la teoría sommerfeld de los metales

Aschroft, Mermin – Teoría del Estado Solido
Capítulo 2. La Teoría Sommerfeld de los Metales
Alejandro Madera
2 La Teoría Sommerfeld de los metales
En el tiempo de Drude y durante muchos años desde entonces, parece razonable suponer que la
velocidad de la distribución electrónica, como un gas clásico ordinario de densidad n=N/V, en
equilibrio a temperatura T dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann. Esto da el número
aproximado de electrones por unidad de volumen con velocidades en el intervalo de dv y v como
FB (v) dv, donde:
𝑓𝐵(𝑣) = 𝑛 �
𝑚
2𝜋𝑘 𝐵 𝑇
�
3/2
℮−𝑚𝑟2/2𝑘 𝐵 𝑇
(2.1)
Vimos en el capítulo 1, que en relación con el modelo de Drude esto conduce a un buen orden de
magnitud de acuerdo con la ley de Wiedemann Franz, pero también predice una contribución de
calor específico de un metal de 𝑘 𝐵 𝑇 por electrón que no se observó. Esta paradoja arroja una
sombra sobre el modelo de Drude durante un cuarto de siglo, que fue eliminada sólo por la
llegada de la teoría cuántica y el reconocimiento del principio exclusión Pauli que para los
electrones requiere la sustitución de la distribución de Maxwell-Boltzmann (2,1) con la distribución
de Fermi-Dirac:
𝑓(𝑣) =
(𝑚/ℏ)3
4𝜋3
1
exp��
1
2
𝑚𝑣2−𝑘 𝐵 𝑇0�/𝑘 𝐵 𝑇�+1
(2.2)
Aquí ℏ es la constante de Plank dividida por 2π y 𝑇0es una temperatura que está determinada por
la condición de normalización.
𝑛 = ∫ 𝑑𝑣𝑓(𝑣) (2.3)
Y es típicamente decenas de miles de grados. A temperaturas de interés (es decir, menos de 103
K)
Maxwell-Boltzmann y la distribución de Fermi-Dirac son espectacularmente diferentes a
densidades electrónicas metálicas (Figura 2.1).
En este capítulo vamos a describir la teoría que subyace a la distribución de Fermi-Dirac
(2,2) y examinar las consecuencias estadísticas de Fermi-Dirac para el electrón de un gas metálico.
Poco después del descubrimiento de que el principio de exclusión de Pauli era necesario
para darse cuenta de los estados ligados electrónicos de los átomos, Sommerfeld aplicó el mismo
principio al gas de electrones libres de los metales, y de ese modo resolver las anomalías térmicas
más flagrantes del modelo de Drude. En la mayoría de las aplicaciones del modelo de Sommerfeld
no es nada más que el de Drude, del gas clásico de electrones con la única modificación de que la
distribución de velocidad electrónica se toma para ser la distribución cuántica de Fermi-Dirac.

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Figura 2.1
a) Las distribuciones Maxwell-Boltzmann y Fermi Dirac para densidades metálicas típicas a
temperatura ambiente. (Las dos curvas son para la densidad dada por T = 0,01 T0). La escala es la
misma para ambas distribuciones, y ha sido normalizada de modo que la distribución de Fermi-
Dirac se aproxima a 1 a energías bajas. Por debajo de la temperatura ambiente de las diferencias
entre las dos distribuciones son aún más marcadas. b) Una vista de la parte de (a) entre x=0 y

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x=10. El eje x se ha estirado un factor de aproximadamente 10 y el eje f ha sido comprimido por
alrededor de 500 para obtener toda la distribución de Maxwell-Boltzmann en la figura. En esta
escala el gráfico de la distribución de Fermi-Dirac es indistinguible de la del eje x.
En lugar de la distribución clásica de Maxwell-Boltzmann. Para justificar tanto el uso de la
distribución de Fermi-Dirac y su audaz injerto en una teoría clásica, debemos examinar la teoría
cuántica del gas de electrones.
Por simplicidad vamos a examinar el estado fundamental (es decir T = 0) del gas de
electrones antes de estudiarlo a temperaturas diferentes de cero. Como resultado, las
propiedades del estado fundamental son de considerable interés en sí mismos: se verá que la
temperatura ambiente, para el gas de electrones a densidades metálicas, es una temperatura muy
baja de hecho, para muchos propósitos indistinguibles de T = 0. Por lo tanto muchas (aunque no
todos) de las propiedades electrónicas de un metal apenas difieren de sus valores en T = 0, incluso
a temperatura ambiente.
Propiedades del estado fundamental del gas de electrones
Hay que calcular las propiedades del estado fundamental de N electrones confinados en un
volumen V. Debido a que los electrones no interactúan entre sí (aproximación de electrones
independientes) se encuentra el estado fundamental del sistema de N electrones. Por primera
búsqueda de los niveles de energía de un electrón en el volumen V y luego llenar estos niveles
superiores de electrones para ocupar cualquiera con un electrón por nivel.
Un solo electrón puede ser descrito por una función de onda ψ(r) y la especificación de
cuál de las dos orientaciones posibles posee su spin. Si el electrón no tiene ninguna interacción, la
función de onda electrónica asociada con un nivel de energía є satisface la ecuación de
Schrödinger independiente tiempo:
−
ℏ
2𝑚
�
𝜕2
𝜕𝑥2 +
𝜕2
𝜕𝑦2 +
𝜕2
𝜕𝑧2� 𝜓(𝑟) = −
ℏ
2𝑚
∇2
𝜓(𝑟) = 𝜀𝜓(𝑟) (2.4)
Que representará el confinamiento de los electrones (por la atracción de los iones) para el
volumen V por una condición de frontera en la ecuación (2.4). La elección de las condiciones de
contorno, cuando se está tratando con problemas que no están explícitamente relacionados con
los efectos de la superficie metálica, es en un grado considerable a una disposición que puede ser
determinada por conveniencia matemática. Porque si el metal es suficientemente grande
debemos esperar sus propiedades macroscópicas no serán afectadas por la configuración

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detallada de su superficie. Con este espíritu, primero seleccionamos la forma del metal para
adaptarse a nuestra conveniencia analítica. La elección tradicional es un cubo de lado L = v1/3
.
Seguido se debe añadir una condición de contorno para la ecuación de Schrödinger (2,4) que
refleja el hecho de que el electrón se limita a este cubo. También hacemos esta elección en la
creencia de que esto no afectará el valor calculado de sus propiedades macroscópicas. Una
posibilidad es requerir a la función de onda ψ(r) desvanecerse cuando r este en la superficie del
cubo. Esto, sin embargo, es a menudo insatisfactorio, puesto que conduce a soluciones de onda
estacionaria de (2,4). Mientras que el transporte de carga y energía por los electrones es mucho
más convenientemente discutirlo en términos de ondas en movimiento. Una elección más
satisfactoria es destacar la consecuencia de la superficie mediante la disposición total de conjunto.
Podemos hacer esto imaginando que cada cara del cubo se unió a la cara opuesta o la cara
enfrente de ella. De modo que un electrón que viene a la superficie no se refleja de nuevo, pero
deja el metal simultáneamente volver a entrar en un punto correspondiente en la superficie
opuesta. Por lo tanto, si nuestro metal fuera unidimensional, simplemente es reemplazar la línea
de 0 a L a la que los electrones se limita, por un círculo de circunferencia L. En tres dimensiones la
forma de geométrica de realizar la condición de frontera, en el que los tres pares de caras
opuestas del cubo están unidas, es imposible de construir topológicamente en el espacio
tridimensional. Sin embargo, la forma analítica de la condición de contorno es fácilmente
generalizada. En una dimensión del modelo circular de un metal da como resultado la condición
límite ψ(x+L)= ψ(x), y la generalización de un cubo tridimensional es evidentemente:
Ψ (x, y, z + L)= ψ(x, y, z)
Ψ (x, y + L, z)= ψ(x, y, z) (2.5)
Ψ (x + L, y, z)= ψ(x, y, z)
La ecuación (2,5) se conoce como la condición límite nacidos de Von Karman (o periódica). Lo
vamos a encontrar con frecuencia (a veces en una forma ligeramente generalizada).
Ahora resolver (2,4) sujeta a la condición de frontera (2,5). Se puede comprobar por la
diferenciación una solución, dejando de lado la condición de frontera:
𝜓 𝑘(𝑟) =
1
√ 𝑉
𝑒 𝑖𝑘𝑡
(2.6)
Con energía
𝜀(𝑘) =
ℏ2 𝑘2
2𝑚
(2.7)

