Electromagnetismo serie schaum

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ELECTROMAGNETISMO
SERIE
SCHAUM
ELECTROMAGNETISMO
Teoría y
310 problemas
resueltos
Joseph A. Edminister

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DE I
8'BLlOT[C. .T. N' 11
"B. GfJL e.c. [;~ (~AVLORA"
LACA'- tiA 535 F~oeRAl
SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
'TEORIA y PROBLEMAS
ELECTROMAGNETISMOI ..
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JOSEPH A. EDMINISTER, M.S.E~ROHI810A
Por
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Lsu VENTA
de
de de
TRADUCCION
PEDRO ALBARRACIN
de s
REVISION
SANTIAGO PINTO
EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA S.A.
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RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D.R.)
Copyright © 1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMERICANA S.A.
Bogotá, Colombia
Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido
de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia o
grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso
escrito del editor.
Traducido de la primera edición de
SCHAUM'S OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS
OF ELECTROMAGNETICS
Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.
IS BN 968-451-004-7
0987654321 8765432901
Impreso en Colombia Printed in Colombia
Impresión: Italgraf S.A., Bogotá, Colombia
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I
Prefacio
El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagne-
tismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación.
Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas.
Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una
serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los
principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromag-
néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y
sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que
tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia.
Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la
abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en
mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui-
dadoso.
Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los
diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias
sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias.
Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi
familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera
escrito.
]OSEPH A. EDMINISTER
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Contenido
ANALISIS VECTORIAL 1Capitulo 1
1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas
menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales
formaciones
1.4 Volú-
1.6 Trans-
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ...
2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.3 Distribuciones de carga
2.4 Configuraciones estándar de carga
13Capitulo 2
FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS . 27Capitulo 3
3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo
3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico
sianas especiales
3.3 Ley de Gauss
3.5 Superficies gau-
DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA .
4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.3 Divergencia de D
4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia
39Capitulo 4
ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA. 50Capitulo 5
5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos
puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga
5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos
CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES .
6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec-
ción J 6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Co-
rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de lacorriente laminar K 6.9 Continuidad
de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico
65Capitulo 6
CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS 81Capitulo 7
7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D YE de voltaje constante 7.3 D Y
E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-
AEP
AEP

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CONTENIDO
cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos 7.7 Energía almace-
nada en un condensador.
Capitulo 8 96ECUACION DE LAPLACE .
8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la
ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del
valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto
cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico
Capítulo 9 113LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO
9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5
Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial
vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes
Capítulo 10 128FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS .
10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combi-
nados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia
10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar
Capítulo 11 140INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS .
11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar
11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H
11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9
Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos
Capitulo 12 160CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y FEM INDUCIDA .
12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday
12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Con-
ductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo
Capitulo 13 ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES . 172
13.1 Introducción
laminar en el límite
13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente
13.4 Resumen de lascondiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell
Capitulo 14 181ONDAS ELECTROMAGNETICAS .
14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesia-
nas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléc-
trico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de
penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia yvector
de Poynting
APENDICE 197
INDICE 199
AEP
AEP

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Capítulo 1
Análisis vectorial
1.1 NOT ACION VECTORIAL
Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tie-
nen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o
magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector
unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:
A ,A
aA = IAI o
donde IAI = A = ~ (ver sección 1.2).
Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes y de un sistema de coordenadas
cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de
A = A"a" + +
1.2 ALGEBRA VECTORIAL
l. Los vectores pueden sumarse y restarse:
A B = a" + + + + )
+ +
2. Las leyes asociativa, distributiva y conmutativa se aplican
A + (B + C) = (A + B) + e
A+B=B+A
3. El de dos vectores es, por definición,
A- B = cos 8 (léase "A punto B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que
A - B = + +
A-A= " y z
En particular,
4. El de dos vectores es, por defi-
nición,
A x B = sen 8}a" (léase" A cruz B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad
normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de '
un punto común. Existen dos vectores normales a este plano,
así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El
vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la
misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es Fig. 1-1
-
AEP
AEP

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AEPAEPAEPAEP
2 ANALISlS VECTORIAL [CAP. 1
rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ley conmutativa no se cumple para el pro-
ducto vectorial. En cambio, se cumple que
AxB=-BxA
Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos
A x B = (Axax + + Aza.) x (Bxax + + B.a.)
= B, - + ( - A~ . + ( - Bx}az
lo que se expresa convenientemente como un determinante:
ax aya.
A x B =
s, s,
1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS
U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar
de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innece-
sariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas carte-
sianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas
conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias.
zz
r P(r, q¡, z)
I
Iz
k---+-----y
8 J, P(r, 8, 4»
/ I
/ I
/ I
.x-'--;,---•...y
I
4> 'J
~ P(x,y,z)
I
iz
I •
I /
I . /
1// X
_._-_._--
(a) Cartesianas (b) Cilíndricas (e) Esféricas
Fig.I-2
Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico
(r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1-2. El orden de especificación de las coordena-
das es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y
cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer
lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos
z
z = const.
I----+-
z z
, = const.
8 = const.
/----+-
I----y
= const,
4> = consto
4> = const.
(a) Cartesiano (b) Cilíndrico (e) Esférico
Fig. 1-3
AEP
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-
CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en
un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El con-
texto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia.
La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la
figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons-
tante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas carte-
sianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto
circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas
esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es
una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el
origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O n.
zz z
-
3<1>
}-----+-y
}-----+-y
(b) Cilíndrico (e) Esférico(a) Cartesiano
Fig. 1-4
La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad.
tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas
(excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección
de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:
Las formas de componentes de un vector en los tres sistemas son:
A = + + Azaz
A = Arar + A",a", + Azaz
A = Arar + o o + A",a",
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo
funciones de las coordenadas en el sistema particular.
1.4 VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA
Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + ) ó , , ó
(r + dr, O+ de, + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el
volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema
aparece en la figura 1-5.
En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen
diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es
= dO senO = 2
senO dO
3
AEP
AEP

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4
z
~------------~ y
(a) Cartesiano
ANALISIS VECTORIAL [CAP. 1
.
= do =,2 sen O dñ
(b) Cilíndrico (e) Esférico
Fig. 1-5
El elemento diferencial de línea, di. es la diagonal a través de P, por lo que
dt2 = 2 + + 2
dt2 = 2 + r2
+ 2
dt2 = 2 + r2
+ r2
sen 2
()
1.5 CAMPOS VECTORIALES
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficien-
tes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de
punto a punto, a través de la región de interés.
Considere por ejemplo, el vector
E = -xax + yay
Dando diferentes valores a y a se ob-
tiene E en varios puntos. Después que
varios puntos han sido examinados, el
patrón resulta evidente. La figura 1-6
muestra este campo.
Además, un campo vectorial puede
variar con el tiempo. De esta manera al
campo bidimensional examinado puede
agregársele una variación temporal me-
diante la expresión
E = (-xax + yay)senwt
ó
Los campos magnéticos y eléctricos de los
capítulos posteriores variarán todos con
el tiempo. Como es de esperarse, serán
diferenciados o integrados respecto del
tiempo. Sin embargo, ambas operaciones
tendrán un curso natural y muy raramen-
te causarán gran dificultad.
----------~==~------+_------~~-----------
Fig.l-6

AEP
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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5
1.6 TRANSFORMACIONES
El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema
de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del
sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión
final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un
campo vectorial, de un sistema a otro.
EJEMPLO 1: Considérese
A = 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a.
en coordenadas esféricas. Las variables , 8. q, pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a
la figura 1-2 y aplicando la trigonometría básica. De esta manera
cos (J = -;::::;==;===;::
. + l-+ Z2
y
tanq, =-
Ahora las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de , y así:
Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la
figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto,
Combinando éstas con las componentes transformadas resulta
Problemas resueltos
1.1. Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z))
a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por
- x¡)a" + ( 2 - + - z1)a:
Lascoordenadas de M y N se utilizan para expre-
sar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_
A = xla.x + Ylay + zla.
B = X2a.x + Y2ay + Z2a.
~------
Entonces
Fig.I-7
AEP
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6 ANALlSIS VECTORIAL [CAP. 1
1.2. Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas cartesianas y determine el
vector unidad a lo largo de A.
A = (O- 2)a" + (- 2 - (- 4))ay + (O- 1)a. = - 2a" + 2a, - a.
IAI2 = (_2)2 + (2)2 + (_1)2 = 9
A 221
aA = 1AT = - 3a" + 3a, - 3a•
1.3. Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y
(5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas.
Primero, obténgase los vectores de posición
A y B (ver figura 1-8).
z
(S,1t/2,tO)
A = -5ay B = 5ay + lOa.
Entonces B - A = lOa, + 10a.y la distancia buscada
entre los puntos es.
lB-Al =
Las coordenadas cilíndricas de los puntos no
pueden utilizarse para obtener un vector entre los
puntos con el mismo método que se siguió en el pro-
blema 1.1 en coordenadas cartesianas.
<p = 1t/2
Fig. 1-8
1.4. Muestre que B = + +
Exprese el producto escalar en forma de componentes:
B = (A"a" + + + b,«, + .)
= a,,) • + (A"a,,)' ay) + a,,) .
+ ay) . a,,) + ay) • ay}+ ay) • a.)
+ a.) • a,,) + a.) . ay) + a.) . a.)
Sin embargo, al<' a" = ay = a•• a. = 1puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el
ángulo es cero. Cuando 8 = 90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de los
vectores unidad son iguales a cero. Así pues:
A • B = + +
1.5. Dados A = 2a" + 4ay - 3a", y B = a" - hallar B Y A x B.
A' B = (2)(1) + (4)(-1) + (-3)(0) = -2
l
a" a, a. IA x B = 2 4 - 3 = - 3a" - 3ay - 6a.
, 1 -1 O
1.6. Demuestre que A = 4a" - 2a)' - a. y B = a" + 4a)' - 4a", son perpendiculares.
Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores
cualesquiera diferentes de cero, implica que (J = 900.
A . B = (4)(1) + (-2)(4) + (-1)( -4) = O AEP
AEP

