Problemas resueltos de Electrotecnia Básica

Problemas resueltos
l' propuestos
ile Electrotecnia Básica
Ing. Esteban AmadorMartínez
Editorial
Pueblo y Educación
1
- '

Este libro,
en tus manos de estudiante,
es instrumeñto de trabajo
para coñ_shuir.t.~,J educación.
CuídaJó> . :. . ·. :•. ·
para que-sirva también
·a Jos compañeros que te sigan.
Edición: Prof. Caridad Arce Crespo
Diseño: Vivían Lechuga Rodríguez
Ilustración: Roberto Suárez Yeras
Primera reimpresión, 1988
. . .
©.Est~:J,;¡n Amador Martínez, 1985
©Editorial Pueblo y Educación, 1985
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN
Calle 3ra. A No. 4605, entre 46 y 60,
Playa, Ciudad de La Habana
SNLC:RB 01.27380.9

1
Prólogo
-. -_, ./
u
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r-z.... ll,_,
""2 .
Q .- '/ . . XL1 - - 1 1
El presente libro ha sido concebido como complemento de/texto de Elec-
trotecnia básica utilizado actualmente para la impartición de la propia asiR-
natura. en las dVerentes especialidarles no eléctricas de inf.(eniería. en la
Educación Superior. Su objetivo fundamental es el de brindar al estudiante
una herramienta útil para la ejercitadón de los diferentes temas abordado.s
en esta asignatura.
Está dividido en capítulos que abarcan los temas de mayor importancia.
en la misma secuencia J' con el mismo enfoque que en e/ libro de texto. pre-
sentando dos series. adecuadamente graduadas. de problemas resueltos .v
problemas propuestos antecedidos por las definiciones necesarias y princi-
pios fundamentales .relacionados con cada tema tratado. ·
El contenido abordado inclu.ve las aplicaciones de las ·leyes fundamen-
tales de la electricidad. sistema de números complejos. circ:uiios en serie. en
paralelo y en serie-paralelo. circuitos trifásicos balanceados. diferentes tipos
'• de máquinas eléctricas y selección de los diSpositivos necesarios para su ade~
cuada instalación y protecdón.
Deseamos expresar n~estro reconcx:imiento a todos los que. de una for-
ma u otra. han colaborado en la realización de este libro. espedal'merue á/
Candidato a ·Doétor en Ciencias Té(,.·nicas Mariano ·Zerquera Izquierdo.
Prqfesor Aiix.iliar dei Depa-rtamento de Electroenergéiica de la Facultad de.
lngenieria Eléctrica de la Universidad Central de Las Villas. por sus valio·
sas sugerencias y !.(ti/ colaboración:
El autor
Santa Clara. /9X3 ··

índice. f~,,
CAPÍTULO 1 CIRCUITOS DE CORRIEN1E D/Rr-"C1A _¡
Y SUS ELEMENTOS/ 6 /
Introducción/6
Problemas resueltos/14
Problemas propuestos/51
CAPÍTULO 2 CORRIENTES Y TENSIONES AL11:.'RNAS/ 5BJ.....
Introducción/58
CAPÍTULO 3 FASORES Y ALGEBRA COMPLE"JA/ 78 }
Introducción/78 ~
J1
CAPÍTULO 4 CIRCUITOS MONOFASICOS DE CORRIENTf.: v·
ALJERNA/96 ""
Introducción/96
Problemas resueltos/!02
CAPÍTULO 5 POTENCIA Y ENERGÍA EN CIRCUITOS ,
DE CORRIENTE: ALTE'RNA/ 147 . · J.<
Introducción/147
CAPÍTULO 6 CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS/ 174
Introducción/174
Probl~mas resueltos/ 180
CAPÍTULO 7 TRANSFORMADORES/ 199 {
Introducción / 199
/

CAPÍTULO 8 MÁQUINAS TRIFÁSICAS ASINCRÓNICAS·)(_
O DE INDUCCIÓN/ 240
lntroducción/240;
Problemas resueltos/214 7
CAPÍTULO 9 MÁQUINAS DE CORRIEN11:.. D/Rl::CTA/ 268 J
- --- lntroducción/268 . A··
CAPÍTULO 10 INSTALACIÓN Y PR07ECCIÓN DE MOTORES
ELÉCTRJ('OS/ 302
Introducción/302
B/BL/OGRAFÍA/350

~·
CIRCUITOS DE CORRIENTE
DIRECTA
Y SUS ELEMENTOS
INTRODUCCIÓN
Capítulo 1
El análisis y la solución de los circuitos de corriente directa son de gran
importancia. toda vez que en estos se aplican las leyes fundamentales de
la electricidad y diferentes métodos de solución de circuitos eléctricos que
son también aplicables. con sus características particulares. en circuitos
de corriente alterna.
A continuación se establecen las definiciones más importantes. así como
los ejercicios destinados a crear habilidades en los estudiantes en el aná-
lisis de estos circuitos.
Se aclara que se utilizarán. como convenio. las letras minúsculas para re-
presentar las magnitudes variables con el tiempo. mientras que las mayús-
culas servirán para representar las que no varían con el tiempo.
LEY DE OHM
La diferencia de potencial u entre los terminales de un elemento de resis-
tencia pura es directamente proporcional a la intensidad de la corriente i
que circula a través de él. La constante de proporcionalidad R·se denomi-
na resistencia eléctrica del elemento y su unidad de medida es el ohm (U).
La expresión matemática de esta ley es la siguiente:
u =iR. (1.1)
6

La potencia disipada (p) en un resistor R en el cual una corriente i pro-
duce una cafda de tensión* u. viene dada por la expresión:
p =ui =i2
R. (1.2)
Cuando se trate de una fuente o bateria cuya fuerza electromotriz (fem)
sea .:ae valor e. y la corriente que drcula a través de ella sea i. la po-
tencia relacióna~a con esta puede calcularse mediante la ecuación:
p =ei. (1.3)
Ahora bien. una' batería puede entregar o tomar energia del circuito en
que se encuentre conectada. Cuando la corriente que circula a través de
la batería posea un sentido coincidente con el sentido de polaridades (de
menos (-) a más ( +)). esta entrega energía al circuito en que se encuen-
tra conectada. En caso contrario. la bateria recibe carga.
LEYES DE KIRCHHOFF
Ley de las corrientes
La suma de las intensidades de corriente que entran a un nodo es igual a
la suma de las intensidades que salen de· él. Al considerar positivas las
corrientes que entran y negativas las que salen, esta ley establece que la
suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nodo
es igual a cero: De acuerdo con el gráfico mostrado en la figura 1.1, puede
afirmarse que:
o también:
(1.4)
Fig. 1.1
• En el libro de texto Electrotecnia básica se utilizó voltaje por tensión eléctrica. En
este libro se utiliza simplemente tensión. (N. del E.)
7

Ley de las tensiones
En un circuito cerrado o malla, la suma de todas las subidas de pot~ncial
es iguál a la suma de todas las caídas de potencial existentes, o sea, la su-
ma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado
o malla es nula.
' Subidas de
L tensión
= ' . Caídas de
L tens.ióp
En el circuito de la figura 1.2 se tiene que:
o bien:
Fig. 1.2
R
--------~c::J~--------~
l i 1+''
(1.5)
Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, es necesario tener en cuenta lo si-
guiente:
a) Considerar como sentido de circulación de la corriente a través de cada
circuito, el sentido de las agujas del reloj. Aunque este convenio es arbi-
trario y no es imprescindible su estricta aplicación. sirve para sistematizar
la solución de los problemas.
b) Al plantear las ecuaciones de tensión de Kirchhoff, debe recorrerse el
circuito cerrado o malla en el mismo sentido de circulación de las corrien-
tes antes supuesto (el mismo sentido de las agujas del reloj). Como en el
caso anterior, este convenio se sugiere igualmente a fin de sistematizar el
procedimiento de solución de los problemas.
e) Las fuerzas electromagnéticas de las baterías o fuentes que contenga la
malla han de sumarse algebraicamente, considerando como positivas las
baterías cuyo sentido de polaridades (de menos (-) a más ( +) coincida
con el sentido en que se recorre el circuito, y como negativas las contrarias.
8

Es de suma importanci¡¡ recordar que:
La polaridad de la diferencia de potencial a través de un resistor depen- ·
de de1 sentido de circulación de la corriente a través de este. Considé-
rese, como convenio, que siempre es positivo el borne del resistJr por
donde entra la corriente, y negativo el otro borne (fig. 1.3a y b).
La polaridad de la diferencia de potencial a través de una batería es in-
dependiente del sentido de circulación de la corriente a través de ella.
Considérese positivo el extremo correspondiente a la barra mayor del
símbolo utilizado para su representación gráfica, y negativo el contrario
(fig. 1.3c y d).
Recorrido del observador
(de+ a--.:.¡____..,..
+ R
a) -----lc::::JI-----
------•~ 1 Senti(jo de
la corriente
El observador detecta una caída de potencial
(~-a+)
----~
E 1 +e) ---.-~~-----
_
- -..-~ 1 Sef1!ido de
- .la corriP-nte
El observador detecta una subida de potencial
Fig. 1.3
b)
(de- a+)
----~
R +
----lc::::JI----
.......____ 1 Sentido de
la corriente
El observador detecta una subída de potencial
d)
(de- a+)
____....,
_EI~----1+ -
Sentido de
.. la ¿orriente
El observador detecta una subida de potencru
Supong~se que en todos los casos mostrados, se recorre el circuito de iz-
quierda a derecha.
RESISTORES CONECTADOS EN SERIE
En todo circuito en serie, la magnitud común a todos los componentes de
este es la corriente (fig. 1.4). ·
La resistencia equivalente 1,q de varios resistores conectados en serie p~
see un valor numéricamente igual a la suma de todos los valores de las re-
sistencias individuales, o sea:
(1.6)
9

R, R¡ R.l R,
•..
~~
Fig. 1.4
RESISTORES CONECTADOS EN PARALELO
En todo circuito en paralelo. la magnitud común a todas las componentes
de este es la tensión (fig. l.S) .
_.¡
Fig. 1.5
La resistencia equivalente ~q de varios resistores conectados en paralelo
posee un valor numéricamente igual al inverso de la suma de los inversos
de todos los valores de las resistencias individuales. es decir:
1
~=-------
1 1 1 1
+-+-+... +-
(l. 7)
Rl · R2 R) R,
Cuando se trate solamente de dos resistores conectados en paralelo. la
ecuación (1. 7) se convierte en la siguiente:
(1.8)
10

SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE
EL MÉTODO DE CORRIENTES DE RAMA
Este método de solución de redes se aplica en los casos en que se desee co-
nocer el comportamiento de varios de lo~ ·elem:etitos que componen una
red dada. ¿ ·
Definase. en primer lugar. que nodo o unión es el punto de un circuito.
común a dos o más elementos de este:··); en segundo. que rama de una red
es la trayectoria que siguen las cargas eléctricas entre dos nodos o unio-
nes.
Para utilizar este método de solución. es necesario:
l. Asignar a las corrientes un sentido de circulación arbitrario. Como nor-
ma. utilícese siempre el sentido dado por el giro de las agujas del reloj.
2. Aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff. n-l veces. siendo n el
número de nodos o uniones de la red.
3. Aplicar la ley de las tensiones de Kirchhoff (r-(n - 1)) veces. siendo r
el número de ramas de que consta una red.
4. Resolver las ecuaciones así obtenidas para calcular los valores de las
corrientes de rama.
SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE
EL MÉTODO DE CORRIENTES
DE MALLA
Este método de solución de redes. al igual que el analizado anteriormente
(de corrientes de rama). puede ser utilizado en los casos en que se requiere
determinar el comportamiento de cantidades eléctricas en varios de los
elementos componentes de la red.
Este método presenta una gran ventaja sobre el de corrientes de rama. el
cual consiste en que. luego de practicarlo brevemente. puede escribirse la
forma de solución para cualquier corriente de malla mediante determinan-
tes por simple inspección de la configuración del circuito.
Deben escribirse tantas ecuaciones de tensión como mallas posea el circui-
to. no requiriéndose para la solución las ecuaciones de corriente.
Como convenio a seguir. también se sugiere que se les asignen a las dis-
tintas corrientes el sentido de circulación coincidente con el de giro de las
agujas del reloj y. al plantear las ecuacio.nes de tensión de Kirchhoff. re-
correr las mallas en el mismo sentido asignado a las corrientes.
En la figura 1.6 se ilustra un circuito en el que se representan las corrien-
tes de malla y rama. de donde se comprende que:
11

1,
__.
+l ~N ·
~ /-------..
Fig. 1.6
l
.....
- ---·
+' ·
Además. se observa que 11
puede ser sustituido por la diferencia entre /1
e /11 por circular ambas corrientes en scnttdos opuestos a través de la rama
central. o sea:
REDUCCIÓ1' DE REDES
Este método resulta de mucha utilidad cuando no se requiere calcufar las
magnitudes eléctricas en los diferentes puntos del circuito. sino solamente
en los extremos de la fuente de alimentación. lo que requiere de un pro-
ceso de simplificación de la red. Esto es posible hacerlo siempre que no se
encuentre incluida en la sección de la red sometida a simplificación nin-
guna rama que posca un elemento activo (fuente de energía eléctrica).
Al aplicar este método. los resistores que componen el circuito que se de-
sea simplifil.:ar. deben ser combinados comenzando desde el punto de la
red más alejado de la fuente de alimentación - no incluida en el proceso
de reducción- avanzando hacia dicha fuente. Es de suma importancia te-
ner en cuenta que no es posible perder de vista los puntos entre los cuales
se desea simplificar la red.
Gno de los medios del que es posible valerse para simplificar redes pasivas
con efectividad. además de las conocidas operaciones con circuitos en se-
rie. paralelo o serie-paralelo. es la conversión delta a estrella o estrella a
delta.
CONVERSIÓN DELTA A ESTRELLA
Y ESTRELLA A DELTA
El circuito pasivo de tres terminales formado por los tres resistorcs R1
• R2
y R1 dispuestos en la forma mostrada en la figura l .7a y b. constituye una
conexión llamada delta.
12

Por otro lado. el circuito pasivo formado por tres resistores Ra. Rb y R,;.
dispuestos en la forma representada en la figura l. 7c y d integran una co-
nexión en estrella. ·
(/ (/
h
a)
<1 a a
u,
b)
h
1 d)
e
Fig. l.7
Es posible realizar las conversiones de una configuración en delta a su es-
trella equivalente y viceversa. Las expresiones a utilizar son las siguientes:
1) Conversión delta a estrella
R = R2Rl (1.9)
a Rt+R2+Rl
Rb·=
RIRl (1.10)
Rt +R2 +Rl
Re=
R1R2 (1.11)
Rt +R2 +Rl
2) Conversión estrella a delta
Rt=
RuRb + RhR, + R,Ra (l. 12)
Ru
13

