Unidad7

7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
P A R A E M P E Z A R
¿Indica razonadamente la medida de los ángulos Cˆ, Dˆ, Eˆ y Fˆ de la figura.
Como los ángulos de un triángulo suman 180Њ, tenemos que:
Cˆ ϭ 180Њ Ϫ (Aˆ ϩ Bˆ) ϭ 180Њ Ϫ 110Њ ϭ 70Њ
Como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, se verifica que:
Fˆ ϭ Aˆ ϭ 50Њ
Como los ángulos de lados paralelos son iguales, se cumple que:
Dˆ ϭ Bˆ ϭ 60Њ y Eˆ ϭ Cˆ ϭ 70Њ
Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ángulos
que resultan al dividir un círculo en:
a) 7 partes iguales b) 13 partes iguales
a) 360Њ : 7 ϭ 51Њ 25Ј 43Љ b) 360Њ : 13 ϭ 27Њ 41Ј 32Љ
En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 10 centímetros. Calcula la medida de los cate-
tos y de los ángulos agudos.
Para obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pitágoras:
102
ϭ x2
ϩ x2
⇒ 100 ϭ 2x2
⇒ x ϭ ͙50ෆ ϭ 7,07 cm
Los dos ángulos agudos de un triángulo isósceles son iguales, para obtener su medida utilizamos el he-
cho de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180Њ.
Cˆ ϭ Bˆ ϭ ᎏ
180Њ
2
Ϫ Aˆ
ᎏ ϭ ᎏ
180Њ
2
Ϫ 90Њ
ᎏ ϭ 45Њ
La maqueta de LEGO del estadio Allianz Arena está construida a escala 1 : 50, es decir, un metro de la
maqueta equivale a 50 metros del estadio real. Observa las dimensiones reales y calcula cuánto mide el
de la maqueta.
Largo del terreno de juego en la maqueta: 105 : 50 ϭ 2,1 m
Ancho del terreno de juego en la maqueta: 68 : 50 ϭ 1,36 m
4
3
2
1
4
50º
60º
A
B
C
^E
^D
^F
A
B
C
x
x
10 cm
105 m
68m

Teorema de Tales
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelas al seg-
mento BC3 por C2 y C1, que cortan el segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B
son iguales.
Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales.
llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 , C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan
paralelas al segmento BC7 por C6, C5, C4 , C3, C2 y C1, que cortan el segmento AB en D6, D5, D4 , D3, D2 y D1, respectivamente. El
teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2, D2D3, D3D4, D4D5, D5D6 y D6B son iguales.
Divide un segmento de 6 centímetros de longitud en nueve partes iguales.
Si se procede de un modo similar al de las dos actividades anteriores obtenemos:
A D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
B
C9
C8
C7
C6
C5
C4
C3
C2
C1
6 cm
7.3
A D1 D2 D3 D4 D5 D6
B
10 cm
C7
C6
C5
C4
C3
C2
C1
7.2
A B
C1
C2
C3
D2D1
6,4 cm
7.1
5

a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente.
b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC de razón 2 y ᎏ
1
4
ᎏ.
a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido.
b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con un com-
pás llevamos sobre ellos la medida de los lados.
Para construir el triángulo APQ semejante a ABC de razón ᎏ
1
4
ᎏ nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cuatro
segmentos iguales. Procediendo de un modo similar al de la actividad 7.1, dividimos el lado AB en cuatro partes iguales, de
este modo obtenemos el vértice P. Para obtener el tercer vértice trazamos por P una paralela al lado BC, el punto de corte
con AC nos proporciona el vértice Q.
B
A CQ
P
C1
C2
C3
C4
B
A C
M
N
1)
A C N
M
B
2)
30 cm
18
cm
24
cm
1)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A C
B
A C
A B
2) 3)
4) B5) 6)
B C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A C
9 cm 12 cm
15 cm
7.4
6

Ejercicio resuelto
Divide un segmento de 5 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 1, 2 y 3.
Sea AB un segmento de 5 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan
los segmentos AAЈ, AЈAЉ y AЉAЉЈ, de longitudes 1, 2 y 3 centímetros, respectivamente. Se une AЉЈ con B y se trazan paralelas a
este segmento por los puntos AЈ y AЉ, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que
AM, MN y NB son proporcionales a 1, 2 y 3.
Divide un segmento de 13 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 5.
Sea AB un segmento de 13 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan
los segmentos AAЈ, AЈAЉ y AЉAЉЈ, de longitudes 2, 3 y 5 centímetros, respectivamente. Se une AЉЈ con B y se trazan paralelas a
este segmento por los puntos AЈ y AЉ, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que
AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 5.
Divide un segmento de 7 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a ᎏ
1
2
ᎏ, 2 y 3.
Esta actividad es equivalente a dividir un segmento en tres partes proporcionales a 1, 4 y 6. Por tanto, trazamos AB, un seg-
mento de 7 centímetros de longitud, y procedemos de un modo análogo al de las dos actividades anteriores.
A M N
A’’’
A’’
A’1 cm
4 cm
6 cm
7 cm
B
7.7
A M N B
A’’’
A’’
A’
2 cm
3 cm
5 cm
13 cm
7.6
M N BA
A'''
A''
A'
5 cm
1 cm
2 cm
3 cm
7.5
7

P A R A A P L I C A R
a) Dos cuadriláteros son semejantes con razón de semejanza 3. ¿Qué razón de proporcionalidad hay en-
tre sus perímetros?
Sean a, b, c, d y aЈ, bЈ, cЈ, dЈ los lados de los dos cuadriláteros.
Por ser semejantes con razón de semejanza 3, se cumple que:
ᎏ
a
a
Ј
ᎏ ϭ ᎏ
b
b
Ј
ᎏ ϭ ᎏ
c
c
Ј
ᎏ ϭ ᎏ
d
d
Ј
ᎏ ϭ 3 ⇒ a ϭ 3aЈ b ϭ 3bЈ c ϭ 3cЈ d ϭ 3dЈ
De este modo comprobamos que la razón entre sus perímetros también es 3:
ᎏ
aЈ
a
ϩ
ϩ
b
b
Ј
ϩ
ϩ
c
cЈ
ϩ
ϩ
d
dЈ
ᎏ ϭ ϭ ϭ 3
b) Generaliza el resultado anterior para dos polígonos semejantes con razón de semejanza k.
Del mismo modo que en el apartado anterior, se comprueba que si dos polígonos son semejantes con razón de semejanza k, la
razón de proporcionalidad entre sus perímetros es también k.
Las medidas de los lados de un rectángulo son 3 y 5 centímetros. Calcula los lados de otro rectángulo
semejante al anterior que tenga 40 centímetros de perímetro.
El perímetro del rectángulo dado es de 16 cm. La razón de semejanza entre las figuras será ᎏ
4
1
0
6
ᎏ ϭ 2,5.
De este modo, los lados del rectángulo serán 3 и 2,5 ϭ 7,5 cm y 5 и 2,5 ϭ 12,5 cm, respectivamente.
La figura muestra las escaleras mecánicas de un centro comercial.
Calcula la distancia x que se indica.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que:
ᎏ
1
x
0
ᎏ ϭ ᎏ
20
2
Ϫ
0
8
ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ
10
2
и
0
12
ᎏ ϭ 6 m
Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras.
a) b)
Aplicando en ambos casos el teorema de Tales tenemos que:
a) ᎏ
2
5
ᎏ ϭ ᎏ
4
x
ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ
2
5
и 4
ᎏ ϭ 1,6 m
b) ᎏ
2
5
ᎏ ϭ ᎏ
y
x
ᎏ ϭ ᎏ
6 Ϫ
x
x
ᎏ ⇒
Así: x ϭ ᎏ
1
7
2
ᎏ m y ϭ 6 Ϫ ᎏ
1
7
2
ᎏ ϭ ᎏ
42 Ϫ
7
12
ᎏ ϭ ᎏ
3
7
0
ᎏ m
5 m
2 m
2
m
x
4 m
5
m
y
x
6m
7.11
2.ª PLANTA
x
1.ª PLANTA
SÓTANO
20m
10 m
8m
7.10
7.9
3(aЈ ϩ bЈ ϩ cЈ ϩ dЈ)
ᎏᎏᎏ
aЈ ϩ bЈ ϩ cЈ ϩ dЈ
3aЈ ϩ 3bЈ ϩ 3cЈ ϩ 3dЈ
ᎏᎏᎏ
aЈ ϩ bЈ ϩ cЈ ϩ dЈ
7.8
8
12 Ϫ 2x ϭ 5x
Άy ϭ 6 Ϫ x