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1.7. Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a) el
producto vectorial, (b) el producto escalar.
(a) A x B = ~a,o I= -16a" + 8ay + 12a.
O 6 -4
IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47
IBI = + (6)2 + (_4)2 = 7.21
lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54
(b)
Entonces, como lA x BI = IAIIBI sen 8,
21.54
sene = ( )( ) = 0.6684.47 7.21
A' B = (2)(0) + (4)(6) + (0)(-4) = 24
=~= 24 =0745
cose IAIIBI (4.47)(7.21) Ó
ó
1.8. Dado F = - l)a" + , hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde
B = 5a" - ay + 2a •.
F(2,2, 1) = (2 - l)a" + (2)(2)ay
= a" + 4ay
Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un
segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del
segundo vector y utilizando el producto escalar.

A BProy. A sobre B= A' B = W
Entences, en (2, 2, 1),
B (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) 1
Proy. F sobre B = lBT = =
Proy. A sobre B
Fig.1-9
1.9. Dados A = a" + ay, B = a" + 2az, y e = 2ay + a,; halle (A x B) x e y cornpárelo con
A x (B x C).
l
a"
(A x B) xC = ~
aya"
- 2 - 1 = - 2ay + 4a.
2 1
Entonces
Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el
producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial.
En el problema 1.9, B x e = - 4a" - ay + 2a.. Entonces
1.10. Utilizando los vectores A, B Ye del problema 1.9, halle A • B x e y cornpárelo con A x C.
B x e = (1)(-4) + (1)(-1) + (0)(2) = -5
7
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
8 ANALISIS VECTORIAL . l.
También en el problema 1.9, A x B = 2ax- 2ay- a, . Entonces
A x e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1) = -5
Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro-
ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que:
Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos
escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo.
I.lI. Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el
eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas cilíndricas. Ver
figura 1-10.
h
El vector R es la diferencia de dos vectores:
R = ra, -
R ra, - haz
aR = - = ---..,==~-=-
IRI 2
+ h2
El ángulo <jJno aparece explícitamente en estas expresiones.
De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor inter-
medio de a..
Fig. 1-10
1.12. Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde
un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se
muestra en la figura 1-11.
Como el problema está planteado en coordenadas carte-
sianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente
a dos puntos. x
R = - xax - yay + 5az
-xax - yay + 5az
aR = --;~=~~:::---=
Fig. 1-11
1.13. Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;; sobre la concha
esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t?
El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)]
dS = r2
sen8d8d<jJ
Entonces
P
A = J J a2
sen8d8d<jJ
o •
= 2
(cos - cos P)
Cuando e = 9 y P = 1t, A = 47t0
2
, área de toda la esfera.
Fig.I-12
1.14. Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen.
En la figura l-5(c), do = r2
_sen 8 dr dO d<jJ. Entonces
h " • 4
v = J f J r
2
sen8drd8d<jJ = -3 3
o o o AEP
AEP

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1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área
de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r =2 m,
h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13).
El elemento diferencial de superficie es dS = d4Jdz. Entonces
S 2Kf3
A = f f 2d4Jdz
o ~f6
= 571:m2
1.16. Transforme
, /
de coordenadas cartesianas a cilíndricas,
Recurriendo a la figura 1-2(b),
x = rcos4J = sen4J = +
En consecuencia,
En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az:
a" . a~ = -sen4J
ay . a~ = cos 4J
a.' a4>= O
a,,' a. = O
ay' a. = O
a% • az = 1
a" . ar = cos 4J
a, . a, = sen4J
az' a, = O
Así pues a" = cos 4Ja, - sen4Ja4>
ay = sen4Ja, + cos 4Ja4>
ll: = az
y
Sm
Fig. 1-13
1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figu-
ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas.
En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como
lOa" donde 4J= 71:/4.En consecuencia
71: 10
= lOcos-=-.-
" 4 fi
71: 10
= lOsen-=-
y 4 fi
. = O
así que
Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario.
Problemas suplementarios
1.18. Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a" + 3ay, encuentre la proyección de A sobre B.
Fig. 1-14
esp. 12/,ji3
1.19. Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay + a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la
dirección de A, sp. 1.50 (a" + a.)
-
9
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
10 [CAP. 1ANALlSIS VECTORIAL
1.20. Halle el ángulo entre A = lOay+ 2a. y 8 = - 4ay + 0.5 a. usando tanto el producto escalar como el producto
vectorial. sp. 161.5°
1.21. Halle el ángulo entre A = 5.8ay + 1.55a. y 8 = - 6.93 ay + 4.0 a. usando tanto el producto escalar como el
producto vectorial. sp. 135°
1.22. Dado el plano 4x + + 2z = 12, halle el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen.
- . (4a" + 3ay + 2a.)/j2§
1.23. Demuestre que los campos vectoriales A y B son siempre perpendiculares si + + = O.
1.24. Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de A y B si los campos vectoriales son siempre
paralelos.
esp.
1.25. Exprese el vector unidad dirigido hacia el or igen desde un punto arbitrario sobre la línea descrita por = O,
= 3.
esp.
-3a - za
a = %
J9+7
1.26. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (XI' YI' ZI) desde un punto arbitrario en el plano = -5.
esp.
1.27. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (O, O h) desde un punto arbitrario en el plano = - 2. Ex-
plique el resultado cuando h se aproxima a - 2.
esp.
a= y
1.28. Dados A = 5a" y 8 = 4a" + Byay halle un tal que el ángulo entre A y B sea 45°. Si B tiene también un tér-
mino . a., ¿qué relación debe existir entre y
esp. = ,
1.29. Demuestre que el valor absoluto de A' 8 x e es el volumen del paralelepípedo con aristas A. By C. (Suge-
enc Primero demuestre que 18 x CI es el área de la base.)
1.30. Dados A = 2a" - a., 8 = 3a" + ay, y e = -2a" + 6ay - 4a., demuestre que C es perpendicular a B y a A.
1.31. DadosA = a" - ay, 8 = 2a%yC = -a" + 3ay, halle A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto
escalar. esp. - 4
1.32. Con los vectores del problema 1.31, halle (A x B) x C.
esp. -8a.
/
1.33. Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, - 5, - 2) hacia (14, - 5, 3).
sp.
12 5
a=-a +-a
13 x 13 z
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
-
[CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL
1.34. Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos
('1' l' ZI) Y 2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas.
1.35. Verifique que la distancia d entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por:
1.36. Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas
esféricas. sp. - 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a,
1.37. Halle la distancia entre (2, ni«, O) y (1, n, 2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas.
3.53
1.38. Halle la distancia entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas.
2.0
1.39. Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;; :<:;; sobre la concha esférica de
radio ¿Cuál es el resultado cuando I = esp. 21 2, = 2
1.40. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio y
radio h. sp. 2
1.41. z
Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el
volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.
sp. 2
h
1.42. Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas
diferenciales de superficie I y 2 y luego integre para
obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la
figura 1-15. sp. n/4, n/6
1.43. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de
una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio
externo 2.02 m. . 0.162 m3
Fig. 1-15
1.44. Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen
definido por 1 :<:;; :<:;;2 m, 0:<:;; O :<:;;n/2, y 0:<:;; :<:;; n/2. esp. 7 Ir ti
-m
6
1.45. Transforme el vector A = a, + + a, a coordenadas cilíndricas.
A = cos c + AysencJ»a, + (- AxsencJ>+ cos cJ»a4>+ a,
1.46. Transforme el vector A = a, + ao + a4>a coordenadas cartesianas.
.
/
11
-
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1]
1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.
F = xax + y + za.
2 + + Z2
1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es
normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas.
xax +. 2 + = const., F = y
+
1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a, + sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas.
3xzax + + 2 - 2 -
. F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--''
2 + + Z2
1.50. Dibuje el campo vectorial F = ya, + . . Véase figura 1-16.
y
5'1r/8
'lr/8
3'1r/8
1E'------.lr-----Ir-----1>-- 'Ir12
Fig. 1-16
--40:::---f---+-:---r---- ~= 'lr/2
?'lr/8
I~= plano constante I
~ = 3'1r/8
Z = plano constante
O ~ ~ ~ 'lr/2
~=O
Fig. 1-17 Fig. 1-18
1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos q,a, + ral/>' . Véase figura 1-17.
1.52. Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. . Véase figura 1-18.AEP
AEP