R
2
= R.,R, +Rb Re +RcRa
R,
RJ = R.,R, +R,Rc +Rfla .
Re
TEOREMA DE THÉVENIN
(1.13)
(1.14)
Este teorema constituye una de las ¡:n4~ útiles herramientas en la solución
de redes, especialmente cuando se desee estudiar el comportamiento de
uno de los elementos de una red por separado.
El teorema de Thévenin aplicado a circuitos de corriente directa establece
que:
l. Cualquier circuito activo. energizado con una o más fuentes de tensión.
puede ser sustituido por una fuente de tensión. de fem Ern en serie con un
resistor Rm. como se muestra en la figura l.8. /
/
_,
~ A
Rm
A
RED + EíH
ACTIVA
LORIGINAL
B
1
Fig. 1.8
' ' ( . . . .
2. La tensión equival~te de Thévenin <l.!rn> es el que aparece entre los
tertriiri.ales A y B, inedido en·circuito ~bierto.
3. Üt resistencia de Th'évenin <Rrnl es la que presenta el circuito calcula.
da'desde los terminale~ de entrada A·y B eón todas las fuentes .de tensión
cortoeircuitadas. es decir. igualadas acero. . .
4~ La polaridad de la tensión de Thévenin (Urn> se considera.de modo que
· la corriente circule. en un resistor que se conecte, en el mismo sentido que.
circularía si este fuera conectado en el circuito original.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. 1 En el circuito mostrado en la figura l. 9 la magnitud de la fem aplicada
es de 100 V. Calcule la intensidad de la corriente circulante.
14

R1-20 U
+
+ t:
100 V
Fig. 1.9
Solución:
De acuerdo con lo analizado previamente. se asigna a la corriente el sen-
tido de circulación dado por el giro de las agujas del reloj. la cual produce
en los resistores R1
y R2 del circuito. caídas de tensión con la polaridad
mostrada en la figura l.9.
Sobre la base de lo establecido en la ecuación (1.6) . la R.q es:
El valor de la corriente circulante puede calcularse mediante la aplicación
de la segunda ley de Kirchhoff (ec. l. 5). al circuito. De acuerdo con lo
que se sugiere. el circuito se recorre en el sentido dado por el giro de las
agujas del reloj y se obtiene:
Al sustituir valores:
100- 20 1-:)0·1=0.
de .donde:
1 = lOO V .=2 A.
so u
Tambíén pudo haberse realizado el cálculo utilizando el valor del resistor
equivalente previamente determinado. o sea:
15

Al sustituir valores se tiene que:
100-50 1 =0
I =2 A. ,¡;
l .2 En el circuito en serie de la figura 1.10, las fuerzas electromotrices de
las baterías 1 y 2 son de 10 y 2 V. y los resistores R1
y R2
• de lOO y
50 U, respectivamente. Calcular:
a) Magnitud y sentido de la corriente.
b) Polaridad y magnitud de la caída de tensión en el resistor R1
•
e) Potencia disipada en resistor R1
•
a R1 = 100 U b
- - R,~SO!i T~---------------~c::J~------------~·
Fig. 1.10
Solución:
a) Al seguir las recomendaciones dadas previamente, puede plantearse la
segunda ley de Kirchhoff (ec. 1.5), en el circuito cerrado en cuestión. y se
obtiene:
Por tanto:
l = E1 + E2 _ E, + E2
R1 +R2 Req
Al sustituir los valores numéricos correspondientes se obtiene que:
16
l = 10 V +2 V
toO U +50 U
lO V +2 V
------- =0.08 A.
150!!

El signo positivo obtenido en el valo,r de la corriente indica que realmente
su sentido de circulación coincide con el supuesto prevJamente.
b) Una vez determinado el sentido de circulación de la c'orriente la través
del circuito. es posible afirmar que existe una caída de tensión desde el
punto a hacia el b (fig. 1.10). Por el contrario. existe una subida de ten-
sión desde el punto b hacia el a. El valor de dicha diferencia de potencial
es:
Uab =lR1 =0.08 A · 100 U =8 V.
e) La potencia en el resistor R1 es. de acuerdo con la ecuación 1.2. la si-
guiente:
P = l 2R = (0.08 A) 2 • 100 U = 0.64 W.
J. 3 En el circuito mostrado en la figura 1.11 existe una caída de tensión
desde el punto a hacia el b de 20 V. y desde b hacia d. una caída de ten-
sión de 40 V. Determinar:
a) Magnitudes de las fuerzas electromotrices E1
y Er
b) Potencia entregada al circuito y consumida por este.
a h
"
Fig. 1.11
Solución:
a) Partiendo de la base de que existe una caída de tensión desde el punto
a hacia el b. y también desde el punto b hacia el d. puede concluirse que
la corriente circula a través del circuito en el sentido dado por el giro de
las agujas del reloj. De acuerdo con los datos de que se dispone. puede
plantearse. de acuerdo con las ecuaciones (1.1) y (1.5). lo siguiente:
(1)
17

·.;
Al sustituir valores en la ecuación (1) puede calcularse el valor de la
corriente, es decir:
Con este resultado pueden sust'kuirse valores en la ecuación (2) obtenién-
dose:
40 =5 · 2 + 5 · 4 + E2•
de donde:
Para determinar el valor de la fem E1 puede aplicarse nuevamente la se-
gunda ley de Kirchhoff. en él circuito cerrado. resultando como conse-
cuencia:
o sea:
b) De acuerdo con lo planteado anteriormente. la potencia entregada al
circuito proviene solamente de la batería de fem E1
• mientras que la ba-
tería de fem E 2 consume potencia del circuito. por tanto:
Potencia entregada (P,) =E1 ·1=90 V· 5 A =450 W.
La potencia consumida por los resistores y la batería E2 del circuito tiene
el valor siguiente:
Potencia consumida
Al sustituir valores:
P"=lOV-5 A+5 2 A2 (4+2+4+6) 12=450W.
Debe notarse cómo se cumple el principio de conservación de la energía.
puesto que ha quedado demostrado que la energía entregada al circuito es
numéricamente igual a la consumida por él.
18

l. 4 Si a los terminales de una batería cuya fem es de 24 V se conectan dos
resistores en paralelo de 12 y 6 U. como se ilustra en la figura 1.12.cal- .
cular:
a) Corriente a través de cada resistor.
b) Corriente t.otal del circuito. . '-,
e) Potencia disipada en cada resistor. ,.~~ !"!:' ··
d) Potencia total absorbida por el circuiio.
a-
../ . . /2
+
t,
+ E = 24 V
-- J~1 = I2n-
-
Fig. 1.12
Solución:
a) Por constituir este un circuito conectado en paralelo, la tensión resulta
la magnitud común en él, es decir. el valor de 24 V se aplica simultánett-
mente a los resistores R 1 y R2• De acuerdo con la ecuación (1.1). se tiene
que:
E 24 V E 24 V
11 =- =-- =2 A; 12 =-. =-- =4 A.
R1
12 U R2 6 U
b) Al aplicar la primera ley de Kirchhoff (ec. 1.4) en el nodo a del cir-
cuito. s.e obtiene el valor de la corriente total l. o sea:
e) La potencia disipada en cada uno de los resistores se calcula mediante
la ecuación (1.2):
19

d) La potencia total absorbida por el circuito es:
Pr=PR +RR =(48 +96) W = 144 W.
1 2
Obsérvese que siempre se cumple el principio de conservación de la ener-
gía, ya que la potencia entregada por la única batería del circuito es igual
a la potencia consumida por este, o sea:
Pent =E · / =24 •6 =144 W.
J. 5 En el circuito que se muestra en la figura 1.13, calcular:
a) Valor de la corriente /.
b) Potencia disipada en el resistor de 5 U.
....,
+ F:~ 12V
15 n 20 u
Fig. 1.13
Solución:
a) Para calcular el valor de la corriente 1 entregada por la fuente de 12 V.
es necesario calcular la resistencia equivalente del circuito en primer tér-
mino.
Este resistor equivalente queda integrado por los resistores de 15 y 20 U
conectados en paralelo entre sf. y esta combinación en serie con el resistor
de 5 U. Al aplicar primeramente la ecuación (1.8). se tiene que; ·
R,q
20
.
15
· =8,57 U.
1
20 +15
El circuito resultante de esta transformación se muestra en la figura 1.14.
El resistor equivalente total (R.q ) del circuito puede obtenerse mediante la
ecuación (1. 6) por constituir uh circuito en serie. Por tanto:
R.q,=5+R,q =5H+8.57!2=13,57 U.• 1 .
20

5H
..,.,
+ E ~ 12V
R ~ 8.57U
·~ . {¡
e; ztz. ,+ lz.. ·,Zt.
C-],Ll_f..
-··--- ·- - - '2..
Fig. 1.14 fll..
El circuito equivalente resultante se muestra en la figura 1.15.
.....,
11 ~ 13.57 ~¿
'"·
Fig. 1.15
En estas condiciones es posible calcular la corriente total del circuito en-
tregada por la batería. la cual circula a través del resistor equivalente R, ,1
,
·total del circuito. la que resulta ser la misma corrienie que pasa a través
del resistor de 5 U en el cii:,cuito original mostrado en la figura l . 13. Lue-
go:
1=..5_= 12
V ==0.884A.
R,q2 13.57 u
b) Con el resultado obtenido es posible calcular la potencia eléctrica trans-
formada en calor en el resistor de 5 n mediante la ecuación (1 .2) :
PR =12 · RI=(0.884 A) 2
· 5!2=3.9 w.5 .
l. 6 Determinar en el circuito mostrado en la figura l. 16 :
a) Magnitudes de las corrientes / 1• 12 e 11.
b) Potencia tomada por el circuito.
e) Potencia entregada al circuito.
21

Debe utilizarse el método de corrientes de rama en la solución del proble-
ma olanteado.
.!!
.... 1
+E~,..sov
---
Fig. 1.16
Solución:
a) En primer lugar se asigna a las corrientes el sentido convenido. En se-
gundo lugar se determina que el circuito posee solamente dos nodos, a y
b, por tanto n =2. En tercer lugar, el número de ramas- es 3, (r =3).
De acuerdo con lo establecido anteriormente, el número de ecuaciones a
utilizar es:
Ecuaciones de corriente: (n-1) =(2-1) = 1
Ecuaciones de tensión': (r-(n-1)) =(3-(2-1)) =2.
Las ecuaciones a plantear son, de acuerdo con las dos leyes de Kirchhoff,
las siguientes:
Ecuación de corriente:
1
(1)
Ecuaciones de tensión:
(2)
(3)
Al sustituir la ecuación (1) en la (2) y reducir términos semejantes se tiene
que:
(4)
(5)
22

Al multiplicar la ecuación (5) por 3 para calcular el valor de /1
se obtiene:
50 V ·. . t • ~ / ~
12 = - - - = -0,909 A. 1~ /./
55 u ~' /,/~ ~
....<{..?
El sentido negativo de /1 indica que esta circuia realmente en sentido con-
trario al supuesto. .,o
Al sustituir el valor de /2 en (5) se obtiene:, v u/ ,;>u _:./
-5(0,909) +20 /l =50.
'-/ ,. . ' .· ,..)
,,"··~/ ,..,,·.·. //V
o sea:
11
=50 V -5 U (0,909 A) = 2.27 A.
, 20U
' V ' ".; ._, ,
't _.. "S·LJL
(..'>'-0:, /
) .v: / (, ,
/ QA'
/
Con los valores obtenidos de 11 e /1 puede determinarse la magnitud de /1
mediante la ecuación (1) , de donde se obtiene:
11 = -0.909 A +2.27 A= 1.36 A.
b) La potencia es absorbida-en el circuito exclusivamente por los resistores
de este, ya que en este caso, ambas baterías entre¡an potencia. Como con-
secuencia, guede afirmarse que la potencia consumida (Pcons> es:
Pcons =(1,36 A) 1
• 10 U+(-0,909 A) 1
• S U +(2,27 A) 1
• 20 U+
+(1,36 A} 1 . 30 u=
=18,496 w +4,13 w +103,1 w +55,5 w=181,226 w.
e) La potencia entregada <Pentreg) al circuito es:
= 181,45 w.
Nótese la igualdad numérica entre la potencia consumida y la potencia en-
tregada. La diferencia existente entre 181.226 y 181.45 W se debe a los
errores introducidos por aproximaciones.
23

J. 7 Mediante el método de las corrientes de rama. calcule en el circuito
de la figura l. 17:
a) Magnitud de la corriente a través de cada resistor.
b) Potencia disipada en cada reo;io;tor del circuito.
¡, 10 !l
+ F, = 40V
~ -
L...---~ ~-··-'_ _ _ _.;;__j
Fig. 1.17
Solución:
a) Número de las ecuaciones de corriente:
n-1=3-1=2.
Número de ecuaciones de tensión:
(r-(n-1)) =(5-(3-l)) =3.
Nótese que entre los nodos a y a' no existe componente eléctrico alguno.
Por tanto, ambos se pueden considerar el mismo punto, o sea. el mismo
nodo a. Como consecuencia. el circuito consta de 3 nodos. denominados
en la figura l. 17 por a. b y c.
Estas ecuaciones son:
(!)
(3)
(4)
24

80 + 100 ls =0.
De la ecuación (3) se deduce que:
1 = -40 V =2 A.2
-20 u
.Asimismo, de la ecuación (5) se obtiene que: .
-80 V
ls = = -0,8 A.
100!2
Al sustituir (6) y (7) en (4), resulta lo siguiente:
20(2) -10 /J-60-100(-0,8) =0
40-10 ll - 60 +80 = 0
-60 V
1- =6 A.
.1- -10 u
Al sustituir los valores de (6) y (8) en (1) :
11 =2 A+ 6 A = 8 A.
Al sustituir (7) y (8) en (2), se obtiene:
(5)
(6) '
(7)
/
(8)
El signo negativo obtenido en el resultado de la corriente 15 indica que esta
circula realmente en sentido contrario al supuesto. Las demás corrientes
poseen realmente el sentido inicialmente considerado.
b) Potencia disipada en el resistor de 20 U:
Potencia disipada en el resistor de 10 U:
P10 = 10 /i = 10 U · (6 A) 2 = 360 W.
Potencia disipada en el resistor de 100 U:
P100 =100 l;=lOOU · (-0,8 A)l=64 W.
25