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Donde k es cualquier vector de posición independiente. Hemos elegido la constante de
normalización en (2,6) de modo que la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar en el
conjunto V volumen es la unidad:
1 = ∫ 𝑑𝑟|𝜓(𝑟)|2
(2.8)
Ver el significado del vector k, tenga en cuenta que el nivel de 𝜓 𝑘(𝑟) del sistema es un estado
propio del operador de momento.
𝑃 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑟
=
ℏ
𝑖
𝑉, �𝑃𝑥 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
, 𝑒𝑡𝑐� (2.9)
Con valor propio 𝑃 = ℏ𝑘 para:
𝑃 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑟
𝑒 𝑖ℏ𝑟
= ℏ𝑘𝑒 𝑘𝑟
(2.10)
Ya que una partícula en un estado propio de un operador tiene un valor definido del observable
correspondiente al valor propio, un electrón en el nivel 𝜓 𝑘(𝑟) tiene un momento proporcional
definido por k:
𝑃 = ℏ𝑘 (2.11)
Y una velocidad 𝑉 = 𝑃𝑚 para:
𝑣 =
ℏ𝑘
𝑚
(2.12)
En vista de esto la energía (2,7) se puede escribir en la familiarizada forma clásica.
𝜀 =
𝑃2
2𝑚
=
1
2
𝑚𝑟2
(2.13)
También podemos interpretar k como un vector de onda. La onda plana es constante en cualquier
plano perpendicular a k (desde planos de este tipo se define por la ecuación k.r = constante) y es
periódica a lo largo de líneas paralelas a k con. Con la longitud de onda:
ℷ =
2𝜋
𝑘
(2.14)
Conocida como la longitud de onda de Broglie.
Ahora invocamos la condición de frontera (2,5). Esto permitido sólo a ciertos valores
discretos de k, desde (2,5) serán satisfechos por la función de onda en general (2,6) sólo si:
℮𝑖𝑘 𝑥 𝐿
= ℮𝑖𝑘 𝑦 𝐿
= ℮𝑖𝑘 𝑧 𝐿
= 1 (2.15)

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Desde ℮ 𝑧
= 1 sólo si 𝑧 = 2𝜋𝑖𝑛, donde n es un número entero, las componentes del vector de
onda k deben ser de la forma:
𝑘 𝑥 =
2𝜋𝑛 𝑥
𝐿
, 𝑘 𝑦 =
2𝜋𝑛 𝑦
𝐿
, 𝑘 𝑧 =
2𝜋𝑛 𝑧
𝐿
(2.16)
Así, en un espacio tridimensional con ejes cartesianos kx, ky y kz (conocido como el espacio k) el
vector de onda permitido, son aquellas coordenadas a lo largo de los tres ejes que están dadas por
múltiplos enteros de 2π / L. Esto se ilustra en la figura 2.2 (en dos dimensiones).
Generalmente el único uso práctico se hace de la condición de cuantificación (2,16) es la
siguiente: A menudo se necesita saber cuántos valores permitidos de k están contenidos en una
región de espacio k que es enorme en la escala de 2π / L y por lo tanto, contiene un gran número
de puntos permitidos. Si la región es muy grande entonces una excelente aproximación del
número de puntos permitidos es el volumen del espacio k contenida dentro de la región dividido
por el volumen del espacio k por punto en la red de valores permitidos de k.
Figura 2.2
Puntos en un espacio k bidimensional de la
forma kx=2πnx /L, ky =2πny / L. Tenga en cuenta
que la superficie por punto sólo es (2π/L)2
. En d
dimensiones el volumen por punto es (2π/L)d
El volumen de este último (véase el gráfico 2.2) es (2π /
L) 3
. Por lo tanto, la conclusión de que una región del espacio k de volumen Ω contendrá
Ω
(2𝜋/𝐿)3 =
Ω𝑉
8𝜋3 (2.17)
Valores permitidos de k, o, de forma equivalente el número de valores de k permitidos por unidad
de volumen en el espacio k (también conocida como la niveles de densidad del espacio k) es Justo:
𝑉
8𝜋3 (2.18)

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En la práctica, nos ocuparemos de regiones en el espacio k tan grandes (~10 22
puntos) de modo
regular (típicamente de esferas) que a todos los efectos (2.17) y (2.18) los podemos considerar
como exactos. Vamos a comenzar a aplicar estas fórmulas de conteo importantes en breve.
Como suponemos que los electrones no interactúan podemos construir el estado
fundamental de N-electrones mediante la colocación de los electrones en los niveles permitidos
que acabamos de encontrar. El principio de exclusión de Pauli juega un papel vital en esta
construcción (como lo hace en la construcción de los estados de electrones de muchos de los
átomos): le damos muchos, a lo sumo un único electrón en cada nivel. Los niveles de un electrón
se especifican por los vectores de onda k y por la proyección del spin del electrón a lo largo de un
eje arbitrario, que puede tomar cualquiera de los dos valores ℏ/ 2 o - ℏ /2. Por lo tanto, asociado
los vectores de onda k permitidos con cada uno de los dos niveles electrónicos, uno para cada
sentido del spin del electrón. Por lo tanto en la construcción del estado fundamental de N-
electrones se empieza por colocar dos electrones en el nivel electrónico k = 0, el más bajo posible
que el de un electrón de energía є = 0. A continuación, seguimos añadiendo electrones, llenando
sucesivamente los niveles de un electrón de más baja energía que no estén ocupados. Ya que la
energía de un nivel electrónico es directamente proporcional al cuadrado de su vector de onda
(ver (2.7)), cuando N es enorme la región ocupada será indistinguible de una esfera. El radio de
esta esfera se llama kF (F de Fermi) y su volumen Ω es 4𝜋𝑘 𝐹
3
/3. De acuerdo a (2,17) el número de
valores permitidos de k dentro de la esfera es:
�
4𝜋𝑘 𝐹
3
3
� �
𝑉
8𝜋3� =
𝑘 𝐹
3
6𝜋2 𝑉 (2.19)
Puesto que cada valor permitido de k conduce a dos niveles electrónicos (una para cada valor de
espín) con el fin de acomodar N electrones tenemos:
𝑁 = 2
𝑘 𝐹
3
6𝜋2 𝑉 =
𝑘 𝐹
3
3𝜋2 𝑉 (2.20)
Así, si tenemos N electrones en un volumen V (es decir, una densidad electrónica n = N /
V), entonces el estado fundamental del sistema de N electrones se forma mediante la ocupación
de todas las partículas individuales con k inferiores a kF y dejando todas aquellas con k mayor que
kF desocupados, donde kF es dado por la condición:
𝑛 =
𝑘 𝐹
3
3𝜋2 (2.21)
Este electrón libre e independiente en un estado bajo es descrito por algunas
nomenclaturas más bien poco imaginativas:
La esfera de radio KF (el vector de onda Fermi) que contiene ocupados los niveles
electrónicos se llama la esfera de Fermi.

