Campos magnéticos y leyes de Biot-Savart y Ampere

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 8
EL CAMPO MAGNÉTICO ESTABLE Y
CAMPOS VARIANTES CON EL TIEMPO
Ingeniería Eléctrica – Electrónica y de Comunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD

TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. LEY DE BIOT-SAVART
3. LEY CIRCUITAL DE AMPERE
4. FLUJO MAGNÉTICO, DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS
5. EL ROTACIONAL
6. POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES
7. LEY DE FARADAY
8. TEOREMA DE STOKES
9. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

INTRODUCCIÓN
Preliminar
Una carga eléctrica estática está
asociada a un campo eléctrico,
mientras que una carga móvil
constituye una corriente y
consecuentemente un campo
magnético.
Fuentes de Campo Magnético
1.Imán Permanente.
2.Campo Eléctrico Variable con el
tiempo.
3.Corriente Directa.
1
Las principales leyes que rigen los
campos magnetostáticos son:
1.La Ley de Biot-Savart, y
2.La Ley de los Circuitos de
Ampere.
Recuerde que en la electrostática, el
punto de partida es la ley de
Coulomb, mientras que en la
magnetostática lo es la ley de Biot-
Savart; y como la ley de Gauss
respecto a la de Coulomb, así es la
ley de Ampere respecto a Biot-
Savart.

Ley de Biot-Savart
Expresa que el campo magnético
dH de una corta sección dL de un
alambre que porta o conduce una
corriente I está dado por :
[Am-1
]
2
H entra al plano, esto es, normal al
elemento diferencial dL y R,
formando 3 vectores perpendiculares
[Conjunto Dextrorsum o de Mano
Derecha].
LEY DE BIOT-SAVART
3
2
R4π
Id
d
R4π
Id
d
RL
H
aL
H
×
=
×
= R

Ley de Biot-Savart (Cont.)
Recuerde que el producto cruz de 2
vectores se define como un tercer
vector de magnitud igual al
producto de las magnitudes de los
vectores por el seno del ángulo que
forman.
[Am-1
]
Considerando que I es una corriente
directa y que la densidad de carga
no es f(t), se deduce la ecuación de
continuidad:
3
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
2
R4π
sindI
d
θL
H =
0
t
ρv
=⋅∇
∂
∂
−=⋅∇
J
J
Aplicando el Teorema de la
Divergencia, se tiene:
Conclusión: La I que fluye en una
superficie cerrada es 0, si el flujo
sigue una trayectoria cerrada.
∫∫
∫∫
=⋅∇=⋅
⋅∇=⋅
volS
volS
0dvd
dvd
JSJ
DSD

A continuación se muestra Biot-
Savart en su forma integral:
En términos de fuentes distribuidas,
consideremos una corriente total I
dentro de una anchura transversal b
en la que existe una densidad de
corriente superficial uniforme K,
como se muestra a continuación:
4
∫ ×= R2
4π
Id
a
L
H
R
Sea J la densidad de corriente y K la
densidad de corriente superficial,
entonces, en el caso uniforme, I es:
[m de ancho]
[A/m]
y en el caso no uniforme:
[Trayectoria
Transversal]
KbI =
∫= KdNI

Como IdL = KdS = Jdv, se expresa
la Ley de Biot-Savart en la forma:
5
∫∫
×
=
×
=
v
2
R
S
2
R
4π
dv
4π
dS
RR
aJ
H
aK
H θ
Campo Magnético en un Alambre
de Largo Infinito:
H hacia
adentro

Campo Magnético en un Alambre
de Largo Infinito (Cont.) :
De la figura se verifican las
siguientes relaciones:
[Cateto Opuesto]
[Arco]
Como |dH | se define a partir de:
Integrando y sustituyendo :
6
Rsinθρ
RdθdLsinθ
dL
CO
sinθ
=
=
=
2
R4π
sindI
d
θL
H =
[ ]
πρ
θ
πρ
θθ
πρπρ
θθ
θ
ρ
π
π π
2
cos
4
sin
44
sin
sin
4π
Idθ
0
0 0
π
0
I
H
I
H
d
IdI
H
H
=
−=
==
=
∫ ∫
∫
∫∫ ==
ππ
π
θ
π
θ
0
2
0
2
44
sin
R
IRd
R
IdL
H
φ
2
I
aH
πρ
= Dirección
Circunferencial

7
Campo Magnético en un Alambre de
Largo Infinito (Cont.) :
En la siguiente figura se muestran las
líneas de campo de la intensidad de
campo magnético alrededor de un
filamento recto de longitud infinita
portador de una corriente directa I.
La dirección de I está hacia adentro
de la lámina.
Las líneas de campo magnético
corresponden a las equipotenciales
de campo eléctrico.
Recuerde la analogía entre : La
Ley de Biot-Savart para
determinar H, y la Ley de
Coulomb para determinar E.

