CALCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

1. APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS EN OTRAS RAMAS DEL SABER HUMANO
Este trabajo, como su titulo lo indica, pretende mostrar algunas de las muchas aplicaciones que tiene la matemática en todas
las ramas del conocimiento humano. Es más que nada una reflexión acerca del título. Nuestra intención es ampliar la visión de
la matemática para las personas que no están familiarizadas con ésta. No me refiero a que la matemática sea la ciencia
suprema, la más importante ni mucho menos, solo me refiero a que la matemática, junto con todas las demás formas del
conocimiento se relaciona entre sí, formando una sola
Desarrollo
La matemática es una ciencia que tiene innumerables aplicaciones en otras disciplinas del conocimiento humano. Sin embargo,
la estadística pareciera ser una de las herramientas más utilizadas. Gracias a su uso es más fácil, por ejemplo, tomar
decisiones sobre algún asunto complejo, pudiéndose llegar a entender algunas situaciones que no son claras a simple vista.
La Matemática en Las Ciencias Biológicas
En el área de las ciencias biológicas, en la enseñanza media ya aparecen aplicaciones matemáticas, como son los logaritmos
para calcular el pH en química, las ecuaciones químicas, el cálculo de mezclas... En biología, la forma en que los padres
transmiten su información a sus hijos, o genética, es una materia que utiliza mucho la estadística y probabilidad. Es el caso de
los estudios de Mendel, por ejemplo, quién se dedicó a estudiar el comportamiento de ciertas plantas a las que cruzó y
determinó cómo se relacionaban genéticamente los padres con los hijos, hablando de Genotipo y Fenotipo.
En esta categoría es también donde se realizan los mayores avances de la humanidad, en descubrimientos. Cada año se
descubren miles de formulas científicas que relacionan fenómenos de la naturaleza matemáticamente.
Uno de los avances más sorprendentes de la actualidad matemática es el llamado “Cálculo de escala de tiempo”, una nueva
herramienta, la cual utiliza la estadística y probabilidad para determinar el tiempo en que podría sanar una herida, por ejemplo.
Los científicos que se dedican a esto realizan estudios estadísticos, recogiendo datos y muestras, investigando la posible
regularidad que podría haber en la cicatrización de una herida, el tiempo de reproducción de un virus, el comportamiento
migratorio de algunas aves, además de factores de tamaño y volumen del crecimiento de una duna de arena en el desierto,
entre otros.
Todo esto funciona con la idea de recopilar información, muestrear ciertas áreas para ver cómo se han comportado algunas
aves, por ejemplo, luego utilizar la estadística, con lo cual se pueden dibujar curvas que se supone que son relativamente
parecidas al comportamiento migratorio de aves. Con esta herramienta se podrían determinar también las épocas de mayor
probabilidad de contagio de algún virus transmitido por insectos. Lo más nuevo sobre todo esto, es el estudio matemático de
detectar la bulimia, utilizando estas curvas para conocer el factor de riesgo de adquirir esta enfermedad. Y todo esto se hace
con muchas variables de todo tipo, como el estado de ánimo del paciente, la situación familiar, relaciones de amistad, etc.

2. Estas nuevas herramientas parecieran estar revolucionando la matemática. Los científicos piensan que esto podría ser algo
así como un paralelo a la teoría unificada, en la física.
Conclusión
Mucha gente piensa que la matemática es una ciencia que no tiene nada que ver con otras disciplinas que no sean las
ingenierías. Otros nunca le encuentran aplicaciones útiles a ésta, y por eso tampoco les gusta. Pero, la matemática en realidad
tiene infinitas aplicaciones en todo el conocimiento adquirido por la humanidad, partiendo por todo lo relacionado con las
ingenierías, economía, en las ciencias biológicas e incluso en algunas ramas del área Humanista.
Estudio analítico
Un estudio analítico o estudio etiológico es un estudio epidemiológico en el que en el análisis del estudio se establecen
relaciones entre las variables, de asociación o de causalidad. Cuando se plantea realizar un estudio analítico, se conoce
bastante sobre la enfermedad, así pueden probarse hipótesis específicas previas surgidas de un estudio descriptivo.
