 + 0.01𝑥2 ≤ 0

2. TERCERA FASE
Resolver con el método algebraico:
Establecer un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas
𝑥1 + 𝑥2 = 800
−21𝑥1 + 30𝑥2 = 0
−3𝑥1 + 1𝑥2 = 0
Resolver por matriz inversa
{
𝑥1 + 𝑥2 = 800
−21𝑥1 + 30𝑥2 = 0
𝑋 · 𝐴 = 𝐵
𝑋 = 𝐵 · 𝐴−1
𝑋 = (
1 1
−21 30
|
1 0
0 1
) [
800
0
]
𝑅2
´
= 𝑅2 + 21𝑅1
𝑋 = (
1 1
0 51
|
1 0
21 1
) [
800
0
]
𝑅1
"
= −𝑅2
′
+ 𝑅1
′
𝑅2
"
=
𝑅2
′
51
𝑋 = (
1 0
0 1
|
30
51
−
1
51
21
51
1
51
) [
800
0
]
𝑋 = [
8000
17
5600
17
]
𝑋 = [
470,588
329,412
]
Resolver por igualación
{
𝑥1 + 𝑥2 = 800
−3𝑥1 + 1𝑥2 = 0

3. 𝑥2 = 800 − 𝑥1
𝑥2 = 3𝑥1
3𝑥1 = 800 − 𝑥1
𝒙 𝟏
800
4
= 𝟐𝟎𝟎
𝑥2 = 3𝑥1
𝒙 𝟐 = 3 · 200 = 𝟔𝟎𝟎
MINIMIZACIÓN OPTIMA
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒛 = 0.3𝑥1 + 0.9𝑥2
470,588 329,412 𝑧 = 0.3 · 470.588 + 0.9 · 329.412 = 𝟒𝟑𝟕. 𝟔𝟓
200 600 𝑧 = 0.3 · 200 + 0.9 · 600 = 600
CUARTA FASE:
Resolver por el método gráfico:

4. 2. OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diésel, gasolina,
lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de
esos productos es de 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un
contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP
(Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos
40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de
petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos
crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde .2 barriles
de diésel, .25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y .15 barriles de combustible para avión.
Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: .1, .6, 1.5 y .1, respectivamente.
OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día).
X1 X2 Demanda
Irán Dubái
Diésel 0,2 0,10 14000
Gasolina 0,25 0,60 30000
Lubricante 0,10 0,15 10000
Combustible 0,15 0,10 8000
PRIMERA FASE:
Nomenclatura
𝑥1 ∈ 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑑𝑖𝑎
𝐼𝑟𝑎𝑛
𝑥2 ∈ 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑑𝑖𝑎
𝐷𝑢𝑏𝑎𝑖
Minimizar la función objetivo
𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2
SEGUNDA FASE:
Establecer las Restricciones
0.2𝑥1 + 0.10𝑥2 ≥ 14000
0.25𝑥1 + 0.60𝑥2 ≥ 30000
0.10𝑥1 + 0.15𝑥2 ≥ 10000
0.15𝑥1 + 0.10𝑥2 ≥ 8000
Restricción especial:

5. x1 ≥ 0.4(x1 + x2)
0.60𝑥1 − 0.40𝑥2 ≥ 0
6𝑥1 − 4𝑥2 ≥ 0
TERCERA FASE
Resolver con el método algebraico:
Establecer un sistema de 5 ecuaciones con 2 incógnitas
{
20𝑥1 + 10𝑥2 = 1400000
25𝑥1 + 60𝑥2 = 3000000
10𝑥1 + 15𝑥2 = 1000000
15𝑥1 + 10𝑥2 = 800000
60𝑥1 − 40𝑥2 = 0
Cambiando a abscisa y ordenada al origen
{
𝑥1
70000
+
𝑥2
140000
= 1
𝑥1
120000
+
𝑥2
50000
= 1
𝑥1
100000
+
𝑥2
66666,67
= 1
𝑥1
53333,33
+
𝑥2
80000
= 1
60𝑥1 − 40𝑥2 = 0
1 Solución sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas
{
𝑥1
70000
+
𝑥2
140000
= 1
60𝑥1 − 40𝑥2 = 0
60𝑥1 − 40𝑥2 = 0
𝑥1 =
2
3
𝑥2
20 (
2
3
𝑥2) + 10𝑥2 = 1400000
40𝑥2 + 30𝑥2 = 4200000
𝑥2 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑥1 =
2
3
𝑥2
𝑥1 =
2
3
60000
𝒙 𝟏 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎

6. 2 Solución sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas
{
𝑥1
70000
+
𝑥2
140000
= 1
𝑥1
100000
+
𝑥2
66666,67
= 1
20𝑥1 + 10𝑥2 = 1400000
𝑥1 =
1400000 − 10𝑥2
20
10𝑥1 + 15𝑥2 = 1000000
10 (
1400000 − 10𝑥2
20
) + 15𝑥2 = 1000000
1400000 − 10𝑥2 + 30𝑥2 = 2000000
𝒙 𝟐 =
600000
20
= 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑥1 =
1400000 − 10𝑥2
20
𝒙 𝟏 =
1400000 − 10(30000)
20
= 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎
3 Solución sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas
{
𝑥1
120000
+
𝑥2
50000
= 1
𝑥1
100000
+
𝑥2
66666,67
= 1
25𝑥1 + 60𝑥2 = 3000000
𝑥1 =
3000000 − 60𝑥2
25
10𝑥1 + 15𝑥2 = 1000000
10 (
3000000 − 60𝑥2
25
) + 15𝑥2 = 1000000
3000000 − 60𝑥2 + 37.5𝑥2 = 2500000

7. 𝒙 𝟐 =
500000
22.5
= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟐𝟐
𝑥1 =
3000000 − 60𝑥2
25
𝑥1 =
3000000 − 60(22222.22)
25
≈ 66667
𝑥1 = 66667
MINIMIZACIÓN OPTIMA
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒛 = 𝑥1 + 𝑥2
40000 60000 𝑧 = 40000 + 60000 = 100000
55000 30000 𝑧 = 55000 + 30000= 85000
66667 22222 𝑧 = 66667 + 22222 = 88889
CUARTA FASE:
Resolver por el método gráfico:

8. 3. John debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos al
mismo tiempo que asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas de
menudeo. En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le
permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. Para
decidir cuántas horas trabajar en cada tienda, John desea basar su decisión en la tensión del
trabajo. Basado en entrevistas con otros empleados, John estima que, en una escala del 1 al 10,
los factores de tensión son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensión aumenta
cada hora, supone que la tensión total en cada tienda al final de la semana es proporcional a las
horas que trabaja en las tiendas. ¿Cuántas horas debe trabajar John en cada tienda?
X1 X2 TOTAL HORAS
Tienda 1 Tienda 2
Z 8 6
Factor hora 1 1 20
PRIMERA FASE:

9. Nomenclatura
𝑥1 ∈ 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 1
𝑥2 ∈ 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑 2
Minimizar la función objetivo
𝑧 = 8𝑥1 + 6𝑥2
SEGUNDA FASE:
Establecer las Restricciones
{
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20
5 ≤ 𝑥1 ≤ 12
6 ≤ 𝑥2 ≤ 10
TERCERA FASE
Resolver con el método algebraico:
𝑥1 + 𝑥2 = 20
𝑥1 = 5
𝑥1 = 12
𝑥2 = 6
𝑥2 = 10
𝑥1 + 𝑥2 = 20
𝑥1 + 10 = 20
𝑥1 = 10
{
𝑥1 = 10
𝑥2 = 10
𝑥1 + 𝑥2 = 20
12 + 𝑥2 = 20
𝑥2 = 8

10. {
𝑥1 = 12
𝑥2 = 8
Cambiando a ecuación abscisa ordenada al origen:
𝑥1
20
+
𝑥2
20
= 1
MINIMIZACIÓN OPTIMA
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒛 = 8𝑥1 + 6𝑥2
10 10 𝒛 = 8 · 10 + 6 · 10 = 𝟏𝟒𝟎
12 8 𝑧 = 8 · 12 + 6 · 8= 144
12 10 𝑧 = 8 · 12 + 6 · 10 = 156
CUARTA FASE:
Resolver por el método gráfico:

11. 4. Una máquina produce dos tipos de televisores, A y B. Para fabricarlos se necesita un tiempo de
producción en máquinas y un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo
A necesita 2 horas en la máquina y 1/2 hora de trabajo a mano, produce un beneficio de $60. La
venta del modelo B necesita 3 horas en la máquina y 1/4 horas de trabajo a mano, produce un
beneficio de $55. Se dispone un total de 300 horas de trabajo en máquinas y 60 horas de trabajo
a mano. Entre los dos tipos de televisión han de fabricarse por lo menos 90. ¿Qué cantidad de
televisores de cada tipo se debe producir para lograr que el beneficio sea máximo?
X1 X2 Total horas
Televisor A Televisor B
Proceso 1 (Mano obra) 0,5 0,25 60
Proceso 2 (horas-maquina) 2 3 300
Utilidad 60 55
PRIMERA FASE:
Nomenclatura
𝑥1 ∈ 𝑇𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐴
𝑥2 ∈ 𝑇𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐵
Maximizar la función objetivo
𝑧 = 60𝑥1 + 55𝑥2
SEGUNDA FASE:
Establecer las Restricciones
{
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 90
0.5𝑥1 + 0.25𝑥2 ≤ 60
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 300
TERCERA FASE
Resolver con el método algebraico:
𝑥1 + 𝑥2 = 90
0.5𝑥1 + 0.25𝑥2 = 60
2𝑥1 + 3𝑥2 = 300
𝑥1 + 𝑥2 = 90
𝑥1 = 90 − 𝑥2