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La superficie de la esfera de Fermi, que separa los niveles ocupados hasta los no ocupados
se llama la superficie de Fermi. (Veremos más adelante, comenzando con el capítulo 8, que la
superficie de Fermi es una de las construcciones fundamentales en la teoría moderna de los
metales, en general, no es esférica).
El momento ℏ𝑘 𝐹 = 𝑝 𝐹 de los niveles electrónicos ocupados de energía más alta es
conocido como el momento de Fermi, su energía ℇ = −ℏ2
𝑘 𝐹
2
/2𝑚 es la energía de Fermi y su
velocidad, VF = pF / m, es la velocidad de Fermi. La velocidad de Fermi juega un papel en la teoría
de metales comparable a la velocidad térmica, V = (3kBT / m), en un gas clásico.
Todas estas cantidades pueden ser evaluadas en términos de la densidad de electrones de
conducción, a través de la ecuación (2,21). Para la estimación de numérica a menudo es más
conveniente expresarlos en términos del parámetro adimensional 𝑟𝑆 = 𝑎0 (véase la página 4), que
varía de aproximadamente de 2 a 6 en los elementos metálicos. En conjunto, las Ecs. (1,2) y (2,21)
dan:
𝑘 𝐹 =
(9𝜋/4)2
𝑟 𝑆
=
1.92
𝑟 𝑆
(2.22)
O
𝑘 𝐹 =
3.63
𝑟 𝑆
𝑎0
�
Å -1
(2.23)
Puesto que el vector de onda de Fermi es del orden de angstroms inversos (Å -1
), la longitud de
onda de De Broglie de los electrones de alta energía es del orden de angstroms.
La velocidad de Fermi es:
𝑈 𝐹 = �
ℏ
𝑚
� 𝐾𝐹 =
4.20
𝑟 𝑆
𝑎0
�
× 108
𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 (2.24)
Esta es una velocidad sustancial (aproximadamente 1 por ciento de la velocidad de la luz). Desde el
punto de vista de la mecánica estadística clásica es un resultado bastante sorprendente, ya que
estamos describiendo el estado fundamental (T = 0) y todas las partículas en un gas clásico tiene
velocidad cero a T = 0. Incluso a temperatura ambiente (es decir, promedio) la velocidad de una
partícula clásica con la masa electrónica sólo es del 107
cm/seg.
La energía de Fermi está muy bien escrita en la forma (ya que 𝑎0 = ℏ2
/𝑚𝑒2
).
ℇ 𝐹 =
ℏ2 𝑘 𝐹
2
2𝑚
= �
𝑒2
2𝑎0
� (𝑘 𝐹 𝑎0)2
(2.25)

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Aquí 𝑒2
2𝑎0
� , conocido como el Rydberg (RY), es la energía del estado de enlace del átomo de
hidrógeno, 13,6 electronvoltios. El Rydberg es una unidad de energía atómica conveniente como el
radio de Bohr es de las distancias atómicas. Desde kFa0 que es del orden de la unidad, la ecuación
(2,23) demuestra que la energía de Fermi tiene la magnitud de una típica energía de enlace
atómico. Usando (2.23) y a0 = 0,529 * 10 -8
cm, encontramos la forma numérica explícita:
є 𝐹 =
50.1 𝑒𝑉
�
𝑟 𝑆
𝑎0
� �
2 (2.26)
Lo que indica un intervalo de energías de Fermi para las densidades de los elementos metálicos
entre 1,5 y 15 electrón-voltios.
La tabla 2.1 muestra la energía de Fermi, la velocidad y el vector de onda de los metales,
cuya densidad de electrones de conducción se dan en la tabla 1.1.
Para calcular la energía del estado fundamental de N electrones en un volumen V,
debemos sumar las energías de todos los niveles electrónicos dentro de la esfera de Fermi.
𝐸 = 2 ∑
ℏ2
2𝑚
𝑘2
𝑘<𝑘 𝐹
(2.27)
Muy en general, al resumir cualquier función suave F (k) sobre todo k nos permite, proceder de la
siguiente manera:
Ya que el volumen del espacio k para un valor permitido k es 𝑘 =
8𝜋3
𝑉
k (véase la ecuación
(2,18).) es conveniente para escribir:
∑ 𝐹(𝑘) =𝐾
𝑉
8𝜋3
∑ 𝐹(𝑘)∆𝑘𝐾 (2.28)
En el límite cuando ∆𝑘 → 0 (es decir, 𝑉 → ∞) la suma ∑ 𝐹(𝑘)∆𝑘𝐾 se aproxima a la integral
∫ 𝑑𝑘𝐹(𝑘), con tal que F (k) no varíe apreciablemente sobre distancias en el espacio k de orden 2π
/ L. Por lo tanto, se puede reorganizar (2,28) y escribir:
lim 𝑉→∞
1
𝑉
∑ 𝐹(𝑘) = ∫
𝑑𝑘
8𝜋3 𝐹(𝑘)𝐾 (2.29)
En la aplicación de (2,29) a lo finito, pero macroscópicamente grande, un sistemas siempre se
supone que (1/V) ∑ 𝐹(𝑘)𝐾 difiere insignificante de su límite de volumen infinito (por ejemplo, se
supone que la energía electrónica por unidad de volumen en un cubo de 1-cm de cobre es el
mismo como en un cubo 2 cm).

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Usando (2.29) para evaluar (2,27), encontramos que la densidad de energía del gas de
electrones es:
𝐸
𝑉
=
1
4𝜋3 ∫ 𝑑𝑘
ℏ2 𝑘2
2𝑚
=
1
𝜋2
ℏ2 𝑘 𝐹
5
10 𝑚
(2.30)
Para encontrar la energía por electrón, E / N, en el estado fundamental, se debe dividir esta por
𝑁
𝑉
= 𝑘 𝑟
3
/3𝜋2
, lo que da:
𝐸
𝑁
=
3
10
ℏ2 𝑘 𝐹
2
𝑚
=
3
5
𝜀 𝑝 (2.31)

