Este documento define subespacios vectoriales y presenta varios ejemplos. Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones. Se demuestra que la intersección de subespacios y el conjunto de matrices simétricas son subespacios. También se dan ejemplos de conjuntos que no son subespacios, como aquellos que no contienen el vector cero.

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Álgebra Lineal I: Subespacios vectoriales
Introducción
En la entrada anterior dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos de espacios vectoriales. Ahora
hablaremos de subespaciosvectorialeso simplemente, subespacios. A grandes rasgos, podemos pensar a un
subespacio como un subconjunto de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial con las mismas
operaciones de .
Definición de subespacios vectoriales y primeras consecuencias
Definición. Sea un espacio vectorial sobre un campo . Un subespacio vectorial de , o simplemente un
subespacio de , es un subconjunto no vacío de cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplica-
ción escalar de . En otras palabras, es un subespacio de si se cumplen las siguientes dos propiedades:
1. (Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera y elementos de , se cumple que está en .
2. (Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar en y vector en se cumple que
está en .
En la entrada anterior ya vimos un ejemplo. Si tenemos un campo y nos fijamos el espacio vectorial de poli-
nomios, entonces para cualquier entero el subconjunto de de polinomios de grado a lo más es ce-
rrado bajo la suma de polinomios y bajo el producto escalar. De esta forma, es un subespacio de . Más
abajo veremos muchos ejemplos de subespacios, pero primero nos enfocaremos en algunas consecuencias de la
definición.
Observación. Se cumple todo lo siguiente:
1. Si es un subespacio de un espacio vectorial , entonces debe tener al vector de (es decir, la identi-
dad aditiva de la suma vectorial). Esto se debe a que es no vacío, así que tiene por lo menos un elemento .
Si tomamos al de y usamos la propiedad (2) de subespacio con y obtenemos que está en .
2. Si es un subespacio de un espacio vectorial y está en , entonces también. Esto se debe a que por
la propiedad (2) de subespacio tenemos que está en .
V
V
V F V
V W V
V W V
u v W u + v W
c F v W cv
W
F F [x]
n Fn[x] F [x] n
Fn
[x] F [x]
W V W 0 V
W v
0 F 0 v 0v = 0 W
W V v W −v
(−1)v = −v W

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3. Si es un espacio vectorial sobre y es un subespacio de , entonces también es un espacio vectorial
sobre con las mismas operaciones que . Por un lado, el neutro e inversos aditivos existen por los dos inci-
sos anteriores. Para el resto de las propiedades, se usa que se cumplen para elementos de y por lo tanto
también para los de (pues es un subconjunto).
4. Si y son dos subespacios de un espacio vectorial , entonces la intersección también lo es.
La primera propiedad nos puede ayudar en algunas ocasiones (no siempre) a darnos cuenta rápidamente si un sub-
conjunto no es subespacio vectorial: si no tiene al vector , entonces no es subespacio.
La tercera propiedad tiene una consecuencia práctica muy importante: para mostrar que algo es un espacio vecto-
rial, basta con mostrar que es un subespacio de algo que ya sabemos que es un espacio vectorial.
Problema. Muestra que , el conjunto de funciones continuas de a , es un espacio vectorial sobre
con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.
Solución. En la entrada anterior vimos que el conjunto de funciones de a los reales es un espacio vectorial so-
bre con las operaciones de suma de funciones y multiplicación escalar. El conjunto es un subconjunto de
.
Por argumentos de cálculo, la suma de dos funciones continuas es una función continua. Así mismo, al multiplicar
una función continua por un real obtenemos de nuevo una función continua. De esta forma, es un subespa-
cio de .
Por la observación (3) de la discusión previa, obtenemos que es un espacio vectorial sobre con las opera-
ciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.
Definiciones alternativas de subespacios vectoriales
Algunos textos manejan definiciones ligeramente distintas a la que nosotros dimos. Sin embargo, todas ellas son
equivalentes.
Proposición. Sea un espacio vectorial sobre el campo y un subconjunto de . Los siguientes enunciados
son equivalentes.
1. es un subespacio de de acuerdo a nuestra definición.
2. Para cualesquiera vectores y en y escalares y en , se tiene que está en .
3. Para cualesquiera vectores y en y cualquier escalar en se tiene que está en .
V F W V W
F V
V
W
W1
W2
V W1
∩ W2
□
0
C[0, 1] [0, 1] R R
V [0, 1]
R C[0, 1] V
C[0, 1]
V
C[0, 1] R
□
V F W V
W V
u v W a b F au + bv W
u v W c F cu + v W