8
Campo Magnético en una Espira : En el centro de la espira :
y el campo magnético se define:
En un punto P del eje Z, se verifica:

90=θ
z
2
0
2R
I
4
aH =
= ∫
π
φ
π
d
R
I
H
φρρ
ρ
α
ddLzr
r
dHdHdHz
=+=
==
22
cos

9
Campo Magnético en una Espira
(Cont.) :
Recordemos que :
Como , entonces :
∫ ×= ρ2
4
Id
a
L
H
rπ
cosαz HH =
zρ2z cosα
4π
Id
aa
L
H ⋅⋅



×= ∫ r
[ ]
[ ]02
4
44
cos
4
cos
4
2
3
22
2
2
0
3
22
0
2
22
−
+
=
=⋅=
⋅=⋅=
∫∫
∫ ∫
π
ρπ
ρ
φ
π
ρρφρ
π
α
π
α
π
ππ
z
I
H
d
r
I
rr
dI
H
r
dLI
r
IdL
H
z
z
z
( )
z
2
3
22
2
z
2
aH
z
I
+
=
ρ
ρ
Observe que si z = 0, entonces:
Por otro lado, a grandes
distancias de la espira, esto es
z>>ρ, se verifica que:
zz
2
aH
ρ
I
=
Campo en
el centro
z3
2
z
2
aH
z
Iρ
=

10
D8.1
Un alambre largo recto porta una corriente I=10A.
¿A qué distancia se encuentra el campo magnético
H=1Am-1
?
D8.2
a.¿Cuánta corriente debe fluir en una espira de
radio 0.5 m para producir un campo magnético
H=1mA/m?
b.¿Cuál es el campo magnético H a una distancia
de 2 m de la espira a lo largo de su eje?
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
D8.1 : 1.59 m
D8.2 :
a)1 mA
b)14.26 μA/m

11
P8.7
Dados los puntos C(5,-2,3) y P(4,-1,2), un elemento
diferencial IdL = 10-4
(4,-3,1)Am en C produce un
campo dH en P.
a.Especificar la dirección de dH por medio de un
vector unitario aH.
b.Encontrar | dH |.
c.¿Qué dirección aL debe tener IdL en C para
dH=0?
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)0.53 ax + 0.80 ay + 0.27 az
b)5.73 x 10-6
A/m
c)(- ax + ay – az)/sqrt(3).

LEY CIRCUITAL DE AMPERE
Corriente para un alambre largo
En el caso uniforme se tiene :
[A]
En forma más general, I es la integral
de línea de H alrededor de cualquier
trayectoria cerrada contenida por el
alambre, esto es:
[A]
12
HI πρ2=
∫ ⋅= LH dI
∫∫ ⋅=⋅=
S
SJLH ddI
Para un conductor de sección
transversal A y densidad de
corriente J, se tiene: I=JA, y para el
caso más general (no uniforme), se
tiene:
La integral de línea en H alrededor
de las trayectorias cerradas son igual
a I, como se muestra en las
trayectorias a y b de la siguiente
figura. En el caso de la trayectoria c,
la integral es menor que I, debido a
que no toda la corriente está
encerrada por la trayectoria.