1.8 En eJ circuito de la figura 1.18. calcular la tensión en los nodos 1 y
2 con respecto al ~odo 3. que es la referencia elegida. Utilice el método
de corrient;,,• de rama. ~) rJa
.... . 6U H2
1
s 6U1-·· '3 . 2 .....
1 ,
'3 3
' •, '
Fig. 1.18
Solución:
Ecuaciones de corriente
Las ecuaciones de corriente. en número de n -1 =3-1 =2. son las si-
'guientes:
Ecuaciones de tensión
(1)
(2)
Las ecuaciones de tensión. en número de (r- (n -1)) =(5-(3 -1)) =3.
son:
(3)
(4)
(5)
Al sustituir las ecuaciones (1) y (2) en las ecuaciones (3); (4) y (5). se tie-
ne:
(6)
(7)
(8)
26

Al combinar términos se llega a las ecuaciones siguientes:
12-81¡ +2 1, = 0
z "/: '"{}, 1~,..¡_ ')],_ . !!>
(10)
(11)
La solución simultánea de las ecuaciones (9). (10) y (11) da los resultados
siguientes:
1, = 1.22 A: 1, = - 1.096 A: /5 = - 2.68 A:
11 = 11 - 11 = 1.22 A-( - 1.096) A = 1.22 A + 1.096 A= 2.316 A
La tensión existente en el punto (1) con respecto al punto (3) de referencia
(tf¡_3) es precisamente la diferencia de potencial producida por la corrien-
te /1 en el resistor de 2 U. por tanto:
U1 _ 3 =2 · 12 =2U (2.316 A) =4.632 V.
!El-signo positivo obtenido en el resultado implica que el potencial del pun-
1 to 1 está a 4.632 V por encima del potencial del punto (3).
De forma similar. el potencial del punto (2) con respecto al punto (3) to-
mado como referencia es:
U2- 3 =5 ·14 =5 U· 1.584 A =7.92 V.
También en este caso, el potencial del punto (2) está por encima del po-
tencial de referencia. de acuerdo con el signo positivo obtenido en la ten-
sión calculada.
l . 9 En el circuito de la figura l. 19 calcular la potencia disipada en cada
uno de los resistores que lo componen. Utilice el método de corrientes de
malla para solucionarloo
.. ....
'+ .r:.-=24Vr '
.,.g 1
- - 1, _
- /11
Fig. 1.19
27

Solución:
De acuerdo con lo planteado ánteriormente. deben trazarse en el circuito
original las trayectorias de las dos posibles corrientes de malla. I1 e In.
Obsérvese que a través del resistor de 3 !2 de la rama central circulan si-
multáneamente las corrientes I1 e In. ambas en sentido contrario. de acuer-
do con los convenios establecidos. Nótese además. que el resistor de 3 !2
se recorre en el sentido de la corriente I1 y en sentido opuesto a la corrien-
te I11 • Por tanto. en el resistor de 3 n. I1 producirá una caída de tensión
e 111 una subida de tensión. Sobre esta base. la ecuación de Kirchhoff co-
rrespondiente a la malla de la izquierda es:
(1)
Al plantear la ecuación correspondiente a la malla de la derecha. se ob-
serva que el propio resistor de 3 H se recorre en el mismo sentido de I11
y en sentido contrario a I1• por lo que In produce una caída de tensión.
mientras que I1 produce una subida de tensión al recorrer la malla en el
sentido establecido. Sobre esta base. la ecuación correspondiente a dicha
malla es:
-3(/n-I1) -6 I11 =O. (2)
Al reducir términos semejantes en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
·-8 I1 +3 I11 = -24
3 I1 -9 I11 =0.
Al aplicar determinantes:
28
D= 1
-8
1 3
3
-9
Il =-1- 1-24
D : O
In=-1 ¡-83D
1=72-9 =63
3 1= 216 =3,43 A
-9 63
-
24
1 = _I!:_ = 1.143 A.
o 63
(3)

De acuerdo con los resultados obtenidos puede calcularse la potencia di-
sipada en cada uno de los resistores del circuito:
= 15.69 w.
1. JO Calcular la diferencia de potencial existente entre los extremos de los
resistores del circuito de la figura 1.20.
Fig. 1.20
Solución:
El circuito mostrado consta de 3 mallas. por lo cual deben plantearse
3 ecuaciones de tensión de Kirchhoff. Dichas ecuaciones son las siguien-
tes:
(1)
(2)
(3)
Al sustituir valores en las ecuaciones(!). (2) y (3) St! obticn-::
48 - 3 /¡ -5(/¡ -/11) =Ü (4)
-5{/n -71) -4 /11 -6(/11 -/m) =0 (5)

(6)
Al reducir términos semejantes resulta:
-8/1 +5 /11 = -48 (7)
· 5 /1-15 /11 +6 /111 =O (8)
6 /11 -14 /111 =0. (9)
Al aplicar determinantes. se obtienen los resultados siguientes:
/ 1 =8.015 A: /11 =3.224 A e /111 =1.382 A.
De los resultados obtenidos puede calcularse la diferencia de potencial a
través de: R1• R2• R.~. R4 y R5• es decir:. .
UR =(/1-/11)R2 =(8.015 -3.224)A · 5 U =23.95 V2 .
Los signos positivos obtenidos en los resultados de las tres corrientes de
malla implican que estas poseen realmente los sentidos de circulación su-
puestos. Luego. en los resistores R1, R, y R5• existe una caida de tensión
en el sentido de las corrientes que circulan a través de cada uno. Sin em-
bargo, el terminal superior del resistor R2 posee un potencial mayor que
el inferior. puesto que. a través de este. predomina la polaridad de la cai-
da de tensión producida por /1. Mediante un razonamiento similar. se de-
duce que el terminal superior de R4 posee un potencial más alto que el in-
ferior. ·
J. 11 En el circuito mostrado en la figura 1.21. calcular la potencia disi-
pada en cada uno de los resistores que lo componen.
30

R1
=8 H
+ +
E3
= 12V
Fig. 1.21
Solución:
Con el objetivo de calcular la potencia disipada en cada uno de los resis-
tores del circuito. es necesario determinar el valor de las corrientes a tra-
vés de cada uno de ellos.
Al utilizar el método de corrientes de malla. las ecuaciones de Kirc}lhoff
necesarias son las siguientes:
(1)
-4(/11 -/1) -12 /11 -24 -6(/11 -/m) =O (2)
(3)
Al reducir términos semejantes, se obtiene:
-15 11 +4 /11 +3 /111 = -6 (4)
(5)
3/1 +6/11 -9/m=-12. (6)
Al aplicar determinantes para la solución de las ecuaciones (4). (5) y (6),
resulta:
/ 1 =0.389 A; /11 = -0.759 A e Im =0.957 A.
31

Por consiguiente. los valores de potencia disipada en cada resistor son:
PR =n·R1 =(0.389 A) 2
·8 12=1.21 w1
PR =(/m-/1 ) 2 ·R4 =(0.957 A-0.389 A) 2
·312=0.968 W
4
l. 12 Calcular la resistencia equivalente existente entre los puntos a y h del
circuito mostrado en la figura 1.22.
{/
20U 12!!
4!!
h
Fig. 1.22
Solución:
De acuerdo con lo señalado anteriormente, debe comenzarse a reducir la
red desde el extremo más alejado de los puntos entre los cuales debe cal-
cularse R,q. teniendo sumo cuidado de no perderlos de vista. Aunque pue-
de pensarse en la posibilidad de convertir una de las dos deltas de que
consta el circuito en su estrella equivalente, una rápida ojeada a dicho cir-
cuito revela que esta conversión complicaría innecesariamente el proceso.
en lugar de simplificarlo.
Luego. la primera conversión consistiría en hallar R,.q . resultante de la
combinación en paralelo de los resistores de 4 y 6 U, id que da como re-
sultado. de acuerdo con la ecuación (1.8):
32
4 u .6 !!
(4 +6) u
=24 !!2 =2.4 u.
lO U

El circuito resultante de dicha conversión se muestra en la figura 1.23.
en la cual se observa fácilmente que es posible reducir a un solo resistor
equivalente (R.q ) la combinación en serie de los resistores de 12 y 2,4 U.2
R = 2,4 U
•'11¡
Fig. 1.23
Acorde con la ecuación (1.6) se tiene que:
R.q = 12 U+ 2,4 U= 14,4 U.2
En la figura 1.24 se ilustra el circuito que resulta de realizar esta reduc-
ción. En él se observa claramente que los resistores de 11 U y de 14,4 U
quedan conectados en paralelo. Al aplicar la ecuación (1.8) nuevamente:
R,q · 11 14,4 U · 11 U
R.q3 = R,q +11 = (14,4+11)U =
2
=6,236 u.
Fig. 1.24
El circuito se reduce al que se muestra en la figura 1.25. En este se ob-
serva que R,q
3
queda en serie con S U, por lo que:
R.q =6,236 U +5 U =11,236 U.4
33

(/
20 u
R ; 6,236 U
1'J
b
Fig. 1.25
La transformación realizada conduce al circuito mostrado en la figu-
ra 1.26. El próximo paso consiste en reducir a un solo resistor equivalente
la combinación en paralelo de los resistores de 11,236 y 3 U, lo cual se
realiza mediante la ecuación (1.8), o sea:
Fig. 1.26
3 n ·11,236 n = 2 368 n.
(3 + 11,236) n '
a
20 u
h
Una vez más es posible dibujar el circuito resultante, el cual se ilustra en
la figura l.27. Finalmente, debe utilizarse la ecuación (l.6) para halliu la
resistencia equivalente entre los puntos a y b:
Rab =20 n +7.368 n =22,368 n.
a
20 u
b
Fig. 1.27
34

Por tanto, puede afirmarse que la resistencia equivalente que ofrece el cir-
cuito mostrado en la figura l.22 vista desde los puntos a y b es de
22,368 n.
Dicho con otras palabras, el circuito de la figura l .22 puede ser reempla-
zado por el circuito equivalente simplificado mostrado en la figura 1.28.
a
R,. ~ 22.368 !!
h
Fig. 1.28
l . 13 Hallar la resistencia equivalente existente entre los puntos a y b en
el circuito de la figura 1.29 mediante el método de reducción de redes.
Fig. 1.29
Solución:
-d--
En el circuito considerado puede observarse cómo la red pasiva de la fi-
gura no posee sus elementos intercalados en serie, ni en paralelo ni en se-
rie-paralelo. En este caso es posible pensar en reducir la red mediante al-
guna de las configuraciones conocidas, por ejemplo, logrando convertir
una de las dos deltas que integran el circuito en cuestión en su estrella
equivalente. (Nótese la diferencia que existe entre la posibilidad de acome-
ter esta transformación en este problema y en el problema 1.10. Véase que
en este caso se logra una notable simplificación. mientras que en el caso
anterior el circuito se complicaba apreciablemente.) ·
35

Al proceder a col'lvertir. por ejemplo la delta compuesta por los resistores
de 25, 10 y S U en su estrella equivalente, se obtiene. de acuerdo con las
ecuaciones (1.9), (1.10) y (1.11). y la figura 1.30:
10 n. 2s n
R.,.= (10 +25 + S)U =
6
'
25
U
10 n. s n
~ = (10 +25 +5)U =l,2S U .
25 U· S U
Re =3,125 U.
(10 +25 +S)U
{/ h
Fig. 1.30
El circuito resultante de esta transformación es el que se muestra en la fi-
gura 1.31. en el cual se le nombra e al punto intermedio entre los resis-
tores en serie-paralelo yel de 3,125 n.
{/
Fig. 1.31
36

La resistencia equivalente del Circuito serie-paralelo incluido entre los
puntos a y e de la figura 1.31 puede calcularse mediante las ecuaciones
(1.6) y (1.8) de la forma siguiente: ·
RU< = (15 .... 6.25)U · (5 + 1.25)U = 21.25 U · 6,25 U = 4.
83
U.
(15 +6.25)U +(5 + 1.25)U 27,25 U
El circuito resultante de esta transformación se muestra en la figu-
ra 1.32a. Este, a su vez, puede reducirse a un circuito más sencillo me-
diante la utilización de la ecuación (1.6). El resultado final será el valor
de la resistencia equivalente buscada entre los puntos a y b (fig. 1.32b),
o sea:
Rab =4,83 u +3.125 u =7,955 n.
-tK~ !l 3.1~~ 1!
"'
,, ,
,, tFig. 1.31
1. 14 Obtener la resistencia eqUivalente que presenta el circuito de la figu-
ra l. 33 entre los puntos a y b.
Fig. I.D
L
r
37

Solución:
Corno puede observarse, con respecto a los puntos a y b. la red analizada
no constituye un circuito serie, paralelo ni serie-paralelo. Es necesario
buscar un método de solución.
Se observa que los resistores de 5, 6 y 4 U constituyen una delta. Si esta
se convierte en su estrella equivalente. resulta el circuito mostrado en la
figura 1.34. de acuerdo con las ecu.aciones (l. 9), (1.10) y (1.11).
R = 4 n ·5 u =1,33 u
a (4 +5 +6)U
Rb
= 4U ·6U =1.6 n
(4 +5 +6)U
'D= 5U · 6U
'"< ----=2U.
(4 +5 +6)U
2!!
h
xu
Fig. 1.34
El circuito obtenido queda muy simplificado, puesto que se ha convertido
en el circuito serie-paralelo de la figura 1.35a, el que, al reducir a un solo
resistor los dos resistores en serie que componen cada una de las ramas en
paralelo, se transforma a su vez en el de la figura l.35b.
R, 2 !!
¡,
38

2 !2
3.33 ~2
rh) -----------~
Fig. 1.35
El cálculo de la resistencia equivalente Rab es ahora muy sencillo. partien-
do de las ecuaciones (1.6) y (1.8), es decir:
Rab =2 U+ 3,33 U •9,6 U =4.47 U.
(3,33 +9,6)U
Por tanto, el circuito equivalente simplificado, correspondiente al original
mostrado en la figura 1.33, es el que aparece en la figura 1.36.
a
h
Fig. 1.36
l. 15 Calcular la magnitud de la corriente entregada al circuito de la figu-
ra 1.37 por la batería de 12 V conectada entre los puntos a y b.
+.'; 12V
4!2
Fig. 1.37
39

