Producto Escalar Producto Vectorial

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA: PRODUCTO ESCALAR.

4. PRODUCTO ESCALAR
c
+ =
− =
=
u v w
u v x
u v
Suma → Vector
Diferencia → Vector
Producto → Vector
por un escalar
Producto Escalar → Escalar

5. DEFINICIÓN
El producto escalar se conoce también como producto interno o
producto punto.

6. PROPIEDADES

7. EJEMPLO 1
Dado 4 2 3 , 5 2 , 3 7= + − = − − = + +u i j k v i j k w i j k
( )( ) ( )( ) ( )( )4 5 2 1 3 2
20 2 6 24
= + − + − −
= − + =
u.v
u.v
( )( ) ( )( ) ( )( )3 4 1 2 7 3
12 2 21 7
= + + −
= + − = −
w.u
w.u
( )( ) ( )( ) ( )( )5 3 1 1 2 7
15 1 14 0
= + − + −
= − − =
v.w
v.w
( )( ) ( )( ) ( )( )4 4 2 2 3 3
16 4 9 29
= + + − −
= + + =
u.u
u.u

8. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
0   
 es el ángulo entre dos vectores en
posición canónica o estándar.
2 2 2
2 Cos− = + −v u u v u v

9. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Si el ángulo entre dos vectores es, entonces:
Cos=u.v u v Producto Escalar

10. VECTORES ORTOGONALES
• Dos vectores son ortogonales
• Dos rectas o planos son perpendiculares
• Un vector es normal a una recta o plano
dado.
El vector 0 es ortogonal a cualquier vector u.

11. COSENOS DIRECTORES
Para un vector en el plano es conveniente medir su dirección en términos del ángulo
, , : ángulos de dirección de   v
Para un vector en el espacio es conveniente medir su dirección en términos de los
ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k.
Cos
Cos
Cos



cosenos directores de v

12. COSENOS DIRECTORES
1
Cos
v
 =
v
2
Cos
v
 =
v
3
Cos
v
 =
v
es el ángulo entre e v i
es el ángulo entre y v j
es el ángulo entre y v k

13. COSENOS DIRECTORES
v
v Es un vector unitario

14. PROYECCIONES Y COMPONENTES
VECTORIALES
1 2 Componentes vectoriales de= +F w w F
Descomponer un vector dado en la suma de
componentes vectoriales.
La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia
abajo de la rampa y contra la rampa.
w1 y w2 son ortogonales y se las llama componentes
vectoriales de F.

15. PROYECCIONES Y COMPONENTES
VECTORIALES

16. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA: PRODUCTO VECTORIAL.

17. DEFINICIÓN
El producto vectorial se conoce también como producto cruz.

18. DEFINICIÓN

19. PROPIEDADES ALGEBRAICAS

20. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

21. PRODUCTO MIXTO (TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

22. PREGUNTAS