12. 0.5(90 − 𝑥2) + 0.25𝑥2 = 60
−0.5𝑥2 + 0.25𝑥2 = 60 − 45
𝑥2 =
15
−0.25
= −60
𝑥1 = 90 − 𝑥2
𝑥1 = 90 + 60 = 150
{
𝑥1 = 150
𝑥2 = −60
0.5𝑥1 + 0.25𝑥2 = 60
2𝑥1 + 3𝑥2 = 300
𝑥1 =
300 − 3𝑥2
2
0.5 (
300 − 3𝑥2
2
) + 0.25𝑥2 = 60
150 − 1.5𝑥2 + 0.5𝑥2 = 120
𝑥2 = 30
𝑥1 =
300 − 3𝑥2
2
𝑥1 =
300 − 3(30)
2
𝑥1 = 105
{
𝑥1 = 𝟏𝟎𝟓
𝑥2 = 𝟑𝟎
Cambiar a la forma abscisa ordenada al origen
{
𝑥1
90
+
𝑥2
90
= 1
𝑥1
120
+
𝑥2
240
= 1
𝑥1
150
+
𝑥2
100
= 300

13. {
𝑥1 = 120
𝑥2 = 0
{
𝑥1 = 0
𝑥2 = 90
{
𝑥1 = 90
𝑥2 = 0
{
𝑥1 = 0
𝑥2 = 100
MAXIMIZACIÓN OPTIMA
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒛 = 60𝑥1 + 55𝑥2
105 30 𝒛 = 60 · 105 + 55 · 30 = 𝟕𝟗𝟓𝟎
120 0 𝑧 = 60 · 120 + 55 · 0= 7200
0 90 𝑧 = 60 · 0 + 55 · 90 = 4950
90 0 𝑧 = 60 · 90 + 55 · 0 = 5400
0 100 𝑧 = 60 · 0 + 55 · 100 = 5500
CUARTA FASE:
Resolver por el método gráfico:

14. 5. Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 200 hectáreas. Sabe que una hectárea
puede rendir 4 quintales de maíz o 2 de trigo. Cada hectárea requiere un capital de 6 dólares si
se cultiva con maíz y de 2 dólares si se cultiva con trigo. El capital disponible es al menos de 600
dólares. Las necesidades de agua de riego son de 50 m3 por hectárea de maíz y 50 m3 por
hectárea de trigo en octubre, de 200 m3 por hectárea de maíz y 100 m3 por hectárea de trigo,
en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es al menos de 6.250 m3 y en
noviembre, cuando mucho de 25.000 m3. Si los precios de venta del maíz y el trigo son 6 dólares
y 10 dólares por quintal métrico, respectivamente. Determinar la cantidad de maíz y trigo que
debe producirse para obtener el beneficio máximo
X1 X2 Demanda
maíz trigo
Capital 6 2 600
Hectárea 1 1 200
Agua octubre 50 50 6250
Agua noviembre 200 100 25000
Utilidad 4 2
PRIMERA FASE:
Nomenclatura
𝑥1 ∈ 𝐻𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑧
𝑥2 ∈ 𝐻𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜
Maximizar la función objetivo
𝑧 = 4𝑥1 + 2𝑥2
SEGUNDA FASE:
Establecer las Restricciones
{
6𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 600
50𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 6250
200𝑥1 + 100𝑥2 ≤ 25000
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 200
TERCERA FASE
Resolver con el método algebraico:

15. 6𝑥1 + 2𝑥2 = 600
50𝑥1 + 50𝑥2 = 6250
200𝑥1 + 100𝑥2 = 25000
𝑥1 + 𝑥2 = 200
6𝑥1 + 2𝑥2 = 600
50𝑥1 + 50𝑥2 = 6250
𝑥1 =
6250 − 50𝑥2
50
6𝑥1 + 2𝑥2 = 600
6 (
6250 − 50𝑥2
50
) + 2𝑥2 = 600
37500 − 300𝑥2 + 100𝑥2 = 30000
200𝑥2 = 7500
𝑥2 =
7500
200
= 𝟑𝟕. 𝟓
𝑥1 =
6250 − 50𝑥2
50
𝑥1 =
6250 − 50(37.5)
50
𝑥1 = 87.5
{
𝑥1 = 87.5
𝑥2 = 37.5
Ecuaciones forma abscisa ordenada al origen:
{
𝑥1
100
+
𝑥2
300
= 1
𝑥1
125
+
𝑥2
125
= 1
𝑥1
125
+
𝑥2
250
= 1
𝑥1
200
+
𝑥2
200
= 1
{
𝑥1 = 87.5
𝑥2 = 37.5

16. {
𝑥1 = 0
𝑥2 = 125
{
𝑥1 = 100
𝑥2 = 0
MAXIMIZACIÓN OPTIMA
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒛 = 4𝑥1 + 2𝑥2
87.5 37.5 𝒛 = 4 · 87.5 + 2 · 37.5 = 𝟒𝟐𝟓
0 125 𝑧 = 4 · 0 + 2 · 125= 250
100 0 𝑧 = 4 · 100 + 2 · 0 = 400
CUARTA FASE:
Resolver por el método gráfico: