Chapas ingenieria-estructural-capitulo-i

ESTATICA APLICADA
CAPITULO I
ESTÁTICA APLICADA.
I.1. Generalidades.
En el estudio de la Mecánica racional se estudian conceptos básicos relacionados con el
comportamiento estático de los cuerpos rígidos, entendiéndose que estos se representan
como una forma resistente conformada por un elemento o conjunto de elementos
relacionados entre sí y dispuestos en una forma tal que permiten soportar de una manera
adecuada las cargas o solicitaciones a las cuales se encuentra sometidas sin colapsar, esta
definición es lo que conocemos como el concepto de ESTRUCTURA [1].
En la práctica de la Ingeniería Civil normalmente se presentan situaciones en la cuales
se requiere diseñar y construir estructuras diversas necesarias para la adecuada
funcionalidad y seguridad del proyecto ingenieril. En este contexto podemos clasificar las
estructuras de la siguiente forma:
a) Según su geometría: - Planas
- Tridimensionales.
b) Según el tipo de conexiones: - Articuladas como las armaduras.
- Rígidas como los pórticos.
- Mixtas como los marcos.
c) Según el tipo de Sistema Constructivo: - Aporticadas.
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ESTATICA APLICADA
- Apantallada (Muro Estructural).
- Mampostería Confinada.
- Mampostería Armada.
- Sistema tipo túnel.
- Mixtos.
Para la realización de un Proyecto Estructural se deben cumplir tres etapas
fundamentales que son:
1) Definición del Sistema Constructivo a emplear: En esta etapa se definen los ejes
estructurales, estimación de las solicitaciones o cargas de diseño (cargas vivas o de
uso, cargas muertas o de peso propio, cargas sísmicas, de viento, de empujes
laterales, etc.), predimensionado de los elementos estructurales, chequeo de
ESTABILIDAD y modelaje de la estructura.
2) Análisis Estructural: En esta etapa se determinan las capacidades resistentes y de
rigidez de los elementos estructurales para evaluar el comportamiento estructural
de toda la estructura y de sus elementos componentes.
3) Detallamiento y Diseño Final: En esta etapa se optimiza el predimensionado en
función de las demandas reales que imponen las solicitaciones y se detallan y
calculan las conexiones y demás componentes secundarios del sistema estructural.
I.2. ESTABILIDAD.
I.2.1. Concepto de Estabilidad.
Como se evidencia en el párrafo anterior asegurar la estabilidad de un sistema
estructural es un aspecto de suma importancia en el diseño inicial. Una estructura
ESTABLE es aquella capaz de soportar las cargas actuantes de manera inmediata y en el
rango del comportamiento elástico sin colapsar [1], en donde todos los puntos que la
conforman permanecen en su posición inicial, es decir, que su posibilidad de movimiento o
Grados de Libertad (G.D.L.) como cuerpo rígido deben estar restringidos.
En este contexto, el estudio de la estabilidad es un problema que no depende del tipo de
solicitaciones que se encuentran actuando sobre la estructura sino que mas bien depende de
que se satisfagan algunas condiciones relacionadas con sus características geométricas
(cantidad, disposición y ubicación de los elementos estructurales) y de la cantidad y el tipo
de vínculos que posea, tanto internos como externos.
Para entender estos conceptos es necesario definir lo que se refiere a los vínculos. Se
entiende por vínculo en términos estructurales, a todo elemento físico que produzca
restricción de uno o más G.D.L. de una estructura [1]. Estos pueden clasificarse en forma
general como vínculos internos y vínculos externos.
Los vínculos internos están representados por las conexiones entre los elementos que
conforman la estructura y suelen llamarse “nodos o juntas”, mientras que los vínculos
5

