1. Unidad nº1: Funciones Esc. Rogelio Boero curso: 5º 3º
UNIDAD Nº1: FUNCIONES
Crecimiento y decrecimiento de funciones
En general una función f: A IR , se dice que es creciente si al aumentar los valores de x también
aumentan los valores de f(x),como se muestra en el grafico
f es creciente si se verifica que x1<x2 entonces
f(x1)<f(x2)
Una función f: A IR , es decreciente si al aumentar los valores de x disminuyen los valores de f(x)
f es decreciente si para x1<x2entnces f(x1)>f(x2)
Determinar si los siguientes gráficos representan funciones crecientes o decrecientes
a) b) c) d)
Inervados de crecimiento y de decrecimiento
No todas las funciones numéricas son crecientes o decrecientes, algunas presentan intervalos donde se
combinan las dos cosas
Por ejemplo: El siguiente grafico representa la temperatura atmosférica en funciona de la altitud
Completar la siguiente tabla:
Altitud De 0 a10km De 10 a 30km De 30 a 90km De 90 a120km
Temperatura
1

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En los intervalos (13,30) y (90,120), la temperatura…………; estos son los inervados
de…………………….. de la función
En los inervados (0,10) y (30,90), la temperatura………..; son los inervados de……………. de la función
Se puede observar en el grafico, que para una altitud de 30km, la temperatura alcanza un valor que es mayor
que todos los que corresponden a altitudes próximas
Se dice que, en ese valor, la función alcanza máximo local o relativo
Por otro lado una altitud de 10km, la temperatura alcanza un valor que es menor que todos los que
corresponden a altitudes próximas, lo mismo sucede para una altitud de 90km
Se dice que, en ese valor, la función alcanza mínimo local o relativo
A una altura de 0km, la temperatura es mayor que en todas las demás altitudes. Se dice que en ese valor, la
función alcanza un máximo absoluto.
También se observa que a 90km de altitud, la temperatura es menor que en todas las demás altitudes de la
atmósfera.
Se dice que, la función alcanza un mínimo absoluto
Ejercitación:
1) De acuerdo con el grafico anterior: Indicar cuales son las temperaturas correspondientes a los
máximos y a los mínimos relativos
2) ¿Cuál es la temperatura máxima de la atmósfera? ¿Y la mínima?
Máximos y mínimos absolutos: propiedades:
Una función puede alcanzar su máximo absoluto (mínimo absoluto) en mas de un punto
Una función puede no alcanzar un valor máximo absoluto ( o mínimo absoluto)
Una función continua en un intervalo cerrado alcanza un valor máximo absoluto y un valor
mínimo absoluto
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Indicar en el siguiente grafico máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento
Raíz de una función
Las raíces de una función son los valores de x que hacen que y valga cero. Como y vale cero la grafica corta
al eje x
Ordenada al origen de una función
La ordenada al origen de una función es el valor que toma y cuando x vale cero. De esta manera la ordenada
al origen de una función es donde la grafica corta al eje y
Para tener en cuenta:
El grafico de una función corta al eje y (ordenada al origen)cuando x vale 0
El grafico de una función corta al eje x (Raíz) cuando y vale 0
Como el eje de la s x es la recta real, puede suceder que la función no tenga contacto con el
eje x, en cuyo caso la función no tiene raíces reales
Formas de definir funciones
Ya habíamos visto que las funciones se pueden representar, con diagramas de venn, por medio de tablas,
mediante un grafico o una formula
Vamos a analizar funciones definidas por formulas
Cuando una función viene dada por formula, el dominio es el conjunto de valores de x para los cuales se
puede calcular f(x)
Por ejemplo:
Si f(x)= 2x, x pude tomar cualquier valor real, ya que siempre se puede calcular 2.x. En este
caso el Dom f= IR
2 2
Si f(x) = , en x=1 no se puede calcular , ya que la división por cero no esta
x 1 x 1
definida. Diremos entonces que el Dom f=IR - 1
Si f(x)= x 2 ,en este caso ,para poder aplicar la fórmula, x de ser mayor que -2.Por que no se
pueden calcular raíces negativas de índice par
Dom f= [-2, )
3

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Familias de funciones
Función Valor Absoluto
“El valor absoluto de un número es la distancia que existe entre ese número y el cero”
¡A trabajar!
