1. Definición de sub espacio
Es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas
características específicas como las siguientes.
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V (K).
Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de
Suma y multiplicación por escalar definidas en V. Entonces se
Dice que H es un sub espacio de V. En este caso se denota
H_H
Condición de existencia de subespacio
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas
operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S
y la ley de composición externa (* ) con escalares del cuerpo K) sean cerradas,
es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Estas
antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores.
Un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el
falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse,
garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial,
se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluido en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.
Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO.
Hasta ahora venimos hablando de espacios vectoriales generados por un
número finito de vectores (llamados también espacios vectoriales finitos) y
hemos venido observando que las bases de un subespacio tienen una

2. característica común: TIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS.
Este número invariante en cualquier base del subespacio vectorial recibe el
nombre de DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO VECTORIAL.
En consecuencia todo espacio vectorial finito está generado por un número
fijo de vectores linealmente independientes, la dimensión del espacio.
Para cualquier espacio vectorial el subconjunto formado
´únicamente por el elemento neutro {e} es un sub espacio. En
Efecto, e + e = e y _e = e para todo escalar alpha. Este
Sub espacio vectorial se llama el Sub espacio Trivial.
Ejemplo
Todo espacio vectorial es un sub espacio en si mismo. Es decir,
Para todo espacio vectorial V, V es un sub espacio de si mismo.
Estos dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V
Contiene dos sub espacio. Pero es de nuestro interés conocer
Otros sub espacios que no sean estos, nos referimos a los
Sub espacios propios de un espacio vectorial
Ejemplo (En el Plano)
Consideremos el conjunto
H = {(x, y) : y = 2x} = {(x, 2x) : x 2 IR}. Claramente H es un
Sub conjunto de IR2, porque H es el conjunto de vectores fijos
Sobre la recta y = 2x. Con un poco de trabajo, nada
Complicado, se puede demostrar que H es un espacio vectorial
Sobre IR con las operaciones definidas en IR2. Por lo tanto, de
Acuerdo a la Definición de Sub espacio H es un sub espacio de
V.
Es importante aclarar que no todo subconjunto de IR2 es un
Sub espacio de IR2. Por ejemplo, el conjunto
U = {(x, y) : y−x−1 = 0} = {(x, y) : y = x+1} = {(x, x+1) : x 2 IR}
Es un subconjunto de IR2, en efecto, consiste de todos los
Vectores sobre la recta y = x + 1. Este subconjunto de IR2 no
Es un sub espacio de IR2. Esta afirmación se comprobara mas adelante
Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V(K) es un
Sub espacio de V si, y solo si cumple con las siguientes

3. Condiciones
a) Dado u 2 H y v 2 H, entonces u + v 2 H
b) Dado _ 2 K y v 2 H, entonces _v 2 H
Según este teorema no es necesario verificar todos los
Axiomas de la definición de espacio vectorial para determinar si
Un subconjunto de un espacio vectorial es un sub espacio.
Bastara con verificar la cerradura en ambas operaciones
El Espacio Vectorial V
Espacio Vectorial H