Objetivos de un estudio analítico
1. Probar hipótesis etiológicas o preventivas y estimar los efectos crónicos sobre la salud.
2. Justificar estudios adicionales para probar hipótesis aún más específicas.
3. Sugerir aspectos potenciales para la prevención de la enfermedad o promoción de la salud.
¿Puede el gobierno luchar contra las epidemias?
Ahora que la enorme escasez de suministro de las vacunas contra la H1N1 ha acabado por impactar en el mercado, ha quedado
al descubierto la última debacle de la protección sanitaria ofrecida por el gobierno. Se produjeron millones de dosis, pero no
se distribuyeron a tiempo y en algunas áreas la mayoría de las dosis prometidas no se llegaron a enviar. La gran magnitud de
esta escasez de suministro revela no sólo una simple disfunción en el Departamento de Sanidad y Servicios Humanos (DHHS,
por sus siglas en inglés) sino además el necesario fracaso de la planificación central.
El problema empezó de una manera sencilla: el DHHS se otorgó el monopolio de la producción, precio y distribución de las
vacunas contra la gripa H1N1. El precio se fijó en unos asequibles 25$, asegurando ostensiblemente el acceso universal a la
vacuna. Sin embargo, como los políticos estadounidenses deben mantener una fachada de apoyo al libre mercado, el DHHS
concedió el contrato de la vacuna contra la gripe a una empresa privada, Novartis.
La vacunación como cálculo
El fracaso monumental de los funcionarios de salud para proveer de dosis contra el H1N1 no debería sorprender a los
estudiantes de la teoría austriaca de la producción. La producción y distribución de una vacuna contra la gripe requiere la
cooperación armoniosa de muchos tipos diferentes de empresarios, científicos, trabajadores y gestores logísticos a lo largo
del tiempo y el espacio. Esta estructura de producción debe guiarse por el cálculo económico, que, como demostró Mises, es
imposible bajo el socialismo.
Parecería que como el productor real de las vacunas, Novartis, es una empresa privada, el problema del cálculo socialista no
impediría la producción de las mismas. Sin embargo, un análisis más detallado revela que la cantidad, precio y plazo de las
vacunas de la gripe estaba estipulado por adelantado por el DHHS. Este punto es crucial: una burocracia sanitaria centralizada
está compuesta principalmente por expertos navegadores entre el papeleo, no por los mejores y más expertos supervisores
médicos y expertos en epidemias. Esto ocurre en buena medida porque esos expertos, al contrario que los funcionarios,
contribuyen al valor real de una empresa, así que son contratados por proveedores privados de sanidad. Así que el DHHS sufre

3. lo que Hayek denominó un “problema de conocimiento” y por tanto son completamente incapaces de calcular las cantidades y
precios que demanda el mercado. Al fijar un precio de 25$ y una capacidad de producción de 150 millones de unidades, el DHHS
forzaba una escasez severa de vacunas. Esas escaseces masivas no se producen en mercados verdaderamente libres, en los
que los precios fluctúan para coordinar producción con demanda.
Los críticos de la posición austriaca pueden apuntar que Novartis, una empresa privada, no cumplió sus compromisos
contractuales sobre la vacuna de la gripe. Por tanto, ni siquiera el mercado hubiera estado preparado para ofrecer las
vacunas de forma adecuada. Este argumento superficial es erróneo en muchos aspectos. Primero, el DHHS confirió a Novartis
un monopolio legal de la producción y distribución de la vacuna de la gripe. En un mercado abierto para las vacunas, otras
empresas médicas y farmacéuticas podrían haber previsto la escasez y reordenar sus bienes de capital hacia la producción de
la vacuna H1N1.
De hecho, la escasez no era ningún se secreto y se había informado de ella durante meses, pero los derechos de monopolio
evitaron que otros entraran en el mercado. La baja producción de Novartis, si se hubiera dejado que los precios hicieran su
función, hubiera sido una bendición para compañías flexibles como Pfizer o Jonson & Jonson. Hubieran fabricado medicinas
hasta que se alcanzara el precio de clearing del mercado.