En la figura se muestran dos cuadrados de 2 y 5 centímetros de lados, respectivamente.
Calcula el área de la región sombreada.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud x de la figura viene
dada por:
ᎏ
5
x
ᎏ ϭ ᎏ
2
7
ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ
1
7
0
ᎏ ϭ 1,43 cm
El área pedida es ϭ ᎏ
1
7
0
ᎏ cm2
Criterios de semejanza de triángulos
Ejercicio resuelto
Calcula la medida de los lados AC y EF para que los triángulos ABC y DEF sean semejantes.
Por el tercer criterio de semejanza, los dos triángulos serán semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Como AB y DE
son lados homólogos, calculamos la razón de semejanza de los triángulos ᎏ
A
D
B
E
ᎏ ϭ ᎏ
7
5
ᎏ ϭ 1,4.
Por tanto, ᎏ
4
A
,
C
2
ᎏ ϭ 1,4 y ᎏ
3
E
,
F
4
ᎏ ϭ 1,4
Así, AC ϭ ᎏ
4
1
,
,
2
4
ᎏ ϭ 3 cm y EF ϭ 1,4 и 3,4 ϭ 4,76 cm
Calcula el valor de los lados desconocidos para que las siguientes parejas de triángulos sean semejan-
tes.
a) 3, 4, 6 5, x, y
b) x, 5, 3 10, 10, y
c) 4, x, 12 y, 3x, z
a) La razón de semejanza es ᎏ
5
3
ᎏ ϭ 1,6
៣
, por lo que x ϭ 4 и 1,6
៣
ϭ 6,6
៣
e y ϭ 6 и 1,6
៣
ϭ 10.
b) La razón de semejanza es ᎏ
1
5
0
ᎏ ϭ 2, por lo que 2x ϭ 10 ⇒ x ϭ 5 e y ϭ 3 и 2 ϭ 6.
c) La razón de semejanza es ᎏ
3
x
x
ᎏ, por lo que y ϭ 4 и 3 ϭ 12 y z ϭ 4 и 12 ϭ 48.
El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triángulo con dichas longitudes, es decir, 8 Ͻ x Ͻ 16.
7.14
A
B
C D
E
F
5 cm 3,4 cm
7 cm
4,2 cm
7.13
ᎏ
1
7
0
ᎏ и 2
ᎏ
2
5 cm
2 cm 5 cm
x
7.12
9

En los siguientes casos se conocen las medidas de dos ángulos de cada uno de los dos triángulos. Indi-
ca cuáles son semejantes y cuáles no.
a) 50؇, 40؇ 40؇, 90؇
b) 25؇, 30؇ 30؇, 135؇
c) 50؇, 50؇ 50؇, 80؇
d) 50؇, 60؇ 60؇, 70؇
a) Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180Њ, los ángulos del primer triángulo son 50Њ, 40Њ y 90Њ, mientras que los
del segundo serán 40Њ, 90Њ y 50Њ. Como los triángulos tienen los mismos ángulos, aplicando el primer criterio de semejanza
tenemos que son semejantes.
b) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 125Њ. Como no coinciden dos ángulos con el otro triángulo, no son seme-
jantes.
c) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 80Њ. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo, el primer criterio de
semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes.
d) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 70Њ. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo, son semejantes.
Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para explicar si las siguientes afirmaciones son verdade-
ras o falsas.
a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
c) Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo desigual, entonces son semejantes.
a) Verdadera. Los triángulos equiláteros tienen los tres lados correspondientes proporcionales; por tanto, el tercer criterio de se-
mejanza nos permite asegurar que son semejantes.
b) Falsa.
c) Verdadera. Los triángulos isósceles tienen dos pares de lados proporcionales; si además tienen el mismo ángulo desigual, en-
tonces el segundo criterio de semejanza nos permite asegurar que son semejantes.
Problema resuelto
Si un edificio de 100 metros de altura proyecta una sombra de 24 metros, ¿qué altura tendrá otro edi-
ficio que en ese mismo instante deje una sombra de 15 metros?
Como en un mismo instante la inclinación de los rayos solares es la misma, los triángulos de la figura tienen dos ángulos igua-
les. Así, por el primer criterio de semejanza, los dos triángulos son semejantes. Por tanto, los lados han de ser proporcionales:
ᎏ
1
h
00
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
4
5
ᎏ ⇒ h ϭ ᎏ
15
2
0
4
0
ᎏ ϭ 62,5
El edificio mide 62,5 metros de altura.
7.17
7.16
7.15
10

En un instante determinado, una persona de 1,72 metros de altura proyecta una sombra de 0,23 me-
tros. En ese mismo momento, la sombra de un árbol es de 1,34 metros. ¿Qué altura tiene este?
Los triángulos que se forman son semejantes, ya que ambos son rectángulos y la inclinación de los rayos solares es la misma si
la medición se realiza en el mismo instante. En consecuencia, los lados han de ser proporcionales y tendremos que:
ᎏ
1,
h
72
ᎏ ϭ ᎏ
0
1
,
,
2
3
3
4
ᎏ ⇒ h ϭ ᎏ
1,72
0,
и
23
1,34
ᎏ ϭ 10,02 m
Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para calcular la anchura del río de la figura.
Los triángulos de la figura son rectángulos y además tienen dos ángulos opuestos por el vértice; por tanto, tienen dos ángulos
correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que: ᎏ
1
h
,5
ᎏ ϭ ⇒ h ϭ 7,75 m
Dibuja un triángulo rectángulo ABC. Traza el triángulo MNP que se obtiene al unir los puntos medios
de los lados del triángulo ABC. ¿Qué criterio de semejanza aplicarías para probar que los dos triángu-
los son semejantes?
Las siguientes parejas de lados son paralelos:
AC y NP AB y MP CB y MN
Por ser ángulos de lados paralelos tenemos las siguientes igualdades de ángulos: Nˆ ϭ Cˆ, Mˆ ϭ Bˆ y Pˆ ϭ Aˆ. El primer criterio de
semejanza de triángulos nos asegura que los dos triángulos son semejantes.
A
B
CM
N P
7.20
30
ᎏᎏ
͙62
Ϫ 1ෆ,52
ෆ
h
30 m 6 m 1,5 m
7.19
1,34 m
1,72 m
0,23 m
h
7.18
11