Solución:
Al utilizar el método de reducción de redes para resolver este circuito,
basta determinar la resistencia que él ofrece a la fuente de 12 V entre los
puntos a y b para calcular la corriente entregada por la misma, haciendo
uso de la ley de Ohm.
Al comenzar a trabajar desde el extremo más alejado de la red aplican-
do la ecuación (1. 8) a los resistores de 5 y 2 n conectados en'paralelo, se
obtiene el circuito mostrado en la figura l. 38: ·
5 n. 2 n
R.ql ~· (5 + 2) n
Fig. 1.38
=1,428 u.
(/
4!l
Los resistores de 1,428 y 3 n quedan conectados en serie, por lo que al
aplicar la ecuación (1.6) se obtiene el circuito mostrado en la figura 1.39,
puesto que:
R.q =3 n +1.428 u =4,428 n.2
/1 h
5H
4H
Fig. 1.39
Puede observarse claramente cómo los resistores de 4,428 y 6 n resultan
· '•conectados entonces en paralelo. Al utilizar la ecuación (1.8), se obtiene
el circuito mostrado en la figura 1.40.
40

4,428 n. 6 n
R,q = =2,547 n.3
(4,428 +6)U
11 h
5!2
-1!2
Fig. 1.40
La conexión en serie de los resistores de 2, 547 y 9 U lleva al circuito equi-
valente de la figura 1.41, ya que:
R,q =2,547 u +9 n = 11.547 u.4
a h
Fig. 1.41
El paso siguiente consiste en hallar la resistencia equivalente de la co-
nexión en paralelo de los re_· 1 ..-.Jres de 11.547 y 8 U, de cuyo cálculo re-
sulta el circuito de la figura 1.42, teniendo en cuenta que:
Fig. 1.42
8 u. 11,547 n =4,726 n.
(8 + ll,547)U
({
41

Se procede a calcular la resistencia equivalente de los resistores de 4,726
y 4 U, conectados en serie. Como resultado se·obtiene el circuito de la fi- .
gura 1.43, pues:
R.q =4 u +4.726 u =8,726 u.6
a b
su
-R = 8.726 U
•'fl,,
Fig. 1.43
Resta calcular la resistencia equivalente R.q =Rab• constituida por la co-
nexión en paralelo de 8,726 y 5 U. El circtiito resultante final se ilustra
en la figura 1.44.
1) - 5 u .8,726 u
''-ab- (5 + 8,726) u = 3,18 u.
R,~ = R,h = 3.18 U b
~-----~t:::J~----------~0
Fig. 1.44
De acuerdo con la ley de Ohm, la corriente entregada por la batería de
12 V al circuito que le ofrece una resistencia equivalente entre los puntos
a y b de 3,18 U, es:
E 12 V
1=-- = =3,77 A.
R 3,18 U
l. 16 Determinar la intensidad de la corriente circulante a través del re-
sistor de 20 U en el circuito mostrado en la figura 1.45, mediante la apli-
cación del teorema de Thévenin.
12 u 42 u
+ .':' ., 24'
8U 20 u
Fig. 1.45
42

Solución:
De acuerdo con lo establecido anteriormente. el primer paso a seguir en la
solución del problema, es calcular el valor de la resistencia de Thévenin
(RTH). la cual debe determinarse mediante el circuito confeccionado con
este propósito, eliminando el resistor de 20 U a través del cual se desea
calcular la corriente circulante, dejando abiertos los terminales a y b, y
cortocircuitando la fuente de tensión de 24 V. El circuito resultante se
muestra en la figura 1.46. Al analizar este circuito a través de los termi-
nales abiertos a y b, se observa que la resistencia total que presenta el cir-
cuito viene dada por la combinación del resistor de 42 U en serie con la
combinación de los resistores de 8 y 12 U en paralelo entre s{.
811
h
Fig. 1.46
Por consiguiente, puede afirmarse, de acuerdo con las ecuaciones (1.6) y
(1.8), que:
R~'H =42 n + 8
u· 12 11
=46,8 n.
•. (8 + 12)11
El segundo paso a seguir consiste en calcular la tensión de Thévenin, la
cual puede determinarse mediante la figura l.47.
12 11 4211 a
8U
b
Fig. 1.47
Como la tensión de Thévenin, de acuerdo con su definición, es la tensión
en circuito abierto entre los puntos a y b, la cual puede ser determinada
al calcular la caída de tensión a través del resistor de 8 U (en el resistor
43

de 42 i2 no existe calda de potencial alguna por encontrarse abierto el cir-
cuito en el punto a). se comprende que debe ser determinado el valor de
la corriente como cosa inmediata. De acuerdo con la propia figura 1.47.
se tiene que:
1=
24
V =L2A.
(12 +8)U
Como consecuencia, la calda de tensión en el resistor de 8 U es la siguien-
te:
uTH =8 n ·1.2 A =9.6 v.
El circuito equivalente de Thévenin correspondiente se presenta en la fi-
gura 1.48. del cual puede encontrarse fácilmente el valor de la corriente
de Thévenin (/TH). que coincide con la intensidad de la corriente buscada
a través del resistor de 8 U.
11 111
·. -li>.R U
a
20 u
Fig. 1.48
Luego:
Um 9 6 V
1m =1 =-.....:..:.:.- = ' =0,144 A,
R 7H +20 (46,8 +20)U
es decir. la corriente circulante a través del resistor de 20 n del circuito
original (fig. 1.45). de igual valor que la corriente de Thévenin, tiene un
valor de 0,144 A.
1.17 En el circuito de la figura 1.49. hallar la potencia disipada en el re-
sistor de 3 U, al sustituir el circuito entre los puntos a y b por su equiva-
lente de Thévenin.
44

4U 6U
+ E1
-12V a
+
-·- JU ---
b
Fig. 1.49
Solución:
Para calcular la resistencia equivalente de Thévenin debe dibujarse el cir-
cuito equivalente que aparece en la figura 1.50, de acuerdo con lo estable-
cido anteriormente.
4U
L
a
h
Fig. 1.50
En dicho circuito equivalente puede observarse que la resistencia de Thé-
venin vista desde los puntos a y b tiene, sobre la base de lo establecido por
la ecuación (1.8). el valor siguiente:
6 U · 4 U = 24 U
2
=2.4 U.
(6 +4)U 10 U
Mediante el circuito mostrado en la figura l .51. es posible calcular la
corriente de Thévenin (/TH) aplicando la segunda ley de Kirchhoff:
12-4/-6/-6 =0.
o sea:
6V
1=- =0.6 A.
lO U
45

+ f.> llV
b
Fig. 1.51
De igual forma puede plantearse en la sección derecha del circuito que:
o sea:
Um =Una =6 U· 0,6 A +6 V =9,6 V.
Debe observarse que al utilizar la notación Una se ha querido expresar la
diferencia de tensión existente entre los puntos b y a -en el sentido de b
hacia a-. Como se ha comprobado que el sentido de la corriente 1 es el
mismo sentido dado por el giro de las agujas del reloj (/ con signo positi-
vo), se comprende que el punto a posee un potencial más elevado que el
punto b; luego, de b hacia a existe una subida de tensión. Por esta razón,
debe ser considerada como tal en la ecuación·anterior destinada a deter-
minar la magnitud de esta tensión. El circuito equivalente de Thévenin es
el mostrado en la figura l. 52.
3!2
b
Fig. 1.52
46

En este circuito. la corriente de Thévenin es:
lrH =-E..:.::TH.:.-.. = 9.6 V·. =l.77 A.
Rm t3 (2.4 +3)U
Por tanto. la potencia disipada en el resistor de 3 U es la siguiente:
· 1.18 En el circuito que se muestra en la figura 1.53. calcular la caida de
tensión producida en el resistor de 6 U mediante la aplicación del teorema
de Thévenin.
4U
15 u 6!2
22 u
7U
Fig. 1.53
Solución:
1) (.~álculo de la resistencia de Thévenin (Rm) :
De acuerdo con el procedimiento a seguir se retira del circuito el resistor
de 6 U y se cortocircuitan las fuentes existentes en el circuito. La red re-·
sultante aparece en la figura l. 54.
Al hallar la resistencia equivalente (R,q) de la combinación en paralelo de
los resistores de 22 y 7 U resulta lo siguiente:
R = 7U·22U =5.31 U.
•q¡ (7+22)U
El circuito resultante se muestra en la figura l. 55.
Al detetminar el valor de la resistencia equivalente de la combinación en
serie de R,q y el resistor de 11 U. se obtiene:
1
R,q =R,q +11 =16.31 U.2 1

47

JIU.-.....-,_ 4U
1"ll
a
b
22U
7U
Fig. 1.54
11 u 4U a
15 u
b
Fig. 1.55
El circuito que se obtiene corno resultado aparece en la figura l .56.
4U a
15 u
b
Fig. 1.56
En este mismo circuito debe calcularse la resistencia Req • resultante de la
combinación en paralelo de R,4
con el resistor de 15 U~ Por tanto:
2
_ R,42 • 15 16.31 U . 15 U
~43 - ~ +15 - (16.31 + 15)U =7
'
813
U.
2
48
1
i
1
)

Como se observa en la figura 1.57. la resistencia equivalente que existe en-
tre los puntos a y h. posee el valor siguiente:
4U
a
R ~ 7.813 U
•''1 .
h
Fig. 1.57
2) Determinación de la tensión de Thévenin:
Para determinar la tensión en circuito abierto entre los puntos a y h (Um).
es necesario calcular el valor de la corriente circulante a través del resis-
tor de 15 U. para lo cual se utilizará el método de las corrientes de malla
Ü'ig. l. 58) :
12-11I1-15 I1 -22 (I1 -I11 ) = O
9 - 22(111 -I1) - 7 In = O
-48 I1 +22 In= -12
22I1 -29In=- 9.
15 u
22 u
+
Fig. 1.58
49

Al resolver este sistema de ecuaciones. se obtiene:
11 =0.6013 A: In =0.766 A.
Por tanto. la tensión en circuito abierto entre los puntos a y b puede cal-
cularse al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la rama abierta:
Al sustituir el valor de /1 en la ecuación anterior. se obtiene:
Uab = UTH =4.52 V.
El resultado indica que. al recorrer el circuito desde a hacia b. existe una
caída de tensión de 4.52 V.
El circuito equivalente de Thévenin se presenta en la figura 1.59. Median-
te este puede determinarse que:
4.52 V
=------ =0.254 A.
(11.813 +6)U
b
Fig. 1.59
Por consiguiente. la diferencia de potencial producida a través del resistor
de 6 U es:
UR =6 u. 0.254 A= 1.524 V.
6
Obsérvese que el punto con más alto potencial. de acuerdo con el sentido
de ITH. es el borne superior de dicho resistor.
50

PROBLEMAS PROPUESTOS
l. 19 Determine si existe caída o subida de potencial en cada uno de los ca-
sos mostrados en la figura 1.60 si siempre se supone el sentido de recorri-
do del observador de izquierda a derecha. Las flechas indican el sentido
de circulación de la corriente.
R R
a) e>c---;CJ~o----o o) e>o----ICJI----oo
_., ,.,.,_
-----tll-lt~.-0 d),_ -~
~1 14-
Fig. 1.60
Respuestas: a) Caida de tensión: b) subida de tensión: e) subida de ten·
sión: d) subida de tensión.
l. 20 Un circuito eléctrico consta de un resistor de lO U conectados en se-
rie con otro de 5 U. Calcule la resistencia equivalente del circuito.
Respuesta: Req =15 U.
l. 21 Si en un circuito eléctrico se dispone de dos resistores conectados en
paralelo y los valores de las resistencias de estos son 3 y S U, calcular la
resistencia equivalente de la combinación.
Respuesta: Req =1.87 U.
l .22 Determine el valor de la fem {E) del circuito mostrado en la figu-
ra 1.61 para que. entre los puntos a y b. exista una caida de tensión de
lO V.
Respuesta: E =88 V.
2U
ra--~--~~------.b
IHl
E
51

1.23 Si entre los puntos a y b de la ftgura 1.62 se produce una caída de
tensión de 30 V y entre los puntos b y e existe una caída de tensión de 9 V.
Calcular los valores de las fuerzas electromotrices E1 y E2•
2U
Fig. 1.62
Respuestas: E1
= 51 V; E1 = 9 V.
1.24 Una batería cuya fem es de 6 V alimenta a tres resistores conectados
en serie. de 3 U cada uno. Calcular la corriente entregada por la batería
a la combinación en serie de dichos resistores.
Respuesta: 1 = 0.667 A.
1.25 Una bateria que posee una fem de 12 V alimenta dos cargas conec-
tadas en paralelo de 4 U cada una. Determinar: a) Corriente entregada
por la batería a la combinación en paralelo. b) potencia suministrada a
cada carga y e) potencia disipada en la batería. 'Y~~
Respuestas: a) 1 = 6 A; b) P = 36 W a cada una; e) P = 72 W~f :)...
1.26 En el circu~to que se muesf~~n la figura 1.63. calcular el v'a~r de
la corriente 1 y la potencia disipada en el resistor de 6 U.
Respuestas: 1 = 3.21 A; P = 64.15 W.
R.-4 !l
·'
Fig. 1.63
1.27 En el circuito presentado en la figura 1.64. detemtinar. mediante el
método de corrientes de ramas: a) valores de las corrientes /1• 12 e l, a tra-
52

'
1
1
1
1
l
vés de los resistores R1• Rr y RJ. y b) si ambas baterías entregan o no
<¡nergía al circuito eléctrico.
Fig. 1:6;
Respuestas: a) Ir = 0.464 A; I2 = 0.124 A.I1 =0.34 A: b) la batería de
24 V entrega 11.14 W al circuito. mientras que la batería de 9 V recibe
3.06 W del circuito.
l .28 Mediante el método de corrientes de rama. calcular la potencia que
se disipa en cada uno de los resistores del_ circuito de la figura 1.65.
+
Fig. 1.65
Respuestas: P1
= 5.76 W: P2 =1.62 W: P, = l64.02 W.
l. 29 En el circuito de la figura 1.66, determinar. mediante el método de
las corrientes de mallas: a) valores de las corrientes de malla I1 e I11 ;
b) diferencia de potencial originada a través de cada uno de los resistores
del circuito.
Respuestas: a) I1 =2,33 A: I11 =0.167 A; b) UR =6,99 V; UR =4.33 V;
U. lV ' 2 .
R~ = •
l ..W En el circuito que se muestra en la figura 1.67. calcular la potencia
disipada en los resistores que lo componen. Utilizar en la solución del cir-
cuito el método de corrientes de mallas.
53