1) Graficar la siguiente funciones en un mismo eje cartesiano
a) f(x) = x b) f(x) = x 1 c ) f(x) = x 1
I. Hallar domino e imagen de cada función
2) Graficar las siguientes funciones e indicar dominio e imagen
x 3
a) f(x) = x b) f(x) = x 2 c) f(x)=
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Función Cúbica
1) Representar gráficamente las siguientes funciones en un mismo eje cartesiano. Indicar dominio e
imagen
a) f(x) = x3 f(x) = x3-1 f(x) = x3+1
b) f(x) = -x3 f(x)= -x3-1 f(x) = -x3+1
c) f(x)=(x-1)3 f(x)= (x+1)3 f(x)=(x-1)3-2
Conclusión:………………………………………………………………………………
Función Racional
a
Así como llamamos números racionales a los números de la forma con a y b enteros (b 0 ), llamaremos
b
expresiones racionales a las expresiones de la forma:
Donde P(x) y Q(x) son polinomios de una sola indeterminada x, siendo Q(x) no nulo
Por ejemplo:
3 3x 2 5 x 1
I) II)
x x3 6 x 2
Formalicemos:
Llamaremos funciones racionales a las funciones cuya formula es una expresión racional:
P( x)
f(x) =
Q ( x)
Para tener en cuenta
El dominio de estas funciones es el conjunto mas amplio de números reales para el cual la formula tiene
sentido. Como la división por cero no esta definida, el dominio de una función racional es el conjunto de
todos los valores de la variable que no anulan al denominador
¡A trabajar!
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Actividad nº1: Determinar el dominio de las siguientes funciones racionales:
x 8 x 7 x 3
a) g ( x) b) p(x)= c) r(x)=
x 2 x 7 x.( x 3)
Nos podemos encontrar con funciones racionales en las que para determinar el dominio de la función sea
necesario factorear el denominador
3x 4
Por ejemplo: h(x)=
x2 9
Para indicar su dominio factorizamos el denominador con las técnicas que ya conocemos x 2-9= (x-3). (x+3)
Raíces del denominador x1=3 y x2=-3 entonces el
Dom h = IR 3, 3
Gráfico de funciones racionales:
 Intersección con el eje y
La intersección del grafico de una función f(x) con el eje y se produce cuando los variable x se anula .Esto
es posible únicamente si x=0 pertenece al dominio de f(x); en caso contrario, no hay intersección
x 2
Por ejemplo: Consideremos la función f(x) = 2 Dom f = ………………
x 1
Nos preguntamos ¿x= 0 pertenece al dominio de f?..............; entonces, calculamos f (0)=……………La
intersección del grafico de f con el eje y es el punto P = (….,….)
 Ceros de la función
La intersección del grafico de una función racional con el eje x se produce para los valores de x que anulan
la función, es decir, para aquellos que anulan el numerador y que pertenecen al dominio de f. Estos valores
de x, si existen, los llamamos ceros de la función
x 1
Ejemplo 1: Hallaremos los ceros de la función f(x)= Dom f=…………..
x 1
Para hallar los ceros resolvemos la ecuación x+1=0 entonces x=-1
Como x=-1 pertenece al dominio de la función, el conjunto de ceros de f(x) es C0= .......
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¡A trabajar!
Actividad nº 2: Indiquen el punto de intersección del grafico de cada una de las siguientes funciones con el
eje y, si es que existe:
x 2 x4 4 5x
a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) =
x2 4 x 2 x 3
x
Actividad nº 3: Hallen los ceros de las funciones del ejercicio anterior, si es que existen
 Asíntotas verticales
Estudiaremos una característica que suelen presentar algunas funciones racionales
1
Consideremos la función f(x) = , cuyo dominio es: Dom f =……..Como no podemos calcular f(0),
x
x f(x) x f(x)
1 -1
2 -2
3 -3
4 -4
0,25 -025
La ecuación x=0 es una asíntota vertical de la función
Asíntotas verticales: Existen∞ si f(x) tiende a +∞ o a -∞ cuando x tiende a un valor aque no pertenece al
dominio de la función .En este caso, la recta de ecuación x=aes una asíntota vertical de f(x)
En general si x=a anula al denominador de f(x) y no anula a su numerador, entonces x=a es asíntotavertical
de f(x)
 Asíntotas horizontales
1
Continuaremos analizando la función f(x) = para estudiar otra característica que suelen presentar algunas
x
funciones racionales
A) Valores de x cada vez mayores (+ ) B) Valores de x cada vez menores (- )
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x f(x) x f(x)
20 -20
30 -30
40 -40
50 -50
100 -60
A medida que x toma valores cada vez A medida que x toma cada vez valores
mayores ,los valores de f(x) están cada menores, los valores de f(x) están cada
vezmas próximos a ……………....... vez mas próximos a …………………
Si x tiende a + o a - , cada una de las ramas del grafico
de f(x) se aproxima a la recta horizontal cuya ecuación es :
y=………..(es el eje……..)