.----------------------------~------~~------------------------
Capítulo 2
Fuerzas de Coulomb
e intensidad del campo eléctricozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
2.1 LEY DE COULOMB
Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversa-
mente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es lamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGley de C oulomb, desarrollada
mediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así:
A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas. La fuerza está dada en newtons (N), la
distancia en metros (m)y la unidad (derivada) de carga es el coulomb (C). El sistema se racionaliza con el
factor 41t, introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell. e es la per mi-
tivida d del medio, en unidades C2/ N . m2 o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espacio
libre o vacío,
10-9
e = (o = 8.854ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAX 10-
12
F/m ~ 361t F/m
En un medio diferente al espacio libre, e = iO ir ' donde ir es la per mitivida d r ela tiva o consta nte dieléctr ica .
En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libre y adoptarse el valor aproximado dado de
(o', a menos que se establezca lo contrario.
Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresar su dirección. De esta manera,
describe una fuerza ejercida sobre Q (, donde el vector a2( está dirigido de Q 2 a Q (.
EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q ., 20ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ 1 ,C , debida a la carga Q 2,_ 300 J 1 ,C , sabiendo que Q. se
sitúa en (O, 1, 2) m y Q2 en (2, O, O) m.
Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan más a menudo en microcoulombs ( ¡ lC ) , nanocou-
lombs (nC) o picocoulombs (pC). (Véase apéndice para los prefijos del sistema SI.) Refiriéndonos a la figura 2-1,
R21 = -2a" + ay + 2a.
1
a21 = 3" (-2a" + ay + 2a,)
z
Entonces
F, = (20 x 10-6
)(-300 x 10-6
) (-2a" + ay + 2a,)
47t(10 .9j367t)(3)2 3
= 6ea" - i - 2a,) N
Q 2
(2, O, O)
x
La magnitud de la fuerza es 6 N Y la dirección es tal que Q. es atraída
hacia Q 2.
Fig.2-1
13
y

14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2
En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAca mpo de fuer za de simetría esférica. Este se
pone en evidencia cuando la cargaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T'
se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las
dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde- I
nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F = Q Q T 8
T 4nE
o
r 2 ,
•
Q
x
Fig.2-2 Fig.2-3
Debe observarse que, a menos que Q T ~ Q , el campo simétrico alrededor de Q está perturbado por Q T .
En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma
r. = F Q T + F Q
Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con Q T' Cuando las dos
cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto
de los dos campos. Este es elpr incipio de super posición para fuerzas de Coulomb y se extiende a un número
cualquiera de cargas.
8 2.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para no
perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la intensida d de ca mpo eléctr ico,
E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T :
1 Q
E=-Q F T= - 4 28,
T nEo r
Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q [figura 2 -4 (0 )].
Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema
arbitrario de coordenadas cartesianas,
donde el vector separación R se define en la figura 2 -4 (b ).
Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z
/--I------I~ mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCY
xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( a ) Esférico
Fig.2-4
2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA
E
(b ) Cartesiano
Carga volumétrica
Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al
campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración para
obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un
protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una
densida d de ca r ga por
Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m3 siempre que las
variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m3 para v ) . Esta convención será
utilizada a lo largo de todo el libro.
En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial
dQ produce un campo eléctrico diferencial
dQ
dE = 4 R2 aR
1tE:o
en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de la
región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P
se obtiene por integración sobre el volumen:
f
paR
E = 4 R2 d v
v 1tE:o
Carga laminar (superficial)
La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o
una lámina. Entonces cada carga diferencial dQ que esté sobre la
lámina produce un campo eléctrico diferencial
en el punto P (véase figura 2-6). Si la densida d super ficia l de ca r ga es
ps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región,
entonces el campo eléctrico total en P es
E=f p ,a R2dS
s 41tE:o R .
Fig.2-5
P /d E
•
s
Fig.2-6
Carga lineal
Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea
produce un campo eléctrico diferencial
15

I ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
16zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP (véase figura 2- 7). Y si la densida d linea l de ca r ga es
P t (Cj m) y no existe ninguna otra carga en la región,
entonces el campo eléctrico total en P es
z-,
dE .'R
p~
~
L
E = f P t aR
2 dI
L 47tEo R
Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones de
carga anteriormente citadas y en sus correspondientes
integrales para E, el vector unidad aR es variable y
depende de las coordenadas del elemento de carga dQ .
Así pues, 8R no puede ser sacado del integrando.
Fig.2-7
2.4 CONFIGURACIONES ESTANDAR DE CARGA
Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácil
cálculo. Respecto de estas configuraciones estándar (y de otras que serán analizadas en este capítulo) debe
anotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando un problema establece que la carga está
distribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco con
carga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque se
requiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en una
configuración especial.
Carga puntual
Como se determinó en la sección 2.3, el campo de
una sola carga puntual Q está dado por
+00
Q
E = ---2 a,
47tEor
y
(coordenadas esféricas)
Véase figura 2 -4 (0 ).. Este es un campo de simetría esférica
que cumple una ley del inver so del cua dr a do (como la
gravitación).
Carga de línea infinita
Si la carga está distribuida con densidad unifor me
P t (C I m) a lo largo de una línea recta infinita que
escogeremos como eje z, entonces el campo está dado por
x
E = ~ a (coordenadas cilíndricas)
27tEo r '
Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica y
es inversamente proporcional a la pr imer a potencia de la
distancia desde la línea de carga. Para una derivación de
E, véase el problema 2-9.
-00
Fig.2-8
Cargas de plano infinito
Si la carga está distribuida con densidad unifor me
P . (C I m-) sobre un plano infinito, entonces el campo está
dado por
E=~a
2Eo "
Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constante y
tiene simetría especular con relación al plano de carga.
Para una derivación de E, véase el problema 2.12.
Fig.2-9

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO I7
Problemas resueltos
2.1. Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 0 /-le ymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 2 = 10 /-le ,
están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O) m res-
pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so-
bre QI'
z
R2l = -4a" - 3az
-4a" - 3az
a2l = 5
Q lQ 2
F 1 = 2 a21
4nEo R21
= (50 X 10-6
)(10-5
) (-4a" - 3az)
4n(1O 9j36n)(5)2 5
= (0.18)(-0.8a" - 0.6az) N
Q ¡ ( - 1 ,1 ,- 3 )
Fig.2-10
La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6az
• En forma de
componentes
F¡ = -O.l44a" - 0.108az N
2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas
iguales de 20 /-le están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m.
Considere la fuerza debida a la carga en y = 4
z
(10-4
)(20 x 10-6
) (-4a, + 3az)
4n(10 9j36n)(5)2 5
La componente y se anula por la carga en y = - 4. En
forma similar, las componentes x debidas a las otras dos
cargas se anulan. Por consiguiente,
x
Fig.2-11
2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql = 300 /-le , situada en [I, - 1, - 3) experimenta una
fuerza
F 1 = Sa, - 8ay + 48% N
debida a la carga puntual Q 2 en (3, - 3, - 2) m.
Determine Q 2
R21 = -2a" + 2a, - az
Observe que, como
z
la fuerza dada está a lo largo de R21 (véase proble-
ma 1.24), como debe ser.
Fig.2-12
Resolviendo. Q 2 = - 40 ¡,te.
/

2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPONJ ,le que
está distribuida uniformemente sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCZ = O m (véase figura 2-13).
La densidad de carga es
_5? _500nx 10-
6
-02 0-4C12
P s - - ()2 -. xli m
A n 5
(0, O, 5)
z
En coordenadas cilíndricas,
R = -ra, + Sa,
Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza
diferencial
dF = _(5-:0_x~1O -:--r- 6--,)(p:-:-s-c;-r_dr_d_< jJ..,.)(-ra, + 5a.)
4n(1O 9/36n)(r2
+ 25) Jr2 + 25 ,
x
Fig.2-13
Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anula y que a, es constante. En consecuencia,
F = f2n f5 (50 x 10-6
)(0.2 x 1O -4)5rdrd< jJ
o o 4n(1O 9/36n)(r2 + 25fl2 a.
,5 rdr [ -1 J s
= 90n J (2 2 )312a: = 90n P+2s a: = 16.56.% N
o r + 5 r2 + 25 o
2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m.
Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor
P 2 = (5)2 = 625
p ¡ (2)2 .
mientras la integral sobre r se convierte en
2 rdr
fo (r2 + 25)312 = 0.0143 en lugar de
s r dr
f (2 2 )312= 0.0586
o r + 5
La fuerza resultante es
(
0.0143 )
F = (6,25) 0.0586 (16.56a: N) = 25.27.: N
2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual Q en (X I' Y I, Z I)' Repita el
ejercicio con la carga colocada en el origen.
Como se muestra en la figura 2-14,
z
Entonces P ( x ,y ,z )
Q
E=---a
4n(0 R2
R
Q (x - x ¡)a x
+ (y - y ¡)a y
+ (z - z¡)az
4n(0 t(x - X ¡)2 + (y - y ¡)2 + (z - Z ¡)2 ]3 1 2
..) - - - - - ~ y
Cuando la carga está en el origen,
E =.J?..- x a x + y a y + za:
4n(0 (X 2 + y 2 + Z2 )312
pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coordenadas esféricas con Q en el origen,
x
Fig.2-14
y ahora la simetría es evidente.
Q
E=·--.
4n(0 r2
,