Las carreteras que unen tres pueblos A, B y C forman un triángulo rectángulo en B tal y como indica la
figura. Los tres pueblos comparten un gran centro cultural situado en el punto P, que es la base de
la altura sobre la hipotenusa. Para mejorar las comunicaciones se construye una carretera circular que
pasa por B, C y P. Calcula el radio de esa carretera.
Como el triángulo PBC es rectángulo en P, la hipotenusa BC es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. El
radio de dicha circunferencia será r ϭ ᎏ
1
2
ᎏBC.
Los triángulos PBC y PBA tienen ambos un ángulo recto y dos ángulos de lados perpendiculares; por tanto, tienen dos ángulos
correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos asegura que son triángulos semejantes.
Así tenemos que: ᎏ
A
BC
B
ᎏ ϭ ᎏ
P
P
A
B
ᎏ.
Por tanto, r ϭ ᎏ
1
2
ᎏBC ϭ ᎏ
1
2
ᎏ ᎏ
PB
P
и
A
AB
ᎏ ϭ ᎏ
͙532
2
Ϫ
и
ෆ
2
2
8
82
ෆ и 53
ᎏ ϭ ᎏ
45
5
и
6
53
ᎏ ϭ 42,59 km.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Ejercicio resuelto
a) Comprueba que los triángulos ABC y A؅B؅C؅ son semejantes.
b) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Bˆ؅.
c) Trata de explicar los resultados obtenidos.
a) Comprobamos que verifican el tercer criterio de semejanza.
ᎏ
9
6
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
1
7
0
,
,
2
8
1
2
ᎏ ϭ 1,5 ⇒ ABC y AЈBЈCЈ son semejantes.
b) sen Bˆ ϭ ᎏ
ca
h
te
ip
to
ot
o
en
p
u
u
s
e
a
sto
ᎏ ϭ ᎏ
10
6
,82
ᎏ ϭ 0,55; sen BˆЈ ϭ ᎏ
7,
4
21
ᎏ ϭ 0,55
cos Bˆ ϭ ᎏ
cat
h
e
i
t
p
o
ot
c
e
o
n
n
u
t
s
ig
a
uo
ᎏ ϭ ᎏ
10
9
,82
ᎏ ϭ 0,83; cos BˆЈ ϭ ᎏ
7,
6
21
ᎏ ϭ 0,83
tg Bˆ ϭ ᎏ
c
c
a
a
t
t
e
e
t
t
o
o
c
o
o
p
n
u
t
e
ig
s
u
to
o
ᎏ ϭ ᎏ
6
9
ᎏ ϭ 0,67; tg BˆЈ ϭ ᎏ
4
6
ᎏ ϭ 0,67
c) En los triángulos semejantes, los lados homólogos son proporcionales. Por tanto, las razones trigonométricas son iguales en
todos los triángulos rectángulos semejantes.
Ejercicio resuelto
Con ayuda de la calculadora, halla el valor de x en los siguientes casos.
a) sen 40؇ ‫؍‬ x b) cos 55؇ ‫؍‬ x c) cos x ‫؍‬ 0,5469 d) tg x ‫؍‬ 0,6494
a) x ϭ 40 ϭ 0,6428
b) x ϭ 55 ϭ 0,5736
c) x ϭ 0,5469 ϭ 56,8454Њ ϭ 56Њ 51Ј
d) x ϭ 0,6494 ϭ 33ЊTAN–1
COS–1
COS
SEN
7.23
6
ᎏ
4
9 cm 10,82 cm
6 cm
6 cm
4 cm
7,21 cm
A C
B
B’
A’ C’
7.22
28 km
53 km
A
B
P
C
O
7.21
12

Utilizando la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas.
a) sen 74؇ c) tg 20؇ e) tg 13؇
b) cos 65؇ d) cos 59؇ f) sen 35؇
a) sen 74Њ ϭ 0,9613 c) tg 20Њ ϭ 0,364 e) tg 13Њ ϭ 0,2309
b) cos 65Њ ϭ 0,4226 d) cos 59Њ ϭ 0,515 f) sen 35Њ ϭ 0,5736
Con ayuda de la calculadora, halla la medida de los ángulos cuyas razones trigonométricas son las si-
guientes:
a) sen Aˆ = 0,5 d) sen Dˆ = 0,7771
b) cos Bˆ = 0,5 e) cos Eˆ = 0,97437
c) tg Cˆ = 1 f) tg Fˆ = 5,14455
a) Aˆ ϭ 0,5 ϭ 30Њ d) Dˆ ϭ 0,7771 ϭ 51Њ
b) Bˆ ϭ 0,5 ϭ 60Њ e) Eˆ ϭ 0,97437 ϭ 13Њ
c) Cˆ ϭ 1 ϭ 45Њ f) Fˆ ϭ 5,14455 ϭ 79Њ
Ejercicio resuelto
Calcula la medida del ángulo Bˆ.
La razón trigonométrica que relaciona Bˆ con los datos de la figura es el coseno.
cos Bˆ ϭ ᎏ
1
8
2
ᎏ ϭ 0,666
Bˆ ϭ 0,666 ϭ 48,189Њ ϭ 48Њ 11Ј 23Љ
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la fi-
gura.
a) b)
a) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa: BC ϭ ͙32
ϩ 4ෆ2
ෆ ϭ 5 cm.
Las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Cˆ son:
sen Bˆ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ ϭ 0,8; cos Bˆ ϭ ᎏ
3
5
ᎏ ϭ 0,6; tg Bˆ ϭ ᎏ
4
3
ᎏ ϭ 1,3
sen Cˆ ϭ ᎏ
3
5
ᎏ ϭ 0,6; cos Cˆ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ ϭ 0,8; tg Cˆ ϭ ᎏ
3
4
ᎏ ϭ 0,75
3 cm
4 cm
13 cm
12 cmA C
B
A C
B
7.27
COS–1
7.26
TAN–1
TAN–1
COS–1
COS–1
SEN–1
SEN–1
7.25
7.24
13
8 cm
12 cm
B A
C

b) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el cateto desconocido: AB ϭ ͙132
Ϫෆ122
ෆ ϭ 5 cm.
Las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Cˆ son:
sen Bˆ ϭ ᎏ
1
1
2
3
ᎏ ϭ 0,9231; cos Bˆ ϭ ᎏ
1
5
3
ᎏ ϭ 0,3846; tg Bˆ ϭ ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ 2,4
sen Cˆ ϭ ᎏ
1
5
3
ᎏ ϭ 0,3846; cos Cˆ ϭ ᎏ
1
1
2
3
ᎏ ϭ 0,9231; tg Cˆ ϭ ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ 4,16v
Calcula la medida de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la actividad anterior.
a) sen Bˆ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ ϭ 0,8 ⇒ Bˆ ϭ 0,8 ϭ 53,13Њ ϭ 53Њ 07Ј 48Љ
cos Cˆ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ ϭ 0,8 ⇒ Cˆ ϭ 0,8 ϭ 36,87Њ ϭ 36Њ 52Ј 12Љ
b) sen Bˆ ϭ ᎏ
1
1
2
3
ᎏ ϭ 0,9231 ⇒ Bˆ ϭ 0,9231 ϭ 67,38Њ ϭ 67Њ 23Ј
cos Cˆ ϭ ᎏ
1
1
2
3
ᎏ ϭ 0,9231 ⇒ Cˆ ϭ 0,9231 ϭ 22,62Њ ϭ 22Њ 36Ј 59Љ
Problema resuelto
Calcula la altura aproximada de la antena.
La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos es la tangente:
tan 35Њ ϭ ᎏ
c
c
a
a
t
t
e
e
t
t
o
o
c
o
o
p
n
u
t
e
ig
s
u
to
o
ᎏ ϭ ᎏ
2
x
0
ᎏ ϭ 0,7002
x ϭ 20 и 0,7002 ϭ 14,004
La antena mide, aproximadamente, 14 metros.
Calcula la altura aproximada de los árboles de la figura.
a) b)
a) tg 65Њ ϭ ᎏ
h
8
ᎏ ⇒ h ϭ 8 и tg 65Њ ϭ 17,16 m
b) sen 25Њ ϭ ᎏ
1
h
0
ᎏ ⇒ h ϭ 10 и sen 25Њ ϭ 4,23 m
25°
10m
h
8m
65°
h
7.30
35°
20 m
x
7.29
COS–1
SEN–1
COS–1
SEN–1
7.28
14

