Este documento presenta la teoría de colas y el modelo M/M/1. Explica que el modelo M/M/1 asume que los arribos siguen una distribución de Poisson, los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial, y hay un solo servidor. También describe medidas de rendimiento como la utilización del servicio y el número promedio de clientes en la cola y en el sistema.

1. Investigación de Operaciones
Teoría de Colas
Notación de Kendall – Lee
Ejercicios
Sesión Teórico/Práctica No. 2
Nelson José Pérez Díaz
Modelo Monoservidor

2. • Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS,
son realidades cotidianas:
•Personas esperando para realizar sus transacciones
ante una caja en un banco,
•Estudiantes esperando por obtener copias en la
fotocopiadora,
•Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje
o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,
•Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la
demanda del servicio y la capacidad del sistema para
suministrarlo.
Colas

3. • Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad
tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan:
– la longitud de la línea de espera,
– el promedio de tiempo de espera
y otros factores como:
– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,
Los Análisis de Colas ayudan a entender el
comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención
de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento
y reparación de maquinaria, el control de las operaciones
en planta, etc.).
Colas

4. • Desde la perspectiva de la Investigación
de Operaciones, los pacientes que
esperan ser atendidos por el odontólogo o
las prensas dañadas esperando
reparación, tienen mucho en común.
• Ambos (gente y máquinas) requieren de
recursos humanos y recursos
materiales como equipos para que se
los cure o se los haga funcionar
nuevamente.
Colas

5. COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser
corridos
Proceso de datos
Compañía de
teléfonos
Llamadas Efectuar
comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga
Colas

6. Características de una LINEA DE ESPERA
CARACTERISTICAS DE ARRIBOº
• DISTRIBUCION DE POISSON:
• P(x) = Probabilidad de x arribos
• .x= número de arribos por unidad de tiempo
•  = rata promedio de arribo
.e = 2.71828
  ,...
4
,
3
,
2
,
1
,
0
_
!



x
para
x
e
x
P
x


Colas

7. TEORIA DE COLAS
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO  = 2
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Colas

8. TEORIA DE COLAS
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO   4
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Colas

9. Proceso de nacimiento y muerte
• Los llamados procesos de nacimiento y
muerte describen una gran diversidad de
situaciones prácticas cuya característica
principal consiste en la aparición y/o
desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.
• Si N(t) expresa el número total de entes que
componen la población al tiempo t, entonces
N(t) puede sufrir cambios crecientes o
decrecientes de magnitud 1 en un instante
infinitesimal de tiempo
Colas

10. Diagrama Tasas de Transición
• Dado que hay n clientes en el sistema en un
instante t, el número de clientes luego de un t
suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una
salida o (n+1) si fue una entrada
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:
n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn
n-1 n+1
n1
n
n
n
n+1
... ...
Colas

11. • Para calcular la probabilidad de estado es
preciso tener en cuenta:
– El proceso de llegada de los paquetes
– La distribución de duración de los paquetes
– La política de servicio
• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)
• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)
Teoría de Colas
Colas

12. Representación general de la Formación de colas
Notación de Kendall
A/B/C
Distribución
de llegada
Distribución
de servicio
Número de
servidores
Colas

13. Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
Colas

14. X X , x , X , X, X
PATRON de LLEGADAS
M: Markoviano
G : General
E : Erlang
PATRON del SERVICIO
M: Markoviano
G : General
E: Erlang
NUMERO
SERVIDORES
1: un servidor
s: s servidores
en paralelo
TAMAÑO
POBLACION
: Infinita
P : Finita
8
TAMAÑO COLA
: Infinita
K : Finita
8
DISCIPLINA
DE SERVICIO
DG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
Clasificación de Kendall y Lee
Colas

15. Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a Distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas de las transacciones
b Distribuciones de probabilidad del tiempo de
servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
D : constante
Ek: distribución Erlang con parámetro k
G : cualquier tipo de distribución
GI: distribución general independiente
H : distribución hiperexponencial
M : distribución exponencial
Colas

16. Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores
d orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
FIFO : primeras entradas, primeros servicios
LIFO : últimas entradas, primeros servicios
SIRO : orden aleatorio
PR : con base en prioridades
GD : en forma general
e número máximo de clientes que soporta el
sistema en un mismo instante de tiempo
f número de clientes potenciales del sistema de
líneas de espera
Colas

17. Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
Colas

18. Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible
agrupar los diferentes modelos de una manera donde los
procesos Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita
y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con
cualquier tipo de distribución.
Colas

19. 0 1 2 4 n
t     
t     
3


....... ....
M / M / 1 / DG / /  :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
Colas

20. Clasificación de Kendall y Lee
Mediante cadenas de
Markov de estado
finito
Mediante el factor de
corrección K
(G/G/1) (FCFS/ / )
Mediante la fórmula de
Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/  / )
(M/M/S) (d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/)
(M/M/S) (FCFS/N/N)
Mediante cadenas de Markov
y series geométricas
(M/M/S) (d/  / )
(M/M/1) (FCFS/  / )
(M/M/S) (FCFS/  / )
Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS //)
Mediante fórmulas generales
Colas

21. • Se pueden obtener los valores siguientes:
– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema
– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC
– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema
LES
– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la
cola TEC
– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el
sistema antes de ser atendido TES
– Número promedio de canales en servicio inactivos en el
sistema NCI
– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar
– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o
en el sistema más de un tiempo t
– Número promedio de paquetes atendidos
Objetivos de los modelos de colas
Colas

22. TEORIA DE COLAS
Medición del Rendimiento de las Colas
• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar
decisiones para balancear los costos de servicio deseables
con los costos de espera en la línea.
• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la
cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de
clientes en el sistema.
Colas

23. Medidas de desempeño
Medidas de desempeño:
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
Colas

24. Modelo Monoservidor
• Los paquetes son “clientes” formando
cola en espera del servicio


Llegada de
paquetes
Salida de
paquetes
Servidor
Área de
almacenamiento
temporal
Modelo de cola en un servidor único
Colas

25. • Ejemplos de modelos de un solo
servidor:
– Taquilla de Pago CANTV
– Caja de UNITEC
– Cafetin
– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)
Colas
Modelo Monoservidor

26. • Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad
promedio de:
tiempo
de
unidad
/
paquetes 


Forman una cola en espera de servicio en el área de
almacenamiento temporal y luego, con alguna política
de servicio especificada, son atendidos a razón de un
promedio de
tiempo
de
unidad
/
paquetes 


Colas
Modelo Monoservidor

27. • La cola empieza a formarse cuando:

 
 Llegada de paquetes
 Capacidad de transmisión del paquete
Para un área de almacenamiento temporal
finita, la cola llegaría a saturación cuando
exceda . Cuando el área de almacenamiento
temporal se satura, se bloquean las llegadas de
todos los paquetes.


Colas
Modelo Monoservidor

28. • Si se supone un área de almacenamiento
temporal infinita, la cola se vuelve inestable a
medida que:

 
Para la cola con un solo servidor:


Asegura estabilidad
Colas
Modelo Monoservidor

29. • Un parámetro crítico en el análisis de la
teoría de formación de colas es: Utilización o
intensidad de tráfico en el enlace 
Es la razón entre la carga y la capacidad
del sistema

Para el caso de un solo servidor se presenta
congestión cuando:
1


1




 
Colas
Modelo Monoservidor

30. TEORIA DE COLAS
Modelo M/M/1
• Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo
espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el
promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad
de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución
de probabilidad exponencial negativa.
6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.
Investigación de Operaciones

31. FÓRMULAS PARA COLAS
MODELO M/M/1























1
servicio)
de
tiempo
espera
de
(tiempo
sistema
el
en
permanece
unidad
una
que
promedio
Tiempo
sistema
del
n
utilizació
de
Factor
sistema
el
en
(clientes)
unidades
de
promedio
Número
sistema
el
en
unidades
de
número
tiempo
de
período
por
servidos
cosas
o
gente
de
promedio
Número
tiempo
de
período
por
arribos
de
promedio
Número
S
S
S
S
W
W
L
L
n
Investigación de Operaciones

