semejanza de figuras plana

1. UNIDAD: GEOMETRÍA
SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS - PROPIEDADES
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-22
Dos figuras son semejantes, si y sólo si tienen la misma forma, pero no necesariamente el
mismo tamaño y donde una de ellas se puede considerar como la ampliación, reducción o
mantención de la otra. En todas las figuras semejantes los lados homólogos son
proporcionales y los ángulos homólogos son iguales.
El símbolo de semejanza es :. Si los pentágonos ABCDE y PQRST de la figura son
semejantes, en ese orden, se denota por PABCDE
: PPQRST
Luego se tiene que la razón entre sus lados homólogos es una contante, que se denomina
constante de proporcionalidad y se denota por k
AB
PQ
=
BC
QR
=
CD
RS
=
DE
ST
=
EA
TP
= k
Como las figuras semejantes conservan la forma, los ángulos serán respectivamente
congruentes, es decir:
ABC PQR; BCD QRS; CDE RST; DEA STP; EAB TPQ
    
OBSERVACIONES
- Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos
de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando
además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
- En general, respecto a semejanza de figuras planas, se puede decir que todos los
polígonos regulares de igual número de lados son semejantes entre sí.
- La congruencia es un caso particular de semejanza, donde la relación de los lados
homólogos es 1 : 1.
A
B
E
C
D
P Q
T
R
S
TRIÁNGULOS
EQUILÁTEROS
CUADRADOS HEXÁGONOS
REGULARES

2. 2
EJEMPLOS
1. Los lados de dos cuadrados están en la razón 1 : 2, si el lado del más pequeño
es 5 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrado de mayor tamaño?
A) 2,5 cm
B) 5 cm
C) 10 cm
D) 20 cm
E) 40 cm
2. Sobre la diagonal de un cuadrado de lado se construye otro cuadrado cuyo lado es la
diagonal. ¿En qué razón están los lados del cuadrado original y el que se construyo?
A) 1 : 2
B) 2 : 1
C) 1 : 2
D) 2 : 1
E) No es posible determinar
3. Si los pentágonos de la figura son semejantes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) La razón de semejanza puede ser 5 : 6.
II) El valor de x es 6 cm.
III) La razón entre sus perímetros puede ser 5 : 6.
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
4. Los lados de un triángulo miden 30 cm, 50 cm y 60 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor de
un triángulo semejante con él, cuyo lado menor mide 20 cm?
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 50 cm
D) 60 cm
E) 70 cm
4 cm
10 cm
2 cm
2,5 cm
5 cm
12 cm
2,4 cm
3 cm
x cm
4,8 cm

3. 3
TEOREMA 1
El perímetro de dos figuras semejantes está en la misma razón que están dos trazos
homólogos de las figuras.
En la figura, CABCD
: CPQRS
, entonces
TEOREMA 2
Las áreas de figuras semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la misma
razón en que se encuentran dos trazos homólogos.
EJEMPLOS
1. La razón de semejanza entre dos cuadriláteros es 1 : 2, si el perímetro de la figura más
pequeña es 18 m, ¿cuál es el perímetro de la figura más grande?
A) 9 cm
B) 18 cm
C) 27 cm
D) 36 cm
E) 72 cm
2. Las áreas de dos hexágonos regulares se encuentran en la razón 4 : 9; si el perímetro
del más grande es 36 cm, ¿cuál es la medida del lado del hexágono de menor tamaño?
A) 54 cm
B) 24 cm
C) 9 cm
D) 6 cm
E) 4 cm
AB
PQ
=
BC
QR
=
CD
RS
=
DA
SP
=
Perimetro CABCD
Perimetro CPQRS
= k
A
B
C
D
P
Q
R
S
AB
PQ
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
BC
QR
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
CD
RS
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
DA
SP
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
Área CABCD
Área CPQRS
= k2