13
P8.8
Un filamento infinito sobre el eje z transporta una
corriente de mA en la dirección az. También
están presentes tres placas de corrientes cilíndricas
uniformes: 400 mA/m en ρ=1cm, -250 mA/m en
ρ=2cm y -300 mA/m en ρ=3cm. Calcular en:
a.ρ = 0.5
b.ρ = 1.5
c.ρ = 2.5
d.ρ = 3.5
salón.
Respuestas:
a)2 A/m
b)933.33 mA/m
c)360 mA/m
d)0 mA/m
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
φH
π20

Campo Magnético Cable Coaxial
En las siguientes figuras se describe
el comportamiento de I y de H:
a.Una sección transversal de un
cable coaxial portador de una
corriente uniformemente distribuida
I en el conductor interior y –I en el
conductor exterior.
b. Filamento de corriente en ρ=ρ1,
φ= φ1, producen componentes Hρ
que se cancelan. Para el campo
total, H=Hφaφ.
14

(Cont.):
Ahora se demuestra que el campo
magnético en cualquier punto se
determina fácilmente por medio de la
aplicación de la Ley Circuital de
Ampere para una trayectoria cerrada.
Primero, apliquemos la definición de la
Ley Circuital de Ampere a un filamento
largo. Para determinar H en un punto
P, aceptamos que P pasa por una
trayectoria cerrada (trayectoria
amperiana es análoga a superficie
gaussiana). Como H es constante si ρ es
constante, se verifica que:
15
∫ ∫ ⋅==⋅= πρφρ φ
π
φ 2
2
0
HdHdLHI
Despejando se tiene:
φ
πρ
aH
2
I
=
Igual al resultado determinado
mediante Biot-Savart
Sigue

(Cont.):
Escenario a< ρ < b :
Escenario ρ < a:
Puesto que la corriente está
uniformemente distribuida en la
sección transversal, se verifica
que:
16
πρ
φ
2
I
H =
∫∫ ⋅=⋅=
S
SJLH ddIenc
Cont. Escenario ρ < a:
Por tanto, el campo resultante es:
zz ddd
a
I
aSaJ ρφρ
π
== 2
2
2
2
2enc
2enc
I
dI
a
I
a
I
dd
a
I
S
ρ
πρ
π
ρφρ
π
==
=⋅= ∫∫∫ SJ
2
2
2
2
2
a
I
H
a
I
HdLHIenc
π
ρ
ρ
πρ
φ
φφ
=
=== ∫
Sigue

(Cont.):
Escenario ρ > c :
Si el radio ρ es mayor que el radio
exterior del conductor externo, no
se encierra corriente, por tanto :
Escenario b < ρ < c :
Puesto que la trayectoria amperiana
ahora es:
[I. Cond. Ext.]
[I. Filamento]
17
Cont. Escenario b < ρ < c :
despejando se tiene:0=φH
∫ ⋅+=
S
SJ dIIenc






−
−
−=
−=⋅=⋅ ∫∫
22
22
enc
S
2
IIdd
bc
b
IIH
ρ
πρ φ
SJLH






−
−
= 22
22
2 bc
cI
H
ρ
πρ
φ

Campo Magnético Solenoide
Si las vueltas son cintas planas y cercanas
entre sí, el solenoide se convierte en una
lámina de corriente continua con densidad K
igual a: 18
z
d
NI
aH =
Observe que la misma se deduce a partir de la Ley de Ampere. Esta
aproximación es útil si se aplica a distancias interiores separadas al menos
dos radios de los extremos abiertos, y distancias superficiales menores a
dos veces la separación entre espiras.
KH
d
NI
K
=
=
Dentro de
la Bobina

Campo Magnético Toroide
En la gráfica a se muestra un toroide ideal portador de una corriente
superficial K en la dirección que se muestra. Y en la gráfica b se muestra un
toroide de N vueltas portador de una corriente filamentaria I.
19

FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ;
LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS
Flujo Magnético [Ф]
El flujo magnético a través de una
superficie es la integral de la
componente normal al campo
magnético del medio, esto es:
[Webers, Wb]
donde μ es la permeabilidad del
medio [H/m, Hm-1
]
Recordando Dimensiones:
SI: Wb → V.s → T.m2
→ m2
.kg.s-2
.A-1
Wb → Henry.A
Henry → H → V.s.A-1
CGS: 1Maxwell = 10-8
Wb
20
HdS
S
∫=Φ µ
Si el campo es uniforme :
[Wb]
La permeabilidad es la capacidad de
dejar pasar flujo a través del medio,
contrario a la reluctancia [R=L/(μS)],
que es la resistencia al flujo.
Densidad de Flujo Magnético [B]
La densidad de flujo magnético B se
obtiene dividiendo el flujo entre el
área (flujo por unidad de área), esto
es:
[Wb/m2
,Tesla,T]
HSµ=Φ
HB μ=
∫ ⋅=
S
dΦ SB

FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ; LEY
DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
Densidad de Flujo Magnético [B] (Cont.)
[H/m]
Ley de Gauss para Campos Magnéticos
Como las líneas de campo magnético son espiras cerradas, se concluye que el
número de líneas que salen y entran a un volumen es igual, por tanto, la
integral sobre una superficie cerrada es cero, como se muestra a continuación:
Y aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene:
21
7
0
r0
r0
104πμ
μμμ
μμ
−
×=
=
= HB
∫ =⋅
S
0dSB
0=⋅∇ B

ROTACIONAL
Rotacional
Consideremos que la integral
correspondiente a la Ley de
Ampere
se realiza sobre una superficie
∆S= ∆y ∆z, entonces:
Al dividir entre ∆S se tiene:
22
∫ ⋅= LH dI
∫ ⋅= LH dΔIx
SS
LH
Δ
ΔI
Δ
d x
=
⋅∫
Evaluando la expresión anterior en el
límite cuando ∆S → 0, resulta:
Esta evaluación se realiza alrededor de
un punto P. Observe que cuando ∆S
→ 0, la corriente se concentra
alrededor de un punto, la misma se
transforma en una densidad de
corriente J en dicho punto P.
El operador vectorial que muestra la
tendencia de un campo vectorial H a
inducir rotación alrededor de un
punto P se llama rotacional y se mide
en : A/m2
.
S
LH
JH
S Δ
d
limrotacional
0Δ
xx
∫ ⋅
==
→

ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
En el caso general :
también se expresa:
[A/m2
]
23
zzyyxx
z
xy
y
zx
x
yz
rotacional
y
H
x
H
x
H
z
H
z
H
y
H
rotacional
aJaJaJH
aaaH
++=






∂
∂
−
∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
JHHH
aaa
H
=×∇==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
rotrotacional
HHH
zyx
rotacional
zyx
zyx
El rotacional proporciona la
densidad de corriente en un
punto, mientras que la
divergencia proporciona la
densidad de carga en un
punto.

ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Ejercicio:
Como un ejemplo de evaluación del
rotacional H a partir de la
definición y de la evaluación de
otra integral de línea, supóngase
que H=0.2z2
ax para z>0, y H=0 en
cualquier otra parte, como se
muestra en la figura.
Calcular:
para una trayectoria cuadrada con
los lados iguales a d, centrada en
(0,0,z1) en el plano y=0, donde
z1>d/2.
24
∫ ⋅ LH d
Sigue

ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Solución Ejercicio:
1.Evaluación de la Ley de Ampere:
2.Aplicamos la definición. Por tanto, en el límite,
aproximamos el área a cero:
3.Las componentes x, y son cero, por tanto:
24
2
1
2
1
2
1
4.0d
0
2
1
2.00
2
1
2.0d
dz
ddzddz
=⋅
+





−−+





+=⋅
∫
∫
LH
LH
( ) 12
2
1
0d20d
y 0.4z
d
d0.4z
lim
d
dH
lim ==
⋅
=×∇
→→
∫ L
H
( ) y1y 0.4z aH =×∇

ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Solución Ejercicio:
4. Ahora repetimos la evaluación sin recurrir a la
definición. Veamos el resultado utilizando su forma
de determinante:
24
( ) ( ) yy
2
2
zyx
zyx
zyx
4.02.0rotacional
000.2z
zyx
HHH
zyx
rotacional
aaHH
aaaaaa
H
zz
z
=
∂
∂
=×∇=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
LQQD

ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Resumiendo algunas propiedades del Rotacional:
1.El rotacional de una campo vectorial es otro campo vectorial.
2.El rotacional de un campo escalar V, , carece de sentido.
3.La divergencia del rotacional de un campo vectorial tiende a cero, esto es:
4.El rotacional del gradiente de un campo escalar tiende a cero, esto es:
25
V×∇
( ) 0=×∇⋅∇ A
0V =∇×∇