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También podemos escribir este resultado como:
𝐸
𝑁
=
3
5
𝑘 𝐵 𝑇𝐹 (2.32)
Donde 𝑇𝐹, la temperatura de Fermi, es:
𝑇𝐹 =
𝜀 𝐹
𝑘 𝐵
=
58.2
�
𝑟 𝑆
𝑎0
� �
2 × 104
𝐾 (2.33)
Nota, en contraste a esto, que la energía por electrón en un gas ideal clásico,
3
2
𝑘 𝐵T, se anula en T =
0 y alcanza un valor tan grande como (2,32) sólo en𝑇 =
2
5
𝑇𝐹 ≈ 104
𝐾.
Dada a continuación en el estado fundamental E energía, se puede calcular la presión
ejercida por el gas de electrones de la relación 𝑃 = −� 𝜕𝐸
𝜕𝑉� �. Desde 𝐸 = 3/5𝑁ℇ 𝐹 y ℇ 𝐹 es
proporcional a 𝑘 𝐹
2
, que depende de V sólo a través de un factor 𝑛3/2
= � 𝑁
𝑉� �
2/3
. se sigue que:
𝑃 =
2
3
𝐸
𝑉
(2.34)
También se puede calcular la compresibilidad, K, o módulos macroscópicos, B = 1 / K,
definido por:
𝐵 =
1
𝐾
= −𝑉
𝜕𝑃
𝜕𝑉
(2.35)
Ya que E es proporcional a V-2/3
, la ecuación (2,34) muestra que P varía en V-5/3
y por lo tanto:
𝐵 =
5
3
𝑃 =
10
9
𝐸
𝑉
=
2
3
𝑁ℇ 𝐹 (2.36)
O
𝐵 = �
6.13
𝑟 𝑆
𝑎0
�
�
5
× 1010
𝐷𝑖𝑛𝑎𝑠/𝑐𝑚2
(2.37)
En la tabla 2,2 se compara el electrón libre en módulos grandes (2,37) calculada a partir de
𝑟𝑆
𝑎0
� ,
con los módulos medidos, para varios metales. El asentamiento de los metales alcalinos en
fortuitamente bueno, pero incluso cuando (2,37) está sustancialmente fuera, como lo es en los
metales nobles, todavía es de aproximadamente el orden correcto de magnitud (aunque varía de
tres veces demasiado grande a tres veces muy pequeños). Es absurdo esperar que la presión del
gas de electrones libres completamente solo pueda determinar la resistencia de un metal a
compresión, pero la tabla 2,2 demuestra que esta presión es por lo menos tan importante como
cualquier otro efecto.

Alejandro Madera
PROPIEDADES TÉRMICAS DEL GAS DE ELECTRONES LIBRES: LA DISTRIBUCIÓN DE FERMI-DIRAC
Cuando la temperatura no es cero e s necesario examinar los estados excitados del sistema de N
electrones, así como su estado fundamental, de acuerdo con los principios básicos de la mecánica
estática, si un sistema de N-partículas está en equilibrio térmico a la temperatura T, entonces sus
propiedades deben calcularse promediando todos los estados estacionarios de N-partículas,
asignados cada estado de la energía E del peso PN (E) proporcional a e –E/KBT.
.
𝑃 𝑁(𝐸) =
℮−E/KBT
∑ ℮−𝐸 𝛼N/KBT (2.38)
(Aquí 𝐸∝
N
es la energía del α estado estacionario del sistema de N electrones, siendo la suma sobre
todos los estados de este tipo).
El denominador de (2,38) se conoce como la función de partición y está relacionado con la
energía libre de Helmholtz, F = U-TS (donde U es la energía interna y la entropía S) por:
∑ ℮−𝐸 𝛼N/KBT
= ℮−𝐸 𝑁/KBT
(2.39)
Por lo tanto, se puede escribir (2,38) de forma más compacta como:
𝑃 𝑁(𝐸) = ℮
−(𝐸−𝐹 𝑁)
𝑘 𝐵 𝑇�
(2.40)
Debido al principio de exclusión, para construir un estado N esimo del electrón se puede
especificar por el listado de los N niveles de un solo electrón. Que van llenando ese estado. Es
muy útil saber el valor de 𝑓𝑖
𝑁
, la probabilidad de que haya un electrón en particular en un nivel i,
cuando el sistema de N electrones se encuentra en equilibrio térmico. Esta probabilidad es la

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simple suma de las probabilidades independientes encontrados en el sistema, en un cualquier
estado i ocupado:
𝑓𝑖
𝑁
= ∑ 𝑃 𝑁(𝐸∝
𝑁) (2.41)
(Sumatoria de todos los N electrones en α estados, donde hay un electrón por cada nivel i)
Podemos evaluar 𝑓𝑖
𝑁
por las siguientes tres observaciones:
1. Ya que la probabilidad de que un electrón este en el nivel i es justo uno menos la
probabilidad de no esté el electrón en el nivel i (las que están siendo las dos únicas
posibilidades permitidas por el principio de exclusión) igualmente podríamos escribir
(2.41) como:
𝑓𝑖
𝑁
= 1 − ∑ 𝑃 𝑁(𝐸 𝑇
𝑁) (2.42)
(Sumatoria de todos los estados ϒ de los N electrón alojados en un nivel i)
2. Hablando de cualquier estado (N +1)-electrón en el que hay un electrón en el nivel i de un
electrón, se puede construir un estado de N-electrón en la que no hay electrones en el
nivel i, por la simple eliminación del electrón en el nivel i, dejando la ocupación de todos
los otros niveles inalterados. Además, cualquier estado N-electron con ningún electrón en
el nivel i podemos construirlo de solo uno estado (N+1) con un electrón en el nivel i.
evidentemente, las energías de cualquier estado N-electrón y el correspondiente estado
(N +1)-electrón difieren sólo por 𝜀i, la energía de sólo un nivel del electron cuya ocupación
es diferente en los dos estados. Así, el conjunto de las energías de todos los estados N-
electron con el nivel i desocupado es el mismo que el conjunto de energías de los estados
(N +1)-electron con el nivel i ocupados, siempre que cada energía en el conjunto de este
último se reduce por 𝜀i. Por lo tanto, se puede reescribir (2,42) en la forma peculiar:
𝑓𝑖
𝑁
= 1 − ∑ 𝑃 𝑁(𝐸∝
𝑁+1
− 𝜀𝑖) (2.43)
(Sumatoria de todos los estados α de los (N+1) electrón alojados en un nivel i)
Pero la ecuación (2.40) nos permite escribir el término de la sumatoria como:
𝑃 𝑁(𝐸∝
𝑁+1
− 𝜀𝑖) = ℮
(𝜀𝑖−𝜇)
𝑘 𝐵 𝑇�
𝑃 𝑁+1(𝐸∝
𝑁+1) (2.44)
Donde μ, es conocida como el potencial químico a una temperatura T, dada por:
𝜇 = 𝐹 𝑁+1 − 𝐹 𝑁 (2.45)

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Sustituyendo este valor en la ecuación (2.43) tenemos:
𝑓𝑖
𝑁
= 1 − ℮
(𝜀 𝑖−𝜇)
𝑘 𝐵 𝑇�
∑ 𝑃 𝑁+1(𝐸∝
𝑁+1) (2.46)
La comparación de la suma en (2,46) con la de (2,41) encontramos que (2,46) simplemente
afirma que:
𝑓𝑖
𝑁
= 1 − ℮
(𝜀 𝑖−𝜇)
𝑘 𝐵 𝑇�
�
𝑁 + 1
𝑖
(2.47)
3. La ecuación (2,47) da una relación exacta entre la probabilidad de que el nivel de un
electrón i este siendo ocupado a temperatura T en un sistema de N-electrón y en un
sistema (N +1)-electrón. cuando N es grande (y que normalmente estamos interesados en
N del orden de 1022
) es absurdo imaginar que mediante la adición de un electrón
individual extra se podría alterar apreciablemente esta probabilidad para más de un
puñado insignificante de niveles. por lo tanto, podemos sustituir 𝑓𝑖
𝑁+1
por 𝑓𝑖
𝑁
en (2,47) lo
que hace posible resolver 𝑓𝑖
𝑁
:
𝑓𝑖
𝑁
=
1
℮
�𝜀 𝑖−𝜇�
𝑘 𝐵 𝑇
�
+1
(2.48)
En las fórmulas siguientes vamos a eliminar la referencia explícita a la dependencia N de fi,
que es, en todo caso realizada a través del potencial químico μ, véase (2,45). El valor de N
siempre puede ser calculado, dado el fi, que fi es el número medio de electrones en el
nivel i. ya que el número total N de electrones es sólo la suma de todos los niveles del
valor medio en cada nivel.
𝑁 = ∑ 𝑓𝑖 = ∑
1
℮
�𝜀 𝑖−𝜇�
𝑘 𝐵 𝑇
�
+1
𝑖𝑖 (2.49)
La cual determina N como función de la temperatura T y del potencial químico μ. en
muchas aplicaciones, sin embargo, es la temperatura y N (o más bien la densidad, n = N /
V) que se dan. En tales casos (2,49) se utiliza para determinar el potencial químico μ como
una función de N y T, permitiendo que se eliminen de las fórmulas posteriores a favor de
la temperatura y la densidad. Sin embargo, el potencial químico es de considerable interés
termodinámico por derecho propio. Algunas de sus propiedades importantes se resumen
en el Apéndice B.

