2. El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales
menos los valores de x que anulan el denominador.
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa
de ecuación:
Las funciones racionales son del tipo:
FUNCIÓN RACIONAL:
Ya estudiamos las funciones lineales y cuadráticas, ahora
estudiaremos las funciones racionales que son expresiones que
tienen forma parecida a los números racionales o fraccionarios,
como también se les conoce, un numerador y un denominador,
en el caso que vamos a estudiar estos términos serían
funciones. También se les conoce como funciones polinómicas
porque sus términos son polinomios. Atendiendo a estos
señalamientos la función racional se expresa de la siguiente
manera:
3. Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de
las funciones
4. Una función trigonométrica f es aquella que está asociada a una razón trigonométrica.
Éstas extienden su dominio a los números reales.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un
triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Seno
El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto
opuesto (a) y la hipotenusa (c).
5. La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección
de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.
Dominio:
Condominio:
Derivada de la función seno:
Integral de la función seno:
6. Función valor absoluto
Valor absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en
cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y
de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuatemiones, anillos ordenados,
cuerpos o espacios vectoriales.
Ejemplo 1: f es una función dada por
f (x) = | x - 2 |
Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
Encuentra el dominio y el rango de f.
Dibuje la gráfica de f.
Solución del Ejemplo 1
a - La intersección está dada por
(0, f (0)) = (0, | -2 |) = (0, 2)
La coordenada x de la intersección x es igual a la solución de la ecuación de
| x - 2 | = 0
que es
x = 2
7. La x se intercepta en el punto (2, 0)
b - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales
Desde | x - 2 | puede ser positivo o cero para x = 2; el rango de f está dada por el intervalo [0, + infinito).
c - Para dibujar la gráfica de f (x) = | x - 2 |, nos primer esbozo de la gráfica de y = x - 2 y luego tomar el
valor absoluto de y.
La gráfica de y = x - 2 es una línea de intersección con x (2, 0) y la intersección y (0, -2). (véase el gráfico
más abajo)
8. Función exponencial:
1. Funciones exponenciales
Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial; por ejemplo, un
papel que se dobla sucesivamente en 2 partes iguales. La hoja de un determinado grosor tendrá
al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el segundo doblez tendrá un grosor
equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego grosor 8, 16, 32, 64, … etc.
En otro ejemplo práctico, vemos crecimiento exponencial en el aumento de un capital invertido a
interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones.
Al contrario, vemos que las partículas radiactivas tienen una función exponencial que da cuenta la
desintegración de la partícula inicial en el tiempo.
1.1 Definición de función exponencial
Se llama función exponencial de base a, a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número
positivo distinto de 1.
Por lo tanto, en una función exponencial la variable independiente (absisa) es el exponente de la función.
Por su propia definición, el dominio de toda función exponencial es el conjunto de los números reales R.
1.2 Función exponencial según el valor de la base.
- Si 0 < a < 1, entonces f(x) = ax es decreciente, puesto que la base es una fracción positiva o decimal
menor que 1. Luego si el exponente aumenta, entonces el valor de ax disminuye.
9. Revisar
En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función exponencial de base de una base,
f (x) = ax , a > 0 y no es igual a 1.
El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo (0, +
infinito).
La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene interceptar ay en (0, 1). f es una
función creciente si a es mayor que 1 y una función decreciente si a es menor que 1.
Es posible que desee revisar todas las propiedades anteriormente mencionadas de la función exponencial de
forma interactiva.
Ejemplo 1: f es una función dada por
f (x) = 2 (x - 2)
Encuentra el dominio y el rango de f.
Encuentra la asíntota horizontal de la gráfica.
Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica. de f si los hay.
Dibuje la gráfica de f.
10. Respuesta a la Ejemplo 1
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. Para encontrar el rango de f, empezamos
con
2 x > 0
Multiplica ambos lados por 2 -2 lo cual es positivo.
2 x 2 -2 > 0
Usar las propiedades exponencial
2 (x - 2) > 0
Esta última declaración sugiere que f (x)> 0. El rango de f es (0, + inf).
Como x disminuye sin límite, f (x) = 2 (x - 2) se aproxima a 0. La gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y
= 0.
Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación
f (x) = 0
2 (x - 2) = 0
Esta ecuación no tiene solución, consulte el rango de lo anterior, f (x)> 0. La gráfica de f no tiene una x
interceptar. La intersección está dada por
(0, f (0)) = (0,2 (0 - 2)) = (0, 1 / 4).
11. Hasta el momento tenemos el dominio, rango, intersección y la asíntota horizontal. Necesitamos puntos
extra.
(4, f (4)) = (4, 2 (4 - 2)) = (4, 2 2) = (4, 4)
(-1, F (-2)) = (-1, 2 (-1 - 2)) = (-1, 2 -3) = (-1, 1 / 8)
Aprovechemos ahora toda la información anterior para graficar f.
Igualados Problema Ejemplo 1: f es una función dada por
f (x) = 2 (x + 2)
Encuentra el dominio y el rango de f.
Encuentra la asíntota horizontal de la gráfica de f.
Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
Dibuje la gráfica de f.
12. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un
número) y se denomina la base del logaritmo.
Seguramente ya se han estudiado los logaritmos por lo que conoces la definición de logaritmo de un
número (b) en una cierta base (a): loga(b)=n si se cumple que an=b.
Definíamos por tanto el logaritmo en una cierta base "b" de un número "a" como el exponente al que hay
que elevar la base b para obtener el número a.
Esto nos relaciona la función logarítmica con la exponencial. También lo veremos posteriormente de
forma gráfica.
También sabremos que la base (b) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de
la potencia de una función exponencial) y además no debe ser 1 ya que log1(a) en general no existe ya
que si a no es 1 1n no puede ser a.
Sabemos también que las bases más utilizadas para los logaritmos son las base 10 (logaritmos
decimales) y la base el número "e=2,718281.." (logaritmos neperianos).
13. Ejemplo de funciones logarítmicas:
1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .
14. 3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1,
0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
15. 4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .
Las función g(x) es convoca ya que 0 < a < 1 .
5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asíntota en el eje
Y.
6) Tabla de valores:
