Acceso Grado Superior. Matematicas. Tema Geometria. Angulos. Pitágoras

1. ACCESO GRADO SUPERIOR CICLO FORMATIVO
BLOQUE 3.- GEOMETRÍA
Tema 1.- Figuras planas y Cuerpos Elementales. Áreas y Volumenes. Escalas.
1.1. Figura plana. Áreas y Volumenes.
Definición: Las figuras planas son las que están limitadas por líneas rectas o curvas y
todos sus puntos están contenidos en un solo plano. Pueden ser cóncavas o convexas. Las
figuras planas limitadas por segmentos son polígonos. A su vez, los polígonos tienen lados,
vértices, ángulos y diagonales. De todas las figuras se puede calcular el área y su perímetro.

2. 1.1.a.- Caso Particular: Triángulo
1.1.b.- Teorema de Pitágoras:
Establece que: en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los
que conforman el ángulo recto).
C2
= a2
+ b2
1.1.c.- Definiciones:
La apotema de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de
sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio
de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado
El radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto
de dicha circunferencia.
El perímetro de una circunferencia es igual a su longitud L=2·π·radio.
Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus
lados iguales. Los vértices de un polígono regular están circunscritos en
una circunferencia

3. Si tuviesemos que hallar el área de una figura plana, observamos si esta está compuesta
por varias figuras planas simples, y calculamos el area por separado de cada una de ellas, para
finalmente sumarlas entre si.
Ejemplo:
1.1.d.- Unidades de medida. Equivalencias.
La unidad de medida en el S.I. Para la medida de la longitud es el METRO. Su símbolo es
m. Las equivalencias son:
El calculo de las áreas se expresará por tanto, en m2
. Hay una equivalencia particular en
las medida de las áreas:
- Hectareas: 1 hectarea (ha) equivale a 10.000 m2
ó 104
m2

4. Ejercicios:
1.-
2.- Un campo rectangular tiene 170m de base y 28m de altura. Calcular:
a) Las hectáreas que tiene
b) El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15€.
3.- Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan
para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.
4.- Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada
uno.
5.- El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm.
Calcula el área del triángulo.
6.- Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de
32m de largo y 30m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4m2.
7.- El área de un trapecio es 120m2, la altura 8m, y la base menor mide 10m.
¿Cuánto mide la otra base?
8.- Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2cm y su base mide 3 veces
más que su altura.
9.- Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10cm y cuya diagonal
menor es la mitad de la mayor.
10.- En el centro de un jardín cuadrado de 150m de lado hay una piscina también
cuadrada, de 25m de largo. Calcula el área del jardín.
11.- Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados
de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

5. 12.- Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el
área del hexágono es de 96 cm2.
13.- Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La
anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular
a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.
14.- Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un
ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.
15.- Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento
BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.
16.- Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de
pintura por m2.
17.- Hallar el perímetro y el área de la figura:

6. 1.2. Cuerpos Elementales. Áreas y Volumenes.
También denominados Figuras Geométricas o Cuerpos Geométricos, son aquellos que
estan formados por figuras planas elementales, y están representadas en tres dimensiones, es
decir, presentan volumen. Pueden ser de dos tipos: Poliedros y Cuerpos Redondos.
1.2.1. Poliedros: son sólidos geométricos de muchas caras, que contienen los siguientes
elementos: caras, aristas, vértices .
a) Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.
b) Aristas: Son los segmentos formados por la intersección de
dos (2) caras.
c) Vértices: Son los
puntos donde se interceptan 3 o
más aristas.

7. 1.2.2. Cuerpos Redondos: Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por
figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono. También se le llaman
sólidos de revolución, por formarse a partir de la revolución de figuras geométricas planas.