+E2=6V_........_
._____r-Fig. 1.66
+
Fig. 1.67
Respuestas: PR = 80 W: PR =360 W: PR =64 W.1 2 3
l. 31 Calcular las diferencias de potencial existentes entre los puntos a y
o (tierra) y b y o. en el gráfico de la figura 1.68.
Utilice en la solución el método de las corrientes de malla.
Respuestas: Uao =10 V: Ubo =0.
X ~20V lO V
- IOV
--Fig. 1.68
54

l. 32 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b que presen-
ta el circuito de la figura 1.69.
4U 5U
a
6U
b
..
Fig. 1.69
Respuesta: R,b =3.33 U.
l. 33 Determinar el valor de la resistencia equivalente existente entre los
puntos a y b en el circuito de la figura l. 70.
Respuesta: Rab =11.34 U.
4n
/1
5U
' h
7U
<JU
Fig. 1.70
l. 34 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito
mostrado en la figura l. 71 .
Respuesta: R..~ =4,69 U.
l. 35 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito
mostrado en la figura l. 72.
Respuesta: R.~= 5.27 H.
J.•M Obtener el circuito equivalente de Thévenin del circuito puente dado
en la figura 1.73.
Respuestas: Rm = 4.09 U y Cm= 1.16 V.
55
/

Fig. 1.71
Fig. l. 72
Fig. 1.73
56
4!2
2!2

'
~/
~
1
1. 37 Hallar el circuito equivalente de Thévenin en los terminales a y h del
circuito activo mostrado en la figura l. 74.
Respuesta: Rm =3.09!!; (.'m= 1 V.
3!!
Fig. 1.74
a
b
5 !!
~-E¡~20V
+
l .38 Obtener el circuito equivalente de Thévenin en los terminales a y h
del circuito activo .dado en la figura l. 75.
Respuestas: RTH =6. 92 !!; UTH =8 V.
5 !2 }----,---{:.:j:!:!J----11+ -1.~ ,. o(/
+
7 !!
L----------------4-----------------------~h
Fig. 1.75
57

CORRIENTES Y TENSIONES
ALTERNAS
INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
Con frecuencia se hace necesario obtener las expres1ones mstantáneas de
las ondas de tensión o corriente. sinusoi_dales o no sinusoidales. así como
calcular sus valores eficaz y medio. con el propósito de realizar operacio-
nes matemáticas con estas.
En el presente capítulo se ejercitan estos aspectos que resultan básicos pa-
ra la compresión del contenido de los capítulos subsiguientes.
Cido
Evolución completa de valores de una onda alterna variable con el tiempo.
Periodo <n
Tiempo necesario para completar un ciclo.
Frecuencia (1)
Número de ciclos completados en la unidad de tiempo. La unidad de me-
dida es el hertz. simbolizada por Hz. De acuerdo con la definición dada.
la frecuencia resulta ser el inverso del periodo. o sea:
f= ~. (2.1)
Velocidad angular (ro) de una onda
Es el número de radianes (o grados) recorridos por la onda en la unidad
de tiempo. lo cual puede expresarse como:
2n
{tJ=2~f=-r· (2.2)
58

Diferencia de fase
Se define la diferencia de fase entre dos ondas variables con el tientpo, de
igual frecuencia. a la fracción del periodo (no mayor que la mitad de este)
que separa sus puntos correspondientes.
Circuitos de resistencia pura
Estos circuitos constan solamente del parámetro resistencia. En ellos existe
coincidencia de fase entre la corriente y la tensión (fig. 2.1).
Wl
Fig. 2.1
Circuitos de inductancia pura
Estos circuitos constan solamente del parámetro inductancia. cuya unidad
de medida es el henry. simbolizada por H.
En ellos existe un retraso de fase de 90° de la corriente con respecto a la
tensión (fig. 2. 2).
Circuito de capacitancia pura
Estos circuitos constan solamente del parámetro capacitancia. cuya uni-
dad de medida es el farad. simbolizada por F.
En ellos existe un adelanto de fase de 90° de la corriente con respecto a
la tensión (fig. 2.3) .
..

j
Valor eficaz o efectivo
Dada una .corriente alterna con cua1qu1er forma de onda y los efectos ca-
lorificós que produce en un resistor R. la corriente eficaz es la intensidad
que debería-poseer una corriente directa para producir en dicho resistor ··
R idéntica cantidad de calor. durante el mismo tiempo. que la corriente
periódica considerada. Es decir. ·el valor eficaz de una función periódica
i(t). la cual posee un período T. es. por definición:
1 = V~ iT(i(t)) ldt. (2.4)
Una expresión similar pudiera ser obteruda para el caso de la tensión efi-
caz.
De acuerdo con la ecuación (2_.4{,"el valor eficaz de una onda sinusoidal
cuya expresión instantánea es1'!,_.- i sen rot es: .
'~
1= -'-
~2.
donde i es la amplitud de la onda sinusoidal, en ampere.
Impedancia reactiva inductiva (XL)
(2.5)
Término utilizado técnicamente para denominar al producto roL. La dife-
rencia de potencial efectiva producida a través de un inductor viene dada
por la expresión:
UL =coL/ =2'!ffLI. (2.6)
De acuerdo con la definición anterior. la impedancia reactiva inductiva es
igual a:
(2.7)
Impedancia reactiva capacitiva <Xc>
Término utilizado técnicamente para denominar a la relación 1/(ci>C). La
diferencia de potencial efectiva producida a .través de un capacitor viene
dada por la expresión:
1 1
Ve = - - ·1 = - -1.
2!J!O (t)c
(2.8)
De acuerdo con la definición anterior. la impedancia reactiva capacitiva
es igual a:
1
Xc = - - - =- -
2'/ffC <•JC
(2.9)
6l

PROBLEMAS RESUELTOS
1.1 Un capacitor de 10 p.F se conecta a una fuente de ·24 V, 60Hz.
Calcular la corriente que circula a través de este.
Solución:
De acuerdo con lo establecido' en 1m ecuación· (2.8). puede afirmarse que
el valor de la corriente que Circula a través del capacitor es:
l=-u = .'u
Xc 1
=21(CU=
2n/C
= 2n·60 Hz·lO · 10-6
F ·24V=0.09 A
1=90 mA.
2. 2 Calcular la inductancia de una bobina a través de la cual síe produce
una caida de tensión de 66 V al circular una corriente de 6 A. siendo la
frecuencia de la tensión de la red de 60 Hz.
Solución:
En concordancia con lo establecido en la ecuación (2.6). se tiene que:
L = UL = 66 V =0.029 H.
2rifl 2n ·60 Hz · 6 A
2. 3 Una corriente eléctrica está dada por la función
i=2.5 sen(21 S13 +30") A.
Determinar: a) frecuencia en hertz: b) valor de i en t =0: e) valor eficaz
de la corriente.
Solución:
a) De acuerdo con la ecuación (2.2) se tiene que:
( =.!:._ = 21 513
=3 425.6 Hz.
· 2n 6.28
b) Al hacer t = O en la expresión de la corriente i, se tiene que, para esta
condición:
i=2.5 sen(21 5l3t+30") =2.5 · sen 30°=
=2.5 · 0.5 =1.25 A.
62

e) El valor eficaz de la corriente, por tratarse de una onda sinusoidal es.
en concordancia con la ecuación (2.5)
1 = _!_ =
2
·
5
A = 1 77 A
~2 ~2 . .
2. 4 Si a través de un circuito dado circula una corriente cuya expresión
instantánea es i =5,6 sen (377t +40") A, la cual produce a través de los
propios terminales una tensión de valor u =200 sen (377t +60") V. calcu-
lar:
a) Valor instantáneo de la corriente para t =0.
b) Valor instantáneo de la tensión para t =0,001 s.
e) Dibujar las ondas de tensión y corriente. mostrando la diferencia de fa-
se entre ellas.
Solución:
a) El valor instantáneo de la corriente para t =0 es:
i = 5.6 sen (377 ·O+ 40") = 5.6 sen 40° =3.6 A.
b) El valor instantáneo de la tensión para t = 0.001 s resulta:
u=200 sen (377 ·0.001 +60°) =200 sen (0.377 +60") V.
Al convertir los radianes a grados para poder realizar la suma dentro del
paréntesis. se obtiene:
u =200 sen (21.6° +60") =200 sen 81.6°= 197.85 V.
Nota: Debe recordarse que para convertir radianes a grados se multiplican los radia-
nes por 57,3, puesto que 360°=27t radianes.
e) Ambas ondas pueden ser trazadas al tener en cuenta que entre ellas
existe una diferencia de fase de 20°, puesto que:
En la figura 2.4 se muestra el gráfico en función del tiempo de las ondas
de tensión y corriente.
2. 5 Una fuente de tensión sinusoidal de 220 V, valor eficaz y 400 Hz, se
aplica a un resistor de 250 n. Considérese que la onda de tensión pasa por
cero cuando t =0.
a) Escribir la ecuación instantánea de la tensión.
b) Escribir la ecuación instantánea de la corriente.
e) Trazar un <:iagrama en función del tiempo en el que se muestren las on-
das de- tensión y de corriente.
63

u, i
u
/
Fig. 2.4
Solución:
a) La ecuación instantánea de la onda de tensión es:
u =Ú sen cot =Ú sen 2n ·ft.
Con esta expresión se cumple la condición requerida de que u =O cuando
t =0. Al sustituir valores de acuerdo con la ecuación (2.5), se obtiene:
u=220 ~2 sen (2n·40Q)t=311,12 sen (2 513 t) V.
. -
b) Como se sabe, en un circuito de resistencia pura no existe diferencia de
fase alguna entre las ondas de tensión y corriente, razón por la cual la ex-
presión instantánea de la corriente que circula a través del circuito es:
A A
• ¡;. u u 2·¡;z= z sen cot =- sen cot =- sen 7f¡t.
R R
Al sustituir valores en la ecuación anterior, se tiene que:
. 220 ~2
z= sen (2n · 400 t) = 1,24 sen 2 513 t A.
250
e) El diagrama de la variación en función del tiempo, correspondiente, es
el que se muestra en la figura 2.5. En este han sido seleccionadas arbitra-
riamente las escalas correspondientes a la tensión y a la corriente.
2. 6 Determinar la ecuación instantánea de la caída de tensión producida
a través de un inductor con una inductancia pura de 20 mH, cuando cir-
cula por él una corriente de i = 20 sen (10 000 t +30") A.
64
1
1
~

ú=311.12 V
/=O.R8A
wt
Fig. 2.5
Solución:
Para determinar el valor eficaz de la caída de tensión producida a través
del inductor puede aplicarse la ecuación (2.6), teniendo en cuenta que el
valor eficaz de la corriente es 1 = 2
~ =14,14 A, o sea:
~2
UL =WL/=10 000.20 · 10-J'H ·14,14 A =2 828 V.
El valor máximo de la tensión es:
u~. =.Ji. 2 828 =4 ooo v.
Al saber que en un circuito de inductancia para la tensión está 90° en ade-
lanto de fase en relación con la corriente, la expresión instantánea de la
tensión es:
ut. =4 000 sen (10 000 t +30° +90") =4 000 sen (10 000 + 120") V.
4. 7 Calcular la expresión instantánea de la corriente que circula a través
de un capacitor de 5¡.JF, si a través de este se produce una tensión
uc =2,2 sen (5 654,8 t +90°) V.
Solución:
De acuerdo con la relación existente entre el valor máximo y el valor efi-
caz de una onda sinusoidal, se tiene que el valor eficaz de la tensión pro-
ducida a través del capacitor es:
Uc =
2
·~-V = 1,55 V.
~2
65

La corriente circulante tiene como valor eficaz (ver ecuación 2.8):
Ue
1= - - = 1,55 V· 5 654,8 · 5 · 10-6
F =0,044 A =44 mA.
1
wC
A partir del resultado obtenido anteriormente, y tener en cuenta que la
corrien~e en un circuito de capacitancia pura está en adelanto de fase de
90° en relación con 1a tensión a trayés del capacitor, se tiene que:
i =0,044 · ~2 sen (5 654,8t + 90° + 90) =0,06 sen (5 654,8t + 180; A.
2. 8 Encontrar los valores medib y eficaz de una, corriente que presenta la
forma de onda mostrada e.n la figura 2.6.
i
·~
20
5
10
5 ~
o 5 10 15 20 25 30 35 -40 t(~ )
Fig. 2.6
Solución:
Valor medio
De acuerdo con la ecuación (2.3), se tiene que:
1( 1 l (2s to
lmed =T .t i(t) dt =30 (.1 O dt +}5
5 dt +h5
20 dt )=
1
=- (0 + (25 -5) 5 +20(30-25)) =6,67 A.
30
Valor eficaz
De acuerdo con la ecuación (2.4) resulta:
y1 «5 i25 30 )1= _ 0 2 dt+ 52 dt+I 202 dt
30 o 5 25
66
=

!.
T
f
1 - .
=¡...:_ (O +25(25-5) +400 (30-25)) =9,13 A.
V30
2. 9 Un equipo eléctrico consume_una corriente,de 10 A durante 20 s. Se
desconecta la alimentación por 30 s y después consume 100 A durante 20 s
.para luego repetirse el ciclo periódicamente. ¿Cuál es el valor eficaz de l.a
corriente consumida por el equipo?
Solución:
El valor eficaz de la corriente, según la ecuación (2.4), es el sW.uiente:
¡ =..·]J_ ( (
20
lOldt +('o02 dt + r*oo1 dt) . =53,72 A.
't10 k J2o Jso
2.10 Determinar el valor eficaz de la tensión con forma de onda trian&ular
mostrada en la figura 2..7.
o-:-20 - 10
1Fig. 2. 7
Solución:
El periodo T de esta onda es de 40 s. La curva puede considerarse inte-
grada por las funciones siguientes:
-20 <t<O u(t) =(1) t + 10
o<t <20 u(t) =(-1) t +10.
67