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externos representan la interacción de la estructura con el suelo o con otras estructuras
existentes y suelen ser llamados “apoyos”.
Los vínculos pueden clasificarse también por el grado de restricción que imponga a una
estructura [1], así por ejemplo un vinculo que restrinja un Grado de libertad (G.D.L.) se
denomina vínculo de 1ER
orden, el que restringe 2 G.D.L. será un vínculo de 2DO
orden y el
que restringe 3 G.D.L. será un vínculo de 3ER
orden, como se muestra en la Figura I.1.
Vínculos Externos Vínculos Internos
RODILLO
(vinculo 1ER
orden)
BIELA
(vinculo 1ER
orden)
RODILLO
(vinculo 1ER
orden)
BIELA
(vinculo 1ER
orden)
ARTICULACIÓN
(Vinc. 2DO
orden)
ARTICULACIÓN FICTICIA
(Vinc. 2DO
orden)
ARTICULACIÓN
(Vinc. 2DO
orden)
ARTICULACIÓN FICTICIA
(Vinc. 2DO
orden)
EMPOTRAMIENTO
(vínculo de 3ER
orden)
EMPOTRAMIENTO FICTICIO
(vínculo de 3ER
orden)
EMPOTRAMIENTO
(vínculo de 3ER
orden)
EMPOTRAMIENTO FICTICIO
(vínculo de 3ER
orden)
I.2.2. Teoría de Chapas.
Un cuerpo rígido o forma resistente cualesquiera puede definirse considerando la
“Teoría de Chapas”, en donde se establece que todos los puntos que conforman la
estructura se encuentran contenidos en un espacio o plano (en el caso bidimensional) al cual
denominaremos “chapa”, siendo sus Grados de Libertad equivalentes a los G.D.L. del
cuerpo rígido [1]. En las Figuras I.2a), I.2b) e I.2c) se muestran algunos casos de
estructuras consideradas como chapa.
Consideremos ahora la chapa mas simple que puede existir en el plano, definida por el
triangulo ABC de la Figura I.3a), si asumimos un eje de coordenadas cartesianas xy
6
c) Pórtico estructural
a) Viga simplemente apoyada
b) Armadura o cercha
CHAPA
Figura I.2. Estructuras consideradas como chapas
bielas
bielas
biela
bielas
bielas
Figura I.1. Vínculos típicos empleados en estructuras

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entonces cada punto puede ubicarse a través de un par ordenado (x,y). Supongamos que
imponemos un vínculo para restringir únicamente las coordenadas y de la chapa, luego se
observa que el único desplazamiento posible de la chapa es en el sentido de las x lo cual
corresponde a una traslación en dicha dirección o G.D.L. en x, ya que el cuerpo es rígido.
Si hacemos la misma suposición restringiendo la coordenada x (Ver Figura I.3b))
entonces tendremos una traslación en y o G.D.L. en y. Ahora si mantenemos fija las
coordenadas x e y de un punto, por ejemplo el A (Figura I.3c)), mientras las coordenadas x
e y de B y C varían, entonces se obtiene una rotación de la chapa respecto al punto A o
G.D.L. de rotación.
De lo anterior podemos concluir que “toda chapa o cuerpo rígido en el plano posee un
máximo de 3 G.D.L.” [1] dados por dos traslaciones (respecto a x e y) y una rotación
respecto a un eje perpendicular al plano de la chapa que pasa por su centro instantáneo de
rotación (CIR).
I.2.3. Criterios de Estabilidad para una Chapa.
De lo anterior se evidencia que para que una chapa sea ESTABLE deberá poseer una
combinación de vínculos externos que genera al menos tres restricciones, lo cual
denominaremos el “Criterio de Estabilidad Nº 1 [1]; sin embargo este primer criterio es
una condición necesaria pero no suficiente ya que pueden existir “vínculos aparentes”, los
cuales se definen como aquellos que se encuentran ubicados en la estructura de tal forma
que no restringen todos los G.D.L. de la misma, tal y como se muestra en la Figura I.4.
7
a) Traslación en x
(xA
, yA
)
(xC
, yC
)
(xB
, yB
) (x’A
, yA
) (x’B
, yB
)
(x’C
, yC
)
A
C
B A’ B’
C’
y
x
b) Traslación en y
(xC
, yC
)
(xA
, y’A
) (xB
, y’B
)
(xC
, y’C
)
(xA
, yA
) (xB
, yB
)
A
C
B
A’ B’
C’
y
x
Figura I.3. G.D.L. de una chapa en el plano
c) Rotación respecto
al punto A
(xA
, yA
)
(xC
, yC
)
(xB
, yB
)
(x’B
, y’B
)
(x’C
, y’C
)
A
C
B
B’
C’
y
x
a) Viga inestable por vínculos aparentes b) Inestabilidad geométrica
Figura I.4. Estructuras inestables por disposición inedecuada de vinculos externos
G.D.L.
G.D.L.

