La parábola es un lugar geométrico de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Su ecuación canónica varía según su orientación y ubicación del vértice, y se utiliza en aplicaciones como antenas, faros y telescopios. La estructura de la ecuación de la parábola es de segundo grado, destacando la relación entre el foco y la directriz.

2. Definición de Parábola como lugar geométrico.
 Parábola es un término que
proviene del latín parábola y que
tiene su origen más remoto en un
vocablo griego. En el ámbito de la
matemática, la parábola es el
espacio geométrico de los puntos de
un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta.
Este lugar se crea a partir de la
acción de un plano que es paralelo
a la generatriz y que disecciona un
cono circular.
 Se denomina parábola al lugar
geométrico de los puntos de un plano
que equidistan de una recta dada,
llamada directriz, y de un punto
exterior a ella, llamado foco.
Definición de parábola
como lugar geométrico.
Autor:
Fabio Ximeno

3. La Parábola
 Directriz
La Directriz es la recta sobre la cual si
medimos su distancia hasta un punto
cualquiera de la parábola, esta debe ser
igual a la distancia de este mismo punto al
Foco.
 Eje Focal
El eje focal es la recta perpendicular a la
directriz que pasa por el foco.
 Vértice
Es el punto en el cual la parábola corta el eje
focal.
 Lado Recto
Es un segmento paralelo a la directriz,
que pasa por el foco y es perpendicular al
eje focal y sus extremos son puntos de la
parábola(A,B).
 Parámetro
La distancia entre el vértice y la directriz que
es la misma denter el vértice y el foco de una
parábola recibe el nombre de parámetro de
la parábola (suele denotarse por p).
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una
recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola

4. La ecuación para una parabola con
eje focal paralelo al eje x , vértice en
(h,k) y cuya distancia al foco es p es:
Ecuación de la Parábola
La ecuación para una parabola con eje
focal paralelo al eje y, vertice en (h,k) y
cuya distancia al foco. es p es:

5. Aplicaciones
Las aplicaciones de las parábolas son básicamente
aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer
converge o diverge un haz de luz y sonido
principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas,
las lámparas sordas, los faros de los autos. Se
pueden construir, por la misma propiedad de las
parábolas, hornos solares. Los micrófonos de
ambiente en algunos deportes también tienen forma
paraboloide.
En el siglo XVI Galileo demostró que la trayectoria
de un proyectil que se dispara al aire formando un
ángulo con la horizontal es una parábola. Desde
entonces, las formas parabólicas se han usado para
diseñar fanales de automóviles, telescopios
reflectores y puentes colgantes.

6.  Ecuación canónica de la
parábola con V(0,0)V(0,0)
y eje focal x=0x=0 (eje yy).
Donde si,
c>0⇒c>0⇒ Las ramas de la
parábola apuntan hacia la
arriba
c<0⇒c<0⇒ Las ramas de la
parábola apuntan hacia la
abajo
Coordenadas del foco:
F(0,c)F(0,c)
Ecuación de la directriz d:y=–
c
Ecuación canónica de la
Parábola con vértice en (0,0) y
eje de simetría en el eje “x”.
Ecuación canónica de la
Parábola con vértice en (0,0) y
eje de simetría en el eje “y”.

7. Ecuación canónica de la Parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría
paralelo al eje “x”.
consideremos una parábola con vértice en un punto (h,k) y eje de simetría
paralelo al eje x. Veamos las coordenadas de sus componentes

8. Ecuación general de la
Parábola. En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:
Existe solamente una variable al cuadrado (x 2 o bien y 2 ) y otra lineal.
El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con
respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el
vértice).
Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la
parábola es una ecuación de segundo grado , que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de
este tipo.
 Obtención de la ecuación general de la parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria
o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:
(x – h) 2 = 4p(y – k)
Desarrollando resulta:
x 2 – 2hx + h 2 = 4py – 4pk
x 2 – 2hx + h 2 – 4py + 4pk = 0
Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con
la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0 ,
tendremos:
Ax 2 – 2Ahx + Ah 2 – 4Apy + 4Apk = 0
Reordenando:
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx – Ah 2 + 4Apk = 0
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx + A(h 2 + 4pk) = 0
Haciendo que los coeficientes de las variables sean:
–4Ap = B
–2Ah = C
A(h 2 + 4pk) = D
Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la
ecuación, nos queda
Ax 2 + Bx + Cy + D = 0
que es la ecuación de una parábola horizontal en su
forma general.
Análogamente, para una parábola de orientación
vertical, la ecuación en su forma general será:
Ay 2 + Bx + Cy + D = 0

9. Ecuación canónica de la Parábola con
vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al
eje “y”
La ecuación
canoníca de
la parábola
con eje focal
paralelo al
eje y vértice
en (h, k) es;
(x-h)² = 4p(y-
k) La
ecuación (x-
h)² = 4p(y-k)
representa
una parábola
que: Se abre
hacia arriba,
si p > 0. Se
abre hacia
abajo. Si p <
0
 sea P la distancia del vértice
al foco de una parábola con
vértice en (H,K) y eje
paralelo al eje X. Entonces,
las coordenadas del foco
son: F(h +p, k). Como la
distancia del vértice al foco
es igual a la distancia del
vértice a la directriz,
entonces, la ecuación de la
directriz es y = k-p . Además,
la ecuación del eje de
simetría es x = h

10. REFERENCIAS
 https://es.slideshare.net/kendrycari/present
ac-18502818
 https://aga.frba.utn.edu.ar/parabola/
 https://definicion.de/parabola/
 https://www.geogebra.org/m/Z7hro70z
 https://conicas.solomatematicas.com/parab
ola.aspx