Una ONG ha decidido construir un puente sobre un río para comunicar dos pueblos de las orillas. Cal-
cula la longitud aproximada del puente con los datos de la figura.
Si llamamos x a la anchura del río, tenemos que: cos 50Њ ϭ ᎏ
5
x
5
ᎏ ⇒ x ϭ 55 и cos 50Њ ϭ 35,35 m.
Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo aproximado que forman los rayos solares con la superficie
del suelo en el momento en que una estatua de 2 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros.
Representamos gráficamente la situación:
La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos
es la tangente.
tg ␣ ϭ ᎏ
2
4
ᎏ ϭ 0,5
Así tenemos que:
␣ ϭ 0,5 ϭ 26,57Њ ϭ 26Њ 33Ј 54Љ
La siguiente señal de tráfico significa que por cada 100 metros que se avanza en la horizontal se sube
un desnivel de 13 metros. Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo que forma en ese momento la
carretera con la horizontal.
Representamos gráficamente la situación.
La razón trigonométrica del ángulo Aˆ que relaciona los datos del enunciado
es el seno: sen Aˆ ϭ ᎏ
1
1
0
3
0
ᎏ ϭ 0,13.
Utilizando la calculadora hallamos el ángulo:
Aˆ ϭ 0,13 ϭ 7,47Њ ϭ 7Њ 28Ј 10Љ
Relaciones entre las razones trigonométricas
Ejercicio resuelto
El seno de un ángulo agudo vale 0,32. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo.
Como ␣ es un ángulo agudo y sen ␣ ϭ 0,32, por la primera relación fundamental:
sen2
␣ ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒ 0,322
ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒ cos2
␣ ϭ 1 Ϫ 0,1024 ϭ 0,8976 ⇒
⇒ cos ␣ ϭ ͙0,8976ෆ ϭ 0,9474
Por la segunda relación fundamental: tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ᎏ
0
0
,9
,3
4
2
74
ᎏ ϭ 0,3378
7.34
SEN–1
A
B
C
13 m
100 m
7.33
TAN–1
2 m
4 m
α
7.32
50° 55 m
7.31
15

El coseno de un ángulo agudo vale 0,5. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo.
Como ␣ es un ángulo agudo y cos ␣ ϭ 0,5 por la primera relación fundamental:
sen2
␣ ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒ sen2
␣ ϩ 0,52 ϭ 1 ⇒ sen2
␣ ϭ 1 Ϫ 0,25 ϭ 0,75 ⇒
⇒ sen ␣ ϭ ͙0,75ෆ ϭ 0,866
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ᎏ
0,
0
8
,
6
5
6
ᎏ ϭ 1,732
Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su coseno tiene los siguientes valores.
a) 0,127 b) 0,2588 c) 0,9135
a) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá ͙1 Ϫ (0ෆ,127)2
ෆ ϭ 0,992.
Su tangente valdrá tg ␣ ϭ sen ␣cos ␣ ϭ ᎏ
0
0
,
,
9
1
9
2
2
7
ᎏ ϭ 7,811.
b) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá ͙1 Ϫ (0ෆ,2588)2
ෆ ϭ 0,966.
Su tangente valdrá tg ␣ ϭ sen ␣cos ␣ ϭ ᎏ
0
0
,
,
2
9
5
6
8
6
8
ᎏ ϭ 3,73.
c) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá ͙1 Ϫ (0ෆ,9135)2
ෆ ϭ 0,4068.
Su tangente valdrá tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ᎏ
0
0
,
,
4
9
0
1
6
3
8
5
ᎏ ϭ 0,4453.
Ejercicio resuelto
El coseno de un ángulo agudo vale ᎏ
3
5
.
ᎏ Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo.
Por la relación fundamental tenemos que:
sen2
␣ ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒ sen ␣ ϭ ͙1 Ϫ coෆs2
␣ෆ
Así: sen ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ
๶͙
3
5ෆᎏ΃
2
๶ϭ
Ί1 Ϫ ᎏ
5
9
ᎏ
๶ϭ
Ίᎏ
4
9
ᎏ
๶ϭ ᎏ
2
3
ᎏ
Por la segunda relación fundamental:
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
2
5ෆ
ᎏ
ᎏ
2
3
ᎏ
ᎏ
ᎏ
͙
3
5ෆᎏ
7.37
7.36
7.35
16

Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su seno tiene los siguientes va-
lores.
a) ᎏ
1
6
ᎏ b) ᎏ
3
4
ᎏ c) ᎏ
͙
5
7ෆᎏ d) ᎏ
͙
2
3ෆᎏ
Da los resultados en forma de expresiones radicales.
a) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ
๶1
6
ᎏ΃
2
๶ϭ
Ί1 Ϫ ᎏ
3
1
๶6
ᎏ
๶ϭ
Ίᎏ
3
3
5
6
ᎏ
๶ϭ ᎏ
͙
6
35ෆᎏ.
Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno.
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ϭ
b) Por la primera relación fundamental tenemos que:
cos ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ
๶3
4
ᎏ΃
2
๶ϭ
Ί1 Ϫ ᎏ
1
9
๶6
ᎏ
๶ϭ
Ίᎏ
1
7
6
ᎏ
๶ϭ ᎏ
͙
4
7ෆᎏ
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
3
7ෆ
ᎏ
c) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ
๶͙
5
7ෆᎏ΃
2
๶ϭ
Ί1 Ϫ ᎏ
2
7
๶5
ᎏ
๶ϭ
Ίᎏ
1
2
8
5
ᎏ
๶ϭ ᎏ
3͙
5
2ෆᎏ.
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ϭ
d) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ
๶͙
2
3ෆᎏ΃
2
๶ϭ
Ί1 Ϫ ᎏ
3
4
ᎏ
๶ϭ
Ίᎏ
1
4
ᎏ
๶ϭ ᎏ
1
2
ᎏ.
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ϭ ͙3ෆ
ᎏ
͙
2
3ෆᎏ
ᎏ
ᎏ
1
2
ᎏ
͙7ෆᎏ
3͙2ෆ
ᎏ
͙
5
7ෆᎏ
ᎏ
ᎏ
3͙
5
2ෆᎏ
ᎏ
3
4
ᎏ
ᎏ
ᎏ
͙
4
7ෆᎏ
1
ᎏ
͙35ෆ
ᎏ
1
6
ᎏ
ᎏ
ᎏ
͙
6
35ෆᎏ
7.38
17

Dibuja un triángulo rectángulo ABC sabiendo que tg Bˆ ‫؍‬ 2.
Como tg Bˆ ϭ ᎏ
c
c
a
a
t
t
e
e
t
t
o
o
c
o
o
p
n
u
t
e
ig
s
u
to
o
ᎏ ϭ ACAB ϭ 2 ⇒ AC ϭ 2AB
Cualquier triángulo rectángulo que verifique esta relación cumplirá
lo pedido.
Así, si, por ejemplo, AB ϭ 3 cm, entonces,
tomando AC ϭ 6 cm, tendremos que tg Bˆ ϭ 2.
Sabiendo que tg 35؇ ‫؍‬ 0,7, dibuja el ángulo a 5 35؇ sin ayuda de transportador, pero utilizando la de-
finición de tangente y teniendo en cuenta que 0,7 ‫؍‬ ᎏ
1
7
0
ᎏ.
Si dibujamos un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en Aˆ, tal que tg Bˆ ϭ 0,7, entonces será Bˆ ϭ 35Њ.
Como:
tg 35Њ ϭ ᎏ
c
c
a
a
t
t
e
e
t
t
o
o
c
o
o
p
n
u
t
e
ig
s
u
to
o
ᎏ ϭ ᎏ
A
A
C
B
ᎏ ϭ 0,7 ϭ ᎏ
1
7
0
ᎏ ϭ ᎏ
3
5
,5
ᎏ
bastará con que AC ϭ 3,5 cm y AB ϭ 5 cm.
Con la escuadra y el cartabón trazamos el triángulo pedido y com-
probamos luego con el transportador de ángulos que efectivamente
Bˆ ϭ 35Њ.
Si tg ␣ ‫؍‬ ᎏ
1
2
ᎏ, dibuja un triángulo rectángulo que cumpla esta condición y calcula las medidas de los lados.
A partir de estos lados halla sen ␣ y cos ␣.
Como tg ␣ ϭ ᎏ
c
c
a
a
t
t
e
e
t
t
o
o
c
o
o
p
n
u
t
e
ig
s
u
to
o
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ ⇒ cateto contiguo ϭ 2 cateto opuesto
Cualquier triángulo rectángulo que verifique esta relación cumplirá lo pedido. Así, si, por ejemplo:
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la medida de la hipotenusa: ͙62
ϩ 3ෆ2
ෆ ϭ ͙45ෆ ϭ 6,71 cm
Como el triángulo está dibujado con medidas reales, comprobamos que efectivamente la hipotenusa mide 6,71 cm.
Así: sen ␣ ϭ ᎏ
ca
h
te
ip
to
ot
o
en
p
u
u
s
e
a
sto
ᎏ ϭ ᎏ
6,
3
71
ᎏ ϭ 0,447; cos ␣ ϭ ᎏ
cat
h
e
i
t
p
o
ot
c
e
o
n
n
u
t
s
ig
a
uo
ᎏ ϭ ᎏ
6,
6
71
ᎏ ϭ 0,8942
6 cm
3 cm
α
7.41
AB
C
5 cm
3,5 cm
35Њ
7.40
A
B
C
3 cm
6 cm
7.39
18