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Para garantizar la estabilidad de la chapa, además de cumplir con lo señalado en el
párrafo anterior, deben existir al menos tres direcciones de CIR no concurrentes ni
paralelos entre si, lo que equivale a decir que la chapa posea un mínimo de tres CIR, lo
cual conoceremos como el “Criterio de Estabilidad Nº2” [1]. Debe resaltarse el hecho de
que si la chapa no cumple con alguno de los Criterios de Estabilidad entonces será
INESTABLE.
Para demostrar el segundo Criterio de Estabilidad recordemos de forma breve lo que
representa un Centro Instantáneo de Rotación (CIR). Un CIR o polo se define como el
punto alrededor del cual todos los demás puntos que conforman la chapa rotan el mismo
ángulo θ [1]. Este puede ser propio si se encuentra en un punto geométricamente definido
en el plano cartesiano dentro o fuera de la chapa, por ejemplo el punto A de la Figura I.3c),
o impropio si se encuentra en el infinito (CIR ⇒∞).
Para ubicar el CIR de una chapa puede utilizarse el vector de corrimiento el cual
indica la dirección de posibilidad de movimiento del punto i o G.D.Li de la chapa, luego
conocida la dirección de dicho vector el CIR se encontrara en algún punto sobre una
línea perpendicular a este. Si existe otro punto j con un vector de corrimiento entonces el
CIR se encuentra en la intersección de la perpendicular a y la perpendicular a (Ver
Figura I.5).
A tal efecto se puede observar que un vinculo de 1ER
orden (un rodillo o una biela)
genera una dirección de CIR con dirección perpendicular a la posibilidad de movimiento tal
y como se muestra en la Figura I.6a).
Por otra parte, un vinculo de 2DO
orden (una articulación) es un CIR propio ya que este
se puede generar por la combinación de dos vínculos de 1ER
orden, es decir, dos direcciones
de CIR y uno de 3ER
orden (un empotramiento) genera infinitas direcciones de CIR (∞ CIR)
8
i
v
i
v
j
v i
v
j
v
Figura I.5. Ubicación del CIR por los vectores de corrimiento
i
j
CHAPA
CIR
DIR CIR (vi
)
DIR CIR (vj
) i
v
j
v

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ya que este puede generarse por infinitas combinaciones de vínculos de 1ER
orden y 2DO
orden (Ver Figuras I.6b) e I.6c) respectivamente).
Para demostrar el segundo Criterio de Estabilidad analizaremos la Chapa de la Figura
I.7 que presenta 2 CIR propios y un CIR impropio. Si analizamos el G.D.L. del punto B
observamos que este presenta un vector de corrimiento vB1 respecto al CIR O1 y otro vector
vB3 respecto al CIR ⇒∞ O3 cuya dirección es distinta a la de vB1. Por lo tanto dado de que
el cuerpo es rígido se concluye que el punto B no se puede mover y tal situación ocurre
para cualquier punto de la Chapa, entonces se concluye que esta es ESTABLE.
I.2.4. Criterios de Estabilidad para una Estructura conformada por
varias Chapas.
Ahora extenderemos los conceptos de Estabilidad para una estructura compuesta de
varias chapas. Para ello consideremos la estructura mostrada en la Figura I.8 la cual esta
conformada por varios elementos estructurales.
9
Figura I.6. Direcciones de CIR generadas por vinculos externos
∞ CIR
DIR CIR
biela
∞ CIR
DIR CIR
a) b) c)
DIR CIR
DIR CIR
jx
v
iy
v
ix
v
iy
v
Figura I.7. Estructura estable por la existencia de 3 vinculos y 3 DIR de CIR
⇒
DIR CIR 1
DIR CIR 2
DIR CIR 3
CIR O1
CIR O2
CIR O3
CHAPA
DIR CIR 1 DIR CIR 2
DIR CIR 3
CHAPA
CIR O1
CIR O2
CIR ⇒∞ O3
A B
1
B
v
3
B
v
1
B
v
3
B
v
1
B
v
E F
C D
G
B
A
Figura I.8. Estructura de estudio conformada por varias chapas