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA19
2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4 nC localizada en (-4, 3, 2) m, en coordena-
das cartesianas.
La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ situada en el origen es en coordenadas esféricas:
En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R = 48x-
38ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy - 28e '
64.4 X 10-
9
(48x - 3ay - 2az) (2 )(4ax - 38y - 2az)
E = = 00 - V/m
41t(10 9/361t)(29) f o . yl29
2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35 )J.C en (O, 4, O) m y Q 2 = -0.55)J .C en (3, O, O) m (ver figu-
ra 2-15).
y
R1 = -48y + 58z
R2 = -38x + 58z
0.35 X 10-6
(-48y + saz)
El = 41t(1O 9/361t)(41) J4t
= -48.0ay + 6O.0a. V/m
-0.55 x 10-6
(-38x + 58z)
E
2 = 41t(1O 9/361t)(34) f o
= 74.98x - 124.98. V/m
E = El + E2 = 74.9ax - 48.08y r : 64.98z V/m
y
x
Fig.2-15
2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una línea recta infinita, con densidad p ¡ .
Desarrolle la expresión para E en un punto general P .
Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga el
eje z (ver figura 2-16). En P ,
z
too
•
dE = ~ (r8r - Z8i)
41ttoR2 ~
Como para cada dQ en Z hay otra carga dQ en-z, las componen-
tes z se cancelan. Entonces
P t r [ z ] 00 P t
- 8 - a
- 41tto r2~ -00 r - 21ttor r +-00
Fig.2-16
2.10. Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente una carga de densidad
P t = 20 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4) m.
Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el
problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene
componente z. Respecto de la figura 2-17,
20 X 10-9
(-4ax + 38y )
y E = 21t(0(5) 5 = - 57.68x + 43.2ay V/m

20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.11.
2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE CO ULO M B E INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO [CAP. 2mlkjihgfedcba
y
(0,4, z)
/~ x
y
p'/E
p/ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( 0 , - 4 ,.z )
Fig.2-17 Fig.2-18
Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t = 4 n C I m caen en el
plano x = O en y= ±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m.
Las líneas de carga son ambas paralelas a 8 z; sus campos son radiales y paralelos al plano xy. Para
cualquier carga lineal la magnitud del campo en P es
P t 18
E=--=-V/m
21Uo r .J2
El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición,
Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito
con densidad P s'
Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con
la carga en el plano z = O como se muestra en la figu-
ra 2-19.
z
d E
P (O , 1/1, z)
y
La simetría respecto del eje z produce la cancelación de
las componentes radiales.
P . z [ -1 ]co P .
- a - 8
- 2<0 J r2 + Z 2 o % - 2<0 %
x
Fig.2-19
Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por
debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o
vector unidad normal:
P.
E= -a.
2(0
El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud es independiente de la distancia al
plano.

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 3 m se distribuye uniformemente una carga de
densidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos.
Para y> 3 m,
E
P .
=-a,.
2(0
»A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3, z )
lE
y para y < 3 m,
E = -30a, V/m z
Fig.2-20
2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada
una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP ., se localizan en x == ± 1
(figura 2-21). Determine E en todas las regiones. p . p .
x
O
E2 E2 E2
--- ~
~
-- --El El El
1 2
Fig.2-21
En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos
láminas de carga. Ambas láminas producen campos E
que se dirigen a lo largo de x, independiente de la
distancia. Entonces
x < -1
-1<x<l
x>l
2.15. Repita el problema 2.14 con P . sobre x = -1 y-P . en x = 1.
x < -1
-1<x<l
x > 1
2.16. Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-.
forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m.
Las dos configuraciones de carga son paralelas al
eje x. En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando
hacia plano x y desde x positivo. Debido a la carga
laminar,
E
P •
•=-a,.
2(0
z
E. = -6a. V/m
5
Es
En P , a,. = -a. y ~ ::-+ ~ 4 -----+ - y
Debido a la carga lineal,
Fig.2-22
y en P
El campo eléctrico total es la suma
El = 8a, - 6a. V/m
E = El + E. = 8a, - 12a. V1m.
21