Alejandro Madera
Propiedades térmicas del gas de electrones libres: aplicaciones de la distribución de Fermi-Dirac
En un gas de electrones libres e independientes de los niveles de un electrón son especificados por
el vector de onda k y espín numero cuántico s, con energías que son independientes de s (en
ausencia de un campo magnético) y dada por la ecuación. (2,7); es decir:
𝜖(𝑘) =
ℏ2 𝑘2
2𝑚
(2.50)
Primero verificamos que la función de distribución (2,49) es consistente con el estado base (T = 0)
propiedades derivadas anteriormente. En el estado fundamental y los niveles sólo aquellos que
están ocupados con 𝜖(𝑘) ≤ 𝜀𝑓, por lo que la función de distribución del estado base debe ser:
𝑓𝑘𝑠 = �
1, 𝜖(𝑘) < 𝜀𝑓
0, 𝜖(𝑘) > 𝜀𝑓
(2.51)
Por otra parte, como T →0, la forma límite de la distribución de Fermi-Dirac (2,48) es:
limT →0 𝜇 = �
1, 𝜖(𝑘) < 𝜇
0, 𝜖(𝑘) > 𝜀𝑓
(2.52)
Para que sea consistente es necesario que:
lim 𝑇→0 𝜇 = 𝜀𝑓 (2.53)
Veremos a continuación que para los metales, el potencial químico permanece igual a la energía
de Fermi a un alto grado de precisión, todo a temperatura ambiente. Como resultado, las personas
con frecuencia no hacen ninguna distinción entre los dos, cuando se trata de metales. Esto, sin
embargo, puede ser peligrosamente engañoso. En cálculos precisos es esencial para mantener un
registro de la medida en que el potencial químico μ, difiere de su valor cero de temperatura, 𝜀𝑓.
La aplicación más importante de Fermi-Dirac es el cálculo estadístico de la contribución electrónica
al calor específico a volumen constante de un metal.
𝑐 𝑒 =
𝑇
𝑉
�
𝛿𝑆
𝛿𝑇
�
𝑉
= �
𝛿𝑢
𝛿𝑇
�
𝑉
𝑢 =
𝑈
𝑉
(2.54)
La aproximación de la energía interna U de electrones independientes, es justo la suma sobre un
nivel de electrones de 𝜖(𝑘).
𝑈 = 2 ∑ 𝜖(𝑘)𝑓(𝜖(𝑘))𝑘 (2.55)

Alejandro Madera
Hemos introducido la función de Fermi 𝑓(𝜖), para hacer hincapié en que 𝑓𝑘 depende de k sólo a
través de la energía electrónica 𝜖(𝑘):
𝑓(𝜀) =
1
℮
(𝜀−𝜇)
𝑘 𝐵 𝑇�
+1
(2.56)
Si dividimos ambos lados de (2,55) por el volumen V. entonces (2.29) nos permite escribir la
densidad de energía u = U / V como:
𝑢 = ∫
𝑑𝑘
4𝜋3 𝜀(𝑘)𝑓(𝜀(𝑘)) (2.57)
Si también dividimos ambos lados de (2,29) por V, entonces se puede complementar (2,57) por
una ecuación de la densidad electrónica n = N / V y usarlo para eliminar el potencial químico:
𝑛 = ∫
𝑑𝑘
4𝜋3 𝑓(𝜀(𝑘)) (2.58)
Para evaluar las integrales como (2.57) y (2.58) de la forma:
∫
𝑑𝑘
4𝜋3 𝐹(𝜀(𝑘)) (2.59)
A menudo se aprovecha el hecho de que el integrando depende de k sólo la energía electrónica
𝜖(𝑘) =
ℏ2 𝑘2
2𝑚
, al evaluar la integral en coordenadas esféricas y cambiar las variables de K a 𝜀:
∫
𝑑𝑘
4𝜋3 𝐹�𝜀(𝑘)� = ∫
𝑘2 𝑑𝑘
𝜋2
∞
0
𝐹�𝜀(𝑘)� = ∫ 𝑑𝜀𝑔(𝜀)𝐹(𝜀)
∞
−∞
(2.60)
Aquí
𝑔(𝜀) =
𝑚
𝜋2ℏ2
�
2𝑚𝜀
ℏ2
, 𝜀 > 0;
= 0, 𝜀 < 0 (2.61)
Puesto que la integral (2,59) es una evaluación de (1 / V) ∑ 𝐹(𝜖(𝑘))𝑘𝑠 , en la forma (2,60) muestra
que:
𝑔(𝜀) = �
1
𝑉
� × [𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎𝑠 𝜀 𝑎 𝜀 + 𝑑𝜀] (2.62)

Alejandro Madera
Por esta razón 𝑔(𝜀) se conoce como la densidad de los niveles por unidad de volumen (o a
menudo simplemente como la densidad de los niveles). Una forma dimensionalmente más
transparente de escribir 𝑔 es:
𝑔(𝜀) = �
3
2
𝑛
𝜀 𝐹
�
𝜀
𝜀 𝐹
�
1/2
, 𝜀 > 0
0, 𝜀 < 0
(2.63)
Donde 𝜀 𝐹 y 𝑘 𝐹 son definidos por las ecuaciones cero de temperatura (2,21) y (2,25) a temperatura
cero. Una cantidad de importancia numérica particular es la densidad de los niveles en la energía
de Fermi, que (2.61) y (2,63) dan en cualquiera de las dos formas equivalentes:
𝑔(𝜀 𝐹) =
𝑚𝑘 𝐹
𝜋2ℏ2 (2.64)
O
𝑔(𝜀 𝐹) =
3
2
𝑛
𝜀 𝐹
(2.65)
Usando esta notación, reescribimos (2.57) y (2.58) como:
𝑢 = ∫ 𝑑𝜀𝑔(𝜀)𝑓(𝜀)
∞
−∞
(2.66)
Y
𝑛 = ∫ 𝑑𝜀𝑔(𝜀)𝑓(𝜀)
∞
−∞
(2.67)
Hacer esto tanto para la simplicidad de notación y porque en esta forma a la aproximación de
electrones libres entra sólo a través de la evaluación particular (2.61) o (2,63) de la densidad de los
niveles de g. podemos definir una densidad de niveles, a través de (2.61), en términos de los
cuales (2,66) y (2,67) sieguen siendo válidos para cualquier conjunto no interactuante (es decir,
independiente) de electrones.
Así que más tarde seremos capaces de aplicar los resultados deducidos de (2,66) y (2,67) a los
modelos considerablemente más sofisticados de electrones independientes en metales.
En general, las integrales (2,66) y (2,67) tienen una estructura compleja. Existe, sin embargo,
una simple expansión sistemática que aprovecha el hecho de que en casi todas las temperaturas
de interés en metales, T es mucho menor que la temperatura de Fermi (2,63).

