Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
14/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
Extremos absolutos.
a) Un numero f(c1) es un máximo absoluto de f si f(x) ≤ f(c1),
para toda x en el dominio de f.
b) Un numero f(c1) es un mínimo absoluto de f si f(x) ≥ f(c1),
para toda x en el dominio de f.
Teorema del valor extremo
Una función f continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre
tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo.
En otras palabras cuando f es continua en [a,b] existen
números f(c1) y f(c2) tales que f(c1) ≤ f(x) ≤ f(c2) ∀ x en [a,b].
EXTREMOS DE FUNCIONES

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MATEMATICA I 2
RJAL
Extremos de la frontera
Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en una de
las fronteras de un intervalo I se dice que es un extremo en la
frontera
Extremos relativos.
a) Un numero f(c1) es un máximo relativo de f si f(x) ≤ f(c1),
para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.
b) Un numero f(c1) es un mínimo relativo de f si f(x) ≥ f(c1),
para toda en algún intervalo abierto que contenga a c1.
RJAL
Teorema: Si f(x) existe para todos los valores de x en el
intervalo abierto (a,b) y si f tiene un extremo relativo en c,
donde a < c < b si f’ (c) existe entonces f’(c) = 0
Sin embargo, f’(x) puede ser igual a cero para algún valor
especifico de x, y no obstante f puede no tener un
extremo relativo ahí.
Definición: Si c es numero en el dominio de la función f y
si f’(c) = 0 o f’(c) no existe entonces c se llama número
critico de f
Teorema: Si una función f tiene un extremo relativo en un
numero c, entonces c es un valor critico.

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MATEMATICA I 3
RJAL
Pasos para la obtención de los extremos absolutos.
1. Evaluar la función f en a y b.
2. Determinar los valores críticos de la función en (a,b).
3. Evaluar f en todos los valores críticos.
4. El mas grande y el mas pequeño de los valores de la
lista f(a), f(b), f(c1), f(c2),…,f(cn) son el máximo y el
mínimo absoluto respectivamente de f en el intervalo
[a,b]
RJAL
Ejemplo 1: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = x3 – 3x2 - 24x + 2
en [-3,8]
1) f(a) = f(-3) = 20 f(b) = f(8) = 130
2) Encontrar los números críticos f’(c) = 0
f’(x) = 3x2 - 6x - 24
f’(c) = 3c2 – 6c - 24 = 0 (3c + 6)(c – 4)= 0 c = -2 y c = 4
3) Evaluación de los valores críticos en f
f(-2) = 30
f(4) = -78
4) Máximo absoluto en x = 8 ya que f(8) = 130
Mínimo absoluto en x = 4 ya que f(4) = -78

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MATEMATICA I 4
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Ejemplo 2: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = x4 – 8x2 + 16 en
[0,3]
1) f(a) = f(0) = 16 f(b) = f(3) = 25
2) Encontrar los números críticos f’(c) = 0
f’(x) = 4x3 - 16x
f’(c) = 4c3 – 16c = 0 4c(c2 – 4) = 0 c = 0 c = -2 y c = 2
f(0) = 16
f(-2) = 0
f(2) = 0
4) Máximo absoluto en x = 3 ya que f(3) = 25
Mínimo absoluto en x = ±2 ya que f( ±2) = 0
RJAL
Ejemplo 3: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = 25 − 9𝑥2 en
[-1, 1]
1) f(a) = f(-1) = 4 f(b) = f(1) = 4
2) Encontrar los números críticos f’( c) = 0
f’(x) = −
18x
2 25 − 9𝑥2
= −
9x
25 − 9𝑥2
f’(c) = −
9𝑐
25 − 9𝑐2
= 0 -9c = 0 c = 0
f(0) = 5
4) Mínimo absoluto en x = ±1 ya que f(-1) = f(1) = 4
Máximo absoluto en x = 0 ya que f(0) =5

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MATEMATICA I 5
RJAL
Crecimiento y decrecimiento de una función.
Teorema: Sea f una función en [a,b] y diferenciable en
(a,b)
1. Si f’(x) > 0 para toda x en (a,b) entonces la función f
es creciente en [a,b].
2. Si f’(x) < 0 para toda x en (a,b) entonces la función f
es decreciente en [a,b].
RJAL
Ejemplo 1: El costo de producir X miles de unidades de cierto producto está dado por
CT = 2500 + 9X – 3X2 + 2X3. ¿En qué nivel de producción el costo es a) creciente
b) decreciente?
Solución: Encontramos los valores críticos de la función haciendo CT’(c) = 0
Derivamos CT. CT’(X) = 9 – 6X - 6X2 ⇒ CT’(c) = 9 – 6c - 6c2
6c2 + 6c - 9 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos los valores de c= - 1.82 y c = 0.82
Ubicamos estos valores en la recta numérica y definimos los intervalos a considerar
CT’(X)< 0 CT’(X) > 0 CT’(X)< 0
- + -
-∞ -1.82 0.82 ∞
Tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞, -1.82), (-1.82, 0.82) y (0.82, ∞) y lo
evaluamos en la derivada del costo CT’ para ver si el intervalo es positivo o negativo y así
obtener los intervalos donde el costo es creciente y decreciente. Por tanto los costos de
producción son crecientes en el intervalo (0,0.82) y son decrecientes en el intervalo (0.82, -∞)