22 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.17. Determinar E en (2, O, 2) m debido a las tres distribuciones
están dar de carga siguientes: una carga laminar uniforme enZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x = O m con P .l = (1 I 3 n ) n C IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm -, una carga laminar uniforme
en x = 4 m conmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .2 = (-1 1 3 n ) n C I m? y una carga lineal uni-
forme en x = 6 m, y =0 m con P t = -2 n C /m .
Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a 8 I ' no
existen componentes z del campo. El punto (2, O, 2) tendrá el mismo
campo (2, O, z ). En la figura 2-23, P está localizado entre las dos
láminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia de
signo.
= 218" V/m
2.18. Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del eje z se dis-
tribuye una carga entre z = ± 5 m con una densidad uniforme
P t = 20 nC [tn . Determine E en (2, O, O) m en coordenadas car-
tesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilín-
dricas.
dE 20 x 10-
9
dz (28" - Z 8 z) ( )
= 41[(10 9/361[)(4+ Z2) )4 + Z2 V/m
La simetría con respecto al plano z = O elimina cualquier
componente z en el resultado.
5 2dz
E = 180 f ( 2)3/28" = 1678" V/m
-s 4 + z
En coordenadas cilíndricas E = 1678, V/m.
2.19. A lo largo del eje z se distribuye una carga desde z =5 m hasta
00 y desde z= - 5 mhasta - 00 (ver figura 2-25) con la misma
densidad que en el problema 2.18, 20 n Cj m. Halle E en(2, O, O)
m.
20 X 10-9 dz (28" - Z 8 z)
dE - (V/m)
- 41[(10 9/361[)(4+ z2) J4+?
Nuevamente se elimina la componente z.
= 138" V/m
En coordenadas cilíndricas, E = 138, V/m.
Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18 y 2.19
se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme.
E = ~ 8, = 1808, V/m
2 1 [ ( 0 r
x = 4
x
P ,¡ P .2
~~~-E E
O P (2 , 0, z ) ¿ "-
, P t'
x = o
Fig. 2-23
rs
x
dQ = P t
dz
(2, O, O) it----y
Z -s
Fig. 2-24
-s
+-00
Fig. 2-25

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23
2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA</> ,1) debido al disco
uniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr :::;; a , Z =0 (ver figura 2-26).
Si la densidad de carga constante es P .,
z
dE
(O ,rp ,h )
La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p.h 2" G r dr d o
E = 41tlo fo fo (r2 + h2)3/2 a.
. p.h (-1 1)
= 21'0 J a 2 + h 2 + h a.
Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J2lo}a ., el campo
debido a una carga laminar uniforme.
y
a
x
Fig. 2-26
2.21. Hay una carga sobre el disco circular r s; a , Z = O de densidad P . = P o sen- </> • Determine E en
(O, </> ' h ) .
dE = po(sen
2
tjJ)rdrdtjJ (-ra r + ha.)
41tlo(r2 + h
2
) Jr2 + h2
La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se
cancelan.
2.22. Hay una carga sobre el disco circular r :::;;4 m, Z = O de densidad P . = (1O-4
/r) (C/m2).
Determine E en r = O, Z = 3 m.
dE _ (l0-4/r)rdrdtjJ (-ra r + 3a.) (V/m)
- 41tlo(r2 + 9) P+9
Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría.
2" 4 drdtjJ
E = (2.7 X 106
) f f (2 )312 a. = 1.51 x 106
a. V/m o 1.51a. MV/m
o o r + 9
2.23. Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;2 m,
- 2 :::;;Y ~ 2 m con densidad de carga P . = 2(x2 + y2 + 9)3/2 n c¡ m2• Halle E en el origen.
De la figura 2-27
R = -xax - ya y + 3a. (m)
dQ = p.dxdy = 2(x2 + y2 + 9)3/2 X 10-9
dxdy (C)
z
y así
2(x2 + y2 + 9)3/2 x 1O -9dxdy
dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'-
41tlo(X2 + y2 + 9)
x ( - xax - ya y + 3a.) (V/m)
JX2 + y2 + 9
dE
(~2,-2, -3) .k----- y
(-2,2, -3)
x
Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E.
(2, -2, -3)
f
2 f2 6 x 1O -9
dxdy'
E = a, = 864a. V/m
-2 - 2 41tlo
Fig. 2-27

2.24. Una carga de densidad uniformemlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAPs = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2x-3y+ z = 6 m. Halle E en el
lado del plano que contiene el origen.
Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = pJ2éoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy E = (17,O)an V[m. Los vectores
unidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son
Aa x + Be; + Caz
a = + z
n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj A 2 + B 2 + C2
Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son
(O, O, 6)
- + - - - - + - y
De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del
plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo
eléctrico en el origen es
E = (17.0)( -2ax +~ y - a,) V/m
v'14
x
Fig. 2-28
2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡ =250 ¡,tCy Q 2= - 300 }J .C , están localizadas en (5, O,O) m y (O,O,-5) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobre Q 2' Resp. F2 = (13.5)( axfia, ) N
2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡ = 30 ¡,tC y Q 2= -100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobre Q ¡ . Resp. F1 = (0.465)( - 3Jis 7.%) N
2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobre Q 2' Resp. - F ¡
2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 IlC , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobre
una carga puntual de 100 jJ.C situada en (O, O, 3) m. Resp. 1.73 a , N
2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m
Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo.
Resp. (79.5)(- an) N
2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007r
IlC en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida
sobre un disco circular. Resp. 28.3 a, N
2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el
plano z = Oentre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 }J .C , distribuida uniformemente.
Resp. 4.66 a, N
2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de
densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo.
2.33. Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia d (m). Exprese el campo
eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas.
Resp. Si las cargas están en x =0 y x = d. entonces, para O < x < d,
º [1 1]E = 41Uo x2 - (d _ X)2 a, (V/m)

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25
2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la
fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q2/ 4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1rEo t2) N .
2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad de carga uniforme P . es el mismo
que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro.
2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para E debido a una configuración de carga recta infinita-
mente larga con densidad uniforme p~. Resp. E = ~ xa", + ya y
2nio x2 + y2
2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z conZYXWVUTSRQPONMLKJIHGP ~ = 20 nC/m.
Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín-
dricas. Resp. 21.6a", + 28.8ay V/m, 36a, V/m
2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P t= 4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y = ±4m. Deter-
mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.' Resp. ± 18 ax V/m
2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la
otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m. Resp. 30az V/m
2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, con p ( = 3.30 n C/ m, locali-
zada en x = 3 m, y. =4 m. Resp. -7.13a", - 9.50ay V/m
2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos será igual el valor de E? Resp. (O, O, z)
2.42. A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje z es 1.80 x 104 V/m.
Encuentre la densidad de carga uniforme P ~. Resp. 2.0 J l.C /m
2.43. El plano- x+ 3y-6z = 6 m contiene una distribución uniforme de carga P . = 0.53 nC/m2• Encuentre E enel
lado que contiene el origen. Resp. 30(a", - 3ay + 6az) V/m
J46
2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n) C/m2 están localizadas en z= -5 y y =
- 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en
(4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O. Resp. 0.667 nC/m
2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi-
dad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En
qué puntos de la región será E igual a cero? Resp. (x, - 2.273,2.0) m
2.46. Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3 n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme
de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m.
Resp. 8ay V/m
2.47. Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar
uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo una
componente z. ¿Cuál será P . de la carga laminar? Resp. 125 p Cj rn?
2.48. Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx = 3 m,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a
2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen.
Resp. 5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m.
2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga
uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E
en (O, O, 5) m. Resp. 100.5 nC
2.50. El disco circular r ~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad de carga P . = 10 8/ r (C / m-). Determine el
campo eléctrico E para el punto (O, <p ' h). Resp. 1.13 x 10
3
a, (V/m)
h..j4 + h2

2.51. Examine el resultado del problema 2.50 cuandomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en h que
resulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen.
2.52. Una carga laminar finita de densidad P s = 2 x(x2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ y2 + 4)3 12ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(e l m"), yace en el plano z = Opara O S x S
2 m y O S Y S 2 m. Determine E en (O, O, 2) m.
Resp. (1S x 109
)( - 13
6
a" - 4ay + saz) V/m = 1S( - 1: a" - 4ay + saz) GV/m
2.53. Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a una carga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largo
del eje x entre x = - 5 m y x = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x = - I m y
x = I m. Resp. 2.31 a, V[ti», 1.43ax V[ tt:
2.54. El disco circular r S I m, z = Otiene una densidad de carga P s = 2 (r2 + 2 5 )3 /2 e - 10. (e l rnt). Encuentre E en
(O, O, 5) m. Resp. 5.66ax GV 1 m
2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniforme-
mente cargada.
2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante p a través de un volumen esférico de radio a . Usando los
resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que
l
~a
3/00 •
E = 3
a p
--a
31'0,2 r
,sa
,¿a
donde, es la distancia desde el centro de la esfera.

Capítulo 3
Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW
3.1 CARGA NETA EN UNA REGION
A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración,
la carga neta que está contenida en un volumen específico. ComojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dQ LKJIHGFEDCBA= pdv (C )
. entonces
Q=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf pdv (C)
v
Por supuesto, p no necesita ser constante en todo el volumen v.
3.2 FLUJO ELECTRICO y DENSIDAD DE FLUJO
Por definición, el flujo eléctr ico. 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En
ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de
carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia
En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo aban-
donan + Q y terminan en - Q . Esto supo-
ne que las d os cargas son de igual magnitud.
El caso en que hay una carga positiva y
ninguna carga negativa en la región apare-
ce ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las
líneas de flujo están igualmente espaciadas
a través del ángulo sólido y se alejan hacia
el infinito.
Mientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la densida d de flujo eléctr ico. D, es un campo
vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la
dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es
normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es
'P=Q (C )
~+ Q . . . . . . . . - Q
~
( a )
27
( b )
Fig. 3-1
D

28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3
Una distribución volumétrica de carga de densidadjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la
figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el
flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la
densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la
normal a S. Si, en el elemento de superficie dS, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial
que cruza dS está dado por
d'l' = D dS cos ()
= D· d s « ,
= D ·dS
donde dS es el elemento vectorial de superficie, de magnitud dS y dirección 8 n• El vector unidad a, se toma
siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d'l' sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte-
rior hasta el exterior de S a través de dS.
3.3 LEY DE GAUSS
La integración de la expresión anterior para d '1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ = Q ,
f D ' dS = e.,
Esta es la ley de Gauss, que establece que el flujo tota l que sa le de una super ficie cer r a da es igua l a la
ca r ga neta contenida dentr o de la super ficie. Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser
obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración.
3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO
Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
z
Q = f D . dS = D f dS = D (4nr
2
)
de donde D = Q /4nr
2
• Así pues
Q Q
D = --2 a = 4'"r 2 a,4nr n ,.
Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar)
localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super-
ficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de
magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a
ella. La ley de Gauss dice entonces que
Fig. 3-4
Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a Q es
Se concluye que D = { o E.
Más en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e ,
D = {E
Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un
factor que es una constante del medio. Mientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es
una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti-
ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de
cada dieléctrico.
3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES
La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por-
que satisface las siguientes condiciones definitorias:

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 29
l. La superficie es cerrada.
2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH
3. D tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie donde D es normal.
EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, conXWVUTSRQPONMLKJIHGFp ( ( c ¡ m).
Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede
tener una componente r , y esta componente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este
problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss,
Q= f D·dS+ f D'dS+ f D·dS
1 2 3
D Y dS son ortogonales respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto de 2 , D Y dS
son paralelas (o antiparalelas, si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues
D = -~
21tr
and D=~a
21tr r
Q = D f dS = D (21trL)
• 2
donde L es la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q = p ( L . Por lo tanto,
Obsérvese la simplicidad de la derivación anterior si se compara con el problema 2.9.
00
D
D
D
-00
-00
Fig. 3-5 Fig. 3-6
La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado
para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones, el método puede pro-
veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble-
ma 3.40.
)
-/

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 330
Problemas resueltos
3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBAy O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLKp = 30x2 y
(p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m?
Como dQ = pdv, z p(x,y,z)
1 1 1
Q = J J f 30x2ydxdydz
o o o
= 5 J .1 .C
Para el cambio en los límites de y.
I o 1
Q = J f J 30x2ydxdydz
o - 1 o
= -5 J .1 .C
x
Fig. 3-7
3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si
Por integración,
3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super-
ficie S.
¿Qué flujo neto cruza por S?
Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega-
tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa.
'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC
3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri-
bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2r
( C jm 2)?
2 n 4 (sen2cjJ)
'1' = Q = J f ._- r d r d c jJ = 211: C
o o 2r
s
Fig. 3-8 Fig. 3-9
3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S.
¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?
Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo neto fuer a de S será
cero si las cargas son de la misma magnitud.

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS
3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . = 12 sen 1> p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC I m? está encerrado por una
superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?
2x 4
'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlC
o o
Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no
hay un flujo neto que cruce por S.
3.7. Carga en la forma de una hoja plana con
densidad P s = 40p.Cjm2 está localizada
en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor-
me de P t = - 6 p .C jm yace a lo largo del
eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie
de un cubo de 2 m de arista, centrado en el
origen, tal como se muestra en la figura
3-10?
z
- - . . . . . •~ ~ y
La carga encerrada en el plano es Q = (4 m -)
( 4 0 J lC /m 2) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =
(2 m)(- 6 J l C jm ) = - 12 ¡,¡C
Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C
x
Fig. 3-10
3.8. U na carga puntual Q está en el origen
de un sistema de coordenadas esféricas.
Encontrar el flujo que cruza la porción
de una concha esférica descrita por
()(~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re-
sultado si a = O Y P = 1 t j2 ?
z
El flujo total 'P = Q cruza una concha
esférica completa de área 4 nr ". El área de la
franja está dada por
2. P
A = f f r
2
sen8d8dq,
o •
= 2nr2( - cos fJ + cos IX)
- - - - - - - - - ~ ~ y
Entonces el flujo a través de la franja es
A Q J
'f. - - Q = - ( - cos f3 + cos IX)
neto - 4 1 tr 2 2
Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe-
rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f2 .
Fig. 3-11
3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i.C j m , yace a lo largo del eje x . ¿Qué flujo por unidad de
longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m?
El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la
franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12.
IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad
Entonces
!.= 50(1.176) = 9.36 J 1 C fm
L 2n
3 1

32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3
zjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
e
"
Fig. 3-12 Fig. 3-13
3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos a una carga
lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga.
La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está locali-
zada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determi-
nado por el ángulo (1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a bcd, la ley de Gauss permite ver que el
flujo que entra aXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está
determinado por el ángulo subtendido (1. •
3.11. U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen
de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo
eléctrico D en (1, 3, - 4) m.
Refiriéndose a la figura 3~14
Q .
D = 4nR2 aR
= 30 x 10-
9
(a" + 3a, - 4a.)
4n(26) p
= (9.18 X 10-1 1 )( a" + 3a, - 4a. e /m 2
p J
x
(1 ,3 , -4 )
D
Fig. 3-14
o, más convenientemente, D = 91.8 pC/m2.
3.12. Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidades de carga
P t = 20 J.l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m.
La distancia desde el punto de observación hasta cualquiera de las cargas lineales es 3 j2 m. Considerán-
dose primero la carga lineal sobre el eje x,
D
_..!!!...- _ 20 /- le /m (a, + a.)1 - a1 - ---
2Wl' 2n{3J 2 m ) .J i
y ahora la carga lineal sobre el eje y,
La densidad total de flujo es la suma vectorial
D = 20 (a" + a, + 2a,) = (1.30)(a" + ay + 2a,) /- lC /m 2
2n{3J 2).J i J 2

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33CAP. 3]
3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA= lüxa, (e/m2), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWV
x = 3 m.
Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,
3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0
m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = 2 m, tP = 53.20
si
D = 2xa x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2)
z
En el punto P (ver figura 3-15),
x = 1Ocos53.2° = 6
Y = 1Osen53.2° = 8
Entonces, en P ,
D = 12a" - 14a, + 8az C/m2
El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa-
rada con las unidades en D, puede aproximarse así:
x
Por lo tanto,
Fig. 3-15
d'l' = D' dS = (12a" - 14ay + 8az)' 1O-6
(0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que
hacia afuera en la dirección de dS.
3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los
ejes coordenados.)
'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)·(-dSa,,)
x=l x=-l
+ f [Zxa, + 3ay) . (dS ay) + f (2xa" + 3ay) . (-dS ay)
, = 1 y = - I
+ f (2xa" + 3a~).' (dS az) + f ' (2xa" + 3a,) . (-dS a.)
e= 1 :=-1
J
= 2 f dS + 2 f dS + 3 f dS - 3 f dS + O + O
,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1
= (2 + 2 + 3 - 3)(22
} = 16 C
3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén-
trico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t) u C ] m2• Ambas distribuciones son infinitas en el sentido
de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-
plo 1, sección 3.5,
D - P t
- 27tr a, 0<r<2

34
3.18.
FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS
Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB .
e., = f D·jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdS
(P t + 47tp.)L = D (2TtrL)
de lo que se desprende que
D _ P t + 47tP .
- 27tr Sr
r> 2
[CAP. 3
z
t
Fig. 3-16
z
t
oo
Jt-
~dZ
Ty
X
t -00
Fig. 3-17
Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sre : 2r (C/m3). Utilice
la ley de Gauss para hall~r D. ".
Como P no es una función de (jJ o z . el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r
constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial
apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de
Gauss es .
3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad
uniforme de carga p (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
Para los datos numéricos,
0.477
-- Sr (¡.tC ¡m2)
r
D = 0.239
-- Sr (¡.tC /m2)
r
0<r<2m
r>2m
3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua-
les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-
lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo.
Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga
que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente
cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani-
llos. Para la superficie gausiana l.
Qenc = O = D f dS
En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc-
ción radial, se puede tomar una tajada dz del cilindro de carga y el
resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este
anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el
plano del anillo, D y E son cero.
e., = f D· dS
superficie
lateral'
L 2ft ,
f f f 5re- 2rr dr d (jJ d z = D (2nrL)
O O O
5nL[e-2r
( _r2
- r -1 ) + 1 ]= D (2nrL)
Por consiguiente D = 2.5 [1- e- 2r(r2 + r + 1)]Sr (C/m2)
r

CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 35
De la figura 3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p (C /m 3)
Q.nc = D (2nrL)
D=O
Para 2 ~. r ~ 4 m,
npL(r2 - 4) = D (2nrL)
D =.t (r2
- 4)a, (C/m2)
2r
----- -~---/- - -.......•.. ,
r : ---)
-------""
Para r > 4 m,
12npL = D (2nrL)
D = 6 p a, (C/m2)
r
t -00
Fig. 3-18
3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::;a contiene una densidad uniforme de car-
ga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres-
pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el