4. 4
3. Los perímetros de dos rombos semejantes están en la razón 4 : 5. Si el área del rombo
de mayor tamaño es 75 cm2
, ¿cuál es el área del otro rombo?
A) 60 cm2
B) 48 cm2
C) 25 cm2
D) 24 cm2
E) 15 cm2
4. En la figura adjunta, el área del ABC es 80 cm2
. Si ADE ABC
  , entonces ¿cuál es el
área del trapecio DBCE?
A) 20 cm2
B) 35 cm2
C) 40 cm2
D) 45 cm2
E) 60 cm2
5. Dos pentágonos regulares son de manera tal que dos lados homólogos están en la
razón 3 : 2; si el perímetro del más pequeño es 124 cm, ¿cuál será la diferencia
positiva de sus perímetros?
A) 49,6 cm
B) 62 cm
C) 74,4 cm
D) 124 cm
E) 186 cm
E
A D B
12
C
9

5. 5
EJERCICIOS
1. Si los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura son semejantes, en ese orden, entonces
¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
I)  = ’
II) BC = B’C’
III)  = ’
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
2. Los rectángulos de la figura son semejantes. Si FG = 20 cm, GH = 30 cm y el
perímetro del rectángulo ABCD es de 360 cm, entonces su lado menor mide
A) 72 cm
B) 108 cm
C) 144 cm
D) 216 cm
E) ninguna de las anteriores.
3. Un par de lados homólogos de dos polígonos semejantes miden 12 cm y 18 cm. Si el
perímetro del polígono mayor mide 54 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono menor?
A) 24 cm
B) 27 cm
C) 30 cm
D) 36 cm
E) 48 cm
4. En la figura adjunta, ABC DEC
  . Si EC = 36 cm y CB = 81 cm, entonces
Área ( CDE)
Área ( ABC)


=
A)
4
9
B)
2
3
C)
16
81
D)
9
4
E)
3
2
A’
C’
B’
C
A B

’

’
 ’
A B
C
D
E F
G
H
A
B
C
E
D

6. 6
5. Las dimensiones de un rectángulo son 15 cm y 20 cm. Si el lado menor de otro
rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto medirá su lado mayor?
A) 50 cm
B) 14 cm
C) 10 cm
D) 8 cm
E) 4 cm
6. En la figura adjunta, si ABC  DEF, entonces DE mide
A) 2
B) 5
C) 8
D) 14
E) 16
7. La razón entre las áreas de dos cuadrados es 9 : 1 y la diferencia de las medidas de sus
lados es 4 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado menor?
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 5 cm
E) 6 cm
8. En la figura adjunta, ABC y DBE son rectángulos en C y E, respectivamente. Si
ABC DBE
  y ED = 4, BD = 5 y DA = 10, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio
CADE?
A) 28
B) 31
C) 32
D) 35
E) 96
D E
B
C
A
3
A B
C
2 x – 8
21
D E
F
3x – 1

7. 7
9. Los rectángulos de la figura adjunta, son semejantes. Si FG = 60 cm, GH = 90 cm y el
perímetro del rectángulo ABCD es de 1.080 cm, entonces su lado menor mide
A) 108 cm
B) 153 cm
C) 216 cm
D) 324 cm
E) 540 cm
10. En la figura adjunta, PQR  TSR, si PR = 4 cm y RT = 12 cm, entonces
Perímetro TRS
Perímetro PQR


=
A)
3
1
B)
9
1
C)
2
9
D)
1
3
E)
9
2
11. La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 1 : 4. Si el perímetro del
rectángulo más pequeño es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor de los rectángulos?
A) 12 cm
B) 16 cm
C) 24 cm
D) 32 cm
E) 48 cm
12. Un par de lados homólogos de dos hexágonos regulares miden 3 cm y 6 cm. Si el área
del polígono mayor mide 84 cm2
, ¿cuál es el área del hexágono menor?
A) 21 cm2
B) 28 cm2
C) 42 cm2
D) 63 cm2
E) 84 cm2
A
B C
D
E
F G
H
4
12
P
Q
R
S
T

