Investigación de operaciones

1. Teoría de colas
Investigación de operaciones I
Ing. Juan Luis Garcia Castellanos

2. Cuando completemos este capítulo usted debería poder explicar:
Objetivos de aprendizaje
1. Describir las características de llegadas, líneas de espera y
sistemas de servicio.
2. Aplicar las ecuaciones del modelo de colas de servidor único
3. Realizar un análisis de costos para una línea de espera
4. Aplicar las fórmulas del modelo de colas de servidores
múltiples
5. Aplicar las ecuaciones del modelo de tiempo de servicio
constante
6. Realizar un análisis de modelo de población finita

3. Teoría de colas
▶ Las colas de espera son situaciones
comunes.
▶ Útil en las áreas de fabricación y
servicio.

4. Situaciones comunes de colas
TABLE D.1 Situaciones comunes de colas
SITUACIÓN LLEGADAS A LA COLA PROCESO DE SERVICIO
Supermercados Compradores Empleados de caja en la caja registradora
Peaje de la autopista Automoviles Cobro de peajes
Oficina del doctor Pacientes Tratamiento por médicos y enfermeras.
Sistema informático Programas a ejecutar Computadora procesa trabajos
Compañía telefónica Personas que llaman El cambio de equipo desvía las llamadas
Banco Cliente Transacciones manejadas por cajero
Mantenimiento de máquina Máquinas rotas Reparar personas arreglar máquinas
Puerto Barcos y barcazas Los trabajadores portuarios cargan y descargan

5. Características de los sistemas de línea de espera
1. Llegadas o entradas al sistema.
▶ Tamaño de la población, comportamiento, distribución
estadística.
2. Disciplina de cola, o la línea de espera en sí
▶ Limitado o ilimitado en longitud, disciplina de personas o
artículos en él
3. La facilidad de servicio
▶ Diseño, distribución estadística de tiempos de servicio

6. Partes de una línea de espera

7. Partes de una línea de espera
Figure D.1
De Dave
Lavado de autos
Ingreso Salida
Población de
autos sucios
Llegadas
desde el
general
población …
Cola
(línea de espera)
Servicio
instalaciones
Salir del sistema
Llegadas al sistema. Salir del sistema
En el sistema
Características de llegada
► Tamaño de población
► Comportamiento de
llegadas
► Distribución estadística
de llegadas.
Características de la
línea de espera
► Limitado vs.
ilimitado
► Disciplina de la cola
Características de
Servicio
► Diseño de servicio
► Distribución estadística
del servicio

8. Características de llegada
1. Tamaño de la población de llegada.
▶ Ilimitado (infinito) o limitado (finito)
2. Patrón de llegadas
▶ Programada o aleatoria, a menudo una
distribución de Poisson
3. Comportamiento de llegadas
▶ Espere en la cola y no cambie de línea.

9. Distribución de Poisson
P(x) = para x = 0, 1, 2, 3, 4, …
e-x
x!
donde P(x) = probabilidad de x llegadas
x = número de llegadas por unidad de tiempo
 = ritmo medio de llegada
e = 2.7183 (que es la base de los logaritmos
naturales)

10. Distribución de Poisson
Probabilidad = P(x) =
e-x
x!
0.25 –
0.20 –
0.15 –
0.10 –
0.05 –
–
Probabilidad
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Distribución para  = 2
x
0.25 –
0.20 –
0.15 –
0.10 –
0.05 –
–
Probabilidad
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Distribución para  = 4
x
10 11
Figure D.2

11. Características de la línea de espera
▶ Longitud de cola limitada o ilimitada
▶ Disciplina en la cola: primero en
entrar, primero en salir (FIFO) es más
común
▶ Se pueden usar otras reglas de
prioridad en circunstancias
especiales

12. Características de la línea de espera
1. Diseños de sistemas de colas
▶ Sistema de servidor único, sistema de
servidores múltiples
▶ Sistema monofásico, sistema
multifásico
2. Distribución del tiempo de servicio
▶ Tiempo de servicio constante
▶ Tiempos de servicio aleatorios,
generalmente una distribución
exponencial negativa

13. Diseños de sistema de colas
Salidas
después del servicio
Servidor único, sistema monofásico
Cola
Llegadas
Servidor único, sistema multifásico
Llegadas
Salidas
después del servicio
Instalación
de servicio
de fase 1
Instalación
de servicio
de fase 2
Facilidad
de
servicio
Cola
El consultorio de un dentista familiar.
Un servicio al carro de doble ventana de McDonald's

14. Diseños de sistema de colas
Multi-servidor, sistema monofásico
Llegadas
Cola
La mayoría de las ventanas de servicios bancarios y postales
Salidas
después del servicio
Facilidad
de servicio
Canal 1
Facilidad
de servicio
Canal 2
Facilidad
de servicio
Canal 3

15. Diseños de sistema de colas
Multi-servidor, sistema multifásico
Llegadas
Cola
Algunas cafeterías universitarias
Salidas
después del servicio
Instalación
de servicio
de fase 2
Canal 1
Instalación
de servicio
de fase 2
Canal 2
Instalación
de servicio
de fase 1
Canal 1
Instalación
de servicio
de fase 1
Canal 2