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MATEMATICA I 6
RJAL
Ejemplo 2: El costo de producir Q miles de unidades de cierto producto está dado por
CT(Q) = 25 + 30Q – 9Q2 - Q3. ¿En qué nivel de producción el costo es a) creciente
b) decreciente?
Solución: Encontramos los valores críticos de la función haciendo CT’(c) = 0
CT’(Q) = 30 – 18Q – 3Q2 ⇒ CT’(c) = 30 – 18c - 3c2
3c2 + 18c - 30 = 0 ⇒ c2 - 6c - 10 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos los valores de c = - 1.36 y c = 7.36
Ubicamos estos valores en la recta numérica y definimos los intervalos a considerar
CT’(X)< 0 CT’(X) > 0 CT’(X)< 0
- + -
-∞ -1.36 7.36 ∞
Tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞, -1.36), (-1.36, 7.36) y (7.36, ∞) y lo
evaluamos en la derivada del costo CT’ para ver si el intervalo es positivo o negativo y así
obtener los intervalos donde el costo es creciente y decreciente. Por tanto los costos de
producción son crecientes en el intervalo (0,7.36) y son decrecientes en el intervalo (7.36, -∞)
RJAL
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver
Ejercicio 4.3 del No. 9 al 16, del No. 23 al
30 y el 39 de la pág. 209.

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MATEMATICA I 7
RJAL
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea f una función en [a,b] y diferenciable en (a,b),
excepto posiblemente en el valor critico c.
1. Si f’(x) > 0 para a < x < c y f’(x) < 0 para c < x < b
entonces f (c) es un máximo relativo en x = c
2. Si f’(x) < 0 para a < x < c y f’(x) > 0 para c < x < b
entonces f (c) es un mínimo relativo en x = c.
3. Si f’(x) tienen el mismo signo algebraico en a < x < c y
en c < x < b entonces f (c) no es un extremo.
RJAL
x (-∞,c) c (c,∞)
f’(x) - 0 +
f(x) decrece Min. relativo crece

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MATEMATICA I 8
RJAL
x (-∞,c) c (c,∞)
f’(x) + 0 -
f(x) crece Max. relativo decrece
RJAL
Ejemplo: Dada la función f(x) = x4 – 4x3 + 10, encontrar los máximos o mínimos relativos.
a) Encontramos f’(x). f’(x) = 4x3 – 12x2
b) Hallaremos números críticos de la función, es decir los valores para los cuales f’(x) = 0 o para los
cuales f’(x) no existe
f’(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = 3
c) Aplicamos el criterio de la primera derivada, para eso primero encontraremos los intervalos donde la
función es creciente o decreciente.
Ubicamos los valores críticos en la recta numérica y definimos los intervalos, luego tomamos un valor
arbitrario de cada intervalo (-∞,0), (0,3) y (3, ∞) y lo evaluamos en la derivada para ver el crecimiento o
decrecimiento de la función.
f’(x)< 0 f’(x) < 0 f’(x)> 0
- - +
-∞ 0 3 ∞
F. decreciente F. decreciente F. creciente
Como podemos observar al pasar del intervalo (-∞,0) a (0,3) no hay cambio de signo en la derivada,
pero al pasar de (0,3) a (3, ∞) se pasa de signo negativo a positivo por tanto en x = 3 hay un mínimo
relativo de acuerdo al criterio de la primera derivada.

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MATEMATICA I 9
RJAL
Zill, resolver
Ejercicio 4.6 del No. 11 al 18 (no grafique) y
del 39 al 41 de la pág. 229.
RJAL
Definición. Sea f una función diferenciable en (a,b)
i) Si la derivada f’ es una función creciente en (a,b) entonces la
gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo.
ii) Si la derivada f’ es una función decreciente en (a,b) entonces
la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo.
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

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MATEMATICA I 10
RJAL
Teorema. Criterio de concavidad
Sea f una función para la cual f’’ existe en (a,b)
i) Si f’’(x) > 0 para toda x en (a,b) entonces la
gráfica de f es cóncava hacia arriba en el
intervalo (a,b)
ii) Si f’’(x) < 0 para toda x en (a,b) entonces la
gráfica de f es cóncava hacia abajo en el
intervalo (a,b).
RJAL
Punto de inflexión
Un punto de la gráfica de una función en donde la
concavidad cambia de arriba hacia abajo o viceversa, se
llama punto de inflexión.
Definición: Sea f continua en c. Un punto (c, f(c)) es un
punto de inflexión si existe un intervalo abierto (a,b) que
contiene a “c”, de tal modo que la gráfica de f es
i) Cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo
en (c,b)
ii) Cóncava hacia abajo en (a,c) y cóncava hacia arriba
en (c,b)