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Para poder definir el número máximo de chapas en las cuales puede dividirse una
estructura debemos identificar los vínculos internos de 1ER
y 2DO
orden, ya que estos
representan las posibles uniones entre cuerpos rígidos o chapas [1], siendo estos los nodos
C, D E y F de la Figura I.8.
Luego debe asegurarse que los elementos unidos en estos nodos no se encuentren
vinculados entre si en ningún otro punto de tal forma que no conformen estructuras
cerradas más complejas que definan una sola chapa. Esta condición puede observarse si
analizamos el tramo ABC de la Figura I.8 la cual se encuentra unida al resto de la estructura
solamente en el punto articulado C representando por ende una chapa a la cual le
asignaremos el Nº 1. Una situación análoga puede describirse para el elemento DG
conectado en el punto articulado D, al que denominaremos Chapa Nº 3 (Ver Figura I.9).
Por ultimo se observa en la Figura I.9 que existen varios elementos unidos a los nodos
articulados E y F que se encuentran conectados también a los nodos C y D, conformado una
sola forma resistente cerrada, lo cual define la Chapa Nº 2.
Sabiendo como definir el numero de chapas máximo que conforma una estructura,
ahora estableceremos los criterios para garantizar su estabilidad considerando un caso
general como el que se muestra en la Figura I.10, en donde se observa una estructura
conformada por cinco chapas unidas entre si por vínculos internos de 1ER
y 2DO
orden.
Para establecer los Criterios de Estabilidad comenzaremos por definir el número
mínimo de restricciones por vínculos externos (N° de Rest. VEmin) que requiere una
estructura que puede subdividirse en un número máximo de “N” chapas, lo que equivale al
Criterio Nº 1 desarrollado en el párrafo anterior para una Chapa. Puede demostrarse que
cada articulación interna genera 2 x (n - 1) restricciones de los G.D.L. de la estructura, en
10
Figura I.10. Estructura de estudio conformada por cinco chapas
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3 CHAPA 4
CHAPA 5
Figura N° I.9. Definición del número mínimo de chapas
E F
C D
G
B
A
Chapa Nº 1
Chapa Nº 2
Chapa Nº 3

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donde “n” el numero de chapas que se encuentran unidas en la articulación considerada,
siendo N ≥ n; por otra parte cada rodillo o biela interna genera una sola restricción [1].
Los G.D.L. totales de la estructura sin considerar ninguna restricción se obtienen
tomando en cuenta los G.D.L. de cada una de las chapas que la conforman, luego
G.D.L. = 3 x N
Entonces para que la estructura sea estable, el número de G.D.L. debe ser restringido
tanto por los vínculos internos (Rest. por VI) como por los vínculos externos (Rest. por
VE), luego si conocemos las Rest. por VI, el numero mínimo de restricciones debido a los
vínculos externos (N° de Rest. VEmin) se obtienen restándole a (1) las restricciones
impuestas por los vínculos internos existentes como sigue
N° de Rest. VEmin = 3 x N – [2 x (n – 1) de cada Art. + Nº de rodillos]
La expresión (2) indica que “a una estructura cualesquiera conformada por varias
chapas deberá proporcionársele una combinación de vínculos externos que genere como
mínimo un número de restricciones igual al Nº de Rest. VEmin para que sea ESTABLE”, lo
que definiremos como el “Criterio de Estabilidad N° 1” [1], el cual es una condición
necesaria pero no suficiente para la estabilidad, por lo tanto se dice que si la estructura
cumple este criterio es una estructura presumiblemente estable.
Para ilustrar este concepto analicemos la estructura de la Figura I.10. El Número de
Restricciones por Vínculos Externos mínimo se obtiene aplicando la Ecuación (2) como
sigue
N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8
Este valor indica que debe proporcionársele a la estructura de la Figura I.10 una
combinación de vínculos externos que produzcan al menos ocho restricciones, lo cual
puede garantizarse colocando un empotramiento en la chapa 1; otro en la chapa 5 y una
articulación en la chapa 3 (Ver Figura I.11).
El numero de Restricciones por Vínculos Externos Existentes (Rest. VEE)
proporcionado a una estructura puede determinarse a partir de la siguiente expresión
Rest. VEE = 3 x Nº Empotramientos + 2 x Nº Articulaciones + Nº Rodillos
11
(1)
(2)
Figura I.11. Restricciones minimas para una estructura formada por “n” chapas.
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3 CHAPA 4
CHAPA 5
Rest VEE = 3 x 2 + 2 x 1 + 0 = 8
(3)