Alejandro Madera
En la figura 2.3 la función de Fermi 𝑓(𝜀) se representa a T = 0 y a temperatura ambiente durante
típicas densidades metálicas (kBT/μ ≈ 0,01). Evidentemente 𝑓 difiere su forma a temperatura cero
sólo en una pequeña región alrededor de μ de un ancho de unos pocos kBT. Por lo tanto la manera
en que integrales de la forma ∫ 𝐻(𝜀)𝑓(𝜀)𝑑𝜀
∞
−∞
difieren de sus valores de temperatura
cero, ∫ 𝐻(𝜀)𝑑𝜀
𝜀 𝐹
−∞
, será totalmente determinada por la forma de 𝐻(𝜀) E = cerca de 𝜀 = 𝜇. Si 𝐻(𝜀)
no varía rápidamente en el rango de energía del orden de kBT alrededor de 𝜇, la dependencia de la
temperatura de la integral dará con bastante precisión mediante la sustitución de 𝐻(𝜀) por los
primeros términos en su expansión de Taylor alrededor 𝜀 = 𝜇:
𝐻(𝜀) = ∑
𝑑 𝑛
𝑑𝜀 𝑛
∞
𝑛=0 𝐻(𝜀)|
(𝜀−𝜇) 𝑛
𝑛!
(2.68)
Este procedimiento se lleva a cabo en el apéndice c. el resultado es una serie de la forma:
∫ 𝐻(𝜀)𝑓(𝜀)𝑑𝜀
∞
−∞
= ∫ 𝐻(𝜀)𝑑𝜀 + ∑ (𝑘 𝐵 𝑇)2𝑛
𝑎 𝑛
𝑑2𝑛−1
𝑑𝜀2𝑛−1
∞
𝑛=1 𝐻(𝜀)|
𝐹
−∞
(2.69)
Que se conoce como la expansión Sommerfeld. El 𝑎 𝑛 es constante adimensional del orden de la
unidad. Las funciones H típicamente se encuentran grandes variaciones en la escala de energía del
orden de u, y generalmente
𝑑 𝑛
𝑑𝜀 𝑛 𝐻(𝜀) es del orden de 𝐻(𝜇)/𝜇. Cuando este es el caso, los
términos sucesivos de la expansión Sommerfeld son más pequeños por O (𝑘 𝐵 𝑇/𝜇)2
que es O (10-4
)
a temperatura ambiente. Por consiguiente, los cálculos reales sólo el primero y (muy
ocasionalmente) los segundos términos que se conservan en la suma de (2,69). La forma explícita
de estos es (Apéndice C):

Alejandro Madera
∫ 𝐻(𝜀)𝑓(𝜀)𝑑𝜀
∞
−∞
= ∫ 𝐻(𝜀)𝑑𝜀 +
𝜋2
6
𝐹
−∞
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝐻′(𝜇) +
7𝜋4
360
(𝑘 𝐵 𝑇)4
𝐻′′′(𝜇) + 𝑂 �
𝑘 𝐵 𝑇
𝜇
�
6
(2.70)
Para evaluar el calor específico de un metal a temperaturas pequeñas en comparación con Tf
se aplica la expansión Sommerfeld (2,70) a la energía electrónica y el número de densidades
(ecuaciones (2,66) y (2,67)):
𝜇 = ∫ 𝜀𝑔(𝜀)𝑑𝜀
𝜇
0
+
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2[𝜇𝑔′(𝜇) + 𝑔(𝜇)] + 𝑂(𝑇)4
(2.71)
𝑛 = ∫ 𝜀𝑔(𝜀)𝑑𝜀
𝜇
0
+
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔′(𝜇) + 𝑂(𝑇)4
(2.72)
La ecuación (2.72) como veremos en detalle, implica que μ difiere de su valor T = 0, 𝜀, por
términos de orden T2
. Por lo tanto, para ordenar correctamente a T2
, muchos escriben:
∫ 𝐻(𝜀)𝑑𝜀
𝜇
0
= ∫ 𝐻(𝜀)𝑑𝜀
𝜀 𝐹
0
+ (𝜇 − 𝜀 𝐹)𝐻(𝜀 𝐹) (2.73)
Si aplicamos esta expansión en las integrales (2.71) y (2.72), y reemplazamos μ por 𝜀 𝐹 en términos
de orden T2
en estas ecuaciones encontramos:
𝜇 = ∫ 𝜀𝑔(𝜀)𝑑𝜀
𝜀 𝐹
0
+ 𝜀 𝐹 �(𝜇 − 𝜀 𝐹)𝑔(𝜀 𝐹) +
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔′(𝜀 𝐹)� +
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔(𝜀 𝐹) + 𝑂(𝑇)4
(2.74)
𝑛 = ∫ 𝑔(𝜀)𝑑𝜀
𝜇
0
+ �(𝜇 − 𝜀 𝐹)𝑔(𝜀 𝐹) +
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔′(𝜀 𝐹)� (2.75)
Los primeros términos de temperatura independientes en el lado derecho de (2.74) y (2.75) son
sólo los valores de μ y n en estado fundamental. Ya que se calcula el calor específico a densidad
constante, n es independiente de la temperatura, y (2,75) se reduce a:
𝑂 = (𝜇 − 𝜀 𝐹)𝑔(𝜀 𝐹) +
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔′(𝜀 𝐹) (2.76)
que determina la desviación del potencial químico de 𝜀 𝐹:
𝜇 = 𝜀 𝐹 −
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2 𝑔′(𝜀 𝐹)
𝑔(𝜀 𝐹)
(2.77)
Ya que para los electrones libres 𝑔(𝜀 𝐹) varia como 𝜀1/2
(véase la ecuación (2.63)), esto da:
𝜇 = 𝜀 𝐹 �1 −
1
3
�
𝜋𝑘 𝐵 𝑇
2𝜀 𝐹
�
2
� (2.78)

Alejandro Madera
Que es, como se afirmó anteriormente, un cambio del orden de T2
y por lo general sólo alrededor
del 0,01 por ciento, incluso a temperatura ambiente.
La ecuación (2,76) establece el término entre corchetes en (2,74) igual a cero, lo que simplifica
la forma de la densidad de energía térmica a densidad electrónica constante:
𝜇 = 𝜇0 +
𝜋2
6
(𝑘 𝐵 𝑇)2
𝑔(𝜀 𝐹) (2.79)
Donde 𝜇0 es la energía en el estado fundamental. El calor específico del gas de electrones es por lo
tanto:
𝐶 𝑣 = �
𝑑𝑢
𝑑𝑇
�
𝑛
=
𝜋2
3
(𝑘 𝐵)2
𝑇𝑔(𝜀 𝐹) (2.80)
o, para los electrones libres (véase (2.65)):
𝐶 𝑣 =
𝜋2
2
�
𝑘 𝐵 𝑇
𝜀 𝐹
� 𝑛𝑘 𝐵 (2.81)
Comparando esto con el resultado clásico para un gas ideal, 𝐶 𝑣 = 3𝑛𝑘 𝐵/2, vemos que el efecto de
las estadísticas de Fermi-Dirac es deprimir o hacer caer el calor especifico un factor de
𝜋2
3
�
𝑘 𝐵 𝑇
𝜀 𝐹
�,
que es proporcional a la temperatura e incluso a temperatura ambiente sólo es del orden de 10-2
.
Esto explica la ausencia de cualquier contribución observable de los grados de libertad
electrónicos para el calor específico de un metal a temperatura ambiente.
Si uno está dispuesto a prescindir del coeficiente numérico exacto, se puede entender este
comportamiento del calor específico, sencillamente, de la dependencia de la temperatura de la
función de Fermi en sí. El aumento en la energía de los electrones cuando se eleva la temperatura
desde T = 0 se produce enteramente debido a que algunos electrones con energías dentro O(kBT)
e inferiores 𝜀 𝐹 (la región sombreada de la Figura 2,4) si han sido excitados en un rango de energía
de O(kBT) arriba de 𝜀 𝐹 (la región ligeramente sombreada de la figura 2.4).
El número de electrones por unidad de volumen que han sido tan excitados es el ancho, kBT, de las
es la amplitud del intervalo de veces la densidad de energía de los niveles por unidad de volumen.
𝑔(𝜀 𝐹). Además la energía de excitación es del orden de kBT y por tanto la densidad total de
energía térmica es del orden de 𝑔(𝜀 𝐹)(𝑘 𝐵 𝑇)2
por encima de la energía del estado fundamental.
Esta pierde el resultado preciso (2,79) por un factor de
𝜋2
6
, pero da una imagen física simple, y es
útil para cálculos aproximados.