De acuerdo con la ecuación (2.4) se tiene que el valor eficaz de la onda
es:
U="/ ...!... Ir' (t+10)2dt+(<-t+10) 2dt=
" 40 1-20 9
= ...!...lf t2dt + e20t dt + f102dt + r2D t2dt- r0
20t dt + (2D 102 dt )
40 1_20 L20 )_20 J¡ Jo J,
=5,77 V.
2.11 Calcular el valor eficaz de la onda mostrada en la figura 2.8.
1 ~
12 A
,O 3 6 9
"'!'·
t(mín)
-12A ....
Fig. 2.8
Solución:
Como puede observarse, el periodo de la onda es T =6 min. Por tanto, de
acuerdo con la ecuación (2.4) se obtiene el valor eficaz de la onda, es de-
cir:
=~
1
-(144 ·3 +(144 ·6-144 ·3)) =12 A.
6
2.12 Determinar los valores medio y eficaz de la onda de tensión mostrada
en la figura 2.9.
68
1
1
l

u
5V
o
Fig. 2.9
Solución:
2 3 6
De acuerdo con los intervalos a considerar dentro del período de la onda
T =; 2 s, se tiene que:
o<t < 1 u(t) =-St +5
1 <t <2 u(t) =0.
Por tanto, de acuerdo con la ecuación (2. 3), el valor medio de la onda es:
1 [T 1 t (2
umed= T·O udt =2 (Jo (-St +5) dt + }¡ o dt )=
=- -S- +St = -(-- +5) =1,25 V.1 ( tz ]1 ]' ) 1 S
2 2 o o 2 2
Por otro lado, el valor eficaz es el siguiente:
U= y~lru2
dt =Vff (-St +5) 2
dt =2,04 V.
2.13 Calcular los valores medio y eficaz de la onda de corriente mostrada
en la figura 2.10.
Solución:
El per~odo de la onda considerada es T =6 s, obteniéndose:
8
-3<t<0 Í= -t+8
3
3<t<0 i=-..!.t.
3
69

Fig. 2.10
Por tanto, de acuerdo con ecuación (2.3), el valor medio es:
1 [ 8 i) 8
/med=-( (-t+8) dt+ (--t)dt)=4A ,
6 --3 3 3
Además. el valor eficaz. según la ecuación (2.4), es:
1 = ~ j_ ([ (_!_t +8) 2dt + (
3
(- _!_t) 2dt )=4,62 A.
6 - 3 3 Jo 3
2.14 Determinar el valor eficaz de la onda de corriente mostrada en la fia
gura 2.11.
J
o 2 3 4 5 6 7 t (s)
Fig. 2.11
70

Solución:
Periodo de la onda: 5 s
i(t) = 2..r = 5t
1
i(t) =_.!Q_ t + 10 =-5t + 10
2
i(t) =0.
Al aplicar la ecuáción (2.4), se tiene que:
1 = ~+(f(51)
2
dt +f<-:-5t +10) 2
dt +fo.dt)
~ 1 ( tl ] 1 tl J1 t2 ] ' ] ' )
= - 25- + 25- - 100- + 100t =
5 3o 32 2 1 . 1
=1.82 A.
2.15 Hallar los valores medio y eficaz de la onda de tensión que se mueS:
tra en la figura 2.12, en cuyo primer intervalo i =20 . e-120
' A.
u
20 V
o 0.1 (/.2 (IJ r(s)
Fig. 2.12
71

Solución:
Valor medio
De acuerdo con la ecuación (2.3) se tiene que:
1 LT 1 r·l1 =- idt =- 20 e ·120
'dt =
med T O 0,1 •
= (0,1)~~120) ~-1201 J:·l )=
= -1,67 (e- 12
-e0) =1,67 A.
Valor eficaz
1 = .. /_1 ei2dt = .. 1 _1_ t 1 400 e 2401 dt =
V T.o V 0,1 Jo
= 400 (e.. 2401 -eoloo.J )=4,08 A.
(-0, 1)(-240) J
2.16 Calcular la capacitancia de un capacitor que, al ser coneetado a una
fuente de 120 V, 60 Hz, consume una corriente de 1 A.
Respuesta: C =22, 1 ¡.t.F.
2.17 Si a través de un inductor de 0,003 H se produce una caída de ten-
sión de 120 V cuando circula por ella una corriente de 3 A, determinarla
frecuencia de la tensión aplicada.
Respuesta: f = 2 123 Hz.
2.18 La expresión instantánea de una tensión viene dada por
u =6 ·sen (10 000 t +60") V. Calcular:
a) frecuencia de la onda en hertz,
b) valor de la tensión instantánea en t =O,
e) ·valor eficaz de la tensión.
Respuestas: a) f = 1 591 Hz; b) u= 5,2 V; e) U = 4,24 V.
2.19 Cuando una carga determinada se le aplica una fem cuya expresión
instantánea es e= 120 sen (1 000 t-30") y a través de esta circula una
corriente de valor i = 30 sen (1 000 t) A, calcular:
a) valor instantáneo de la corriente para t =0,
b) valor instantáneo de la fem para t =0,002 s, ·
e) diferencia de fase entre la tensión y la corriente.
Respuestas: a) i =0; b) 119,46 V; e) (¡?=30°.
.----
72

'2. 20 A un resistor de 50 U se le aplica una tensión cuya expresión instan-
tánea es u= 130 sen (2 000 t + 30°) V.
a) Escribir la ecuación instantánea de la corriente circulante a través de
este.
b) Calcular la frecuencia de la tensión aplicada.
Respuestas: a) i = 2,6 sen (2 000 t + 30, A; b) f = 318,3 Hz.
2. 21 Cuando a un inductor se le aplica una tensión, cuya expresión instan-
tánea es u =622,25 cos 377t V, circula una corriente de 3 A de valor efi-
caz. Determinar:
a) valor de la inductancia,
b) expresión instantánea de la corriente.
Respuesta: a) 0,389 H; b). i =4,24 cos (377 t-90°) A.
2. 22 Calcular la capacidad de un capacitar al cual se le aplica una tensión
u= 380 sen 377t V y circula a través de él una corriente de valor eficaz
de 4 A. .Escriba la ecuación instantánea de dicha corriente.
Respuestas: C =39.5,uF; i = 5.66 sen (377 t +90°) A.
2. 23 Calcular el valor eficaz de una corriente cuyo gráfico en función del
tiempo se muestra en la figura 2.13.
¡~
25
20
15 -
110
5 ~
1 1~
o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.1 (s)
Fig. 2.13
Respuesta: 1 =11,67 A.
2. 24 Determinar los valores medio y eficaz de la onda que se muestra en
la figura 2.14.
Respuestas: lmed =1,67 A; 1 =2,89 A.
73

¡ j

-n.l 11.2 IU 0.4 0.5 0.6 (!.7-; (s
. Fig. 2.14
2. 25 Calcular el valor eficaz de la onda periódica de corriente que se
muestra en la figura 2. 15.
/~
. ..-
'
-() 2 (l .¡ (1 6 () ·t (s)
~¡ ;
Fig. 2.15
Respuesta: 1 =3,6 A.
2. 26 Determinar el valor medio y el valor eficaz de la onda de tensión que
se muestra en la figura 2.16.
Respuesta: Umed =0; U=3,46 V.
2. 27 Calcular el valor medio y el valor eficaz de la sinusoide de la figu-
ra 2.17.
Respuestas: Umed =O; U= 10,6 V.
74

u
6V
o
-6V
Fig. 2.16
u
u"=15V
o
Fig. 2.17
2. 28 Determinar los valores medio y eficaz de la semisinusoide obtenida
f1 la salida de un rectificador de media onda y que se muestra en la figu-
ra 2.18. f/?:--:·=··--r¡
Respuestas:.~!.:_~A; 1=?.!_~~
75
l

ISA
Fig. 2.18
u
r
~- .
o
Fig. 2.19
u
8V
O T
~------------~--~--------~
Fig. 2.20
76

1.19 Calcular los"valores medio y eficaz de la onda que se obtiene a la sa-
lida de un rectificador de onda completa, la cual se muestra en la figu-
ra2.19.
Respuestas: U,ed=1,644 V; U=8,48 V.
l ..JO Hallar los valores medio y eficaz de la onda representada en la figu-
ra 2.20.
Respuestas: Umed=4 V; U=S,46 V.
77

FASO.RES Y ÁL.GEBRA
COMPLEJA
INTRODUCCIÓN
Capitulo 3
Frecuentemente se requiere realizar operaciones matemáticas con ondas
sinusoidales de la misma frecuencia, ya sea en fase de tiempo o con cierto
ángulo de fase entre ellas. Dichas ondas sinusoidales pueden representarse
mediante notación fasorial. En el presente capitulo se ejercitan diversas
operaciones con números complejos, expresados en diferentes formas, con
el propósito de que los estudiantes adquieran habilidades en la utilización
de estos números, atendiendo a la importancia básica de estos ·en la ejer-
citación de esta asignatura.
Se llama número a la expresión de la cantidad computada con relación
a una unidad.
El conjunto de números reales, puede ser representado mediante puntos de
una recta, llamada _eje real (fig-. 3.1), correspondiendo cada punto sobre
dicho eje a uno y solamente uno de estos números. Las operaciones fun-
damentales (suma, resta, multiplicación y división), realizadas con núme-
ros reales, originan a su vez números reales. La raíz cuadrada de un nú-
mero real positivo es tambíen un número real, mientras que la raíz' cua-
drada de un número real negativo no es un número real, por lo cual no
corresponde a ningún punto sobre el eje real. ,
1 8
J3
-
2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 2 3 4 5 6
Fig. 3.1
78

La rafz cuadrada de un número negativo constituye un número imagina-
rio. El conjunto de números imaginarios puede representarse mediante
puntos de una recta llamada eje imaginario (fig. 3.2). La unidad sobre di-
cho eje es la R , la que se designa con la letra j, es decir:
1=..J-1,
siendo las potencias sucesivas .de la unidad imaginaria:
P=(-1); P=PJ=(-1)J=-J;J4
= Ul) 2
=1; P=J4j=J;... (3.1)
)4
)3
)2
)1
o
-)1
-)2
-)3
-)4
Fig. 3.2
NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo está compuesto por una componente real y una com-
ponente imaginaria. Por ejeml'-lo: a+jb es un número complejo, donde a
Yb son números reales y j =V-1 (a es la parte real y b es la parte ima-
ginaria del número).
79

tanto., mediante un nú~ero complej~. Los fasores pueden expresarse en di-
ferentes formas, las más utilizadas de las cuales son: la forma rectangular
y la forma polar.
Forma rectanf.(ular
Considérese un fasor ~que forma un ángulo (/)con la referencia. Este pue-
de descomponerse en dos componentes: a, a lo largo del eje horizontal de-
recho de referencia y b a lo largo del eje a 90° con el de referencia. lo que
puede expresarse al escribir el fasor de la forma siguiente:
~=a +}h. (3.2)
De acuerdo con lo establecido en la expresión (3. 1), el fasor podrá encon-
trarse en cualesquiera de los cuatro cuadrantes del plano complejo, en
dependencia de los signos respectivos de las partes real e imaginaria. Ob-
sérvese que el .simbolo j denota rotación de 90° de la cantidad a la cual se
encuentra unido, en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. De
forma similar, -j implica una rotación de 90° en el sentido de giro de las
agujas del reloj.
Forma polar
Es posible especificar la longitud del fasor y su posición angular con res-
pecto al eje'horizontal derecho, en lugar de hacerlo en fución de sus com-
ponentes a lo largo de ambos ejes como en la forma rectangular, o sea, un
fasor en forma polar queda especifi~ado como:
donde (/) representa la rotación experimentada por la cantidad Z a través
del ángulo +(/). El signo positivo en el ángulo representa un giro en sen-
tido contrario al de las agujas del reloj; el signo negativo representa un gi-
ro en sentido opuesto.
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El conjugado de un número complejo ~ =a +jb es el número complejo que
resulta de invertir el signo a la parte imaginaria del número complejo ori-
ginal, o sea, en este caso ~' =a-jb. En el caso de que el número se en-
cuentre expresado en forma polar:
'-r
Z=Z/(fJ
el número conjugado se obtiene al invertir el signo del ángulo, o sea
(fig. 3.3):
~'=Z~
80

~¡
Fig. 3.3
CONVERSIÓN DE FORMA RECTANGULAR
A POLAR
Cuando se dispone de un fasor expresado en forma rectangular, las can-
tidades conocidas son las dimensiones de sus componentes sobre los ejes
real e imaginario. Por tanto, para convertir de la forma rectangular a po-
lar, es necesario utilizar las relaciones siguientes:
Cálculo de la magnitud o módulo del fasor (fig. 3.4):
z =val +bl.
Ángulo con respecto a la referencia:
qJ=tan-1
b/a=sen-1
a/Z=cos-1
b/Z.
CONVERSIÓN DE FORMA POLAR
A RECTANGULAR
(3.3)
(3.4)
Cuando se dispone de un fasor expresado en forma polar, las cantidades
conocidas son.la magnitud o módulo del fasor y el ángulo que forma con
el eje de referencia. Por tanto, para convertir de la forma polar a la forma
rectangular, deben utilizarse las relaciones siguientes:
Cálculo de la componente sobre el eje real (fig. 3.4) .
Re (~) = a = Z cos <O·
Cálculo de la componente sobre el eje 'imaginario:
/m(~) =b =Z sen qJ.
(3.5)
(3.6)
81

j
Fig. 3.4
SUMA DE DOS N ÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos pueden sumarse exclusivamente cuando se encuen-
tran expresados en forma rectangular.
Sean los números l.= a +jb y X= e+jd. La suma es:
l+[=(a+jh) +(c+Jd) =(a+c) +J(h+d) .
DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS
C.OMPLEJOS
(3. 7)
Como en el caso de la suma, los números co{nplejos pueden restarse exclu-
sivamente cuando se encuentr~n expresados en forma rectangular.
Sean los números l. =a +jb y X= e +}d. La diferencia es: r
l.- X=(a +Jh) -(e +Jd) =(a-e) +J(h-d).
PRODUCTOS DE DOS NÚMEROS
COMPLEJOS
(3.8)
La operación de multiplicación de los números complejos puede realizarse
cuando están expresados tanto en forma rectangular como en forma polar.
Producto de dos números comrlejos expresados en forma rettangular
Sean los números complejos l.= a +jb y X= e +jd. Su producto será:
l.· X=ac+jad+}bc~+P bd=(ac-bd) +J(ad+hc). (3.9)
82
¡
j
,

l
Producto de dos números complejos expresados en forma polar
Seán los números complejos ~ =Zffi y I =Y[!¡ . Su producto se ob-
tendrá al multiplicar sus módulos y sumar algebraicamente sus ángulos, o
sea:
(3.10)
Como se observa, la multiplicación de números complejos expresados en
forma polar resulta más sencilla que en forma rectangular.
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS
i a operación de división de los números complejos pue~e realizarse tanto
en forma rectangular como en forma polar.
División de números complejos expresados en forma rectangular
Esta división se realiza al eliminar la j del denominador, lo que se logra
al multiplicar y dividir la fracción por el conjugado del denominador.
Sean los números complejos ~=a +jb y I =e+jd. Su cociente será:
z-=-- =
I
a +Jb
e +id
c-jd (ac +bd) +j(bc-ad). - - = ..;,___~....:;..;.__...,:_ =
ac +bd . bc-ad
= +;---
c2 +dl el +dl
División de números complejos expresados en forma polar
(3.11)
Sean los números complejos ~ =ZL!A. y I = YL_p¡ . Su cociente se ha-
llará al dividir sus módulos y restar sus ángulos:
z z~ =- ¡rpl-rpl . (3.12)
..r y
Como puede observarse, la operación de dividir resulta más sencilla en
forma polar que en forma rectangular. ·
REPRESENTACIÓN DE UN FASOR
EN FORMA INSTANTÁNEA
Para expresar un fasor en forma instantánea se hace necesario atender a
la ecuación general de una onda sinusoidal:
A
ª-=a sen wt (3 .13)
donde aes la amplitud de dicha onda [ver ecuación (2. 5) ].
83

