Presentación de ecuación cuadrática, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones reducibles a cuadráticas, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.

1. MATEMATICA
UNIDAD II: ALGEBRA
TEMA: ECUACIONES CUADRATICAS. SISTEMA DE
ECUACIONES FORMADO POR UNA LINEAL Y UNA
CUADRATICA
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
21/10/2013
RJAL
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MSC. ROBERTO AGUILERA L.

2. RJAL
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad en la que
hay
una
o
varias
cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que
sólo se verifica o es verdadera, para
determinado valores de las incógnitas.
Por ejemplo: 8x - 13 = 3
x: es la incógnita
La igualdad se verdadera solo si x = 2
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3. RJAL
ECUACIONES
El grado de una ecuación con una
incógnita es el mayor exponente que
tiene la incógnita en la ecuación.
Ejemplo:
5x + 4 = 10x – 8 es una ecuación de
primer grado o ecuación lineal.
15x2 + x – 6 = 0 es una ecuación de
segundo grado o ecuación cuadrática.
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4. RJAL
ECUACIONES
La raíces o soluciones de una ecuación
son los valores de las incógnitas que
satisfacen la ecuación, es decir que
sustituidos en lugar de la incógnitas
hacen verdadera la expresión
Si tenemos la ecuación 2x2 + x – 1 = 0
sus raíces son x = -1 y x = ½ , ya que
si x = 1 entonces 2(-1)2 + (-1) – 1 = 0 (V)
Si x = ½ entonces 2(½)2 + ½ – 1 = 0 (V)
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5. ECUACION CUADRATICA
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6. ECUACION CUADRATICA
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7. RJAL
ECUACION CUADRATICA
Ejemplos:
1. 2x2 - 15x - 8 = 0
2x
1=
x
x
-8 = - 16x
- 15x
Factorizando la ecuación anterior tenemos
(2x + 1) (x - 8) = 0
Igualando a cero cada factor y despejando
2x + 1 = 0 de donde x = -½
x – 8 = 0 de donde x = 8
por tanto el conjunto solución es {-½ , 8}
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8. ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA
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9. ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA
A partir de la expresión
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x2 – 3x – 10 = 0
Factorizando nos resulta (x - 5)(x + 2) = 0
igualando cada factor de la expresión anterior a cero
x – 5 = 0 donde x = 5
x + 2 = 0 donde x = -2
por tanto, el conjunto solución es {-2 , 5}. Si sustituimos
ambos valores en la ecuación inicial, nos resulta una
expresión verdadera.
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10. ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA
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11. RJAL
ECUACION CUADRATICA
Esto nos resulta igual a
9x2 – 36x + 36 = 4 (x + 5)
9x2 – 36x + 36 - 4x – 20 = 0
9x2 – 40x + 16 = 0
factorizando la expresión anterior nos queda
(9x - 4)(x - 4) = 0
igualando cada factor a cero cada factor de la ecuación
9x – 4 = 0 donde x = 4/9
x – 4 = 0 donde x = 4
para encontrar la solución sustituimos en la ecuación inicial los
dos valores y vemos si los valores de x hacen verdadera la
expresión. En este caso solo x = 4 es la solución.
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12. RJAL
ECUACION CUADRATICA
4. Aplicación de la ecuación cuadrática
El área de un triangulo es 2 m2 . Si la base mide 3 m mas que la
altura. ¿Cuál es la medida de la base y la altura?
Área = 2 m2
altura = x
base = x + 3
Utilizando la formula del área de un triángulo
A = (base * altura) /2
2 = (x + 3)* x/ 2 esto es equivalente a
4 = x2 + 3x
entonces x2 + 3x – 4 = 0 factorizando
(x + 4)(x- 1) = 0
x + 4 = 0 donde x = -4
x – 1 = 0 donde x = 1
Por tanto, la altura mide 1 metro y la base 4 m.
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13. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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Dado el sistema
ax + by + c = 0
dx2 + exy + fy2 + gx + hy + f = 0
para resolverlo se despeja una de las variable
de la ecuación lineal y se sustituye en la
ecuación cuadrática, obteniendo una ecuación
de segundo grado con una incógnita.
Resolvemos esta ecuación y obtenemos dos
valores para la incógnita.
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14. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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Ejemplos: Resuelva
el siguiente sistema de
ecuaciones
x-y=1
x2 + xy + y2 = 37
De la ecuación lineal despejamos la variable x entonces
x = 1 + y,
sustituyendo en la ecuación cuadrática
(1 + y)2 + (1 + y)y + y2 = 37
1 + 2y + y2 + y + y2 + y2 = 37
3y2 + 3y - 36 = 0
multiplicando todo por (1/3)
obtenemos
y2 + y – 12 = 0
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15. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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x-y=1
x2 + xy + y2 = 37
Si
factorizamos el lado izquierdo de ecuación
y2 + y – 12 = 0
tenemos
(y + 4)(y – 3) = 0
igualando cada factor a cero resulta
y + 4 = 0 entonces y = -4 y x = -3
y – 3 = 0 entonces y = 3 y x = 4
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16. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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2. Un comerciante compro cierto número de
unidades de un articulo por C$14.40.
Posteriormente, el precio de dicho articulo
sufre una aumento de C$ 0.02 por cada unidad,
con lo cual, por el mismo dinero le dan 24
unidades menos que la vez anterior. Hallar las
unidades que inicialmente compro y el precio
de cada una de ellas.
Solución: Sea x: el número de unidades
compradas inicialmente y P: el precio de las
unidades
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17. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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Sea P + 0.02 el nuevo precio de las unidades y (x - 24) el
nuevo numero de unidades compradas, entonces
podemos formar el sistema de ecuaciones:
1) P(x) = 14.40
2) (P + 0.02)(x – 24) = 14.40
Por tanto, de la segunda ecuación tenemos:
Px – 24P + 0.02x – 0.48 = 14.40
De la primera expresión tenemos que P.x = 14.4 por
tanto, x = 14.4/P, sustituyendo resulta
14.4 - 24P + 0.02x - 0.48 = 14.4
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18. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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eliminando miembros iguales a ambos lados de la
ecuación resulta
-24P + 0.02(14.4/P)- 0.48 = 0
-24P + 0.288/P = 0.48
-24P2 + 0.288 - 0.48P = 0
Reordenando la ecuación nos queda la siguiente
ecuación cuadrática
-24P2 - 0.48P + 0.288 = 0
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19. SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA
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20. EJERCICIOS PROPUESTOS
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BIBLIOGRAFIA
Algebra. Aurelio Baldor
 Algebra
y
trigonometría
con
Geometría
Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.
Algebra y trigonometría.. Dennis Zill
 Algebra y funciones elementales. Carlos J.
Walsh M.
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22. MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
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