E J E R C I C I O R E S U E L T O
Si ␣ es un ángulo agudo y su tangente vale 2,73. ¿Cuánto valen las otras razones?
tg ␣ ϭ ᎏ
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ⇒ sen ␣ ϭ 2,73 и cos ␣
Se sustituye en la primera relación fundamental.
(2,73 cos ␣)2
ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒
⇒ 7,4529 cos2
␣ ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒
⇒ 8,4529 cos2
␣ ϭ 1 ⇒ cos ␣ ϭ
Ίᎏ
8,4
1
529
ᎏ
๶ϭ 0,344
Se calcula el seno.
sen ␣ ϭ 2,73 и cos ␣ ϭ 2,73 и 0,344 ϭ 0,939
Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo sabiendo que su tangente tiene los siguientes valores.
a) 1,53
b) 6,45
c) 0,87
a) El coseno del ángulo valdrá: cos ␣ ϭ
Ίᎏ
(1,52)
1
2
๶ϩ 1
ᎏ
๶ϭ 0,547.
Hallamos el seno: sen ␣ ϭ tg ␣ . cos ␣ ϭ 1,53 и 0,547 ϭ 0,837.
b) El coseno del ángulo valdrá: cos ␣ ϭ
Ίᎏ
(6,45)
1
2
๶ϩ 1
ᎏ
๶ϭ 0,1532.
Hallamos el seno: sen ␣ ϭ tg ␣ и cos ␣ ϭ 6,45 и 0,1532 ϭ 0,988.
c) El coseno del ángulo valdrá: cos ␣ ϭ
Ίᎏ
(0,87)
1
2
๶ϩ 1
ᎏ
๶ϭ 0,7544.
Hallamos el seno: sen ␣ ϭ tg ␣ и cos ␣ ϭ 0,87 и 0,7544 ϭ 0,6563.
La tangente de un ángulo agudo vale ᎏ
3
2
ᎏ. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo y expresa los
resultados mediante fracciones y radicales.
El coseno del ángulo valdrá: cos ␣ ϭ
Ί๶ϩ 1 ϭ
Ί๶ϭ ϭ .
El seno valdrá: sen ␣ ϭ tg ␣ и cos ␣ ϭ ᎏ
3
2
ᎏ и ϭ .
3
ᎏ
͙13ෆ
2
ᎏ
͙13ෆ
2
ᎏ
͙13ෆ
1
ᎏ
ᎏ
1
4
3
ᎏ
1
ᎏ
ᎏ
9
4
ᎏ ϩ 1
1
ᎏ
΂ᎏ
3
2
ᎏ΃
2
7.44
7.43
7.42
19

Dibuja un triángulo equilátero de lado x y traza su altura. Aplica el teorema de Pitágoras a uno de los
triángulos rectángulos obtenidos y calcula las razones trigonométricas de los ángulos de 30؇ y 60؇. Com-
prueba los resultados con la calculadora.
Con el teorema de Pitágoras expresamos la altura en función del lado.
h ϭ
Ίx2
Ϫ ΂๶ᎏ
2
x
ᎏ΃
2
๶ϭ ᎏ
x͙
2
3ෆᎏ
Calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 60Њ.
sen 60Њ ϭ ᎏ
h
x
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
2
3ෆᎏ
cos 60Њ ϭ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ
tg 60Њ ϭ ϭ ϭ ͙3ෆ
sen 30Њ ϭ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ cos 30Њ ϭ ᎏ
h
x
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
2
3ෆᎏ tg 30Њ ϭ ϭ ϭ
Comprobamos con la calculadora los resultados obtenidos.
sen 60Њ ϭ cos 30Њ ϭ 0,866 ϭ ᎏ
͙
2
3ෆᎏ cos 60Њ ϭ sen 30Њ ϭ 0,5 ϭ ᎏ
1
2
ᎏ
tg 60Њ ϭ 1,732 ϭ ͙3ෆ tg 30Њ ϭ 0,5774 ϭ
Razona como en la actividad anterior sobre el triángulo de la figura para obtener las razones trigono-
métricas de un ángulo de 45؇. Comprueba los resultados con la calculadora.
Con el teorema de Pitágoras expresamos la hipotenusa en función de los lados iguales del triángulo isósceles.
BC ϭ ͙x2
ϩ xෆ2
ෆ ϭ x͙2ෆ
sen 45Њ ϭ cos 45Њ ϭ ᎏ
B
x
C
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
1
2ෆ
ᎏ tg 45Њ ϭ ᎏ
x
x
ᎏ ϭ 1
Comprobamos con la calculadora los resultados obtenidos.
sen 45Њ ϭ cos 45Њ ϭ 0,7071 ϭ ᎏ
͙
1
2ෆ
ᎏ tg 45Њ ϭ 1
x
ᎏ
x͙2ෆ
45º
x
CA
B
x
7.46
1
ᎏ
͙3ෆ
1
ᎏ
͙3ෆ
ᎏ
2
x
ᎏ
ᎏ
ᎏ
x͙
2
3ෆᎏ
ᎏ
2
x
ᎏ
ᎏ
h
ᎏ
x͙
2
3ෆᎏ
ᎏ
x
ᎏ
2
x
ᎏ
ᎏ
x
ᎏ
x͙
2
3ෆᎏ
ᎏ
ᎏ
2
x
ᎏ
h
ᎏ
ᎏ
2
x
ᎏ
ᎏ
2
x
ᎏ
ᎏ
x
ᎏ
x͙
2
3ෆᎏ
ᎏ
x
h
30Њ
60Њ
x–
2
x x
7.45
20

Con ayuda de la calculadora, halla los valores de las expresiones A y B.
A ‫؍‬ sen 45؇ ؉ sen 45؇
B ‫؍‬ sen (45؇ ؉ 45؇)
Explica razonadamente si la siguiente fórmula es verdadera o falsa.
2sen ␣ ϭ sen(2␣)
Obtenemos el valor de las expresiones:
A ϭ sen 45Њ ϩ sen 45Њ ϭ ϭ ͙2ෆ
B ϭ sen (45Њ ϩ 45Њ) ϭ sen (90Њ) ϭ 1
Así, si tomamos como ␣ ϭ 45Њ, tenemos que:
A ϭ sen 45Њ ϩ sen 45Њ ϭ 2 и sen 45Њ ϭ ͙2ෆ
B ϭ sen (45Њ ϩ 45Њ) ϭ sen (2 и 45Њ) ϭ 1
Por lo que A B, lo que demuestra que la fórmula indicada es por lo general falsa.
Explica razonadamente si las siguientes fórmulas son verdaderas o falsas.
a) sen ␣ ؉ sen ␤ ‫؍‬ sen (␣ ؉ ␤)
b) cos ␣ ؉ cos ␤ ‫؍‬ cos (␣ ؉ ␤)
Ambas son falsas. Basta con considerar, por ejemplo, ␣ ϭ 30Њ y ␤ ϭ 60Њ.
En este caso, ␣ ϩ ␤ ϭ 90Њ
a) sen 30Њ ϩ sen 60Њ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ ϩ ᎏ
͙
2
3ෆᎏ ϭ ᎏ
1 ϩ
2
͙3ෆᎏ 1 ϭ sen 90Њ
b) cos 30Њ ϩ cos 60Њ ϭ ᎏ
͙
2
3ෆᎏ ϩ ᎏ
1
2
ᎏ ϭ ᎏ
͙3ෆ
2
ϩ 1
ᎏ 0 ϭ cos 90Њ
Matemáticas aplicadas
Construye un medidor de ángulos y utilízalo para calcular las siguientes alturas.
a) La del edificio donde vives.
b) La de la torre de alguna iglesia de tu ciudad.
c) La del árbol más alto cercano a tu casa.
Para resolver esta actividad se procede del mismo modo que en el ejemplo resuelto en la teoría. Los resultados de cada alum-
no dependerán de los datos tomados en cada caso particular.
7.49
7.48
2͙2ෆᎏ
2
7.47
21

