1. MARCO ANTONIO ALPACA
Espacio cociente.
Se concluye la sección al describir otra operación del subespacio, la formación del
espacio cociente de un espacio vectorial con respecto a un subespacio. Este
nuevo espacio vectorial se forma mediante la identificación de los vectores en
ciertos subconjuntos del espacio vectorial dado, que es una construcción
encontrada en toda el álgebra.
Procediendo ahora a los detalles, vamos a considerar un espacio vectorial V con
un subespacio fijo U. El primer paso es definir algunos subconjuntos llamados
clases contiguas: la clase adjunta de U que contiene un vector dado v es el
subconjunto de V,
.
Observe que la clase adjunta realmente contiene el vector v ya que
. Observe también que la clase adjunta puede
ser representado por cualquiera de sus elementos en el sentido de que
para todo .
Una característica importante de las clases contiguas de un subespacio dado es
que son disjuntos, es decir, que no se superponen.
Lema 3.4
Si U es un subespacio de un espacio vectorial V, entonces las clases contiguas
distintas de U son disjuntas. Así, V es la unión disjunta de todas las clases
contiguas distintas de U.
Prueba
Supongamos que las clases contiguas y ambas contienen un
vector x: vamos a demostrar que estas clases contiguas son iguales. Por hipótesis
existen vectores u1, u2 en U tales que
.
De ahí donde , y en consecuencia
, ya que , como se afirmó.
Por último, V es la unión de todas las clases contiguas de U ya que .
El conjunto de todas las clases contiguas de U en V está escrito como .

2. MARCO ANTONIO ALPACA
Una buena manera de pensar acerca de es que sus elementos se presentan
mediante la identificación de todos los elementos de una clase adjunta, de modo
que cada clase adjunta ha sido " comprimido " a un solo vector.
El siguiente paso en la construcción es convertir en un espacio vectorial
mediante la definición de la suma y la multiplicación escalar sobre él. Hay
definiciones naturales para estas operaciones, es decir,
, donde v, y c es un
escalar.
Aunque estas definiciones parecen naturales, algunos deben utilizarse con
cuidado. Para una clase adjunta puede ser representado por cualquiera de sus
vectores, de modo que debemos asegurarnos de que las definiciones que
acabamos de dar no dependan de la elección de v y w en las clases contiguas
y .
Para verificar esto, supongamos que se tiene elegido diferentes representantes,
digamos
para y para . Entonces
y donde . En consecuencia
, de modo que
. También
y de aquí
. Estos argumentos muestran que nuestras definiciones
son libres respecto de la dependencia en la elección del representante de la clase
adjunta.

3. MARCO ANTONIO ALPACA
Teorema 3.5
Si U es un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F, entonces
es un espacio vectorial sobre F donde la suma y la multiplicación escalar se
han definido anteriormente: también el vector nulo es y el negativo
de es .
Prueba
Tenemos que comprobar que los axiomas de espacio vectorial cumple para
, que es una tarea totalmente rutinaria. Como ejemplo, vamos a verificar una de
las leyes distributivas. Como y como . Entonces por
definición
, que
por definición es igual a
. Esto establece la ley distributiva. La verificación de los
otros axiomas se deja al lector como ejercicio. También es fácil comprobar que 0
es el vector nulo y
es el negativo de .
Ejemplo 5.3.8
Supongamos que tomamos U como el subespacio nulo del espacio vectorial V:
entonces consta de todos los , es decir, los subconjuntos
de un elemento de V. Mientras que no es el mismo espacio vectorial que V,
los dos espacios son claramente mucho por igual: esto se puede hacer preciso al
decir que son isomorfos (ver 6.3).
En el extremo opuesto, podríamos tomar U = V. Ahora consta de las clases
contiguas , es decir, hay sólo un elemento. Así que es un
espacio vectorial nulo.
Pasemos a los ejemplos más interesantes de la formación de clase adjunta.
Ejemplo 3.9
Sea S el conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal consistente

4. MARCO ANTONIO ALPACA
de m ecuaciones con n incógnitas sobre un campo F. Si B= 0,
entonces S es un subespacio de , es decir, el espacio solución U del sistema
lineal homogénea asociado . Sin embargo, si , entonces S no es
un subespacio: pero vamos a ver que es una clase adjunta del subespacio U.
Dado que el sistema es consistente, existe al menos una solución, digamos X1.
Supongamos que X es otra solución. Entonces tenemos
y . Restando la primera de estas ecuaciones con respecto
a la segunda, se encuentra
, de modo que
y , donde U es el espacio de solución del sistema
. De aquí todas las soluciones de pertenecen a la clase
adjunta y así .
Por el contrario, considerar cualquier , por ejemplo
donde . Entonces
. En consecuencia y .
Estas consideraciones han establecido el siguiente resultado.
Teorema 3.6
Sea un sistema lineal consistente. Sea X1 cualquier solución fija del
sistema y sea U el espacio de soluciones del sistema lineal homogéneo asociado
. Entonces, el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal
es la clase adjunta .
Nuestro último ejemplo de la formación de clase adjunta es una geométrica.
Ejemplo 3.10
Sean A y B sean vectores en R3 que representan segmentos de líneas no
paralelos en el espacio de 3 dimensiones. Entonces el subespacio

5. MARCO ANTONIO ALPACA
, tiene dimensión 2 y consta de todos los
. Los vectores en U están representados por segmentos
de líneas, trazados del origen, que yace en un plano P. Ahora se elige ,
con .
Un vector típico en la clase adjunta tiene la forma de
, con , es decir ,
.
Ahora los puntos que yacen
en el plano P1 pasan a través del punto , que es paralelo al plano P.
Esto se ve al formar el segmento de línea que une dos de tales puntos. Los
elementos de corresponden a los puntos en el plano P1: este último se
denomina un convertidor del plano P.
Dimensión de un espacio cociente.
Concluimos el estudio al observar una fórmula simple para la dimensión de un
espacio cociente de un espacio vectorial de dimensión finita.
Teorema 3.7
Sea U un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entonces
.
Prueba
Si U = 0, entonces y , que claramente
tiene la misma dimensión que V. Así, la fórmula es válida en este caso.
Ahora como y se elige una base de U. Mediante 5.1.4
podemos extender esto a una base
de V. Aquí, por supuesto y
. Un elemento típico v de V tiene la forma , donde
los son escalares. A continuación

6. MARCO ANTONIO ALPACA
, ya que
. De aquí
genera el espacio cociente .
Por otro lado, si
, entonces
, de manera que este vector es una combinación lineal de
. Dado que los son linealmente independientes, se deduce que
. En consecuencia forman
una base de y aquí
.