Pero esto no es todo. El DHHS, mediante la rigidez del contrato, dejó a Novartis lista para fracasar desde el mismo inicio. Al
acordar el importe total del proyecto por adelantado, el DHHS establecía un techo de costes para Novartis. Es posible que
Novartis de diera cuenta en seguida de que producir 150 millones de dosis contra la gripe anualmente durante ocho años
requeriría más recursos de los que podría permitirse comprar con un ingreso máximo posible de 486 millones de dólares.
En un mercado libre, los empresarios a cargo de Novartis podrían haber considerado si podían o no recuperar los costes extra
cobrando precios más altos. Con un contrato con el gobierno, las manos de Novartis estaban atadas. Sólo podían hacerlo lo
mejor posible para no perder dinero.
El monopolio legal y el tope de ingresos también funcionaron como impedimentos para la excelencia en la provisión de
servicios de sanidad. Como Novartis sólo puede obtener una remuneración total de 486 millones y como no tiene competencia
literalmente, no tiene incentivo para exceder sus obligaciones con el gobierno.
De hecho, incluso tienen un incentivo para hacerlo peor. Es mucho más costoso para un departamento federal cambiar su
proveedor monopolístico de vacuna que para una clínica o consumidor individual elegir entre proveedores de vacunas en
competencia. Dada su planificación centralizada y su ingreso fijo, sólo puede ser lógico que Novartis incumpla plazos y
produzca menos vacunas. Mientras esta baja producción no sea tan drástica que el DHHS rescinda su monopolio, siempre hay
formas de bajar costes y aumentar beneficios.
Además de fallar en el cálculo de precios, cantidades y pagos, el socialista DHHS también falló en elegir el método más
eficiente de producir la vacuna contra la gripe. El contrato, de acuerdo con lo que dice la web de Noavrtis, incluye regulaciones
sobre las instalaciones empleadas para la producción.
Además, al otorgar el monopolio legal a Novartis, el DHHS ordenó que la vacuna debía producirse y distribuirse usando
solamente el método de producción propio de Novartis. Como todos hemos visto claramente, su método está lejos de ser
perfecto y probablemente no es el mejor que el mercado pueda ofrecer.
En un libre mercado de la vacunación, las distintas empresas emplan distintos métodos para la producción de las mismas o
casi uguales vacunas: esta es la razón poa la que varían los costes de las empresas. Si se les permitiera competir en precios,
seguridad o confianza, los mejores procesos de producción y distribución ganarían rápidamente el negocio de los pacientes
que pueden elegir.

4. Esto llevaría a mayores cantidades de vacunas de alta calidad utilizando procesos que usen relativamente menos recursos.
Aunque esto no parezca muy importante para la provisión de vacunas contra el H1N1, para epidemias más mortales la
importancia d ela competencia no debe desdeñarse.
Debería quedar claro de nuestra exposición que el problema del cálculo socialista de Mises y el problema del conocimiento de
Hayek afecta a toda intromisión del gobierno en la economía. Para destruir un mercado, un burócrata no necesita producir y
distribuir físicamente el bien a producir. Cualquier influencia que los burócratas y políticos desinformados y mal preparados
ejerzan sobre un mercado es seguro que tendrá efectos desastrosos.
Es un principio importante a tener en mente cuando se considera la legislación sanitaria de Obama. La perspectiva de
planificadores centrales estableciendo o influenciando en los noveles de reclamación, los límites de acceso a la asistencia y la
distribución de la tecnología médica tendría que ser suficiente para aterrorizar a cualquier persona con conocimientos de
economía.
Vacunación frente a los fallos del socialismo
Para resolver el problema pendiente de las inmunizaciones, las medidas políticas necesarias son sencillas:
Debería levantarse inmediatamente el monopolio legal de Novartis par la producción de vacunas contra la gripe, como debería
hacerse con todas y cada una de las regulaciones sobre la provisión de vacunas en el futuro.
