1. ESPACIO VECTORIAL:
La definición de un espacio vectorial envuelve un cuerpo arbitrario cuyos elementos se llaman
ESCALARES. Adoptaremos las notaciones siguientes:
Grupo:
G es grupo si cumple las siguientes características
debe cumplirse G debe poseer elemento inverso u opuesto
G debe tener elemento neutro
debe tener en su operación la propiedad asociativa
Nota: para que esta operación sea considerado Grupo Abeliano, debe existir la propiedad
CONMUTATIVA
Ejemplo:
es grupo?
Resp. NO ES GRUPO por que los elementos de no tienen opuesto respecto a la adición.
es grupo?
Resp. ES GRUPO ABELIANO por que se cumple los tres requisitos respecto a la adicion posee
elemento neutro (Cero), todos los elemento de tienen opuestos Ejem. , se
cumple la propiedad Asociativa
También se cumple la propiedad Conmutativa, por lo tanto es GRUPO ABELIANO.
es grupo?
Resp. NO ES GRUPO por que los elementos de no tienen INVERSO respecto al Producto.

2. DEFINICIÓN:
Sea un cuerpo y un conjunto no vacio con reglas de adición y multiplicación por escalar que
asignan a todo ; una suma y a todo un producto .
Entonces se llama un ESPACIO VECTORIAL sobre (y los elementos de se llaman vectores), si
cumplen los axiomas siguientes.
Para todo vector ,
Existe un vector en , denotado por y llamado vector CERO, tal que para todo
vector
Para todo vector existe un vector en , denotado por , tal que
Para todo vector ,
Para todo escalar y todo vector
Para todo escalar y todo vector
Para todo escalar y todo vector
Para el escalar unidad para todo vector
Los axiomas anteriores se dividen en dos clase: los cuatro primeros se relacionan únicamente con
la estructura aditiva de y podemos resumir diciendo que es un grupo conmutativo (grupo
abeliano) bajo la adición.
En consecuencia, toda suma de vectores de la forma:
No requiere paréntesis ni depende del orden de los sumandos, el vector 0 es único, el negativo de
– de es único y se cumple la LEY CANCELATIVA:
Para todo vector . También la sustracción está definida por:
Los cuatro axiomas restantes (multiplicación), se refieren a la “acción” del cuerpo sobre .

3. TEOREMA
Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo
i. Para todo escalar
ii. Para y todo vector
iii. Si , donde , entonces
iv. Para todo escalar y todo vector
Ejemplos de Espacios Vectoriales:
Veamos un ejemplo generalizado del espacio
Sea un cuerpo arbitrario. El conjunto de todas las de elementos de con la adición
de vectores y la multiplicación por escalar definidos por:
Y
Donde , es un espacio vectorial sobre denotado por . El vector CERO en es la
de CEROS, ; entonces es un espacio vectorial; el cual podemos
considerar que contiene las operaciones definidas en el espacio vectorial sobre
Ejemplo 2:
Sea un cuerpo y un cuerpo que contiene a . Consideramos como un espacio
Vectorial sobre , utilizando la operación del espacio vectorial la adición de elementos de y
definiendo para , es el producto de , como elementos en el cuerpo ;
entonces los axiomas para un espacio vectorial son entonces consecuencias de la ley
distributiva hacia la derecha (un escalar respecto a dos vectores ) y la ley
distributiva a la izquierda (dos escalares respecto a un vector ) y la ley
asociativa respectivamente que valen para por ser un Cuerpo.
Ejemplos:

4. Luego:
y esto es el vector NULO o vector CERO.

5. ESPACIO EUCLIDEANO:
Es un espacio vectorial provisto de una estructura algebraica (conocido como conjunto de
axiomas)
Construir una geometría en el espacio euclideano , definimos sobre él, la operación producto
escalar y la longitud de un vector.
PRODUCTO ESCALAR o Producto Punto:
Para dos vectores cualesquiera , tal que:
Se define como producto escalar:
Ejemplo 1:
Dados los vectores: . Calcular el producto escalar de
Solución:
Utilizando la definición de producto escalar obtenemos:
Luego:
Ejemplo 2:
Dados los vectores: . Calcular el producto escalar de
Solución:
Utilizando la definición de producto escalar obtenemos:
Luego:

6. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA OPERACIÓN PRODUCTO ESCALAR:
Para dos vectores cualesquiera tal que:
se tiene:
Propiedad 1:
Propiedad Conmutativa
Ejemplo:
Sean
Propiedad 2:
Propiedad Asociativa
Ejemplo:
Sean
Propiedad 3:
Propiedad Distributiva
Ejemplo 3:
Sean los vectores:

7. Propiedad 4:
Propiedad de la desigualdad no estricta.
Ejemplo 4:
Sean el vector:
Ejemplo 5:
Sean el vector:
INDICAR SI EL SIGUIENTE CONJUNTO CONSTITUYE UN ESPACIO VECTORIAL:
Sea
Para que indicar que es espacio vectorial, debe cumplir lo siguiente:
1. Si
2. Si
3.
Verificamos si se cumple la propiedad (1)
Sea
Recordando nuestros conocimientos de funciones donde depende de ; tenemos:
; reemplazando estos valores en tenemos:

8. Observamos que no se cumple el axioma de cerradura por lo tanto V no es espacio Vectorial