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Aplicando la Ecuación (3) a la estructura estudiada se observa que el Número de
Restricciones por Vínculos Externos mínimo (N° de Rest. VEmin) es igual al el numero de
Restricciones por Vínculos Externos Existentes (Rest. VEE); es decir igual a 8
restricciones.
Cabe destacar el hecho de que para la estabilidad de la estructura de la Figura I.11 pudo
haberse considerado cualquier otra combinación de vínculos externos que generen un
numero de restricciones mayor o igual que el mínimo requerido, sin embargo cualquier
combinación propuesta que sea seleccionada solo es una condición necesaria pero no
suficiente, ya que adicionalmente debe evaluarse la disposición de estos vínculos en la
estructura, es decir, su ubicación para restringir los G.D.L. de la estructura, lo cual al igual
que lo establecido para una sola chapa en los párrafos anteriores se satisface incluyendo un
criterio de Estabilidad adicional.
Para garantizar la estabilidad de la estructura formada por varias chapas deberá
cumplirse que “todas las chapas que conforman la estructura deben poseer al menos tres
direcciones de CIR no paralelas ni concurrentes entre si” lo que define el “Criterio de
Estabilidad N° 2” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas de la estructura no
cumple este Criterio de Estabilidad entonces la estructura será INESTABLE.
Tomemos como ejemplo la estructura de la Figura I.12. Las chapas 1 y 5 poseen
infinitas direcciones de CIR debido a los empotramientos, por lo tanto ambas son
ESTABLES.
Luego la unión entre las chapas 1 y 2 es un punto fijo de rotación que se convierte en un
en CIR relativos O’1 = O2. De manera análoga la unión entre las chapas 4 y 5 es un CIR
relativo O4 = O’5. Por otra parte la chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación
externa, entonces puede observarse que la unión de las chapas 3 y 4 presenta un vector de
corrimiento v3 respecto a O3 que tiene una dirección distinta al vector de corrimiento v4
respecto a O4, entonces se concluye que dicha unión se encuentra fija y representa un CIR
propio relativo para ambas chapas (O’3 = O’4) siendo ambas chapas ESTABLES, entonces
el rodillo interno que existe entre las chapas 2 y 3 representa una dirección de CIR común
para ambas (DIR CIR O2 = DIR CIR O3) que al no pasar por O2 le proporciona a la chapa 2
12
Figura I.12. Verificación del Criterio de Estabilidad Nº 2 para una estructura
conformada por varias chapas.
∞ DIR O1
O3
O1
’ = O2
v4
v3
DIR O2
= DIR O3
O4
= O5
’
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
CHAPA 4
CHAPA 5
∞ DIR O5
O’3
= O4
’

ESTATICA APLICADA
tres direcciones de CIR no paralelas entre si ni concurrentes por lo cual es ESTABLE, por
lo tanto se concluye que la estructura es ESTABLE (Ver Figura I.12).
I.2.5. Criterios de Estabilidad para una Cadena Cinematica.
Consideremos ahora el caso particular de la Figura I.13, en donde la estructura esta
conformada por varias chapas unidas mediante vínculos internos de 2DO
orden (o nodos
articulados), a esta forma resistente se le denomina “Cadena Cinemática (C.C.) de orden
“n” [1], en donde “n” es el número de chapas que conforma la Cadena Cinemática, las
cuales pueden ser Abiertas (C.C.A.) si la primera y ultima chapa de la Cadena Cinemática
no se encuentra conectadas (Ver Figuras I.13a) e I.13b))o Cerrada (C.C.C.) en caso
contrario (Ver Figura I.13c)).
El número mínimo de restricciones por vínculos externos que requiere la C.C. de orden
“n”, lo que equivale al Criterio Nº 1, se obtiene analizando primero el numero de vínculos
internos de 2DO
orden para una C.C.A, así pues en la Figura I.13a) para n = 2 existe un solo
vínculo interno, mientras que para la Figura I.13b) se tiene que n = 3 y el número de
vínculos internos es igual a 2. De esto se deriva que para una C.C.A. de orden “n” existirán
(n - 1) articulaciones internas.
Entonces los G.D.L. de la cadena de orden “n” se obtienen tomando en cuenta los
G.D.L. de cada chapa que conforma la C.C.A., luego
G.D.L. C.C.A. orden “n” = 3 x n
Tomando en cuenta de que cada vinculo interno restringe 2 G.D.L., se puede determinar
que el numero de restricciones por vínculos externos mínimo (N° de Rest. VEmin)
necesarios para la estabilidad de la C.C.A. de orden “n” viene dado por
N° de Rest. VEmin = 3 x n – 2 x (n – 1) = n + 2
La expresión (5) indica que “a una cadena cinemática abierta de orden n deberá
proporcionársele un mínimo de n + 2 restricciones por vínculos externos para que sea
estable”, lo que definiremos como el “Criterio de Estabilidad N° 1” [1], el cual es una
condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad, por lo tanto se dice que si la
estructura cumple este criterio es una estructura presumiblemente estable.
13
(4)
(5)
Figura I.13. Cadena Cinematica (C.C.) de orden “n”
CHAPA 1 CHAPA 2
a) C.C.A. de orden 2 (n = 2)
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
b) C.C.A. de orden 3 (n = 3) c) C.C.C. de orden 4 (n = 4)
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
CHAPA 4