8. VOLUMEN DE UNA ESFERA:
Definiciones:
Area Lateral.- Es el area del cuerpo geómetro sin considerar su base.

9. Resumen:

10. Ejercicios
1.- Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de
largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
2.- Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la
piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.
a) Cuánto costará pintarla.
b) Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3.- En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de
alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?
4.- Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de
arista.
5.- Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2
y 48 l de
capacidad.
6.- Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma
cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
7.- Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y
la altura mide 125.66 cm. Calcular:
a) El área total.
b) El volumen.
8.- En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de
arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
9.- La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50m. Si restaurarla
tiene un coste de 300€ el m2
,¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
10.- ¿Cuántas losetas cuadradas de 20cm de lado se necesitan para recubrir las caras
de una piscina de 10m de largo por 6m de ancho y de 3m de profundidad?
11.- Un recipiente cilíndrico de 10cm de radio y 5cm de altura se llena de agua. Si la
masa del recipiente lleno es de 2kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
12.- Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto
cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15cm de radio y 25cm de
generatriz?
13.- Un cubo de 20cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera
de 20cm de radio?

11. 14.- Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5cm de arista.
15.- Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de
5cm de arista.
16.- Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5cm de arista.
17.- Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10cm de arista, sabiendo que
la apotema de una de sus caras mide 6.88cm.
18.- Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5cm de arista.
19.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un
rombo de de diagonales 12 y 18cm, y su altura es 24 cm.
20.- Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de
10cm de arista básica y 12cm de altura.
21.- Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16cm
de arista básica y 28cm de arista lateral.
22.- Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide
cuadrangular de aristas básicas 24 y 14cm, y de arista lateral 13cm.
23.- Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide
13cm y el radio de la base es de 5cm.
24.- Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4cm y el
radio de la base es de 3cm.
25.- Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de
radios 6 y 2cm, y de altura 10cm.
26.- Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios
12 y 10cm, y de generatriz 15cm.
27.- Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35cm de radio
mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21cm.
28.- Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2m de
altura.
29.- Calcular el volumen de una semiesfera de 10cm de radio.
30.- Calcula el área y el volumen del siguiente casquete
esférico de la imagen.
31.- Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas
circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre
ellas es de 5cm.

12. 1.3. Escalas
Definición: La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales
y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la relación de proporción
que existe entre las medidas de un mapa con las originales.
E = Medida Plano / Medida Real
1.3.1.- Representación
Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del plano y
el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo, la escala 1:500, significa que 1cm del plano
equivale a 5m en la realidad.
• Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1, 75:1
1.3.2.- Tipos de Escalas
Existen tres tipos de escalas llamadas:
• Escala natural: Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide
con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la
mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural; es decir, escala
1:1.
• Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la
realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas
(E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser
escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una
dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.
• Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy
pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que
el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el
valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1.

13. Ejercicios:
1.- ¿Qué distancia real, medida en kilómetros, hay entre dos ciudades que están separadas por 40
cm en un mapa a escala 1:500.000?
2.- ¿Cuál es la escala en la que está construido un mapa sabiendo que 80 km en la realidad
vienen representados por 2 cm en el mapa?
3.- ¿A cuántos kilómetros corresponden 15 centímetros en un mapa a escala 1:50.000?
4.- Si en un mapa a escala 1: 50.000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos cm los
separarán en un mapa a escala 1:100.000?
5.- Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la escala
numérica de ese mapa?
6.- Observa el plano de la habitación de Sonia:
a) Teniendo en cuenta que el plano de la habitación está dibujado sobre una cuadrícula
donde las dimensiones de cada celda son de 50 x 50 (cm.). ¿Cuáles son las dimensiones
aproximadas de la alfombra?
b) Halla la escala a la que esta representado el dibujo, teniendo en cuenta las dimensiones
reales de las celdas.
c) Sonia quiere cambiar de color la pintura de la pared de al lado de la puerta. La altura de
la habitación es de 260 centímetros. Por otra parte, la pintura plástica cuesta 6,3€ el litro y le han
dicho en la tienda que tendrá que dar dos manos y que necesitará algo menos de un litro por cada
20 m2, ¿cuánto necesitaría gastar en pintura?

14. 7.- Hemos representado el circuito de Bahrein a escala 1:10.000 sobre una cuadrícula cuyos
cuadrados son de 1cm. x 1cm.
a) ¿Cuánto mide aproximadamente la recta principal en metros?
b) Con ayuda del gráfico anterior puedes estimar la longitud de la recta D, ¿cuánto mide
aproximadamente la recta D, en metros?
c) Con ayuda del gráfico del circuito a escala 1:10.000 y la cuadrícula de 1cm. x 1cm.
sobre la que se representa, ¿cuál es aproximadamente la superficie en m2 que encierra la pista?