26
D8.4
a) Evaluar la integral de línea cerrada de H
alrededor de la trayectoria rectangular P1(2,3,4) a
P2(4,3,4) a P3(4,3,1) a P4(2,3,1), dado H=3zax-2x3
az
A/m.
b) Determinar el cociente de la integral de línea
cerrada y el área encerrada por la trayectoria como
una aproximación a
c) Determinar en el centro del rectángulo.
salón.
Respuestas:
a)354 A
b)59 A/m2
c)57 A/m2
ROTACIONAL (CONT.)
( )yH×∇
( )yH×∇

Condición
POTENCIALES MAGNÉTICOS
ESCALARES Y VECTORIALES
Potencial Magnético Escalar
De igual modo que , la relación con
H del potencial magnético escalar Vm se
define de acuerdo con:
si J=0
Vm se mide en amperes.
La condición J=0 se explica considerando
que :
La ecuación de Laplace se satisface
considerando la misma condición, esto es:
si J=0
27
mV−∇=H
V−∇=E
( ) 0V =∇−×∇=×∇= mHJ
0V2
=∇ m
Sí
A
veces

ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)
Potencial Magnético Vectorial
El potencial magnético vectorial A se
relaciona de tal forma que:
Así como se definió :
Es posible definir :
28
AB ×∇=
∫=
r
dQ
V
04πε
∫ ∫∫ ===
S vL
R
dv
R
dS
R
Id
π
µ
π
µ
π
µ
444
000 J
A
K
A
L
A

ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)
29
D8.8
Una placa de corriente K=2.5az A/m, está presente
en la superficie ρ=1.2 pulgadas en el espacio libre.
a) Encontrar H para ρ>1.2.
b) Encontrar Vm en P (ρ=1.5, ,z=1).
c) Vm=0 en y hay una barrera en .
d)Vm=0 en y hay una barrara en .
e) Vm=5V en y hay una barrera en .
salón.
Respuestas:
a)2.88/ρ aφ
b)-5.43 A
c)12.7 A
d)3.62 A
e)-9.48 A
πφ 6.0=
0=φ 2πφ =
πφ = 0=φ
πφ = πφ 8.0=

LEY DE FARADAY
Ley de Faraday
Un flujo magnético Ф cambiante a
través de una espira cerrada
produce una fem o voltaje V dado
por:
[V]
Si la trayectoria cerrada es un
filamento conductor enrollado de N
vueltas, entonces:
En su forma general:
30
dt
d
Vfem
Φ
−==
dt
d
NVfem
Φ
−==
∫ ∫∫ ⋅
∂
−=⋅= S
B
LE d
dt
dV
∫ ⋅=
S
dBΦ S

LEY DE FARADAY (CONT.)
Ley de Faraday (Cont.)
Un ejemplo ilustrativo de la
aplicación de la Ley de Faraday en
el caso de una densidad de flujo
magnético constante y una
trayectoria variable. La barra
transversal se mueve a la derecha
con una velocidad v y el circuito se
cierra a través de los dos rieles y
un voltímetro muy pequeño con
alta resistencia interna. La lectura
del voltímetro es V12=-Bvd.
31

32
P10.7
Cada uno de los rieles de la figura tiene una
resistencia de 2.2 Ω/m. La barra se mueve a la
derecha a una velocidad constante de 9 m/s en un
campo magnético uniforme de 0.8 T. Encontrar I(t),
0<t<1 s, si la barra está en x=2 en t=0 y
a)Una resistencia de 0.3 Ω se encuentra en el
extremo izquierdo con el extremo derecho
formando un circuito abierto.
b)Una resistencia de 0.3 Ω se ubica en cada
extremo.
salón.
Respuestas en el Apéndice E
del texto
LEY DE FARADAY (CONT.)

TEOREMA DE STOKES
Teorema de Stokes
De la Ley de Faraday, verificamos
que la integral de E alrededor de
una espira de área incremental ∆S
que contiene un flujo de densidad
cambiante con el tiempo B, es
igual al voltaje inducido en la
espira:
Dividiendo entre ∆S y evaluando
en el límite cuando ∆S →0, se
tiene:
33
∫ ∫∫∆
∆⋅
∂
∂
−=⋅
∂
∂
−=⋅=
S
S
t
B
d
t
dV S
B
LE
tS
dL
rotacional
S ∂
∂
−=
∆
⋅
=
∫
→∆
BE
E
0
lim
En notación vectorial:
Por tanto, expresamos el Teorema
de Stokes en la forma:
t∂
∂
−=×∇
B
E
( )∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅
c S
dd SELE