ESTATICA APLICADA
Para ilustrar este concepto analicemos las estructuras de la Figura I.13a) e I.13b). Para
la primera Cadena Cinemática Abierta de orden “2” (n = 2), el Número de Restricciones
por Vínculos Externos mínimo (N° de Rest. VEmin) es igual a 2 + 2 = 4, lo cual puede
garantizarse por ejemplo colocando un vinculo externo de 2DO
orden a cada chapa (Ver
Figura I.14a)). Para la C.C de orden “3” se requieren 3 + 2 = 5 Restricciones por Vínculos
Externos mínimo, que puede garantizarse colocando un empotramiento en la chapa 1 y una
articulación en la chapa 3 (Ver Figura I.14b)).
Obsérvese que para garantizar la estabilidad de las C.C.A. de las Figuras I.14a) e I.14b),
al igual que lo estudiado en los casos anteriores, no solo debe considerarse cualquier
combinación de vínculos posible que generen un numero de restricciones mayor o igual que
el mínimo requerido, sino que adicionalmente debe evaluarse la disposición de estos en la
estructura introduciendo un segundo Criterio de Estabilidad.
En este contexto, para garantizar la estabilidad de la C.C.A. de orden “n” deberá
cumplirse que “todas las chapas que conforman la cadena cinemática de orden “n” deben
poseer al menos tres direcciones de CIR no paralelas ni concurrentes entre si” lo que
define el “Criterio de Estabilidad N° 2” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas
de la C.C.A. no cumple con alguno de los Criterios de Estabilidad entonces la misma será
INESTABLE.
Para ilustrar la aplicación del Criterio de Estabilidad N° 2 tomemos como ejemplo las
estructuras de las Figuras I.14a) e I.14b). Para la C.C.A. de orden “2” las articulaciones
externas representan un CIR propio para las chapas 1 y 2 (O1 y O2 respectivamente), luego
la unión de las chapas 1 y 2 presenta un vector de corrimiento v1 respecto a O1 que tiene una
dirección distinta al vector de corrimiento v2 respecto a O2, entonces se concluye que dicha
unión se encuentra fija y representa un CIR propio relativo para ambas chapas (O’1 = O’2),
entonces cada chapa posee mas de tres direcciones de CIR no paralelas entre si ni
concurrentes por lo cual son ESTABLES, por lo tanto se concluye que la estructura es
ESTABLE (Ver Figura I.15a)).
14
Figura I.14. Restricciones minimas para una C.C.A.
a) C.C.A. de orden “2”
CHAPA 1 CHAPA 2
b) C.C.A. de orden “3”
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
Figura I.15. Aplicación del Criterio de Estabilidad N° 2 a una C.C.A.
a) C.C.A. de orden “2”
CHAPA 1
CHAPA 2
O1
O2
O1
’ = O2
’
v1
v2
b) C.C.A. de orden “3”
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
O3
O2
’ = O3
’
O1
’ = O2
’
∞ CIR O1
v2
v3