Actividades finales
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Utiliza el teorema de Tales para dividir un segmento de 7 centímetros de longitud en 9 partes iguales.
llevan nueve segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2, C3, C4 C5, C6, C7, C8 y C9. Se une C9 con B y se tra-
zan paralelas al segmento BC9 por los extremos restantes. Estas paralelas cortan el segmento AB en D8, D7, …, D3, D2 y D1, res-
pectivamente.
El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2, D2D3, D3D4, D4D5, D5D6, D6D7, D7D8 y D8B son iguales.
Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los triángulos isósceles son semejantes.
b) Todos los cuadrados son semejantes.
c) Todos los paralelogramos son semejantes.
d) Todos los hexágonos regulares son semejantes.
e) Todos los polígonos regulares son semejantes.
f) Todas las circunferencias son semejantes.
a) Falsa. Los triángulos isósceles tienen dos pares de lados proporcionales; para ser semejantes tienen que tener además el mis-
mo ángulo desigual.
b) Verdadera, ya que todos los cuadrados tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales, ya que son todos rectos.
c) Falsa.
d) Verdadera, ya que todos los hexágonos regulares tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales, ya que mi-
den todos 120Њ.
e) Falsa. Un cuadrado y un triángulo equilátero son polígonos regulares y no son semejantes entre sí. Los polígonos regulares
son semejantes entre sí si tienen el mismo número de lados.
f) Verdadera.
Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que las siguientes parejas de triángulos son
semejantes.
a) Los triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y, por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son
semejantes.
b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes: ᎏ
6
3
,
,
2
4
1
5
ᎏ ϭ ᎏ
10
5
,
,
4
8
4
ᎏ ϭ 1,8.
Los dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales (los catetos) y el ángulo comprendido igual (los dos triángulos
son rectángulos); por tanto, el segundo criterio de semejanza de triángulos asegura que son semejantes.
A'
B
CA
C'
B'
3,45 cm 5,8 cm
10,44 cm
6,21 cm
B
CA
A' C'
B'
40º
40º
80º
80º
7.52
7.51
A D1
B
C9
C8
C7
C6
C5
C4
C3
C2
C1
7 cm
D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
7.50
22

En un póster realizado a escala 1:6, Pau Gasol mide 35,9 centímetros. ¿Cuántos metros mide en realidad?
La altura en centímetros será 35,9 и 6 ϭ 215,4 cm, por lo que la altura real de Pau Gasol es 2,15 m.
Los lados de un hexágono miden 2, 5, 6, 3, 4 y 3 centímetros, respectivamente.
a) Calcula la medida de los lados de otro hexágono semejante al anterior cuyo lado menor mide 6 cen-
tímetros.
b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los dos hexágonos?
c) ¿Cuál es la razón entre los perímetros?
a) Si su lado menor mide 6 cm, la razón de semejanza será ᎏ
6
2
ᎏ ϭ 3, por lo que las medidas de los lados serán 6, 15, 18, 9, 12
y 9 cm.
b) La razón de semejanza es 3.
c) La razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza, es decir, es 3.
Observa las medidas señaladas en la foto de las Torres KIO de Madrid.
¿Cuánto debería prolongarse cada una de las torres para que entre las dos formaran un triángulo?
Si llamamos x a la medida pedida, aplicando el teorema de Tales tenemos que
ᎏ
x Ϫ
x
130
ᎏ ϭ ᎏ
1
8
5
0
0
ᎏ ⇒ 80x ϭ 150x Ϫ 19500 ⇒ 278,57 m.
Los triángulos ABC y DEF verifican las siguientes condiciones.
AB ‫؍‬ 5 DE AC ‫؍‬ 5 DF Aˆ ‫؍‬ Dˆ
a) Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que los dos triángulos son seme-
jantes.
b) Calcula la longitud del lado EF si el lado BC mide 15 centímetros.
a) AB ϭ 5 DE
AC ϭ 5 DF
Aˆ ϭ Dˆ
Los dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual; por tanto, el segundo criterio de se-
mejanza de triángulos asegura que son semejantes.
b) La razón de semejanza entre los triángulos es 5, por lo que BC ϭ 5 EF ⇒ EF ϭ ᎏ
B
5
C
ᎏ ϭ ᎏ
1
5
5
ᎏ ϭ 3 cm.
7.56
7.55
7.54
7.53
23
80 m
130 m
150 m

Calcula la medida de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos.
a) cos 70Њ ϭ ᎏ
5
a
ᎏ ⇒ a ϭ ᎏ
cos
5
70Њ
ᎏ ϭ 14,62 cm
tg 70Њ ϭ ᎏ
b
5
ᎏ ⇒ b ϭ 5 и tg 70Њ ϭ 13,74 cm
b) sen 20Њ ϭ ᎏ
6
c
ᎏ ⇒ c ϭ 6 и sen 20Њ ϭ 2,05 cm
cos 20Њ ϭ ᎏ
b
6
ᎏ ⇒ b ϭ 6 и cos 20Њ ϭ 5,64 cm
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. Con
ayuda de la calculadora, obtén la medida de dichos ángulos.
a) La hipotenusa mide a ϭ ͙202
ϩෆ212
ෆ ϭ 29 cm.
Las razones trigonométricas pedidas serán:
sen Cˆ ϭ cos Bˆ ϭ ᎏ
2
2
0
9
ᎏ ϭ 0,689 ⇒ Cˆ ϭ 0,689 SEN–1
ϭ 43Њ36Ј
cos Cˆ ϭ sen Bˆ ϭ ᎏ
2
2
1
9
ᎏ ϭ 0,7241 ⇒ Bˆ ϭ 0,7241 SEN–1
ϭ 46Њ24Ј
tg Bˆ ϭ ᎏ
2
2
1
0
ᎏ ϭ 1,05; tg Cˆ ϭ ᎏ
2
2
0
1
ᎏ ϭ 0,95
sen Bˆ ϭ cos Cˆ ϭ ᎏ
2
2
0
9
ᎏ; cos Bˆ ϭ sen Cˆ ϭ ᎏ
2
2
1
9
ᎏ; tan Bˆ ϭ ϭ ᎏ
2
2
0
1
ᎏ
b) El cateto desconocido lo calculamos utilizando el teorema de Pitágoras: c ϭ ͙52
Ϫ 4ෆ2
ෆ ϭ 3 cm.
Las razones trigonométricas pedidas serán:
sen Bˆ ϭ cos Cˆ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ; cos Bˆ ϭ sen Cˆ ϭ ᎏ
3
5
ᎏ; tan Bˆ ϭ ϭ ᎏ
4
3
ᎏ
Los ángulos desconocidos miden Bˆ ϭ 53,13Њ y Cˆ ϭ 36,87Њ.
1
ᎏ
tan Cˆ
1
ᎏ
tan Cˆ
A
B
C AB
C
5 cm 4
cm
21 cm
7.58
70°
5 cm
6 cm
20°
ab
A
C
B b
c
AC
B
7.57
24