Esa recta es una asíntota horizontal de la función
Asíntotas horizontales: existen si f(x) tiende a un valor b cuando x tiende +∞ o a -∞.En ese caso, la recta
de ecuación y=b es una asíntota horizontal de f(x)
Las funciones racionales pueden tener más de una asíntota vertical
1
Por ejemplo: g(x) = tiene dos asíntotas
( x 1).( x 2)
Verticales cuyas ecuaciones son x= -1 y x=2
1
Actividad nº 5:¿Es cierto que la función f(x) = tiene una asíntota vertical de ecuación x=0?¿Por qué?
x
Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado de numerador de su expresión es menor o igual
que el grado del denominador
1
Actividad nº6: ¿Es cierto que la función f(x) = tiene una asíntota horizontal de ecuación y= 0? ¿Por qué?
x
Actividad nº : Escriban las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de cada una de las funciones
graficadas
 Construcción del grafico
Para graficar una función racional, podemos seguir los siguientes pasos:
1º indicamos el dominio de f(x), a partir de su fórmula original
7

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2º Nos fijamos si la expresión es reducible .En caso de serla la simplificamos
3º Analizamos si la función tiene asíntotas verticales .En caso de que existan escribimos sus ecuaciones y las
trazamos en el gráfico con línea punteada
4º Analizamos si la función tiene asíntotas horizontales .En caso de que existan, escribimos las ecuaciones
de las asíntotas horizontales y las trazamos en el gráfico con línea punteada
5º Hallamos el punto de intersección del gráfico con el eje y, si es que existe y lo marcamos en el grafico
6ºHallamos los ceros de la función, si es que existen y los marcamos en el grafico
7º si es necesario, calculamos algunas imágenes de la función que nos ayuden a trazar el grafico .Por
ejemplo si hay asíntotas verticales, suele ser útil obtener las imágenes de los valores de x próximos a ellas, a
uno y otro lado de cada una
8º Trazamos el grafico f(x) de modo que la curva pase por los puntos que marcamos y se aproxime a las
asíntotas, si es que existen
3x 6
Ejemplo :1 Graficamos la función f(x) =
2x 2
Indicamos su dominio: Dom f =……………
¿Es reducible la expresión de la fórmula de f(x)?...............
Analizamos si tiene asíntota vertical:
El valor de x que anula el denominador de la fórmula de f(x) es: x=…….. Nos preguntamos ¿Anula
también al denominador?..........Entonces la ecuación de la asíntota vertical es x=……….
Trazamos una línea punteada para marcar esa asíntota
Analizamos si tiene asíntota horizontal:
Como los grados de los polinomios numerador y denominador son:……………,
Calculamos el cociente de los coeficientes principales……………..
Ecuación de la asíntota horizontal y=……….Trazamos una línea puntada para marcar esa asíntota.
Hallamos la intersección del gráfico con el eje y:
f(…..) =…………..=…………entonces P= (…..,……).Marcamos ese punto
Hallamos los ceros:
Planteamos……………..=0 entonces x=…………..entonces C0= .......
Marcamos ese punto en el grafico
Calculamos algunas imágenes más y marcamos eso puntos:
f(1) =……….. f(2)=……… f(-3)=……… f(-4)=………
Trazamos las dos ramas de la curva de f(x)
haciéndola pasar por los puntos que marcamos
Ejemplo 2: f(x)=
1º) Indicamos el dominio de la función Domf=……..
2º) Si la expresión es irreducible, la reducimos f(x)=
3º) Hallamos la ecuación de la asíntota vertical x=……
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9. Unidad nº1: Funciones Esc. Rogelio Boero curso: 5º 3º
4º) Halamos la ecuación de la asíntota horizontal (si posee) y=………….
5º) Hallamos la intersección con el eje y(0)=……..
6º) Hallamos los ceros de la función
7º) Calculamos unas imágenes más y marcamos esos puntos
f(…)=…… f(….)=….. f(….)=…. f(…)…
8º) Graficamos
Actividad nº 12: Grafiquen las siguientes funciones
3x 12 2x2 3x
a) f ( x) b) g(x) =
2x 4 x2 x
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