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14/06/2018
MATEMATICA I 11
RJAL
Un punto de inflexión (c, f(c)) ocurre un número c para el cual
f’’(c) = 0 o bien f’’(c) no existe. El reciproco no es valido.
Función pasa de
cóncava hacia arriba a
cóncava hacia abajo.
Función pasa de
cóncava hacia abajo a
cóncava hacia arriba.
Función pasa de
cóncava hacia arriba a
cóncava hacia abajo.
RJAL
Ejemplo: Dada la función f(x) = x4 – 4x3 + 10, encontrar los puntos de inflexión.
a) Encontramos f ’’(x). f ’(x) = 4x3 – 12x2 f ’’(x) = 12x2 – 24x
b) Hallaremos los valores para los cuales f ’’(x) = 0 o para los cuales f ’’(x) no existe
f ’’(x) = 12x2 – 24x = 12x (x – 2) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = 2
c) Encontraremos los intervalos donde f ‘’(x) es positiva o negativa para analizar la concavidad y
encontrar los puntos de inflexión.
Ubicamos los valores obtenidos en la recta numérica y definimos los intervalos, luego tomamos un
valor arbitrario de cada intervalo (-∞,0), (0,2) y (2, ∞) y lo evaluamos en la segunda derivada
f ’’(x) > 0 f ’’(x) < 0 f ’’(x) > 0
+ - +
-∞ 0 2 ∞
F. cóncava F. cóncava F. cóncava
hacia arriba hacia abajo hacia arriba
Como podemos observar al pasar del intervalo (-∞,0) a (0,2) hay cambio de signo positivo a negativo
en la segunda derivada, por tanto hay un punto de inflexión en x = 0. De la misma manera al pasar del
intervalo (0,2) a (2, ∞) se pasa de signo negativo a positivo en la segunda derivada, por tanto en x = 2
hay un punto de inflexión.

LOPEZ
14/06/2018
MATEMATICA I 12
RJAL
Teorema: Criterio de la segunda derivada para
extremos relativos
Si c es un número crítico de una función f en el cual
f’(c) = 0 y f existe para todos los valores de x en
algún intervalo abierto que contenga a c. Entonces si
f”(c) existe y
i) Si f’’(c) < 0, f tiene un valor máximo relativo en c.
ii) Si f’’(c) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en c.
Si f”(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse
al criterio de la primera derivada.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
RJAL

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14/06/2018
MATEMATICA I 13
RJAL
Recordemos lo siguiente:
a) Si una función cambia de decreciente a creciente en un
punto c entonces en x = c existe un mínimo relativo.
b) Si una función cambia de creciente a decreciente en un
punto c entonces en x = c existe un máximo relativo.
c) Si una función cambia de concavidad hacia abajo a
concavidad hacia arriba en un punto c entonces en x = c
existe un punto de inflexión.
d) Si una función cambia de concavidad hacia abajo a
concavidad hacia arriba en un punto c entonces en x = c
existe un punto de inflexión.
RJAL
También recordemos que al calcular los signos de la primera y segunda derivada de la
función, podemos decir si la función es creciente o decreciente, o cóncava hacia arriba o
cóncava hacia abajo. Lo cual nos da la forma de como debe ser el gráfico de una función.

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14/06/2018
MATEMATICA I 14
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Ejemplo: Trace la gráfica de la función f(x) = ¼ x4 – (3/2) x2
a) Encontramos f’(x). f’(x) = 4 (¼) x3 – 2 (3/2)x = x3 – 3x
b) Hallaremos números críticos de la función, es decir los valores para los cuales
f’(x) = 0 o para los cuales f’(x) no existe
f’(x) = x3 – 3x = x(x2 – 3) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = ± 3
c) Encontramos f ’’(x). f ’’(x) = 3x2 – 3
d) Hallaremos los valores para los cuales f ’’(x) = 0 o para los cuales f ’’(x) no existe
f ’’(x) = 3x2 – 3 = 3 (x2 – 1) = 0 de donde obtenemos los valores x = ±1
Ubicamos los números críticos y los valores obtenidos en el paso anterior en la recta
numérica y definimos los intervalos. Luego tomamos un valor arbitrario de cada
intervalo y los evaluamos en la primera y la segunda derivada para ver los signos
que determinan el crecimiento o decrecimiento de la función, así como la
concavidad. Para luego trazar la gráfica de la función.
RJAL

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14/06/2018
MATEMATICA I 15
RJAL
Zill, resolver
Ejercicio 4.7 del No. 1 al 8 (no grafique), del
No. 19 al 25 y del 27 al 36 de la págs. 233
y 234.
RJAL
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill

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14/06/2018
MATEMATICA I 16
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MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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