2. congruencia de_triangulos_1

Congruencia de triángulos. 1
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si ABC DEF   , entonces:
; ;AB FD AC DE BC FE  
; ;  A D B F C E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
Si
; ;  AB DF BC FE B F
Entonces ABC DEF  
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
;AB DE BC EF ABC DEF     

TEOREMA
En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB
TESIS: CAB CBA
RAZÓN AFIRMACIÓN
1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD CE
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento
3. CA CB 3. De hipótesis
4. CD CE 4. De 1. Construcción.
5. C C 5. Propiedad reflexiva
6.  CAE CBD  6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. CAE CBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
8. CD CE 8. De 1
9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos
10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9
11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa
12. ;CDB CEA DB AE  12. De 6. Partes correspondientes de
triángulos congruentes
13. ABD EAB   13. De 11 y 12. L – A – L
14. EAB DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en
15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.
HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero
TESIS: A B C 

TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: CDes la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA CB
A – D – B
TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA CB 1. De hipótesis.
2. 1 2 2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. CD CD 3. Propiedad reflexiva
4. CDA CDB   4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en
6. D punto medio de AB 6. De 5. Definición de punto medio
7. CD es mediana 7. De 6. Definición de mediana
8. CDA CDB 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.
11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales
12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad
13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura
14. CD es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
HIPÓTESIS:
; ;A P AB PQ B Q  
TESIS: ABC PQR  
NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.

TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L)
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son
congruentes.
HIPÓTESIS:
AB DE
AC DF
BC EF



TESIS: ABC DEF  
1. En el semiplano de borde AB que no
contiene a C, se traza AP, tal que
yBAP D AP DF 
1. Postulado de construcción de ángulos y
segmentos.
2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB DE 3. De hipótesis.
4. APB DEF   4. De 3 y 1. L – A – L
5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en
6. PB EF BC  6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva
7. PBC es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles
8. BCP BPC 8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos
congruentes.
9. AP DF AC  9. De hipótesis y de 1
10. CAP es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles.
11. ACP APC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adición de ángulos.
13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adición de ángulos
14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en 13
15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva
16. ABC APB   16. De 15, 6, 9. L – A – L
17. ABC DEF   17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
 Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son
congruentes.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC
y CEBD son bisectrices
TESIS: CEBD 
1.    m ACB m ABC 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados
congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
2.  
 
2

m ACB
m DBC
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3.  
 
2

m ABC
m ECB
3. De hipótesis. Definición de bisectriz
4.    m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.
5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.
6. ECB DBC   6. De 1, 4, 5. A – L – A
7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos
congruentes.
 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC 
HIPÓTESIS: K es punto medio de AB
K es punto medio de CD
TESIS: AC BD y AD BC
1. K es punto medio de AB 1. De hipótesis
2. AK KB 2. De 1. Definición de punto medio
3. K es punto medio de DC 3. De hipótesis.
4. CK KD 4. De 3. Definición de punto medio.
5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vértice.
6. AKC DKB   6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L
7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.


HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE BF CD 
TESIS: EFD es equilátero.
1. A B C  1. De hipótesis. Un triángulo
equilátero es equiángulo.
2. AE BF CD  2. De hipótesis.
3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de
triángulo equilátero.
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos
5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4
6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa
7. AED EBF FCD     7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. DE EF FD  8. De7. Por ser lados
correspondientes en triángulos
congruentes.
9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo
equilátero

HIPÓTESIS: DE AE
;DE EC AE EB 
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
  
  
1. D A 1. De hipótesis.
2. DE AE 2. De hipótesis.
3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. DEF EAG   4. De 1,2, 3, A – L – A
5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento
7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva
8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes
9. CEG BEF   9. De 6, 7, 8. A – L – A
10. C B 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento
12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes
13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos
14. FHC BGH   14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB EF
DB LF
AC y EH son medianas
AC EH
TESIS: LEF ABD  
1. LF DB 1. De hipótesis.
2. AC y EH son medianas 2. De hipótesis
3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana
4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definición de punto medio
5.
( )
( )
2
m LF
m HF  y
( )
( )
2
m DB
m CB 
5. De 4. Definición de punto medio.
6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva
7. ;EH AC EF AB  7. De hipótesis
8. EHF ACB   8. De 6 y 7. L – L – L
9. F B 9. De 8. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
10. ABD LEF   10. De 1, 7, 9. L – A – L