Debe permitirse fluctuar el precio las vacunas antes de que la escasez prive aún a más gente de las vacunas que estén
dispuestos a apagar al precio de mercado y antes de que aparezca un mercado negro de vacunas para ajustar el mercado.
Lo más importante de todo, el fracaso titánico del DHHS para proveer esta vacuna debe tomarse seriamente como un presagio
de los horrores que traería la socialización o cuasisocialización de la medicina y los servicios de salud. La planificación central
de los mercados médicos tendría que ser categóricamente rechazada antes de que el gobierno fracase en la lucha contra una
epidemia más seria y mortal.
Matemáticas y epidemias
EN estos días nos encontramos inmersos en la vorágine mediática de la gripe porcina, cuyo foco original ha sido México, pero
que amenaza con extenderse por todo el Planeta. Por tanto, estamos ante una posible pandemia, una epidemia a nivel mundial,
de una gripe especial, conocida popularmente como gripe porcina, a la que los científicos han bautizado como la gripe AH1N1. La
Organización Mundial de la Salud ha establecido una alerta de nivel 5 sobre una escala de 6. Se ha generado una alarma
mundial. Todo el mundo está preocupado y, como curiosidad, hace unos días una amiga farmacéutica me comentaba que no
quedan en existencia mascarillas del tipo FFP2 y FFP3, que son las útiles para evitar contagios según un experto entrevistado
en un medio nacional. He de reconocer que hasta ahora no tenía ni idea de mascarillas, pero todos los días se aprende algo.
¿Estamos entonces ante la pandemia del siglo XXI (la madre de todas las epidemias) como algunos agoreros de buena o mala
fe nos anuncian? Difícil pronunciarse en este tema. Los seres humanos hemos sido víctimas de epidemias desde que existimos,
desde la reciente gripe aviar hasta la peste en siglos pasados o la gripe española; pero lo que sí es seguro es que seguiremos
sufriendo epidemias y nos seguiremos preocupando por ello.
A estas alturas se estarán ustedes preguntando qué tienen que ver las Matemáticas en todo esto. Pues mucho. A lo largo de los
tiempos nos hemos preocupado por las epidemias y sus efectos perniciosos sobre nuestra salud y la amenaza -con su
componente de miedo más o menos racional- de morir por contagiarse de un enfermedad. Luego, es lógico que las
Matemáticas aparezcan en este tema porque también a lo largo de la Historia se han preocupado por analizar y dar respuesta
a las inquietudes y problemas que nos surgen en la vida real y cotidiana. Algún lector o lectora dirá "pues yo no conozco más

5. aplicaciones de las Matemáticas que las de realizar operaciones con números". Desgraciadamente muchas veces lo importante
no es suficientemente visible, porque quién diría que para las intervenciones quirúrgicas de corrección de miopía o
astigmatismo son imprescindibles los polinomios de Zernike que permiten describir las aberraciones ópticas, qué sería de las
TAC (tomografía axial computerizada) o de las RMN (resonancia magnética nuclear) sin los algoritmos matemáticos de
reconstrucción de imágenes. Sin embargo, escribir sobre las aplicaciones de las Matemáticas en nuestra cotidianidad requiere
de otro artículo.
Ciñéndonos a nuestro tema, dentro de las Matemáticas existe la denominada Teoría de las Epidemias que se encarga de
construir modelos matemáticos de las enfermedades. Su origen se remonta al siglo XVIII cuando un matemático holandés, y
médico, Daniel Bernoulli estudió la propagación de la viruela entre la población francesa y propuso a la Academia de Ciencias
de París, como técnica para reducir la mortandad por viruela, que era alrededor del 10% entre la población joven, la
inoculación con virus vivos obtenidos de pacientes. Él introdujo las ecuaciones diferenciales -ecuaciones que involucran
derivadas- como método de estudio. Posteriormente, otro médico, Sir Ronald Ross, Premio Nobel de Medicina en 1902 y
apasionado de las Matemáticas introdujo en 1911 el considerado primer modelo diferencial de la teoría de epidemias: el modelo
SI, donde se consideraba una población fija de individuos con dos posibilidades: los infectados o los susceptibles de infectarse.