Alejandro Madera
La predicción de un calor específico lineal es una de las consecuencias más importantes de las
estadísticas de Fermi-Dirac, y proporciona la prueba más simple de la teoría del gas electrónico de
un metal, siempre que se pueda estar seguro de que los grados de libertad electrónicos no hacen
contribuciones comparables o incluso muy grandes. Como es el caso, los grados de libertad iónicos
que dominan por completo el calor específico a altas temperaturas. Sin embargo, muy por debajo
de la temperatura ambiente su contribución cae como en el cubo de la temperatura (Capítulo 23),
y a temperaturas muy bajas, se desciende por debajo de la contribución electrónica, sólo
desciende linealmente con T. Con el fin de separar estas dos contribuciones se ha convertido una
práctica para trazar CV / T contra T2
, por si las contribuciones iónica y electrónica que juntos dan
lugar a la baja temperatura de la forma:
𝐶 𝑉 = 𝛾𝑇 + 𝐴𝑇3
(2.82)
Entonces
𝐶 𝑉
𝑇
= 𝛾 + 𝐴𝑇2
(2.83)
Así se puede encontrar 𝛾por extrapolación de la curva CV / T linealmente hacia abajo a T2
= 0 y
observando donde intercepta el eje CV / T. El calor especifico típicamente contiene una
componente lineal comparable al cubico en unos pocos grados Kelvin.
Datos de calor específico son usualmente citados en Joules (o calorías) por mol por grados
Kelvin. Ya que un mol de electrones libres metálicos contiene ZNA electrones de conducción
(Donde Z es el número de valencia y NA el número de Avogadro) y ocupan un volumen ZNA/n,
debemos multiplicar la capacidad calorífica por unidad de volumen, CV por ZNA/n, con el fin de
obtener la capacidad calorífica por mol, C:
𝐶 =
𝜋2
3
𝑍𝑅
𝑘 𝐵 𝑇𝑔(𝜀 𝐹)
𝑛
(2.84)

Alejandro Madera
Donde R=kBNA =8.314 Joules/mol = 1.99 cal/mol K. Usando la densidad electrónica libre de los
niveles (2.65) y la evaluación (2.33) de 𝜀 𝐹 𝑘 𝐵, encontramos una contribución de un electrón libre a
la capacidad calorífica por mol de C=ϒT, Donde:
𝛾 =
1
2
𝜋2
𝑅
𝑍
𝑇 𝐹
= 0.169𝑍 �
𝑟𝑠
𝑎0
�
2
× 10−4
𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙−1
𝐾−2
(2.85)
Algunos de los valores medidos de forma tosca, de 𝛾 se muestran en la Tabla 2.3, junto con los
valores de los electrones libres implicados por (2.85) y el valor de
𝑟𝑠
𝑎0
en la Tabla 1.1. Teniendo en
cuenta que los metales alcalinos siguen siendo razonablemente bien descritos por la teoría del
electrón libre, al igual que los
metales nobles (Cu, Ag, Au).
Observamos también, sin
embargo, las grandes
disparidades en Fe y Mn
(experimento del orden de 10
veces la teoría), así como
aquellos en Bi y Sb
(experimento del orden de
0,1 veces la teoría). Estas
grandes desviaciones están
cualitativamente entendidas
por motivos bastante
generales, y volveremos a
ellas en el capítulo 15.

Alejandro Madera
LA TEORÍA DE SOMMERFELD DE CONDUCCIÓN EN METALES
Para encontrar la distribución de velocidades de los electrones en los metales, se considera un
elemento pequeño volumen del espacio k sobre un punto k, de volumen dk. Permitiendo el doble
spin por degeneración, el numero de un nivel electrónico en este volumen es (véase (2.18)).
�
𝑉
4𝜋3� 𝑑𝑘 (2.86)
la probabilidad de cada nivel es ocupado es 𝑓(𝜀(𝑘)) y por lo tanto, el número total de electrones
en el elemento de volumen del espacio k es:
�
𝑉
4𝜋3� 𝑓�𝜀(𝑘)�𝑑𝑘 , 𝜖(𝑘) =
ℏ2 𝑘2
2𝑚
(2.87)
Puesto que la velocidad de un electrón libre con vector de onda k es 𝑉 = ℏ𝐾/𝑚 (ecuación
(2.12)), el número de electrones en un elemento de volumen dv alrededor de v es el mismo que el
número en un elemento de volumen 𝑑𝑘 = (𝑚/ℏ)3
sobre 𝐾 = 𝑚𝑣/ℏ. En consecuencia, el número
total de electrones por unidad de volumen del espacio real en un elemento de espacio de las
velocidades de volumen dv sobre v es:
𝑓(𝑣)𝑑𝑣 (2.88)
Donde
𝑓(𝑣) =
(𝑚/ℏ)3
4𝜋3
1
exp��
1
2
𝑚𝑣2−𝜇� 𝑘 𝐵 𝑇� �+1
(2.89)
Sommerfeld reexamino el modelo de Drude, reemplazando la clásica distribución de Maxwell-
Boltzmann de velocidades (2,1) por la distribución de Fermi-Dirac (2,89). Utilizando una
distribución de velocidad construida a partir de argumentos de la mecánica cuántica en una teoría
que de una u otra forma clásica requiere alguna justificación. Uno puede describir el movimiento
de un electrón clásico si se puede especificar su posición y el momento con la mayor precisión
necesaria, sin violar el principio de incertidumbre.
Un electrón típico en un metal tiene un impulso del orden de ℏ𝑘 𝐹, por lo que la incertidumbre
en su momento debe ser pequeña en comparación con ℏ𝑘 𝐹 para una descripción clásica buena. Ya
que, desde (2,22) 𝑘 𝐹~1/𝑟𝑠 , la incertidumbre en la posición debe satisfacer:
∆𝑥~
ℏ
∆𝑝
≫
1
𝑘 𝐹
~𝑟𝑠 (2.90)