CONVERSIÓN DE LA FORMA
POLAR A LA FORMA INSTANTÁNEA
Si se tiene un fasor 4. =AL!!... expresado en forma polar, podrá represen-
tarse en forma instantánea si se procede de la forma siguiente:
-Multiplicar el valor efectivo de la onda (módulo del fasor en forma po-
lar) por rafz de dos, a fin de calcular su amplitud:
" _,-a =.A.v2. [ver ecuación (2.5)]
-Sumar a wt, algebraicamente, el valor de la diferencia de fase del fasor
con relación al origen de tiempo, tomando en cuenta su propio signo, o
sea:
4. =.AL!!... =a sen (wt + rp) = .A~2 sen (Cd +rp).
Además, para un fasor 4.=Al -rp se tiene que:
4. = AL..=!!_ = asen (wr- rp) =
=.A~2 sen (wt-rp).
(3.14)
(3.15)
Una vez que el fasor se exprese en forma instantánea, se deberá represen-
tar mediante una letra minúscula, puesto que ya constituye una cantidad
variable con el tiempo.
PROBLEMAS RESUELTOS
3.1 Sumar los números ~~ =2 +j3 y ~l =3-jl .
Solución:
~~ +~2 =(2 +j3) + (3-jl) =(2 + 3) +j(3 -l ) =
=5 +J2.
3. 2 Sumar los números complejos ~~ =-2-}4 y ~1 =3- j2.
Solución:
De acuerdo con la ecuación (3.7). se obtiene:
~~+~2 =(-2+3) +j(-4-2) =l-j6.
84

J.J Restar el número complejo ~2 =4-j2 del número complejo
~1 =3 +j6.
Soluci6n:
De acuerdo con la ecuación (3.8), puede escribirse:
~1-~2 = (3 +j6) -(4-j2) =3 +j6-4 +j2 =
=(3-4) +j(6 +2) = -1 +j8.
J.4 Restar el número ~1 =3 +J2 del número ~2 = -2-}4.
Soluci6n: .
~2-~1 =(-2-}4) -(3 +J2) = -S-j6.
J.5 Multiplicar los números complejos: ~~ =2 +j3 y ~2 =3-)2.
Soluci6n:
En concordancia con lo establecido en la expresión (3.9), resulta:
~1~2 =(2 +j3) (3-J2) =12 +jS.
J.6 Multiplicar los números complejos ~~=SI 36,8° y ~2 = 3/-12° .
Solución:
Al atender lo establecido en la expresión (3.10), se obtiene:
J. 7 Hallar el cociente que resulta de dividir el número 6 +j3 por el núme-
ro 4-)2.
Solución:
De acuerdo CQn la expresión (3.11), este cociente puede ser calculado al
multiplicar ambos miembros de la relación por el conjugado del denomi-
nador, o sea:
6 +j3
4-)2
4 +)2
4 +J2
= 18 +}24 =0,9 +jl.2.
20
J. 8 Hallar el cociente resultante de dividir el número 4/ 30° por el nú-
mero 3J20o .
85

Solución:
Al tener en cuenta lo expresado en la ecuación (3.12), resulta:
130°4
=1,33/ 30°-20° =l,33L..!Q:.
3/20°
3. 9 Convertir el fasor expresado en forma rectangular por 4 +j3, a la for-
ma polar.
Solución:
1. Trazar el gráfico que representa el número complejo, destacando en él
que el ángulo es menor de ~so (fig. 3.5).
j
o
Fig. 3.5
2. Calcular el módulo del fasor mediante la ecuación (3.3):
Z=~42 +32 =5.
3. Calcular el ángulo que forma el fasor con el eje de referencia (ver flgu-
ra 3.4):
4. La expresión del fasor en forma polar es, por tanto:
3.10 Expresar el fasor 2-j3 en forma polar.
86

Solución:
l. Trazar el gráfico correspondiente al número de cuestión aproximada-
mente a escala (fig. 3.6).
o
Fíg. 3.6
2. Calcular el módulo del fasor:
z =~21 +3 2
=3,6.
2
-:iJ
3. Calcular el ángulo que forma el fasor con el eje de referencia:
' .
3 - . --
q;=tan- 1
- - = -56,3°. 7
2 ~ ~
4. La expresión del fasor en forma polar es, por tanto:
~=3,6/-56,3°.
3. 11 Expresar el fasor ~ = 10/ 30o en forma rectangular.
Solución:
l. Trazar el gráfico del fascr aproximadamente a escala (fig. 3.7).
2. Calcular la parte real del número complejo mediante la ecuación (3.5):
R,(Q =a=lO(cos 30°) =8,66.
87

o
Fig. 3.7
3... Calcular la parte imagjnaria del número complejo mediante la ecua-··
ción (3.6):
4. Por consiguiente, la expresión en forma rectangular del gráfico es:
?.: =8,66 +}S.
· 3.12 Expresar el fasor {! =SOJ-40" en forma rectangular.
Solución:
l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3.8) .
-:ib
Fig. 3.8
-j
88

2. Calcular la parte real del número complejo:
R, UD =a =SO(cos-40, =50 cos 40°=38.3.
3. Calcular la parte imaginaria de~ número complejo:
4. La expresión del fasor en forma rectangular resulta:
fl =3S.3 -j32,14.
'
3.13 Expresar el fasor ~ = 15/100o en forma rectangular.
Solución:
l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3.9) .
.i
Fig. 3.9
R, (~) =a=15 cos 100°=15 (-0,174) =-2,6.
3. Calcular la parte imaginaria del número complejo:
Im (~) =b=15 sen 100°=15(0,984) =14.77.
89

4. La expresión del fasor en forma rectangular es:
~= -26 +}14,77.
3.14 Expresar el fasor ~ = 12/190: en forma rectangular.
Solución:
l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3.10).
Fig. 3.10
-)
Re(~) =a=12 cos 190°=12 cos (180+10) =12(-cos 10") =
= 12 (-98,5) = -0,302.
3. Calcular la parte imaginaria del número complejo:
= 12 sen (180 +10)
=12 (-sen 10")
= -2.08.
4. La expresión del fasor en forma rectangular es, por tanto:
~= -11,8-}2,08.
90

3.15 Resolver las operaciones que se plantean a continuación.:
a) (3 +j4)(7 +j6)
(5 +j6)
b) (3-j5)(6+j19)
(5 +j7)(9-j3)
e) (6-j4)(5 +j9) -(7 +j6)
(5-j10)(4 +j9) +(5-Ji) -(7 +j10)
d) (-6-j8)(-S +j3)(4 +jS)
(6 -Ji)(-S -jl4)(1S +j10)
2f30° +4/50° -3/-30°
e)
5/-15°
Solución:
a) Como las operaCiones a realizar son las de multiplicación y división ex-
clusivamente, es más cómodo trabajar si se convierten los números com-
plejos a forma polar. Al seguir el procedimiento establecido se obtendrá el
resultado siguiente: ·
(3 +j4)(7 +j6) Sj53,13o . 9,22~
5,9/43,S4° .=
S +j6 7,81/S,19o
b) En este caso están incluidas las operaciones de suma, multiplicación y
división con números ~omplejos. Para realizar la suma, es recomendable
trabajar en forma rectangular, mientras que en la multiplicación y división
se aconseja trabajar en forma polar. Puede procederse, sobre esta base, de
la forma siguiente:
(3-jS) +(6 +j9) =(9 +j4)
(S +Ji) =8,6/54,4° .
(9-j3) =9,49/-·18,43°.
Por tanto. la expresión original puede escribirse como sigue:
(3-jS) +(6 +j19)
(S +Ji)(9-j3)
9 +j4
=---------------------8,6/ 54,4° . 9,49/-18,43°
91

Las operaciones que quedan por realizar son exclusivamente de división Y
multiplicación, razón por la cual el numerador de la fracción debe ser
convertido a forma polar, es decir:
9 +}4 =9,84/ 23,96°.
Al sustituir este valor en la expresión anterior, se obtiene:
9,84/23,960 =0,121/-12,o¡o .
8,6/ 54,4° . 9,49/-18,43°
e) Al seguir el procedimiento recomendado, es decir, realizar las opera-
ciones de suma y resta con los números complejos expresados en forma
rectangular y las operaciones de multiplicación y división con los números
complejos expresados en forma polar, deben seguirse los pasos siguientes:
(6-}4)(5 +/)) -(7 +j6)
------------------------- =(5 -j10)(4 +/)) + (5 -Ji) -(7 +}10)
= 7,21/-33,6° ·10,29/60,94° -(7 +}6)
11,18/-63,43° ·9,85/66,04° +(5-}7)-(7+}10)
74,19/27,34° -(7 +}6)
=--~~==~~~~----=
110,12/2.61o + (5 -)7) -(7 +}10)
(65,9 +}34,07) -(7 -}6) 58,9 +)28,07
= --------------------- = --------- =110 +}5,014 +5-)7-7-}10 108-}11,986
= 65,25/25,480 =0,6/31,810 .
108,66/-6.33°
=
d) Al seguir el procedimiento establecido y tener en cuenta que las ope-
raciones a realizar son exclusivamente de multiplicación y división, se pro-
cede de la forma siguiente:
92
..;.(_-_6-..:J....;i8)~(-_5_+....;J;...i3)~(4_+....;1;...'5);.... =
(6-)7)(-5-}14)(15 +}10)
r
10/233,13° . 5,83/149,04° . 6,4/51,34°
=~==~~==~~~~--9,21!-49,40 . 14,86/250,3° . 18/33,7°
1
·

= _:3.:..:73:.:.:,1:.:2::/4=3=3·=51=
0
-
2 463.5/234,65° = 0•151
1
•
850
.
e) De acuerdo con lo recomendado, y debido a que las operaciones a rea-
lizar son las de suma, resta y división de números complejos. debe proce-
derse de la forma siguiente: ·
_ 1,73 +j1 +2,57 +3,06-(2,6-jl,5)
=- 5/-15°
= 1,7 + 5,56 =-5_,8..;;;/=73=
0
--- = 1.16/880 .
5/-15° 5/-15°
3.16 Expresar el fasor K= 3/20° en forma instantánea.
Solución:
Al atender a lo expresado en Introducción se tiene que:
t.=3Vlsen (c.ot +20e) =4,24 sen (wt +20").
3.17 Expresar el fasor 4 = 5J-30o en forma instantánea.
Solución:
De acuerdo con lo planteado en Introducción se procede de la forma si-
guiente:
ª-.=5v2sen (cot-30°) =7,07 sen (wt-30°).
3.1,8 Expresar el fasor !_= 141,42 sen (wt-60°) en forma polar.
Solución:
Al considerar que en este caso se desea realizar el ¡:>roceso inverso de lo
planteado en los ejemplos anteriores, se procede de la forma siguiente:
"i ¡-
[= -=- =141.42/'2 =100
v2
Luego:
L=1001 -60° .
93

3.19 Sumar los números complejos (3 +}2);(4 -}5); ( -2 -}3).
Respuesta: (5 -}6).
-3.20 Sumar los números complejos (-3-}2); (4 +}5);(-10 +}5).
Respuesta:-9 +}8.
3.21 Restar el número complejo (-4 +j3) del número (8 +}2).
Respuesta: 12 -}1.
3.22 Restar el número (8-}2) del número (7 +}3).
Respuesta: - 1 +}S.
3. 23 Multiplicar los números complejos ~~ = 3 +}4 y ~2 =4-}S.
Respuesta: 32 +}1.
3.24 Multiplicar los números complejos ~~ =-4-}6 y ~2 =4 +}S.
Respuesta: 14-}44.
3.25 Dividir el número complejo ~~ =8- }6 por el número complejo
~2 =6 +}5.
Respuesta: 0,295 -jl,24S.
3. 26 Dividir el número complejo ~~ = -4 - }5 por el número complejo
~2 =5 +}5.
Respuesta: -0.9-/.),l .
3.27 Convertir el fasor expresado en forma rectangular como 10 +}lS, a
la forma polar.
Respuesta: 18,02/ 56,3o .
3. 28 Expresar el fasor - 4-}2 a la form~ polar.
Respuesta: 4,47/ 206,56° .
3. 29 Expresar el fasor dado en forma polar como 20j -30o , en for-
ma rectangular.
Respuesta: 17,32 - }10.
3. 30 Convertir el fasor ~~ =35/lOOo a forma rectangular.
Respuesta: - 6,08 +}34,47.
3.31 Realizar la siguiente operación con números complejos:
(10 +}4)(5 -}3)
(4-}2)
Respuesta: 14,04/ 17,4° =13,4 +}4,2.
3. 32 Resolver las siguientes operaciones planteadas con números comple-
jos:
94
(3 +}6) +(4-}5)
(7 - }4) (-4 - }2)

Respuesta: O, 196/-140,47° .
3. 33 Calcular el nümero complejo que resulta de la expresión siguiente:
(7-jlO) -(4 +j3)(2 +j2)
(6 + j5)(-5 --j4)(3 -jl)
Respuesta: 0,155/-318,25° =0,155/41,75
3. 34 Resolver la expres~ón siguiente:
6~ +3J-45° +4~ /
5J40o
Respuesta: 1,994 1-!J,4o
•
95