32. FÓRMULAS PARA COLAS
MODELO M/M/1
 
 
 
 
1
2
sistema
el
en
estén
unidades
k"
"
de
más
que
de
ad
Probabilid
1
1
vacía)
está
servicio
de
unidad
(la
sistema
el
en
unidades
cero
de
ad
Probabilid
1
1
sistema
el
en
estén
clientes
"
n
"
que
de
ad
Probabilid
cola
la
en
espera
unidad
una
que
promedio
Tiempo
cola
la
en
unidades
de
promedio
Número






















































k
k
n
k
n
o
o
n
n
n
n
S
q
S
q
P
P
P
P
P
P
W
W
L
L





















Investigación de Operaciones

33. Nomenclatura
pii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempo
Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistema
L Número promedio de clientes en el sistema
Lq Número promedio de clientes en la fila
W Tiempo promedio de permanencia en el sistema
Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila
 Factor de utilización promedio del servicio
Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
Colas

34.  Medida del performance en períodos estacionarios.
P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = número de clientes promedio en el sistema.
Lq = número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.
 = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).
Elementos a estudiar en las COLAS

35.  Medidas del Desempeño para la cola M / M /1
P0 = 1- ( / )
Pn = [1 - ( / )] (/ )n
L =  / ( - )
Lq =  2 / [( - )]
W = 1 / ( - )
Wq =  / [( - )]
Pw =  / 
 =  / 
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-( - )t
Elementos a estudiar en las COLAS

36. Zapatería Mary’s
 Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.
 El tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
cliente.
 La gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.
Elementos a estudiar en las COLAS

37. SOLUCION
– Datos de entrada
 = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por
hora.
 = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por
hora.
– Calculo del performance
P0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n
L =  / ( - ) = 2
Lq = 2/ [( - )] = 1.3333
W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutos
Wq =  / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos
Pw =  /   0.6667
 =  /   0.6667
Elementos a estudiar en las COLAS

38. Ejemplo
• Un peluquero atiende sus clientes sin cita
previa, el primero en llegar es el primero en
ser atendido. La llegada de los clientes se
distribuye de acuerdo con un proceso de
Poisson con un promedio de 5/hora. Los
clientes prefieren esperar el tiempo necesario
antes de ser atendidos. El tiempo de corte
del cabello está exponencialmente distribuido
con un tiempo de corte promedio de 10
minutos.
• ¿Cual es el número promedio de clientes en
el negocio y el número promedio de personas
esperando a ser atendidas?
Colas

39. Ejemplo Cont...
hora
5


hora
hora
X
6
1
min
60
min
10
1



6
5









1
LES
5

LES
6
5
1
6
5


LES
Elementos a estudiar en las COLAS

40. Ejemplo Cont...
 






2
LEC
6
5

LEC
• La probabilidad de que los clientes no deban
esperar antes de ser atendidos es P0



 1
0
P
Elementos a estudiar en las COLAS

41. • Esta probabilidad es:
1666
.
0
6
5
1
0 


P
Ejemplo Cont...
Esto indica que el 16.7% de los clientes
son atendidos sin hacer cola y el 83.3%
deben esperar algún tiempo en la cola
antes de pasar a la silla del peluquero.
Elementos a estudiar en las COLAS

42. • Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y
el dueño desea conocer qué porcentaje de
clientes que esperan deben hacerlo
parados. La probabilidad de no encontrar
silla es:
Ejemplo Cont...
405
.
0
...
5
7
6
5 




 


n
n
P
P
P
P
Elementos a estudiar en las COLAS

43. • El 40% del tiempo los clientes no
encuentran silla disponible.
• Cuánto debe el cliente esperar en
promedio en la cola y en el sistema,
está dado por la formulas y LEC y LES
Ejemplo Cont...
 






2
LEC




1
LES
Elementos a estudiar en las COLAS