mismo campo D para, > a ?
Para una superficie gausiana como ~ que aparece en la figura 3-19,
z
y
pr
D=-a
3 '
r :5: a
+ - - - - - l~ Y
Para puntos fuera de la distribución de carga,
x
r = a
p a
3
de donde D= -2 a,
3, Fig. 3-19r > a
Si una carga puntual Q = (4/3}1ta 3p se coloca en el origen, el campo D para r > a será el mismo. Esta
carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen.
3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe-
rior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el
efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas.
Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa
superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior.
La frase despr ecie el efecto de bor des asegura que todo el flujo
es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial
mostrada en la figura 3-20,
Q.nc = f D· dS + f D . dS + f D . dS
arriba abajo lado
+ P ,
= 0+ f D ·dS+ O
abajo
~-P '
ó
p,A= D fdS= DA Fig.3-20

36 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3
dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA es el área. Por consiguiente,
y ELKJIHGFEDCBA= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI!!. a. (V/m)
(o
Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa.
3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de
carga es
Resp. 84.9}J .C
3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; <p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga
P = 2z sen-' <p (C/m). Resp. 4.91 C
3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,
halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co.
Resp. 3.97 P o r~, 6.24 P o r~, 6.28 P o r~
3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga
¿Qué flujo neto cruza la superficie S? Resp. - 2po (C)
3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad
¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m?
Resp. -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C
3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica
en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para
k < a y k > a ? Resp. Q , Q '
3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica
centrada en el origen con, = 3 m? Resp. 18}J.C
,.
3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una
esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; <p :s; p . Resp.
{J -IX
-Q
2n

CAP. 3) FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 37
3.30. U na carga puntual dejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un
área de 41t m2 sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m. Resp.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 19 (C)
3.31. Un área de 40.2 m2
sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en
dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? Resp. - 50 J .le
3.32. Una carga lineal uniforme con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del
plano y = 6 que contiene -1 ::; z ::; I? Resp. 5.26%
3.33. Una carga puntual, Q = 3 rrC, está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo
'JI cruza la porción del plazo z = 2 m para el que -4 ::; x ::; 4 m y -4 ::; Y ::; 4 m? Resp. 0.5 nC
3.34. Una carga lineal uniforme con p , = 5 /J C fm yace a lo largo del eje x . Halle D en (3, 2, 1) m.
Resp. (O.356)(2afi a.) J .le/m2
3.35. U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, rodeado por una
distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q .
Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a . Obtenga D en todas las regiones.
Resp. 'fI = 41t,2 D = 10+ Q r < a
1 ,>a
3.36. Dado que D = 500e-O
' 1x a x (J .lel m-), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y
localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. Resp. 452J .tC , 303J .le, 184 J .le
3.37. Dado que D = 5x2
a x + l Oza , (el m2
), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de
arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. Resp. 80 e
3.38. Dado que
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por, = 2b, z= O , y
z = 5b (m ). Resp. 129b2 (C )
3.39. Dado que
sencjJ
D = 2,coscjJa.; - 3 r a.
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a, O ::; cjJ ::; 1t/2.
Repita el ejercicio para 31tI 2 ::; cjJ::; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de az'
a a
Resp.
3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a, z = O contiene carga con densidad no uniforme p,(r, cjJ). Utilice
superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados de D sobre el eje z , ( a ) muy
cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) .
Resp. (a) p,(O,cjJ); (b ).J L donde Q = rfGp,(r,cjJ)rdrdcjJ
2 4nz2
o o
3.41. Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica
concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1m2
• ¿Qué densidad superficial de carga
sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para, > 2 m? Resp. -71.2 pel m?
3.42. Dada una distribución de carga con densidad P = 5, (el rn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss
para hallar D. Resp. (5r2
/4}a, (e/m2)

3'8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3
3.43. Hay una densidad uniforme de carga de 2 e / m ' en el volumen 2 :$jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDx :$ 4 m (coordenadas cartesianas). Utilice
la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. Resp. -2a" e/m 2, 2(x - 3)a" (e/m2), 2a" e/m2
3.44. Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está comprendida entre los conductores concéntricos de
un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio a . Desprecie el efecto de bordes.
Resp. ps.(a lr), ps.(a /(o r)
3.45. Un conductor de espesor determinado tiene una densidad superficial de cargaXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp s : Suponiendo que 'P = Odentro
del conductor. demuestre que D = x:o, apenas fuera del conductor, construyendo una superficie gausiana
especial.

Capítulo 4
DivergenciaFEDCBAy teorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcb
4.1 DIVERGENCIA
La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos
maneras. La primera de ellas es lajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdiver gencia , que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la
derivada de una función. La segunda es el r ota ciona l, vector que se examinará cuando se discutan los campos
magnéticos en el capítulo 9.
Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la región contienefuenteso
sumider os; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos
eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica
positivaaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ . El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que
contiene cargas positivas contiene fuentes de 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será
positiva en esta región. Una correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la
carga eléctrica negativa.
La divergencia del campo vectorial A en el punto P está definida porTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d i A l'~ '_ A - , - - ·d_SI V == l m -
. & v "'O L v
La divergencia puede ser expresada para cualquier campo
vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo
en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo
con aristas L x , L y , y L z paralelas a los ejes x, y y z , como se
muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define
en P , esquina del cubo correspondiente a los valores menores de
x, y y z.
i l l z
p 1
A I1 x
l1y
En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal L v que se comprime hasta el punto P .
4.2 DIVERGENCIA EN COORDENADAS
CARTESIANAS
z
y
A = Axa x + Aya y + Azaz
Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6 x
caras. Sobre cada cara la dirección de dS es saliente. Como las
caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará Fig.4-1
dos caras paralelas cualesquiera.
En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara 1 tiene vista total. Las componentes x de
A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de 1 aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas,
fA . dS,:;:; -A A x )L y L z
c a r a
izquierda
dS
1fA ' dS::::: A A x + L x )L y L z
c a r a
derecha
I1 x
Fig.4-2
39

40 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4
de manera que el total para estas dos caras esjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a Ax
;¡ -AxAyAz
vX
El mismo procedimiento se aplica a los restantes pares de caras y se combinan los resultados.TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f A dS (
a Ax oAy O Az) A • • A A ~
. ~ - + - + - ilAuyu",
oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAay a z
Dividiendo por Ax Ay Az = Av y haciendo Av - + 0, se obtiene
(cartesiano)
El mismo método puede aplicarse para coordenadas cilíndricas (problema 4.1) Y esféricas.
di A _ 1 a ( A) 1 a A< /> a Az
IV --- r + - - - + -
r a r ' r a e/> a z
. 1 a (2) 1 a ( ) 1 a A< />
dIV A = '2:l r A , + - - ( ) ~ ( )A g s e n () + - - ( ) ~,.¡.,
r o r rsen u rsen v v '
(cilíndrico)
(esférico)
4.3 DIVERGENCIA DE D
De la ley de Gauss (sección 3.3),
§ D· dS Qenc
=
Av
En el límite,
lím ~ D • dS d' D u Qenc
= IV = 1m -- = p
I!.V "'O Av I!.v ..• O Av
Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwell para campos estáticos:
div E = ef
si e es constante en toda la región que se está considerando (si no lo es, div iE = p ). Así pues, ambos campos
E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región libre de carga .
.
div D = p y
EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la región r :$ o contiene una densidad uniforme de carga P . Para r > o la
densidad de carga escero. Del problema 2.56, E = E , 8" donde E , = (p rf3 (o) para r s ; o y E , = (p o 3 / 3 lo r2) para r > o .
Entonces para r :$ o,
. 1 a ( 2 pr ) 1 ( 2 p) P
div E = ~ ar r 3io = ~ 3r 3(0 = ~
y, para r > o,
. 1 a (2 p a
3
)
d l v E = - - r - - = 0
r 2
0r 3io r
2
4.4 EL OPERADOR NABLA
El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este
punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en coordena da s ca rtesia na s corno

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIATSRQPONMLKJIHGFEDCBA4 1
En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representaraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd i d x . Los símbolos r y f
son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V,
solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin
embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A .
. _(i. i. ~) .(A A A ) _ o A " o A y o A z - di
V A -jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAax a" + ay ay + OZ sr "a" + .,al' + • az - OX + oy + OZ - IV A
De aquí en adelante, escribiremos la divergencia de un campo vectorial como V . A.
[ Atenciá nl El operador nabla sólo está definido para coordenadas cartesianas. Si V . A se utiliza para
expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador
nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas ci-
líndricas se escribe como
1 o 1 0 A .p o A .
V 'A = - - ( r A ) + - - + -
r or r r oq, iJ z
(véase sección 4.2). Esto no implica que
1 iJ 1 iJ () iJ ()
V == - - (r lar + - - - a + - - a
r ar r iJ q , .p OZ %
en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r esulta do fa lso si se utilizara en V V
(el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) ..
4.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA
La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . dS es igual a la carga encerrada.
Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede
obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues,
Pero p = V . D, entonces
f D' dS = J (V' D )dv
JI
Este es el teor ema de diver gencia , también conocido como teor ema de diver gencia de G a uss. Es el análogo
tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre
D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.
teorema de la divergencia fA' dS = f (V' A)dv
s v
Por supuesto, el volumen v es aquél que está encerrado por la superficie S.FEDCBA
E J E M P L O 2: La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico
Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.

42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4
Para S, escogemos la superficie esféricajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBArTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= b :s ; a .aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f (V, E)dv
2. • pb3
= f f - senf d O d 4 >
o o 3 E
47tpb3
= - -
3 E
y
V . E = ~ ~ (r2 pr) = f!..
r
2
or 3 E E
2. ~ b P
f f f - r
2
se n O d rd O d 4 >
o o o E
47tpb3
3 E
ff (~:FEDCBAa ,). (b
2
se n O d 8 d 4 > a,)
El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticos como a campos variablescon el tiempo en
cualquier sistema de coordenadas. El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario
cambiar de una integral de superficie cerrada a una integral de volumen. Pero por eso puede usarse también
para convertir la integral de volumen de una función, que puede ser expresada como la divergencia de un
campo vectorial, en una integral de superficie cerrada.
P r o b l e m a s r e s u e l t o s
4 . 1 . Desarrollar la expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas.
U n volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Sr, r!l.4> , y !l.z. El campo vectorial A está
definido en P , esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r,4> , y z, como
A = A,a, + AoIJa4> + A.a.
z
Por definición,
. ,fA ' dS
d¡vA= hm ---
6v~O !l.v
y
Para expresar fA ' dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen.
Para la componente radial de A ver la figura 4-4.
En la cara izquierda,
fA' dS ~ -A,r!l.4> !l.z
F i g . 4 - 3
y en la cara derecha,
fA' dS ~ A,(r + !l.r){r + !l.r)!l.4> !l.z
~ (A, + °o~'!l.r )(r + !l.r)!l.4> !l.z
(
OA,)~ A,rA4> !l.z + A, + " s !l.r!l.4> !l.z
s-.
dS ~~+ Ar )
~
F i g . 4 - 4donde el término en ( !l.r)2 ha sido despreciado. La contribución neta de
este par de caras es entonces
(
oA ) o 1 aA, + r -' !l.r !l.4> !l.z = - (rA,)!l.r !l.4> !l.z = -;- (rA,)!l.v
or or r o r
(1)
ya que !l.v = r!l.r!l.4> !l.z.

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 43
En forma similar, las caras normales aTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa q , dan
y
para una contribución neta deaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 A q ,
- - - L v
r 04>
(2 )
y las caras normales a a, dan
yjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( A. + °o~z LZ) r L r .14>
para una contribución neta de
oAz
- L v
oz
(3)
Cuando (l), (2) Y (3) se combinan para dar §A . d S , la definición de divergencia es:
. 1 o(r A,) 1 oA4> oAz
d l v A = - - - + - - + -
r or r 04> oz
4.2. Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.
Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas,
E=~a
21tE o r '
Entonces
v . E = ~ ~ (r ~) = O
r or 21tE o r
La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r = O, donde la expre-
sión es indeterminada.
4.3. Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.
Para una carga puntual, en coordenadas esféricas,
Q
D = - 4 2 a,
1tr
Entonces, para r > 0,
4.4. Dado A = e -r(c o s x a , - sen x ay), hallar V' A.
4.5. Dado A = x
2
.x + y z a )' + x y a z , hallar V' A.
o o o
V ' A = - (X2) + - (yz) + - (xy) = 2 x+ z
ox ay OZ

4.6. Dado ATSRQPONMLKJIHGFEDCBA= aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2
( sen ~x )a"" hallar V· A en x = l.
a ( 1 tX )
V . A = - 5x2
sen-
ax 2
(
1 t X ) 1 t 1 tX 5 1 t X 1 t X
= 5 X 2 cos - - + lOx sen- = - 1 tX
2
cos - + 10x sen-
2 2 2 2 2 2
y V· A l = 10.
x=l
4.7. Dado A = (X2 + y
2
t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).
y V· A l = -8.84 x 10-2
(2.2.0)
4.8. Dado A = r sen 4>FEDCBAa , + 2r cos 4>a", + 2z2a%, hallar V· A.
1 a 1 a a
V ' A = - - (r2
sentj» + - - (2rcostj» + - (2z2
)
r a r r a tj> a z
= 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z
4.9. Dado A = r sen tP a , + r
2
cos 4>a", + 2re - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n/2, O).
1 a 1 a a
V' A = -- (r2
sentj» + - - (r2
costj» + - (2re-S
%) = 2sentj> - rsentj> - 10re-s%
r a r r a tj> a z
y
I
1 t 1 1 t (1) o 7V· A = 2sen- - -sen- - 10 - e = --
(1/2.,,/2.0) 2 2 2 2 2
4.10. Dado A = 10 sen24> a , + ra", + [(z2/r)cos2 4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).
V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos2
tj>
r
y V .A I = 5
(2 .< 1 > . S )
4.11. Dado A = (5/r2) sen Ba, + r cot é a, + rsen Bcos4>a"" hallar V· A.
la 1 a 1 a
V· A = - - (5senO) + - - - (rsenO cotO ) + - - - (rsenO costj» = -1 - sentj>
r2
a r rsenO a o rsenO a tj>
4.12. Dado A = (5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa"" hallar V· A.
V . A = ~~ ( 5 ) + _ 1 _ ~ (10)+ _ 1 _ ~ (-r2
tj> senO ) = -r
,2 a r rsenO a o rsenO a tj>
4.13. Dado A = 5 sen O a, + 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n/4, n/4).
1 a 1 a ' cosO costj>
V' A = --- (5sen2
0) + - - - (5sentj» = 10-- + 5--
r seno a o r senO a tj> r r senO
y V 'A I =24.14
(0 .S .,,/4 .,,¡4 )

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 45FEDCBA
4 . 1 4 . Sea D =jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas cartesianas y D = (P o z/TSRQPONMLKJIHGFEDCBAIz l)a: en las otras
partes. Halle la densidad de carga.
V·D = p
Para - l ~. z ~ 1.
y para z < - l ó z > 1,
L a distribución de carga aparece en la figu-
ra 4-5.
F i g . 4 · 5
4 . 1 5 . Sea
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 0
P = - - [b(r2 + z2r3!2r2] + - [b(r2 + z2r3J2z]
r or oz
= ~ f - ~ (r2
+ z2rS/2(2r3) + (r2 + z2r3/2(2r)] + b f - ~ (r2
+ z2t SI1(2z2) + (r
2
+ z2t3/2]
= b(r2 + z2rS/2[ -3r2 + (r2
+ z2)(2.) - 3z2 + (r2
+ Z2)] = o
a menos que r = z = O. (El campo dado D corresponde a una carga puntual en el origen.)
4 . 1 6 . SeaD=(lOr3j4)ar( C jm 2)enlaregiónO < r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar
(C j m 2) en cualquier otro sitio. Halle la densidad de carga.
Para O < r ~ 3 m,
y para r > 3 m,
1 o
p = - - (810/4) = O
r or
4 . 1 7 . Sea
D = º2'(1-cos3r)ar
n r
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.
p =..!.. ~ fr2 J L (1 - cos 3r)-] = 3Q sen3r
,2 or n r2 , nr2
4 . 1 8 . Sea D = 7r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.
1 o 1 o 56 cos O·
p = - - (7r4
) + - - - (28sen2
O) = 28r + - -
r2 or rsen () 0 0 r

4.19. En la región OTSRQPONMLKJIHGFEDCBA< aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr:S 1 m, D=(-2 x 1 O -
4
/r)a, (C !m jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2) y para r > 1 m, D=(-4 x 1 O -
4
/r2)a;
(C/m2), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones.
Para O < r s; l m.
y parar > I m,
4.20. En la región r :S 2, D = (5r2/4)a, y para r > 2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la
densidad de carga.
Para r ::;;2,
y para r > 2,
1 o
P = 2 - ( 2 0 ) =O
r or
4.21. Sea D = (lOx3/3)ax (C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de
un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes.
f n- dS = f ( V ' D )dv
vol
Como O tiene sólo componentes x, D .dS es cero en todas las
caras excepto x = l m y x = - I m (ver figura 4-6).
1 1 10(1)
fO'dS= f f -a x'dydza ",
- 1 - 1 3
+f
l fl.1 0 (-I)
a",' dydz (-a",)
- 1 - 1 3
40 40 80
= - + - = - c
333
y
Fig.4-6
Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O = 10x2
, entonces
4.22. Sea A = 30e-'a, - 2zaz en coordenadas cilíndricas.
Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el
volumen encerrado por r = 2, z = O Y z = 5 (figura 4- 7).
Cabe anotar que Az = Opara z = Oy, por consiguiente, A ·dS
es cero sobre esa parte de la superficie.
5 2,. 2" 2
fA' dS = f f 30e-2
a,' 2 dtj> dza, + f f -2(5)a.· r dr dtj> a .
o o o o
= 6Oe-2
(2n:)(5)"':' 1O(2n:)(2) = 129.4
A,
Fig.4-7

Para el lado derecho del teorema-de la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo a 30e-'
V ' A = -- (30re-') + - (-2z) = -- - 30e-' - 2
r or oz r
y
5 2n 2 (30e-' )aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f (V . A)dv = f f f -- - 30e-' - 2 r dr d o dz = 129.4
o o o r
4.23. Sea D = (lOr3
/4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de diver-
gencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8).
f D . dS = f (V . D )dv
z
Como D no tiene componente z, D 'dS es cero para la parte
superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en
dirección - .,.
10 2n 1 0
+ f f -4 (2)3.,' (2)d< jJdz e,
o o
x
- 2001t 2001t
= - - + 16-- = 7501t C
4 4
Fig.4-8
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
10 2n 2
f (V' D )dv = f f f (lOr
2
) r dr d o dz = 7501t C
o o 1
4.24. Sea D = (5,2/4)ar (C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia
para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9).
f D ' dS = f ( V ' D )dv
Como D sólo tiene componente radial, D· dS tiene valor diferen-
te de cero sólo en la superficie r = 4 m.
z
1 o
V· D = - - (5r4
/4) = 5r
r2
0r
2n tt/4 5(4)2
f D ' dS = t fo -4-.r· (4)2Sen8d8d< jJ .r = 589.1 C
Fig.4-9
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
2n n/4 4
f (V' D )dv = f f f (5r)r
2
sen8drd8d< jJ = 589.1 C
o o o

48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4FEDCBA
P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s
4.25. Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristasaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG~ r, r ~ O y r sen O ~ < jJ.
4.26. Muestre que V • E es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme.
4.27. El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± d f 2 sobre el ejejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz es
Q d
ETSRQPONMLKJIHGFEDCBA= --3 (2cosOa, +senOa9)
4 n (0 r
Demuestre que la divergencia de este campo es cero.
4.28. Dado A = e5x
a x + 2cosyay + 2 senz a ,; halle V· A en el origen. Resp. 7.0
4.29. Dado A = (3x + y2)a x + (x - y2)a)" halle V . A. Resp. 3 - 2y
4.30. Dado A = 2xya x + za y + yz2a z, halle V· A en (2, - 1, 3). Resp. - 8.0
4.31. Dado A = 4xya x - xy2
a y + 5 sen z a z' halle V . A en (2, 2, O). Resp. 5.0
4.32. Dado A = 2r cos- <jJa, + 3r2sen z aoj¡+ 4z sen- <jJaz , halle V ' A. Resp. 4.0
4.33. Dado A = (1 O /r
2)a ,+ 5e-2za z
' halle V 'A en (2,4> 1). Resp. -2.60
4.34. Dado A = 5 cos ra, + (3ze- 2'/r)a" halle V ' A en (n, 4>,z). Resp. - 1.59
4.35. Dado A = lOa, + 5 sen O a9, halle V • A. Resp. (2 + cos O)(lO/r)
4.36. Dado A = ra, - r2 cot 0 8 9 ' halle V . A. Resp. 3 - r
Dado A = [(10 sen- O )fr]a " halle V . A en (2 ,n /4 ,4 » .4.37. Resp. 1.25
4.38. Dado A = r2
sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A. Resp. 4r sen O + C~4» cot e
4.39. Demuestre que la divergencia de E es cero si E = (lOO/r}a.¡, + 4Oaz•
4.40. En la región a ~ r ~ b (coordenadas cilíndricas),
y para r > b ,
Para r < a , D = O. Halle p en las tres regiones. Resp. O, P o, O
4.41. En la región O < r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (4r-1 + 2e-O
.
5
, + 4r -1
e- 0.5 ')ar, y para r> 2. D =
(2.057/r)a,. Halle p en ambas regiones. Resp. _e-O
.
5
" O
4.42. En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (lOr + (r2/3)]a" y para r > 2, D = [3/(128r)]a,. Halle p en
ambas regiones. Resp. 20 + r, O

4.43. Sea DTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 10 senaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO FEDCBAa , + 2 cos O as. Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Resp.
senO
- (18 + 2cot2
O)
r
4.44. Sea
3r
D = - 2 - - a ,
r + 1
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 3(r 2
+ 3 )/(r 2
+ 1)2
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 4O e-l
,
4.45. Sea
4.46. En la región r ~ 1 (coordenadas esféricas).
D = (4' _ ~)a3 5 r
y para, > l. D = [5/(63,l)]a,. Halle la densidad de carga en ambas regiones. Resp. 4 - ,2. O
4.47. La región r ~ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo E = (5r x 1O-5
/Eo)a, (V 1 m ). Halle la carga neta
encerrada por la concha, = 2 m. Resp. 5.03 x 10-3 e
4.48. Sea D = (5r2
/4)a, en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por, = l Y r = 2. Resp. 75n
4.49. Sea D = ( 1 0 r
3
/ 4 ) a , en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10. Resp. 800n -
4.50. Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por
la concha, = 2. Resp. 40n
2

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