HIPÓTESIS: CA CB
DA DB
C – E – D ; A – E – B
TESIS: AB CD
1. AC BC 1. De hipótesis.
2. ABC es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. 1 2 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son congruentes
4. AD BD 4. De hipótesis.
5. ADB es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. 3 4 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos congruentes.
7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adición de ángulos.
8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adición de ángulos
9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitución de 3 y 6 en 8
10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. CAD CBD   11. De 10 y de hipótesis. L – A – L
12. ACD DCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz
14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del
ángulo opuesto a la base es también altura.
15. CE AB 15. De 14. Definición de altura.
16. CD AB 16. De 15 y de hipótesis C – E – D


HIPÓTESIS: AB AF
AC AE
A – B – C; A – F – E
TESIS: 1)BE CF
2)AD es bisectriz de CAE
1. AB AF 1. De hipótesis
2. A A 2. Propiedad reflexiva
3. AC AE 3. De hipótesis
4. ABE ACF   4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
6. BC AC AB  6. Resta de segmentos
7. FE AE AF  7. Resta de segmentos.
8. FE AC AB  8. Sustitución de 1 y 3 en 7.
9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.
10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
11. CBD es el
suplemento de ABE
11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos
suplementarios
12. DFE es el
suplemento de AFC
12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos
suplementarios
13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.
14. C E 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
15. BDC DFE   15. De 14, 9, 13. A – L – A
16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.
18. BAD FAD   18. De1, 16, 17. L – L – L
19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
20. AD es bisectriz de
CAE
20. De 19. Definición de bisectriz.

PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente
congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( )
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( )
3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente
congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( )
4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( )
5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados
congruentes, son congruentes. ( )
6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( )
7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro. ( )
8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( )
9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados
congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( )
10.La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( )
11.Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes son congruentes. ( )
12.Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados
correspondientes son congruentes. ( )
13.Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( )
14.Los lados de un triángulo son rectas. ( )
15.Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( )
16.El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( )
17.Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( )
18.La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( )
19.Un triángulo equilátero es equiángulo. ( )
20.Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( )
21.Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( )
22.La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se tiene que:
AG GE ED FG GB BC     .
Demostrar que: D C

2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB
TESIS: 1) ACD BCD
2) CA CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes
son congruentes.
4.
HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E
TESIS: EAD BAC
5.
HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD
A – C – E
TESIS:
1)
2)
BC CD
BCE DCE


6.
HIPÓTESIS: ABC es equilátero
AE BF CD 
TESIS: EFD es equilátero.

7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD.
8.
HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C;
D – F – H – B
ED EA
DE EC
AE EB
D A
TESIS:
1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
  
  
9.
HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF    
TESIS: EH EC
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
;AD CE BD BE 
TESIS:
1)
2) es isosceles.
E D
APC



11.
HIPÓTESIS:
AB AF
BD DF
BAC FAE



TESIS:
1)
2)
AC AE
BC FE


12.Demostrar que en un triangulo isósceles:
A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
13.Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se
puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta.
14.
HIPÓTESIS:
AE BC
AC BE


TESIS:
1)
2) es isosceles
DEA DCB
ABD


15.
HIPÓTESIS:
1 2
3 4


A – E – C y D – E – B
TESIS:
1)
2)
AE EC
DE AC



16.
HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF  
TESIS:
1)
2)
B F
DC DE


SUGERENCIA: Trazar AD
17.
HIPÓTESIS:
OED ODE
A C
AE DC



TESIS:
1)
2)
BF BH
OF OH


18.
HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB  
TESIS:
1)
2)
EAD CAD
ED CD


19.
HIPÓTESIS:
EAD CAD
AF AB


TESIS:
1)
2)
DF DB
EF CB



20.
HIPÓTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR  
TESIS:
1)
2)
BSA DRS
PR PS


21.
HIPÓTESIS: BD es mediana
;AE BF CF BF 
TESIS: AE CF
22.
HIPÓTESIS:
y son medianas
AC AE
CF EB

TESIS: AD CE
23.
HIPÓTESIS:
;AB BC DC BC
ABD DCA
 

TESIS: ABC DCB  
24.Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de
un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.
25.Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB
26.Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo
equilátero forman otro triángulo equilátero.

27.
HIPÓTESIS: ;TR TS PR PS 
TESIS: TRP TSP
28.
HIPÓTESIS: A – B – C – D
1 2
AB CD
TESIS: A D
29.
HIPÓTESIS:
AB AC
BD CE


TESIS:
1)
2)
ACD ABE
BDC CEB
  
  
30.
HIPÓTESIS:
biseca aCE BF
 
TESIS: C E

31.Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza
el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH
Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

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