El seno de un ángulo agudo vale ᎏ
2
5
8
3
ᎏ. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo.
El coseno lo calcularemos aplicando la relación fundamental: cos ␣ ϭ
Ί1 Ϫ ΂ᎏ๶2
5
8
3
ᎏ΃
2
๶ϭ ᎏ
4
5
5
3
ᎏ.
Su tangente valdrá ᎏ
2
4
8
5
ᎏ.
P A R A R E F O R Z A R
Los lados de un triángulo ABC miden 5, 8 y 9 centímetros, respectivamente. El lado menor de otro trián-
gulo semejante a ABC mide 12 centímetros. Halla la razón de semejanza y la medida de los otros dos
lados.
La razón de semejanza será ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ 2,4.
Por tanto, los lados del triángulo medirán 5 и 2,4 ϭ 12 cm, 8 и 2,4 ϭ 19,2 cm y 9 и 2,4 ϭ 21,6 cm.
¿Qué altura tiene la estatua?
Aplicando el teorema de Tales tenemos que ᎏ
2,
x
13
ᎏ ϭ ᎏ
0
1
,
,
4
8
5
ᎏ ⇒ x ϭ 8,52 m.
Calcula la anchura de la carretera teniendo en cuenta las medidas que se indican en la figura.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que ᎏ
h
2
ᎏ ϭ ᎏ
1
5
5
ᎏ ⇒ h ϭ 6 m.
Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores desco-
nocidos.
a) 5, 8, 10 15, x, y b) x, 6, 16 2, 3, y c) 4, x, 7 y, 5x, z
a) La razón de semejanza es 3, y, por tanto, x ϭ 24 e y ϭ 30.
b) La razón de semejanza es ᎏ
1
2
ᎏ, y, por tanto, x ϭ 4 e y ϭ 8.
c) La razón de semejanza es 5, y, por tanto, y ϭ 20 y z ϭ 35.
El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triangulo con dicho valor, es decir, 3 Ͻ x Ͻ 11.
7.63
15 m
5 m
2 m
h
7.62
7.61
7.60
7.59
25

En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación
de 45 grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros.
Calcula la altura del edificio.
La altura será h ϭ 30 и tan 45Њ ϭ 30 m.
Calcula el largo de esta cancha de baloncesto.
Su anchura medirá ᎏ
tan
15
28Њ
ᎏ ϭ 28,21 m.
P A R A A M P L I A R
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 10 centímetros, sabiendo que es semejante
a otro rectángulo que tiene 4 centímetros de base y 3 centímetros de altura.
La diagonal del segundo rectángulo mide ͙42
ϩ 3ෆ2
ෆ ϭ ͙25ෆ ϭ 5 cm, con lo que la razón de semejanza será k ϭ ᎏ
1
2
ᎏ.
Las dimensiones pedidas son 8 cm la base y 6 cm la altura.
Las dimensiones de dos ortoedros son 6 ؋ 8 ؋ 18 y 21 ؋ 28 ؋ 63 centímetros, respectivamente.
a) Explica razonadamente si los dos ortoedros son semejantes.
b) Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, la razón de sus áreas es k2
y la razón de sus
volúmenes es k3
. Comprueba que los ortoedros anteriores cumplen esta propiedad.
a) Son semejantes, ya que todos los ángulos son rectos y los lados correspondientes son proporcionales con razón
k ϭ ᎏ
2
6
1
ᎏ ϭ ᎏ
2
8
8
ᎏ ϭ ᎏ
6
1
3
8
ᎏ ϭ 3,5.
b) Primero comprobamos que la razón de sus áreas es k2
ϭ 3,52
ϭ 12,25.
ϭ ᎏ
7
6
3
0
5
0
0
ᎏ ϭ 12,25
Ahora comprobamos que la razón de sus volúmenes es k3
ϭ 3,53
ϭ 42,875.
ᎏ
21
6
и
и
2
8
8
и
и
1
6
8
3
ᎏ ϭ ᎏ
37
8
0
6
4
4
4
ᎏ ϭ 42,875
¿Cuál es la relación entre los radios de dos circunferencias si la razón de sus áreas es ᎏ
4
9
9
ᎏ?
Según lo visto en la actividad anterior, si la razón de sus áreas es ᎏ
4
9
9
ᎏ, su razón de semejanza será
Ίᎏ
4
9
9
ᎏ๶ϭ ᎏ
7
3
ᎏ.
7.68
2 и 21 и 28 ϩ 2. 28 и 63 ϩ 2 и 21 и 63
ᎏᎏᎏᎏ
2 и 6 и 8 ϩ 2. 8 и 18 ϩ 2 и 6 и 18
7.67
7.66
28°
7.65
7.64
26

Un polígono tiene un lado de 5 centímetros. Halla la longitud de su lado homólogo en un polígono se-
mejante, sabiendo que sus áreas están en razón de 4 a 25.
Si sus áreas están en razón de 4 a 25, su razón de semejanza será
Ίᎏ
2
4
5
ᎏ๶ϭ ᎏ
2
5
ᎏ.
Por tanto, la razón entre los lados es ᎏ
2
5
ᎏ ϭ ᎏ
5
x
ᎏ ⇒ x ϭ 12,5 cm.
Su lado homólogo mide 12,5 cm de longitud.
Los volúmenes de dos esferas están en razón de 8 a 27. Si el radio de una de ellas mide 6 centímetros,
¿cuánto puede medir el radio de la otra?
Si la razón entre sus volúmenes es ᎏ
2
8
7
ᎏ, su razón de semejanza será
Ί
3
ᎏ
2
8
7
ᎏ๶ϭ ᎏ
2
3
ᎏ, por lo que el radio pedido puede medir:
ᎏ
2
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
x
ᎏ ⇒ x ϭ 9 cm o bien ᎏ
2
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
x
ᎏ ⇒ x ϭ 4 cm.
Las entradas de un partido de baloncesto se imprimen en forma de romboide, de forma que sus lados
paralelos miden 3 y 5 centímetros, respectivamente.
El ángulo agudo que forman dos de sus lados es tal que su tangente vale el doble que su seno. Calcu-
la el área de las entradas.
Calculemos el ángulo agudo del paralelogramo.
Dicho ángulo verifica que tan ␣ ϭ 2sen ␣ ⇒ sen ␣cos ␣ ϭ 2sen ␣ ⇔ ᎏ
1
2
ᎏ ϭ cos ␣, con lo que ␣ ϭ 60Њ.
La altura h del paralelogramo será h ϭ 3 и sen 60Њ ϭ ᎏ
3͙
2
3ෆᎏ, con lo que el área pedida será 5 и ᎏ
3͙
2
3ෆᎏ ϭ ᎏ
15
2
͙3ෆᎏ cm2
.
La base de la carpa de un circo tiene forma de octógono regular de 30 metros de lado. Calcula su área.
Se considera uno de los 8 triángulos isósceles que resultan al unir el centro del octógono con los vértices. El ángulo desigual de
cada uno de ellos mide 360Њ : 8 ϭ 45Њ.
Como los triángulos son isósceles, los ángulos de la base miden 67,5Њ cada uno.
Se halla la medida de la altura h de uno de los triángulos isósceles.
tg 67,5Њ ϭ ᎏ
1
h
5
ᎏ ⇒ h ϭ 15 и tg 67,5Њ ϭ 36,21 m
La superficie de cada uno de los triángulos es: ᎏ
30 и
2
36,21
ᎏ ϭ 543,15 m2
.
Como la base de la carpa está formada por 8 triángulos iguales, la superficie total será de:
8 и 543,15 m2
ϭ 4345,2 m2
7.72
7.71
7.70
7.69
27