Alejandro Madera
Donde, de (1,2), 𝑟𝑠 es del orden de la medida de la distancia interelectronica, es decir angstroms.
Por lo tanto una descripción clásica es imposible si uno tiene que considerar electrones localizados
a distancias atómicas (También en el orden de los angstroms). Sin embargo, los electrones de
conducción en un metal no están unidos a iones particulares, pero pueden vagar libremente a
través del volumen del metal. En una muestra macroscópica, para la mayoría de los propósitos no
hay necesidad de especificar su posición con una precisión de 10 -8
cm. El modelo de Drude supone
un conocimiento de la posición de un electrón principalmente sólo en los dos contextos siguientes:
1. cuando espacialmente campos electromagnéticos variables o gradientes de temperatura
son aplicados, uno debe ser capaz de específica la posición de un electrón en una pequeña
escala en comparación con la distancia ℷ en la que los campos o gradientes de
temperatura pueden variar. Para la mayoría de las aplicaciones, de los campos aplicados o
gradientes de temperatura, que no varían de forma apreciable en la escala de angstroms y
la precisión necesaria de definición en la posición de electrones no debe conducir a una
incertidumbre inaceptablemente grande en su momento. Por ejemplo: el campo eléctrico
asociado con la luz visible varía apreciablemente solo en una distancia del orden 103
Å. Sin
embargo, si la longitud de onda es mucho más corta que esta (por ejemplo los rayos X) se
debe utilizar la mecánica cuántica para describir el movimiento electrónico inducido por el
campo.
2. también hay una suposición implícita en el modelo de Drude, que uno puede localizarse
dentro de un electrón a sustancialmente en menos de una trayectoria libre media l y se
debería sospechar de los argumentos clásicos en recorridos libres medios mucho más
cortos que decenas de angstroms. Afortunadamente, como veremos a continuación,
recorridos libres medios en metales son del orden de 100Å a temperatura ambiente y se
hacen más largos todavía como desciende la temperatura.
Existe por lo tanto una amplia gama de fenómenos en los que el comportamiento de un electrón
metálico son bien descritos por la mecánica clásica. No es, sin embargo, inmediatamente evidente
a partir de esto que tal comportamiento de N electrones puede ser descrito por la mecánica
clásica. Desde el principio de exclusión de Pauli tan profundamente afecta las estadísticas de los N
electrones, ¿por qué no habría de tener efectos igualmente drásticos en su dinámica? Esto no
sigue un teorema elemental, que afirmamos sin pruebas, ya que es notacionalmente engorroso de
hacer:
Considerar un sistema de N electrones cuyas interacciones con otros son ignorados por lo que
están expuestos a un espacio arbitrario y campo electromagnética independiente de tiempo.
Dejar que el estado N de electrones en el tiempo 0 se forme mediante la ocupación de un
grupo particular de N electrones de un nivel, ψ1(0), … , ψn(0). Dejar ψj(t) sea el nivel ψj(0) se
convertiría en un tiempo t bajo la influencia del campo electromagnético si hubiera sólo un

Alejandro Madera
único electrón presente, que estaba en el nivel ψj(0) en el tiempo cero. Entonces el correcto
N esimo nivel electrónico a tiempo t será formado por el conjunto que este ocupando los
niveles N esimos electrónicos ψ 1(0), … , ψn(0).
Por lo tanto el comportamiento dinámico de N electrones no interactuantes está
completamente determinado considerando N problemas de electrones independientes. En
particular, si la aproximación clásica es válida para encontrar estos problemas mono
electrónicos, también será válido para el conjunto de N electrones.
El uso de las estadísticas de Fermi-Dirac sólo afecta a las predicciones del modelo de Drude
que requiere un poco de conocimiento de la distribución de la velocidad electrónica para su
evaluación. Si la tasa de 1 / τ en la que un electrón experimenta colisiones no depende de su
energía, entonces sólo nuestra estimación del recorrido electrónico libre medio y nuestro
cálculo de la conductividad térmica y termoeléctrica son en absoluto afectados por un cambio
en la función de distribución de equilibrio.
LA MEDIA DEL RECORRIDO LIBRE
Usando 𝑈 𝐹 en la medida de la velocidad electrónica, podemos evaluar la media en la partícula
libre ℓ = 𝑈 𝐹 𝜏 y de la ecuación (1.18) tenemos:
ℓ =
(𝑟𝑠/𝑎 𝑜)2
𝜌 𝜇
∗ 92 Å (2.91)
Donde la resistividad está dada en microhmios por centímetro, 𝜌 𝜇, es típicamente del orden de 1 a
100 a temperatura ambiente, y 𝑟𝑠/𝑎 𝑜 es típicamente 2 a 6 en partículas libres del orden de los 100
angstroms, cada evento en lo posible se da a temperatura ambiente.
CONDUCTIVIDAD TÉRMICA:
Continuamos con el estimado para la conductividad térmica dada por la ecuación (1.58)
𝜘 =
1
3
𝜐2
𝜏𝐶 𝜐 (2.92)
El calor especifico es más pequeño, que la conjetura clásica de Drude por un factor de orden
𝐾 𝐵 𝑇/𝜀𝑓; la correcta estimación de 𝜐2
no es la medida térmica clásica del cuadrado de la velocidad
de orden 𝐾 𝐵 𝑇/𝑚; pero 𝜐𝑓2
=2𝜀𝑓/𝑚, que es más grande que el valor clásico de un factor de orden
𝜀𝑓/𝐾 𝐵 𝑇. Insertando estos valores en la ecuación 2.92 y eliminando la relajación del tiempo en
favor de la conductividad tenemos:

Alejandro Madera
𝜘
𝜎𝑇
=
𝜋2
3
(
𝐾 𝐵
𝑒
)2
= 2.44𝐸 − 8 𝑤𝑎𝑡𝑡 − 𝑜ℎ𝑚/𝐾2
(2.93)
Este es un valor que Drude encontró de una forma fortuita, gracias a las dos compensaciones
correctoras del orden 𝐾 𝐵 𝑇/𝜀𝑓 y es excelente de acuerdo con la tabla 1.6
TERMOPOTENCIA.
Drude sobreestimo el papel de la termopotencia, que se resolvió por el uso de las estadística de
Fermi-Dirac. Sustituyendo el calor especifico, de la ecuación 2.81 en la ecuación 1.59
encontramos:
𝑄 = −
𝜋2
6
𝐾 𝐵
𝑒
�
𝐾 𝐵 𝑇
𝜀 𝑓
� = −1.42 �
𝐾 𝐵 𝑇
𝜀 𝑓
� ∗ 10−4
𝑉𝑜𝑙𝑡/𝐾 (2.94)
Que es más pequeña que la estimación de Drude, (eq.1.60) por 𝑂 �
𝐾 𝐵 𝑇
𝜀 𝑓
� ~0.01 a temperatura
ambiente.
Otras Propiedades importantes.
Desde que la velocidad electrónica de distribución no juega un papel en el cálculo de las
conductividades en AC y DC, el coeficiente de Hall, o la magneto resistencia, las estimaciones
dadas en el capítulo 1, siguen siendo las mismas si usamos Maxwell-Boltzman o las estadísticas de
fermi Dirac.
Este no es el caso, sin embargo, si uno usa una energía dependiente del tiempo de relajación. Si
por ejemplo, se pensaba que los electrones chocaban con los centros de dispersión fijos entonces
seria natural que tenga una energía independiente del camino, y por lo tanto un tiempo de
relajación𝜏 = 𝚤/𝜐 ≈ 𝚤/𝜀1/2
. Poco después que Drude estableció el modelo de gas a un metal, H.A
Lorentz mostro, usando la velocidad de distribución clásica de Maxwell-Boltzman, que una energía
dependiente del tiempo de relajación conduciría a una dependencia de la temperatura en la
conducción AC y DC, así como una magneto resistencia que no va desapareciendo y un campo –
temperatura, dependiente del coeficiente del Hall. Como uno podría esperar de la inapropiada
distribución de la velocidad clásica ninguna de estas correcciones eran de alguna manera capaces
de llevar las discrepancias del modelo Drude a mejor término con las observaciones acerca de los
metales.

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