El documento define un subespacio como un subconjunto de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones. Para que un subconjunto sea un subespacio, debe cumplir con cuatro condiciones: 1) no ser vacío, 2) estar incluido en el espacio vectorial original, 3) que la suma sea cerrada, y 4) que la multiplicación por escalares sea cerrada. La dimensión de un subespacio es el número de vectores en cualquier base del subespacio y caracteriza su tamaño.

1. Definición de sub espacio CARMEN MENDOZA EQUIPO 1

2. Sub espacio Es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas como las siguientes. Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V (K). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones deSuma y multiplicación por escalar definidas en V. Entonces seDice que H es un sub espacio de V. En este caso se denotaH _ H

3. Condición de existencia de sub espacio. El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (* ) con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores. Un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del sub espacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como sub espacio vectorial si y solo si: 1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluido en V. 3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un sub espacio.

4. DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO. Hasta ahora venimos hablando de espacios vectoriales generados por un número finito de vectores (llamados también espacios vectoriales finitos) y hemos venido observando que las bases de un subespacio tienen una característica común: TIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS. Este número invariante en cualquier base del subespacio vectorial recibe el nombre de DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO VECTORIAL. En consecuencia todo espacio vectorial finito está generado por un número fijo de vectores linealmente independientes, la dimensión del espacio.

5. Para cualquier espacio vectorial el subconjunto formado ´únicamente por el elemento neutro {e} es un sub espacio. En Efecto, e + e = e y _e = e para todo escalar alpha. Este Sub espacio vectorial se llama el Sub espacio Trivial. Todo espacio vectorial es un sub espacio en si mismo. Es decir, Para todo espacio vectorial V, V es un sub espacio de si mismo. Estos dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V Contiene dos sub espacio. Pero es de nuestro interés conocer Otros sub espacios que no sean estos, nos referimos a los Sub espacios propios de un espacio vectorial

6. Consideremos el conjunto H = {(x, y) : y = 2x} = {(x, 2x) : x 2 IR}. Claramente H es un Sub conjunto de IR2, porque H es el conjunto de vectores fijos Sobre la recta y = 2x. Con un poco de trabajo, nada Complicado, se puede demostrar que H es un espacio vectorial Sobre IR con las operaciones definidas en IR2. Por lo tanto, de Acuerdo a la Definición de Sub espacio H es un sub espacio deV. Es importante aclarar que no todo subconjunto de IR2 es un Sub espacio de IR2. Por ejemplo, el conjunto U = {(x, y) : y−x−1 = 0} = {(x, y) : y = x+1} = {(x, x+1) : x 2 IR} Es un subconjunto de IR2, en efecto, consiste de todos los Vectores sobre la recta y = x + 1. Este subconjunto de IR2 no Es un sub espacio de IR2. Esta afirmación se comprobara mas adelante Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V(K) es un Sub espacio de V si, y solo si cumple con las siguientes

7. Condiciones a) Dado u 2 H y v 2 H, entonces u + v 2 H b) Dado _ 2 K y v 2 H, entonces _v 2 H Según este teorema no es necesario verificar todos losAxiomas de la definición de espacio vectorial para determinar si .Un subconjunto de un espacio vectorial es un sub espacio.Bastara con verificar la cerradura en ambas operaciones

8. Espacio Vectorial V Espacio Vectorial H