TEOREMA DE STOKES (CONT.)
Teorema de Stokes (Cont.)
El Teorema de Stokes establece
que la integral de línea de una
función vectorial sobre un
contorno c, es igual a la integral
del rotacional de esa función
vectorial sobre cualquier
superficie que tiene c como su
frontera.
Esta expresión es válida para
cualquier campo vectorial, de
manera que:
34
( )∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅
c S
dd SELE
( )∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅
c S
dd SHLH

35
P8.24
Evaluar ambos lados del Teorema de Stokes para el
campo G=10sinθaφ y la superficie :
La superficie está en la dirección ar.
salón.
Respuesta
15π


900
900
3
≤≤
≤≤
=
φ
θ
r
TEOREMA DE STOKES (CONT.)

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
Corriente de Desplazamiento
Recuerde que:
Consideremos el siguiente artificio:
36
t
ρ
-
0
0
t
v
∂
∂
=⋅∇
=⋅∇
=×∇⋅∇
=×∇
∂
∂
−=×∇
J
J
H
JH
B
E Faraday
Ampere
Divergencia del
Rotacional
Ec. Continuidad
( ) ( ) 0=+⋅∇=×∇⋅∇→+=×∇ GJHGJH
Desconocido
Entonces:
No obstante, la continuidad de la
corriente exige :
Siendo incompatible con la
expresión:
Por tanto, el vector desconocido debe
satisfacer la ecuación de continuidad,
esto es:
0=⋅∇+⋅∇ GJ
0≠
∂
∂
−=⋅∇
t
vρ
J
t
ρv
∂
∂
=⋅∇ G
0=⋅∇ J

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)
Corriente de Desplazamiento (Cont.)
Sustituyendo la densidad de carga
volumétrica por la densidad por su
equivalente en la ley de gauss para
campos electrostáticos en forma
puntual, se tiene:
Transformando, se tiene:
Esta ecuación resuelve el problema
de la ecuación de continuidad. 36
La expresión
Resulta de una densidad de corriente
de desplazamiento. Maxwell la
nombró densidad de corriente de
desplazamiento, y se denota:
En un medio no conductor J=0, por
tanto:
t∂
∂
⋅∇=⋅∇
D
G
t∂
∂
+=×∇
D
JH
t∂
∂
+=×∇
D
JH
dJJH
D
J
+=×∇
∂
∂
=
t
d
t∂
∂
=×∇
D
H

Corriente de Desplazamiento (Cont.)
Por simetría, también se verifica que:
Evaluando la integral de superficie, la
corriente total de desplazamiento que
resulta es:
37
De ahí que:
Aplicando el Teorema de Stokes:
t∂
∂
−=×∇
B
E
( )
∫ ∫
∫ ∫∫
∫∫
⋅
∂
∂
+=+=⋅
⋅
∂
∂
+⋅=⋅×∇
⋅
∂
∂
=⋅=
S
d
S SS
SS
dd
d
t
IIId
d
t
dd
d
t
dI
S
D
LH
S
D
SJSH
S
D
SJ

38
Ejercicio
Un voltaje de 50sin103
t voltios se
aplica a las placas paralelas de un
capacitor, con área de 5 cm2
y 3 mm
de separación. Calcule la corriente
de desplazamiento suponiendo que
ε=2 ε0.
Solución
dt
dV
dt
D
J
d
V
ED
d
ε
εε
=
∂
∂
=
==
Por tanto,
Lo que equivale a la corriente de
conducción, dada por:
dt
dV
C
dt
dV
d
S
SJI dd ==⋅=
ε
nAtI
tI
dt
dV
C
dt
dV
d
S
dt
dE
SI
dt
dD
S
dt
d
S
dt
dQ
I
d
d
c
s
c
3
33
3
49
10cos4.147
10cos5010
103
105
36
10
2
=
⋅⋅
×
×
⋅⋅=
===
===
−
−−
π
ε
ε
ρ

39
E9.4
En el vacío, V/m.
Calcule :
a)Jd
b)H
c)ω
salón.
Respuesta
a)-20ωε0sin(ωt-50x)ay A/m2
b)0.4ωε0cos(ωt-50x)az A/m
c)1.5x1010
rad/s
( ) y50xωt20cos aE −=

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