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Demostración. (1) implica (2). Supongamos que es un subespacio de . Tomemos vectores en y escalares
en . Como es cerrado bajo producto escalar, se tiene que está en . De manera similar, está en .
Como es cerrado bajo sumas, se tiene que está en .
(2) implica (3). Supontamos que satisface (2) y tomemos en y cualquier escalar en . Tomando y
en (2), tenemos que está en .
(3) implica (1). Supongamos que satisface (3). Hay que ver que es cerrado bajo sumas y producto escalar. Si to-
mamos y en y al escalar de , por (3) obtenemos que está en , lo cual
muestra la cerradura de la suma. Si tomamos cualquier escalar y al vector , entonces por (3) se tiene que
está en . Esto muestra la cerradura bajo producto escalar.
La consecuencia práctica de la proposición anterior es que basta verificar (2) o (3) para garantizar que es un
subespacio.
Problema. Considera el espacio vectorial de matrices en . Muestra que el subconjunto de matrices si-
métricas forman un subespacio de .
Solución. Lo demostraremos probando el punto (3) de la proposición. Sea un escalar en y sean y matrices en
, es decir, tales que y . Debemos mostrar que está en , es decir, que
. Usando propiedades de la transpuesta y la hipótesis sobre y tenemos que:
Con esto termina la demostración.
Más ejemplos de subespacios vectoriales
A continuación presentamos más ejemplos de subespacios vectoriales. En cada ejemplo damos un espacio vectorial
y un subconjunto . Para cada uno de los casos, piensa por qué la suma de dos elementos de es de nuevo un
elemento de y por qué el producto de un escalar por un elemento de es un elemento de . También puedes
usar la última proposición para probar ambas cosas simultáneamente.
Si tomamos , el subconjunto de matrices que cumplen que la suma de entradas en su diagonal prin-
cipal es igual a es un subespacio.
En el espacio vectorial , el subconjunto de vectores cuya primera y tercer entrada son iguales a forman
un subespacio.
W V u, v W
a, b F W au W bv W
W au + bv W
W u, v W c F a = c
b = 1 cu + 1v = cu + v W
W W
u v W c = 1 F cu + v = 1u + v = u + v W
c w = 0
cu + w = cu + 0 = cu W
□
W
V Mn(F ) W
V
c F A B
W
t
A = A
t
B = B cA + B W
t
(cA + B) = cA + B A B
t
(cA + B) = c
t
A +
t
B = cA + B.
□
W W
W W W
M2(R) W
0
F
4
W 0