8. 8
13. Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 3 : 7. Entonces, la razón de
sus áreas es
A) 3 : 7
B) 6 : 14
C) 9 : 28
D) 9 : 49
E) 12 : 49
14. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de rombos es (son) semejante(s)?
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
15. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) Todos los rectángulos son figuras semejantes entre sí.
II) Dos rombos de perímetros 40 cm y 60 cm son semejantes y su razón de
semejanza es 2 : 3.
III) Todas las circunferencias son semejantes entre sí.
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
60º
120º 1,3a a
I) II) III)

9. 9
16. Respecto al rectángulo ABCD de vértices A(3,0); B(4,1); C(2,3) y D(1,2) y al
rectángulo PQRS de vértices P(6,0); Q(8,2); R(4,6) y S(2,4), ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Los rectángulos son semejantes.
II) La razón de semejanza es 1 : 2.
III) La razón de las áreas de estos rectángulos es 2 : 4.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
17. Los trapecios ABCD y AEFG de la figura son semejantes, en ese orden. Si AE = EB y el
perímetro del trapecio ABCD es 60 cm, entonces el perímetro del trapecio AEFG es
A) 90 cm
B) 60 cm
C) 30 cm
D) 15 cm
E) No es posible determinar
18. ¿Cuál es la razón de semejanza entre dos figuras si una de ellas tiene un cuarto del
área que la otra?
A)
1
16
B)
1
8
C)
1
4
D)
1
2
E)
1
2
19. La razón de semejanza entre dos figuras es 3 : 5, si la figura de menor área es 7,2 m2
,
¿cuál es el área de la otra figura?
A) 36 m2
B) 29 m2
C) 20 m2
D) 12 m2
E) 4,32 m2
A E B
C
D
G F

10. 10
20. El dibujo de una figura en un plano y la figura con dimensiones reales son figuras
semejantes, la razón de semejanza entre ambas corresponde a la escala en la cual
están dibujados.
La escala del plano de una vivienda es 1 : 200, el living tiene forma rectangular de
dimensiones en el plano de 2 cm y 3,5 cm. ¿Cuál es el área, en m2
, del living?
A) 400
B) 28
C) 22
D) 7
E) 4
21. Un mapa esta dibujado en escala 1 : 300.000. La distancia que separa dos ciudades en
este mapa es 10 cm. ¿A cuántos kilómetros se encontraran en la realidad estas
ciudades?
A) 30.000
B) 3.000
C) 300
D) 30
E) 3
22. Las dimensiones de un rectángulo son 6 cm y 12 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de
otro rectángulo semejante a este, de menor tamaño, si la razón de sus áreas es 9 : 4?
A) 4 cm 8 cm
B) 8 cm 12 cm
C) 9 cm 18 cm
D) 9 cm 8 cm
E) 4 cm 18 cm
23. Los lados de un triángulo son 4 cm, 6 cm y 8 cm. ¿Cuál será el lado mayor de otro
triángulo, semejante a este, cuyo perímetro es 27 cm?
A)
16
3
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 12 cm
E) 18 cm

11. 11
24. El cuadrado ABCD tiene vértices A(2,2); B(6,2); C(6,6); D(2,6). Las coordenadas de
cada vértice se multiplican por 0,5. Respecto a la figura que se formara con los nuevos
vértices, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) La nueva figura es semejante a la figura original.
II) La razón de semejanza es 1 : 2.
III) La razón entre sus áreas es 1 : 4.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
25. Se puede determinar en qué razón se encuentran las áreas de dos triángulos
semejantes, si:
(1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3.
(2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

12. 12
RESPUESTAS EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. N° 5
MT-22
1. A 6. D 11. C 16. C 21. D
2. A 7. B 12. A 17. C 22. A
3. D 8. C 13. D 18. D 23. D
4. C 9. C 14. C 19. C 24. E
5. D 10. A 15. B 20. B 25. A
Pág. 1 2 3 4 5
2 E C D B
3 y 4 D E B B B
Ejemplo
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