CIRCUITOS MONOFÁSICOS
DE CORRIENTE ALTERNA
INTRODUCCIÓN
Capítulo 4
En este capítulo se plantean diversas problemáticas relacionadas con cir-
cuitos de corriente alterna de diferentes configuraciones (serie, paralelo
o serie paralelo) y se hace énfasis en las relaciones corriente-tensión, así
como en las expresiones utilizadas en el cálculo de la impedancia de di-
chos c.ircuitos.
IMPEDANCIA
Se llama impedancia a la relación existente entre la diferencia de poten-
cial alterna entre dos puntos y la corriente circulante a través de estos. Su
unidad de medida es el ohm (.U).
Z= y =...H:... (4.1)
- 1 L
La impedancia es un operador fasorial y no un fasor. Posee una parte
real y una imaginaria. La parte real se denomina impedancia resistiva (R)
y la parte imaginaria impedancia reactiva (X). La impedancia reactiva
puede ser inductiva o capacitiva. Como los efectos de las impedancias
reactivas inductivas y capacitivas sobre un mismo circuito son opuestos,
se considera, como convenio, la impedancia reactiva inductiva de signo
positivo y la capaCitiva de signo negativo. Por consiguiente, la expresión
general de la impedancia es:
Z=R± jX. (4.2)
96

IMPEDANCIAS CONECTADAS EN SERIE
En forma similar a lo expuesto anteriormente, referente a resistores conec-
tados en serie para circuitos de corriente directa, en circuitos de corriente
alterna la impedancia equivalente de varias conectadas en serie es la si-
guiente:
~q = z~ + z2 + ~~l +... + z, = j . (4.3)
En forma rectangular se tiene que:
(4.4)
de donde se deduce que:
(4.5)
(4.6)
En el caso de impedancias reactivas capacitivas se mantiene la ecua-
ción (4.6), pero la suma se compone de cantidades negativas.
Circuitos de corriente alterna de impedancia resistiva pura (R)
Los circuitos de corriente alterna a los que se considera solamente com-
puestos por resistores se denominan de resistencia pura o circuitos R. La
expresión de la tensión UR a través del resistor o resistores, es:
flR =IJ1, (4. 7)
Circuitos de impedancia inductiva pura (L)
Los circuitos de corriente alterna a los que se considera exclusivamente
compuestos por elementos puramente inductivos se denominan de impe-
dancia inductiva pura o circuitos L. La expresión de la tensión eficaz
a través del elemento o elementos. es:
(4. 8)
Circuitos de impedancia capacitiva pura (C)
Los circuitos de corriente alterna a los que se considera solamente com-
puestos por elementos puramente capacitivos se denominan de impedan-
cia capacitiva pura o circuitos C. La expresión de la tensión eficaz a
través del elemento o elementos es:
Yc =lí-Kc>. (4.9)
97

Circuitos en serie de impedancia resistivo-reactiva inductiva rRL)
Son aquellos circuitos de corriente alterna compuestos por uno o más
elementos resistivos y uno o más elementos inductivos conectados en se-
rie. El triángulo de la impedancia correspondiente es el que se muestra
en la figura 4.1, dei cual pueden extraerse las expresiones que rigen el
comportamiento del circuito.
Fig. 4.1
El valor modular y el ángulo de la impedancia pueden ser calculados
mediante las ecuaciones siguientes:
z = {R-; + x;_ (4.10)
siendo:
XL =wL = 27ifL (4.11)
y
lP = tan -1 XL = 27ifL
R R
X R=sen-1
-L- = cos -1
- .
z z
(4.12)
La tensión de la fuente oe alimentación posee como valor modular:
(4.13)
El ángulo de la impedancia puede determinarse partiendo de la ecuación
(4.13), o sea:
(4 ..14)
98

Circuitos serie de impedancia resistivo-reactiva capacitiva (RC)
Son los circuitos que se encuentran compuestos por uno o más elementos
resistivos y uno o más elementos capacitivos conectados en serie.
El triángulo de impedancia correspondiente a estos circuitos se muestra en
la figura 4.2. El valor modular y el ángulo de la impedanc.¡a pueden cal-
cularse de la forma siguiente:
Z=~R2 +(-Xc) 2 (4.15)
siendo
1 1
Xc=-- =---.
roe 2nfC
(4.16)
Fig. 4.2
Con la capacitancia expresada en microfarad, la ecuación (4.16) queda
modificada en la forma siguiente:
106
-106
Xc=-- =--. (4.17)
roe 21t/C ·
El signo negativo de Xc con respecto a XL indica matemáticamente los
efectos opuestos de ambas impedancias reactivas sobre el mismo circuito
eléctrico.
Además:
-Xe
Q'=tan- 1
- - =tan-1
R 2n/CR
-1 -Xsen- 1 _ _e_=
z
R
=cos-1
z
(4.18)
99

La expresión de la tensión de la fuente de alimentación (Ur) posee el valor
modular siguiente:
(4.19)
Circuitos serie de impedancia resistivo-reactiva inductiva capacitiva (RLC)
Son aquellos circuitos que se encuentran compuestos por uno o más ele--
mentos resistivos, uno o más elementos inductivos y uno o más elementos
capacitivos, todos conectados en serie.
El triángulo de impedancia que corresponde a estos circuitos se muestra en
la figura 4.3.
Fig. 4.3
Los valores de XL y Xc se restan debido a sus efectos opuestos, prevale-
ciendo la impedancia reactiva mayor sobre la menor. De dicho triángulo
pueden extraerse las expresiones correspondientes a estos circuitos. El va-
lor modular de la impedancia y el argumento total de esta pueden deter-
minarse a través de las expresiones que siguen:
Z =~R2 +[XL +Xe) ]2 (4.20)
X. +(-Xc) X+ (X)rp =tan-1 .-:..L___;~-=- = sen- 1 L - e
R Z =
R
=COS
1
-
Z
(4.21)
100

IMP.t:DA.NCIAS CONECTADA.
EN PARALELO
De modo análogo a lo referente a resistores en paralelo. la impedancia
equivalente de varias conectadas en paralelo es:
1
~1
1
+-
~2
1
1
+-
~3
1
+... +-
~n
(4.22)
En el caso de que se consideren solamente dos impedancias en paralelo, la
expresión (4.22) se reduce a:
z = Z, ·~2
=.eq z-1 +~l
AD!I.f/TANCIA
(4.23)
Se denomina admitancia al reciproco de la impedancia, la cual se repre-
senta mediante la letra Y y tiene como unidad de medida el mho.
Por ser la impedancia un número complejo. la admitancia también lo es.
denominándose conductancia (G). a la parte real y susceptancia (B) a la
parte imaginaria. o sea:
Y=G±JB= .!._
- z.
donde:
y
(4.24)
(4.25)
(4.26)
El signo positivo en la susceptancia indicará que esta es capacitiva, mien-
tras que el signo negativo significará que es inductiva.
La admitancia equivalente de un circuito en serie es:
1 1
+- +... +-.
Z3 Zn
(4.27)
La admitancia equivalente de un circuito en paralelo es:
(4.28)
101

- - - - - -~ - - - - - - -
El concepto admitancia se utiliza raras veces, fundamentalmente cuando
se trata de resolver circuitos eléctricos con gran número de ramas en pa-
ralelo.
Tanto la ley de Ohm, como las de Kirchhoff, así como los métodos de so-
lución de circuitos por corrientes de rama, corrientes de malla. reducción
de redes, conversión estrella a delta y delta a estrella y el teorema de Thé-
venin se utilizan para circuitos de corriente alterna en la misma forma en
que fueron planteados para los circuitos de corriente directa; sin embargo,
es imprescindible tener en cuenta que cada una de las magnitudes con que
es necesario trabajar en la solución de redes de corriente alterna son mag-
nitudes complejas.
PROBLEMAS RESUELTOS
~· 1 Expresar cada uná de las siguientes tensiones en notación polar y cons-
truir el diagrama fasorial correspondiente:
.!{ 1 = 115 sen (wt +30°) V; g 2 = 127 sen (wt-90") V;
Solución:
En primer lugar, deben expresarse todas las tensiones mediante la misma
función trigonométrica. seno o coseno, para facilitar hacer la representa-
ción fasorial en un mismo diagrama. Al transformar lb en una función si-
nusoidal (seno):
= 130 sen (wt + 130°) V.
Al utilizar la ecuación (2.5) para expresar el módulo en función de los va-
lores eficaces de las ondas se obtiene:
102
rf1
= ~~~ L12..:_ = 8I.3;3oo v
2
rf2
=
12
~ j -90~ = 89.8j - 90o V
2
~¿ = 13
~ j130o = 91.9j130c V
2

{¿= ~~ j-45o =79,19j-45o V.
El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.4.
Fig. 4.4
4. 2 Hallar la suma de las tensiones
~~ =15 sen (cvt+30") V y ~2 =25 sen (cvt+45") V:
a) analíticamente y b) gráficamente.
Solución:
a) Puede comenzarse expresando ambas tensiones éri forma polar. Los va-
lores eficaces de U1 y U2 según la ecuación (2. 5) , son:
U=~= ~ =10 6 V-1 ,- ,- '
-y2 '2
y
U
u2 25
2=--=- =--=- =17,68 V.
- ~2 ~2
Por tanto:
{!1 = 10,6Ll2.:_ V y {!2 = 17,68~ V.
103

Ahora bien, para proceder a sumar ambas tensiones es necesario expresar-
las en forma rectangular, es decir:
Q'1 = 10.6(cos 30° +j sen 30") =10,6(0,866 +;0.5) =
=9,18 +}5.3 V.
~2 =17,68(cos 45° +j sen 45") = 17,68(0.707 +jO,707) =
=12,5 +}12,5 V. ·
Al proceder a sumar ambas tensiones, se obtiene:
~= ~1 + ~2=9,18 +}5,3 +12,5 +i12,5 = 21,68 +}17,8 =
== 28,05L39,4o V.
b) La solución gráfica de este problema se obtiene al representar a escala
las dos componentes U1 y U2 y sumar geométricamente para obtener el fa-
sor ~ (fig. 4. 5). Comprobar, a escala,- que el fasor resultante ~ tiene el
valor 28,05 ~~~ V.
Fig. 4.5
4.3 Un circuito en serie posee dos elementos: un resistor R y un induc-
tor XL de 32 U, cuando la frecuencia de la tensión de la fuente es de
110 Hz. El circuito posee una impedancia total de 35L!E, U. Determi-
nar:
a) ángulo rp de la impedancia y b) valor del resistor.
104

Solución:
a) De acuerdo con los datos de que se dispone, es posible trazar el trián-
gulo de la impedancia de este circuito, el cual se muestra en la figura 4.6
(compárese con la figura 4.1). De dicho triángulo se tiene, atendiendo a la
ecuación (4.12) que:
X 32
rp= sen·-l _L =sen-1
- - =66,1 °.
z 35
b) Además, de acuerdo con el mencionado gráfico y la propia ecua-
ción (4.12):
R =35 cos 66,1 o =35 . 0,405 = 14,18 n.
~.4 Un circuito en serie RL es conectado a una fuente de alimentación de
~75 V, 60 Hz. La caída de tensión UR a través del resistor es igual a 90 V.
a) Calcular la c!Íida de tensión (UL) a través de la impedancia reactiva-
inductiva.
b) Calcular las diferencias de fase de UR y UL con relación a la tensión
de la fuente (V).
e) Trazar el diagrama fasorial correspondiente, aproximadamente a esca-
la.
d) Dibujar las ondas de las tensiones en función del tiempo en un solo grá-
fico.
Solución:
a) Se tomará la corriente 1 como referencia por tratarse de un circuito en
serie en el cual la corriente es la magnitud común.
El triángulo de impedancia toma la forma que se ilustra en la figura 4. 7.
Fig. 4.6
Fig. 4.7

De dicha figura, y atendiendo a la ecuación (4.13). se tiene que:
u,= v{/2-Uk =Vl75 2
- 902 =150 v.
b) El ángulo de la impedancia puede determinarse al aplicar la ecuación
(4.14), o sea:
- 1 UL . 150
rp=tan --=tan 1
- - = 59°.
UR 90
El ángulo a entre la tensión UL a través del inductor y la tensión de la
fuente U, de acuerdo con la figura 4. 7 será:
e) El diagrama fasorial resultante se muestra en la figura 4.8.
l., - 150 , .
Fig. 4.8
d) Las ondas de tensión correspondientes en función del tiempo pueden
ser observadas en la figura 4.9.
U, i
'"'
Fig. 4.9
106

4. 5 Un resistor de 90 U es conectado en serie con un inductor de 0.35 H
a los terminales de una fuente de alimentación de 120 V. 60 Hz.
a) Determinar la corriente circulante a través del circuito.
b) Determinar la tensión a través de R y X1_.
e) Dibujar el diagrama en que aparezcan las ondas de tensión a través del
resistor, del inductor así como la tensión de la fuente y la corriente en fun-
ción del tiempo. haciendo coincidir el inicio de la onda de tensión de la
fuente con el instante t =O.
d) Dibujar el diagrama fasorial que corresponde. aproximadamente a es-
cala; mostrando las diferentes tensiones y la corriente del circuito, así c<r
mo la diferencia de fase entre cada uno de ellos.
e) Escriba las ecuaciones instantáneas de la corriente y las tensiones.
Solución:
a) De acuerdo con la ecuación (4. 1), es necesario calcular la impedancia
total del circuito para proceder a la determinación de la corriente. Para
ello se trabaja de la forma siguiente, utilizando las ecuaciones (4.10).
(4.11) y (4.12) :
X1.=2nfL=2n·60 Hz ·0,35 H=132 n.
Por tanto:
El ángulo de la impedancia es:
QJ =tan 1
(X~_/R) =tan 1
(132/90) =55, 7°.
Por consiguiente:
z= 160LJ5.7° n.
La corriente circulante, de acuerdo con la ecuación (4.1) y tomando la
tensión de la fuente como referencia, es:
L= WZ =120 l.Q.: /160/55, 7o =0, 75/-55, 7o A.
b) Tensión UR a través del resistor. Para determinar UR debe aplicarse la
ecuación (4. 7):
~=IR =0,75!-55,7° ·90l.Q.: =67,5/-55,7° V.
107

Nótese que la tensión a través de un resistor está en fase con la corriente
a través de este.
Tensión UL a través de la impedancia reactiva inductiva. De acuerdo con
la ecuación (4.8) :
Nótese que la caida de tensión a través de la impedancia reactiva induc-
tiva está adelantada 90° a la corriente que la produce.
Tensión de la fuente de alimentación (tornado como referencia):
fj =120l.Q.: V.
e) En la figura 4.10 se muestra el diagrama de tiempo correspondiente.
d) En la figura 4.11 se ilustra el diagrama fasoriai.
Fig. 4.10
Fig. 4. 11
108

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