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
La torre inclinada
En el centro de una gran ciudad se ha construido una moderna torre. Los arquitectos la han diseñado
con una inclinación inicial ␣ de 5 grados como muestra la figura.
Sin embargo, debido a ciertos fallos en el proyecto, la inclinación aumenta con el paso del tiempo, de
forma que la vertical se separa del punto P 10 milímetros cada año.
a) Calcula el tiempo que ha de pasar desde el año de la construcción para que la vertical sobrepase el
centro de la base.
b) ¿Cuánto medirá el ángulo ␣ en ese momento?
a) En principio, la separación de la vertical del punto P es de 60 и sen a ϭ 60 и sen 5 ϭ 5,23 m.
Para que esta separación llegue a la mitad del lado de la base, debe aumentar en 7,5 Ϫ 5,23 ϭ 2,27 m ϭ 2270 mm.
Por tanto, han de pasar más de ᎏ
22
1
7
0
0
ᎏ ϭ 227 años para que la vertical sobrepase el centro de la base.
b) En el momento en que la vertical alcance el centro de la base, la inclinación ␣ será de:
sen ␣ ϭ ᎏ
7
6
,
0
5
ᎏ ϭ 0,125 ⇒ ␣ ϭ 7Њ 11Ј
Las agujas del reloj
a) En un reloj como el de la estación de trenes, ¿cuántos grados recorre la aguja de las horas cuando el
minutero da una vuelta completa?
b) El reloj de la estación marca las doce y cuarto, ¿qué ángulo forman las dos agujas?
c) Las agujas del reloj de la estación miden 30 y 25 centímetros, respectivamente. Considera el triángu-
lo que tiene los vértices en el centro del reloj y los extremos de las agujas. ¿Cuál será el área del
triángulo dentro de una hora?
a) Cuando el minutero gira 360Њ, el horario gira 360Њ : 12 ϭ 30Њ.
b) Cuando el minutero gira 90Њ (360Њ : 4), el horario gira ᎏ
3
4
0Њ
ᎏ ϭ 7,5Њ ϭ 7Њ 30Ј.
Por tanto, a las 12.15, las agujas formarán un ángulo de 90Њ Ϫ 7Њ 30Ј ϭ 82Њ 30Ј.
c) Dentro de una hora serán las 13.15 y las agujas formarán un ángulo
de 90Њ Ϫ (30Њ ϩ 7,5Њ) ϭ 90Њ Ϫ 37,5Њ ϭ 52,5Њ.
Se trata, pues, de hallar el área del triángulo ABC de la figura.
Hallamos la altura del triángulo con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo Aˆ ϭ 52,5Њ.
sen 52,5Њ ϭ ᎏ
2
h
5
ᎏ ⇒ h ϭ 25 и sen 52,5Њ ϭ 19,83 cm
7.74
7.73
28
52,5º
25 cm
30 cm
h
B
A C

A U T O E V A L U A C I Ó N
Divide un segmento de 17 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 4 centí-
metros.
Sea AB un segmento de 17 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se lle-
van los segmentos AAЈ, AЈAЉ y AЉAЉЈ, de longitudes 2, 3 y 4 centímetros, respectivamente. Se une AЉЈ con B y se trazan para-
lelas a este segmento por los puntos AЈ y AЉ, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales ase-
gura que AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 4.
Podemos comprobar que los segmentos miden, respectivamente, 3,7; 5,6 y 7,5 cm.
La espaldera del gimnasio del instituto tiene forma triangular,
tal y como indica la figura.
Calcula la longitud del tramo MN.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud MN es:
ᎏ
3
2
ᎏ ϭ ᎏ
M
1,
N
5
ᎏ ⇒ MN ϭ 1 m
Los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes miden 12 y 18 centímetros, respectivamente, y
el lado desigual del triángulo de mayor tamaño mide 9 centímetros.
a) Calcula la razón de semejanza.
b) Halla la medida de los lados desconocidos.
a) Hallamos la razón de semejanza entre los perímetros para obtener la razón entre los lados de los triángulos.
k ϭ ᎏ
1
1
8
2
ᎏ ϭ 1,54
b) En el triángulo mayor tenemos: x ϩ x ϩ 9 ϭ 18 ⇒ 2x ϭ 9 ⇒ x ϭ 4,5 cm
Así, como los triángulos son semejantes con razón de dos tercios, tenemos:
ᎏ
4
y
,5
ᎏ ϭ 1,5 ⇒ y ϭ ᎏ
4
1
,
,
5
5
ᎏ ϭ 3 cm
ᎏ
9
z
ᎏ ϭ 1,5 ⇒ z ϭ ᎏ
1
9
,5
ᎏ ϭ 6 cm
Por lo que los lados desconocidos miden 4,5 cm en el triángulo mayor, y en el triángulo menor, 3, 3 y 6 cm, respectiva-
mente.
7.A3
A
B
C
M N
2m
1,5 m
3m
7.A2
M N BA
A’’’
A’’
A’
17 cm
2 cm
3 cm
4 cm
7.A1
29

Calcula la medida de los ángulos y los lados desconocidos del triángulo rectángulo de la figura.
Cˆ ϭ 180Њ Ϫ (90Њ ϩ 25Њ) ϭ 65Њ
tg 25Њ ϭ ᎏ
b
4
ᎏ ⇒ b ϭ 4 и tg 25Њ ϭ 1,86 m
cos 25Њ ϭ ᎏ
4
a
ᎏ ⇒ a ϭ ᎏ
cos
4
25Њ
ᎏ ϭ 4,41 m
Explica razonadamente si las siguientes parejas de triángulos son semejantes.
¿Qué criterios de semejanza utilizas?
a) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 180Њ Ϫ (37Њ ϩ 69Њ) ϭ 74Њ. Los triángulos tienen dos ángulos correspon-
dientes iguales y, por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son semejantes.
b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes: ᎏ
6
8
,4
ᎏ ϭ ᎏ
5
4
ᎏ ϭ ᎏ
6
5
,
,
5
2
ᎏ ϭ 1,25.
Los tres lados correspondientes son proporcionales (k ϭ 1,25); por tanto, el tercer criterio nos asegura que los triángulos son
semejantes.
Con ayuda de la calculadora, obtén las razones trigonométricas del ángulo ␣ ϭ 72؇ 40؅ 55؅؅.
sen ␣ ϭ 0,955 cos ␣ ϭ 0,298 tg ␣ ϭ 3,207
Con ayuda de la calculadora, halla la medida aproximada del ángulo de in-
clinación con que debe colocarse una escalera de 4 metros para que alcan-
ce una altura de 3 metros.
La razón trigonométrica del ángulo alfa que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa
es el seno. sen ␣ ϭ ᎏ
3
4
ᎏ ϭ 0,75 ⇒ ␣ ϭ 0,75 SEN–1
ϭ 48Њ 35Ј 25Љ
Debe colocarse formando 48Њ 35Ј 25Љ con la horizontal.
El coseno de un ángulo agudo vale 0,77. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo.
Por la relación fundamental tenemos que:
sen2
␣ ϩ cos2
␣ ϭ 1 ⇒ sen ␣ ϭ ͙1 Ϫ coෆs2
␣ෆ
Así: sen ␣ ϭ ͙1 Ϫ (0ෆ,77)2
ෆ ϭ 0,4071 ϭ 0,638
s
c
e
o
n
s ␣
␣
ᎏ ϭ ᎏ
0
0
,6
,7
3
7
8
ᎏ ϭ 0,828
El seno vale 0,638, y la tangente, 0,828.
7.A8
7.A7
7.A6
A
B
C
A'
B'
C' 8 cm
5 cm
6,5 cm
6,4 cm
4 cm
5,2 cm69º
37º
74º
37º
A'
B'
C'
B
CA
7.A5
4 m
25°
A B
ab
C
7.A4
30
α
4
m
3 m

E N T R E T E N I D O
Las cuatro tarjetas
Estas 4 tarjetas verdes son azules por el otro lado.
El objetivo del juego es que queden las 4 de color azul, teniendo en cuenta que en cada movimiento debes obli-
gatoriamente dar la vuelta a 3 tarjetas a la vez.
¿Cómo lo consigues?
Hay distintos modos de lograr el objetivo, el que lo consigue con el menor número de movimientos necesita efectuar 4 pasos.
31
POSICIÓN INICIAL
4 tarjetas verdes
PRIMER MOVIMIENTO
1 tarjeta verde y 3 azules
SEGUNDO MOVIMIENTO
2 tarjetas verdes y 2 azules
TERCER MOVIMIENTO
3 tarjetas verdes y 1 azul
CUARTO MOVIMIENTO
4 tarjetas azules
V V V V
V A A A
VA AV
V A V V
A A A A

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