16. Distribución exponencial negativa
1.0 –
0.9 –
0.8 –
0.7 –
0.6 –
0.5 –
0.4 –
0.3 –
0.2 –
0.1 –
0.0 –
Probabilidad
de
que
el
tiempo
de
servicio
sea
≥
1
| | | | | | | | | | | | |
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00
Tiempo t (horas)
Probabilidad de que el tiempo de servicio sea mayor que t =e-µt para t ≥ 0
µ = tasa de servicio promedio
e = 2.7183
Tasa de servicio promedio (µ) =
1 cliente por hora
Tasa de servicio promedio (µ) = 3 clientes por
hora Tiempo promedio de servicio = 20 minutos
(o 1/3 hora) por cliente

17. Medición del rendimiento de la cola
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto pasa en la cola
2. Longitud media de la cola
3. Tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema
4. Número promedio de clientes en el sistema.
5. Probabilidad de que la instalación de servicio esté inactiva.
6. Factor de utilización del sistema.
7. Probabilidad de un número específico de clientes en el sistema.

18. Costos de colas
Costo total esperado
Costo de prestación del servicio.
Costo
Nivel bajo
de servicio
Nivel alto
de servicio
Costo del tiempo de espera
Mínimo
Total
costo
Óptima
nivel de servicio

19. Modelos de cola
Los cuatro modelos de colas que siguen suponen:
1. Llegadas de distribución de Poisson
2. Disciplina FIFO
3. Una fase de servicio único

20. Modelos de cola
En dónde M = Distribución exponencial
D = Distribución degenrada (constants)
Ek = Distribución Erlang
G = Distribución arbitraria

21. Modelos de cola
Modelos de colas descritos
MODELO NOMBRE EJEMPLO
A Sistema de
servidor único
(M/M/1)
Mostrador de información en
grandes almacenes
NÚMERO DE
SERVIDORES
(CANALES)
NÚMERO
DE
FASES
PATRÓN
DE TASA
DE
LLEGADA
MODO DE
TIEMPO DE
SERVICIO
TAMAÑO DE
LA
POBLACION
DISCIPLINA
DE LA
COLA
Simple Simple Poisson Exponencial
negativo
Ilimitado FIFO

22. Modelos de cola
Modelos de colas descritos
MODELO NOMBRE EJEMPLO
B Servidor multiple
(M/M/S)
Mostrador de boletos aéreos
NÚMERO DE
SERVIDORES
(CANALES)
NÚMERO
DE
FASES
PATRÓN
DE TASA
DE
LLEGADA
MODO DE
TIEMPO DE
SERVICIO
TAMAÑO DE
LA
POBLACION
DISCIPLINA
DE LA
COLA
Servidor multiple Simple Poisson Exponencial
negativo
Ilimitado FIFO

23. Modelos de cola
Modelos de colas descritos
MODELO NOMBRE EJEMPLO
C Servicio constante
(M / D / 1)
Lavado de autos
automatizado
NÚMERO DE
SERVIDORES
(CANALES)
NÚMERO
DE
FASES
PATRÓN
DE TASA
DE
LLEGADA
MODO DE
TIEMPO DE
SERVICIO
TAMAÑO DE
LA
POBLACION
DICIPLINA
DE LA
COLA
Simple Simple Poisson Constante Ilimitado FIFO

24. Modelos de cola
Modelos de colas descritos
MODELO NOMBRE EJEMPLO
D Población finita (M / M / 1
con fuente finita)
Compre con solo una
docena de máquinas
que podrían romperse
NÚMERO DE
SERVIDORES
(CANALES)
NÚMERO
DE
FASES
PATRÓN
DE TASA
DE
LLEGADA
MODO DE
TIEMPO DE
SERVICIO
TAMAÑO DE
LA
POBLACION
DICIPLINA
DE LA
COLA
Simple Simple Poisson Constante Limitado FIFO

25. Modelo A - Servidor único
1. Las llegadas se sirven en una base FIFO,
cada llegada espera ser atendida
independientemente de la longitud de la cola
2. Las llegadas son independientes de las
llegadas anteriores, el número promedio de
llegadas no cambia con el tiempo
3. Las llegadas se describen mediante una
distribución de probabilidad de Poisson y
provienen de una población infinita.

26. Modelo A - Servidor único
4. Los tiempos de servicio varían de un
cliente a otro y son independientes entre
sí, pero se conoce su tasa promedio
5. Los tiempos de servicio ocurren de
acuerdo con la distribución exponencial
negativa
6. La tarifa de servicio es más rápida que la
tarifa de llegada.