Ross consideró este modelo en el marco de sus investigaciones sobre la malaria. Años más tarde Kermack y McKendrick
introducen un modelo donde aparece una tercera posibilidad: la de los recuperados, aquellos individuos que contraen la
enfermedad y se recuperan. Desde entonces los modelos han mejorado muchísimo, incluyendo poblaciones variables,
vacunación, período latente de la enfermedad, etc. Hoy en día existen modelos matemáticos mucho más complejos y precisos
que simulan enfermedades -sean o no contagiosas- desde el SIDA hasta el crecimiento tumoral -el denominado proceso
angiogénico-. Para obtener estos modelos trabajan equipos multidisciplinares formados por físicos, biólogos, genetistas,
matemáticos, informáticos, médicos, etc. Esta investigación de alto nivel tiene como objetivo ser útil clínicamente como ocurrió
con la nueva generación de medicamentos contra el SIDA que han mejorado notablemente la calidad de vida de estos enfermos.
En el grupo de investigadores de la Rockefeller University que contribuyó a estos avances también se encontraban, cómo no,
matemáticos.
Modelaje matemático de epidemias
El modelaje matemático de epidemias consiste en el uso del lenguaje y herramientas matemáticas para explicar y predecir
el comportamiento de agentes infecciosos y potencialmente dañinos a poblaciones humanas o animales.
Modelos deterministas
En un modelo determinista la enfermedad puede infectar a los individuos de manera aleatoria. Sin embargo, la ley de los
grandes números nos asegura que el número de infecciones se va haciendo cada vez más predecible conforme el tamaño de la
población aumenta. Debido a esto los modelos deterministas son usados para tratar enfermedades que afectan a poblaciones
grandes y a menudo surgen representados a través de ecuaciones diferenciales.
Terminología
A continuación se da una breve descripción de la notación que usaremos a lo largo de los modelos deterministas (por orden de
aparición):
• S - Individuos susceptibles (ver modelo SIR).
• I - Individuos infectados (ver modelo SIR).
• R - Individuos recobrados (ver modelo SIR).
• N - Población total.

6. • β - Tasa de contagios (probabilidad de que una persona enferme al estar en contacto con un infectado).
• 1/γ - Tiempo promedio de infección (para un solo individuo).
• μ - Tasa promedio de defunciones (probabilidad de que un individuo infectado muera debido a la enfermedad).
• f - Tasa promedio de pérdida de inmunidad en individuos recobrados.
• E - Tasa promedio de nacimientos.
• 1/ε Tiempo promedio de incubación.
• B - Tasa promedio de nacimientos.
• M - Infantes con inmunidad pasiva.
• δ - Tiempo promedio de inmunidad temporal.
Modelo SIR [editar]
En 1927, W. O. Kermack y A. G. McKendrick crearon el modelo SIR que considera una enfermedad que se desarrolla a lo largo del
tiempo y únicamente tres clases de individuos (de donde proviene el nombre):
• S(t) representa a los individuos susceptibles, es decir, aquellos que no han enfermado anteriormente y por lo tanto
pueden resultar infectados al entrar en contacto con la enfermedad.
• I(t) representa a los individuos infectados y por lo tanto en condiciones de transmitir la enfermedad a los del grupo
S.
• R(t) representa a los individuos recobrados de la enfermedad, y que ya no están en condiciones ni de enfermar
nuevamente ni de transmitir la enfermedad a otros.
El flujo de transiciones de un grupo a otro se da como sigue:
Dada una población fija N=S(t)+I(t)+R(t), Kermack y McKendrick obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que
describen el modelo:

7. Modelo SIR con nacimientos y muertes. [editar]
Éste es una ampliación del modelo SIR y considera nacimientos a lo largo del tiempo t, de modo que hay una constante
renovación de individuos susceptibles a la enfermedad. Del mismo modo, algunos individuos mueren o bien por la enfermedad o
de manera natural al cabo de un tiempo de haber sido recobrados.