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Las funciones acotadas del intervalo a forman un subconjunto que es un subespacio de las fun-
ciones del intervalo a .
El subconjunto de vectores de tales que
es un subespacio de .
Si tomamos , entonces este es un subespacio de .
Si tomamos , entonces este es un subespacio de .
El subconjunto de funciones diferenciables de a tales que su derivada evaluada en es igual a es
un subespacio del espacio de funciones continuas de a .
Las matrices triangulares superiores de forman un subespacio del espacio . Las matrices
triangulares inferiores también. Como la intersección de estos subespacios es el conjunto de matrices diagona-
les, obtenemos que las matrices diagonales también son un subespacio (aunque claro, esto también se puede
probar directamente de la definición).
Ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales
Aunque ya vimos muchos ejemplos de subespacios, resulta que en realidad es un poco raro que un subconjunto de
un espacio vectorial sea un subespacio. Los ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales abundan.
Veamos algunos y qué tipo de cosas pueden salir mal.
El subconjunto no es un subespacio de . Podemos dar el siguiente
argumento: ya demostramos que un subespacio debe tener al vector cero. En este caso, debería tener a
para ser subespacio. Pero . Así, no está en y por lo tanto no es
subespacio.
Alternativamente, en el ejemplo anterior podemos ver que está en , pero no.
El subconjunto de no es un subespacio, pues está en . Tomando
y , vemos que no es cerrado bajo sumas pues no está en .
Las matrices del subconjunto de , es decir, las matrices invertibles, no conforman un subes-
pacio. Por un lado, ya vimos que el neutro aditivo de la suma debe estar en un subespacio, pero la matriz
no es invertible, así que no está en .
El subconjunto de funciones diferenciables tales que su derivada en es igual a no es un
subespacio de las funciones continuas de a . Hay muchas formas de verlo. Podemos darnos cuenta
que es una de las funciones en pues y . Sin embargo, no
está en .
El subconjunto de polinomios de con coeficientes no negativos no es un subespacio de . El poli-
nomio sí está en y la suma de cualesquiera dos elementos de está en . Sin embargo, falla la multipli-
cación escalar pues está en , pero no.
La unión del eje , el eje y el eje de es un subconjunto de que no es un subespacio. Cualquier
producto escalar queda dentro de , pero la suma no es cerrada.
[−3, 3] R W
[−3, 3] R
W (x, y, z) R
3
{
x + y + z = 0
x + 2y + 3z = 0
R
3
W = R3[x] R4[x]
W = R4
[x] R5
[x]
W [0, 10] R 7 0
[0, 10] R
Mn(F ) W Mn(F )
W = {(x, y, z) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1} R
3
W
(0, 0, 0) 0
2
+ 0
2
+ 0
2
= 0 ≠ 1 (0, 0, 0) W W
(1, 0, 0) W 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)
W = {(0, 0), (1, 2), (−1, 2)} R
2
(1, 2) W
u = (1, 2) v = (1, 2) W (1, 2) + (1, 2) = (2, 4) W
GLn
(F ) Mn
(F )
On
GLn(F )
W f : [−3, 3] → R 0 2
[−3, 3] R
f(x) = x
2
+ 2x W f
′
(x) = 2x + 2 f
′
(0) = 2 3f
W
W R[x] R[x]
0 W W W
x W (−1)x = −x
X Y Z R
3
W R
3
W

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Tarea moral
Demuestra que los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial indicado.
El subconjunto de vectores de tales que .
La colección de funciones continuas tales que es un subespacio del
espacio de funciones de a .
es un subespacio de las matrices en .
Demuestra que los siguientes conjuntos no son subespacios del espacio vectorial indicado.
El subconjunto de vectores de tales que no es un subespacio de .
El subconjunto de matrices en cuyo producto de todas las entradas es igual a no es un
subespacio de
Cuando es un subconjunto finito y con al menos dos polinomios con coeficientes complejos y de
grado a lo más , es imposible que sea un subespacio de .
Sea un espacio vectorial y un entero positivo. Demuestra que si son subespacios de ,
entonces la intersección
también lo es.
Escribe por completo la demostración de que cualquier subespacio de un espacio vectorial es también un es-
pacio vectorial con las mismas operaciones.
Demuestra que si es un espacio vectorial, es un subespacio de y es un subespacio de , entonces
es un subespacio de .
Más adelante…
En esta entrada definimos el concepto de subespacio de un espacio vectorial. En la siguiente hablaremos de algunas
operaciones que se les puede hacer a los subespacios vectoriales para «combinarlos»y obtener más subespacios.
Una operación muy imporante es la de suma de subespacios, que puede tener dos o más sumandos. La operación
de suma de subespacios es particularmente especial cuando los subespacios están en posición de suma directa.
Para irte dando una idea de qué quiere decir esto, dossubespacios están en posición de suma directa si su único ele-
mento en común es el vector . El caso general de más subespacios se enuncia de forma distinta y también lo vere-
mos en la siguiente entrada.
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W
W (w, x, y, z) C
4
w + x + y + z = 0
W f : [0, 1] → R ∫
1
0
f(x) dx = 0
[0, 1] R
W = {( ) : a, b, c ∈ R}
a + b b
−b c + b
M2
(R)
W
W (x, y) R
2
xy ≥ 0 R
2
W M3,2(F ) 0
M3,2
W
3 C3[x]
V n W1, W2, … , Wn V
W1
∩ W2
∩ … ∩ Wn
V W V U W
U V
0

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Esta entrada se publicó en Matemáticas y está etiquetada con álgebra lineal, cálculo, campo, ejemplos, espacio vec-
torial, integral, polinomios, subespacio vectorial, sucesiones, vectores en agosto 9, 2020
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Acerca de Leo
Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doc-
torado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyec-
tos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
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