27. Modelo A - Servidor único
Fórmulas de cola para el modelo A: sistema de servidor
único, también denominado M / M / 1
λ = número promedio de llegadas por período de tiempo
μ = número promedio de personas o artículos atendidos por período
de tiempo (tasa de servicio promedio)
Ls = número promedio de unidades (clientes) en el sistema
(esperando y siendo atendido)
=
λ
μ – λ
Ws = tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (tiempo de
espera más tiempo de servicio)
=
1
μ – λ

28. Modelo A - Servidor único
Fórmulas de cola para el modelo A: sistema de servidor
único, también denominado M / M / 1
Lq = número promedio de unidades que esperan en la cola
=
λ2
μ(μ – λ)
Wq = tiempo promedio que una unidad pasa esperando en la cola
=
λ
=
Lq
μ(μ – λ) λ
ρ = factor de utilización del sistema
=
λ
μ

29. Modelo A - Servidor único
Fórmulas de cola para el modelo A: sistema de servidor
único, también denominado M / M / 1
P0 = Probabilidad de 0 unidades en el sistema (es decir, la unidad de
servicio está inactiva)
= 1 –
λ
μ
Pn>k = probabilidad de más de k unidades en el sistema, donde n es el
número de unidades en el sistema
= [ λ
]
k + 1
μ

30. Modelo de servidor múltiple
Fórmulas de cola para el modelo B: sistema de servidores
múltiples, también denominado M / M / S
M = cantidad de servidores (canales) abiertos
 = tasa de llegada promedio
µ = tasa de servicio promedio en cada servidor (canal)
La probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema es:








































M
M
M
M
n
P M
n
M
n
para
!
1
!
1
1
1
0
0

31. Modelo de servidor múltiple
TABLE D.4
Fórmulas de cola para el modelo B: sistema de servidores
múltiples, también denominado M / M / S
El número promedio de personas o unidades en el sistema es:
El tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera y recibe
servicio (es decir, en el sistema) es:
LS
=
lm l / m
( )
M
M -1
( )! Mm - l
( )
2
P0
+
l
m
WS
=
m l / m
( )
M
M -1
( )! Mm - l
( )
2
P0
+
1
m
=
LS
l

32. Modelo de servidor múltiple
TABLE D.4
Fórmulas de cola para el modelo B: sistema de servidores
múltiples, también denominado M / M / S
El número promedio de personas o unidades en línea esperando servicio
es:
El número promedio de personas o unidades en línea esperando servicio
es:
Lq
= LS
-
l
m
Wq
=WS
-
1
m
=
Lq
l

33. Tablas de espera
TABLE D.5 Valores de Lq para M = 1-5 servidores (canales) y valores seleccionados de λ / μ
LLEGADAS DE POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
NÚMERO DE CANALES DE SERVICIO, M
λ/μ 1 2 3 4 5
.10 .0111
.25 .0833 .0039
.50 .5000 .0333 .0030
.75 2.2500 .1227 .0147
.90 8.1000 .2285 .0300 .0041
1.0 .3333 .0454 .0067
1.6 2.8444 .3128 .0604 .0121
2.0 .8888 .1739 .0398
2.6 4.9322 .6581 .1609
3.0 1.5282 .3541
4.0 2.2164

34. Modelo de tiempo de servicio constante
Tiempo de espera promedio en la cola :
Número promedio de clientes en el sistema:
Tiempo promedio en el sistema:
TABLE D.6
Fórmulas de cola para el Modelo C: Servicio constante,
también denominado M / D / 1
Longitud media de la cola : Lq
=
l2
2m m - l
( )
Wq
=
l
2m m - l
( )
Ls
= Lq
+
l
m
Ws
=Wq
+
1
m

35. Ley de Little
► Un sistema de colas en estado estacionario
Ls = Ws (que es lo mismo que Ws = Ls/
Lq = Wq (que es lo mismo que Wq = Lq/
► Una vez que se conocen dos de los parámetros, se
puede encontrar fácilmente el otro
► No hace suposiciones sobre la distribución de
probabilidad de los tiempos de llegada y servicio.
► Se aplica a todos los modelos de colas excepto el
modelo de población finita

36. Modelo de población finita
▶ Supuestos
1. Solo hay un servidor
2. La población de unidades que buscan
servicio es limitada.
3. Las llegadas siguen una distribución de
Poisson, los tiempos de servicio son
negativos distribuidos exponencialmente
4. Los clientes son atendidos por orden de
llegada

37. Modelo de población finita
TABLE D.7
Fórmulas de colas y notación para el modelo D: población finita,
también llamada M / M / 1 con fuente finita
 = tasa de llegada promedio
 = tasa de servicio promedio
N = tamaño de la población
Probabilidad de que el sistema esté vacío:
P0
=
1
N!
N – n
( )!
l
m
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
n=0
N
å
Tiempo promedio de espera en la cola :
Wq
=
Lq
(N – Ls
)l
Tiempo promedio en el sistema:
Ws
=Wq
+
1
m

38. Modelo de población finita
TABLE D.7
Fórmulas de colas y notación para el modelo D: población finita,
también llamada M / M / 1 con fuente finita
Longitud promedio de la cola:
Número promedio de clientes (unidades)
en el sistema:
Ls
= Lq
+(1 – P0
)
Probabilidad de n unidades en el
sistema:
Pn
=
N!
(N – n)!
l
m
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
P0
for n = 0, 1, ... , N
Lq
= N –
l +m
l
æ
è
ç
ö
ø
÷(1 – P0
)

39. Ejemplo 1

40. Ejemplo 2