El flujo de transiciones de un grupo a otro sigue siendo:
Las ecuaciones diferenciales que representan el modelo son:
Modelo SIS con nacimientos y muertes [editar]
Simplificación del modelo SIR con nacimientos y muertes, en donde un individuo recobrado nunca desarrolla inmunidad a la
enfermedad, de modo que el flujo de un grupo a otro resulta:
Sus ecuaciones diferenciales son:
Modelo SIRS [editar]
Extensión del modelo SIR, en donde los individuos recobrados pueden perder la inmunidad a la enfermedad y volver a formar
parte del grupo de susceptibles. El flujo de un grupo a otro está dado como sigue:
Sus ecuaciones diferenciales son:

8. Modelo SEIS [editar]
El modelo SEIS considera una nueva clase de individuos E (del inglés exposed), es decir, aquellos que portan la enfermedad
pero que al hallarse en su periodo de incubación no muestran síntomas y no están en condición de infectar a otros. Se supone
además que un individuo que ha enfermado nunca obtiene inmunidad, de modo que el flujo de grupos resulta:
y sus ecuaciones diferenciales están dadas por:
Modelo SEIR [editar]
Derivado del modelo SEIS pero agregando esta vez a la población de recobrados. En este caso, al igual que los anteriores, cada
grupo es mutuamente excluyente y la suma de todos es la población total, esto es, N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)
El flujo de un grupo a otro es:
y sus ecuaciones diferenciales resultan:

9. Modelo MSIR [editar]
Éste modelo considera una nueva clase de individuos M, los llamados infantes con inmunidad pasiva que tras cierto tiempo la
pierden y están en condición de ser portadores de la enfermedad (para una descripción más detallada véase Inmunidad
(medicina)). Los flujos de grupo resultan:
y sus ecuaciones diferenciales:
Modelo MSEIR
Derivado del modelo anterior, en donde entre el periodo de susceptibilidad e infección hay un periodo de latencia, de modo que
el flujo entre un grupo y otro es:
y sus ecuaciones diferenciales:

10. Modelos no deterministas
Para poblaciones pequeñas la fluctuación de una enfermedad puede ser muy grande y debido a esto se vuelve necesario
considerar el factor aleatorio en el modelo. En estos casos la probabilidad se hace presente y las variables aleatorias pasan a
sustituir a las ecuaciones diferenciales como herramientas para resolver el problema.
Procesos de ramificación
Uno de los modelos más simples se puede obtener a partir del proceso de ramificación de Bienaymé-Galton-Watson (llamado
más comúnmente Proceso Galton-Watson). Éste proceso estocástico discreto modela una población que evoluciona en el
tiempo y en cada etapa el proceso puede tomar valores enteros no negativos, que representarán el tamaño total de la
población en dicho periodo.
Usando el modelo antes mencionado podemos considerar una epidemia donde la "población" consistirá justamente en el
conjunto de todos los individuos enfermos, y para cada enfermo su "descendencia" será el número de individuos nuevos que
contagia. Conociendo la función de distribución de nuevos contagios es posible entonces calcular, entre otras cosas, el índice
de contagio y la probabilidad de extinción. Éstas magnitudes tienen importancia tanto teórica como práctica, pues uno de los
aspectos más importantes de una epidemia es su agresividad y posible alcance.
Referencias
Anderson, R. M. ed. (1982) Population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications, Chapman and Hall,
London-New York.
• Trottier, H., & Philippe, P. (2001). Deterministic modeling of infectious diseases: theory and methods. The Internet
Journal of Infectious Diseases. Retrieved December 3, 2007, from http://www.ispub.com/ostia/index.php?
xmlFilePath=journals/ijid/volln2/model.xml.
http://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias
Por Eric M. Staib. (Publicado el 22 de octubre de 2009)
Traducido del inglés. El artículo original se encuentra aquí: http://mises.org/story/3792.