ESTATICA APLICADA
Para la C.C.A. de orden “3” el empotramiento genera infinitas direcciones de CIR
haciendo a la chapa 1 ESTABLE, luego la unión de las chapas 1 y 2 se convierte en un CIR
relativo para ambas chapas (O’1 = O’2). La articulación externa representan un CIR propio
para la chapa 3 (O3) y la unión de las chapas 2 y 3 presenta un vector de corrimiento v2
respecto a O2 que tiene una dirección distinta al vector de corrimiento v3 respecto a O3,
entonces se concluye que dicha unión se encuentra fija y representa un CIR propio relativo
para ambas chapas (O’2 = O’3), entonces las chapas 2 y 3 poseen mas de tres direcciones de
CIR no paralelas entre si ni concurrentes por lo cual son ESTABLES, por lo tanto se
concluye que la estructura es ESTABLE (Ver Figura I.15b)).
Realizando un análisis similar a una C.C.C. de orden n puede demostrarse que el
“Criterio de Estabilidad N° 1” indica que para “una cadena cinemática de orden n deberá
proporcionársele un mínimo de n restricciones por vínculos externos para que sea estable”
[1].
El “Criterio de Estabilidad N° 2” la C.C.C de orden “n” es el mismo descrito en los
párrafos anteriores para una C.C.A. de orden “n” de tal forma de que “no exista
compatibilidad de desplazamientos” [1]. Obsérvese que si al menos una de las chapas de la
C.C.C. no cumple este Criterio de Estabilidad entonces la misma será INESTABLE.
I.2.6. Ejemplo Demostrativo.
Para facilitar el análisis y aplicación de los conceptos introducidos en los párrafos
anteriores estudiaremos paso a paso la estabilidad del EJEMPLO DEMOSTRATIVO que
se muestra en la Figura I.16.
Paso 1: Deben identificarse las chapas que conforman la estructura, recordando que los
nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas. En este paso
se definirá el número máximo de chapas en las cuales se puede subdividir la estructura.
Para el caso de estudio los puntos 1, 2, 3 y 4 que se indican en la Figura I.17 son los
posibles puntos de unión las chapas que conforman la estructura.
15
1 2
3 4
Figura I.16. Estructura para analisis de Estabilidad.

ESTATICA APLICADA
De lo anterior se evidencia que los puntos 1 y 2 representan uniones entre chapas ya que
en estos nodos pueden separase cuerpos rígidos independientes del resto de la estructura,
mientras que 3 y 4 representan uniones internas de una misma chapa ya que al separar los
elementos allí conectados estos conforman el mismo cuerpo rígido (no son independientes
entre si); por lo tanto, existen tres chapas que conforman la estructura (Ver Figura I.18).
Paso 2: Ahora procedemos a verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1. En este caso
como se trata de una C.C.A. de orden 3, ya que todas las uniones entre chapas son de 2DO
orden, tenemos que el Nº de Restricciones por vínculos externos existentes (Nº de Rest.
VEE) debe ser mayor o igual a n + 2
Paso 3: Ahora procedemos a verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2. En este caso debe
comenzarse a definir los CIR o las Direcciones de CIR (DIR Oi) que producen los vínculos
externos. Puede comenzarse el análisis por la chapa que posea mayor cantidad de CIR o
DIR CIR, tomando en cuenta que cuando se garantiza que una de las chapas que conforman
la estructura es ESTABLE, su punto de unión con otras chapas, al ser este un punto fijo, se
convierte en un CIR relativo propio (unión articulada) o una DIR CIR (rodillo o biela
interna) para todas las chapas allí conectadas (Ver Figura I.19).
16
1
2
3
E
S
T
A
B
L
E
m
e
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3
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1
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º
1
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2
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3
.
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º
≤
=
+
=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
1
2
3
O3
O’1
=O2
∞ O1
O’2
=O’3
v2
v3
Figura I.17. Posibles puntos de unión entre las chapas de la Estructura en estudio.
Figura I.18. Identificación del máximo numero de chapas de la Estructura en estudio.

ESTATICA APLICADA
Luego se tiene que la chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones
de CIR (∞ O1) por lo tanto es ESTABLE (Ver Figura I.19), luego la unión de esta con la
chapa 2 se convierte en un CIR para ambas chapas (O’1=O2). La chapa 3 tiene una
articulación que representa un CIR propio (O3). El punto de unión entre las chapas 2 y 3
poseen vectores de corrimiento v2 y v3 respecto a O2 y a O3 (los cuales son perpendiculares
a la línea que une dicho punto con cada CIR respectivo) que presentan distintas direcciones
y por lo tanto esa unión se encuentra fija y se convierte en un CIR relativo para ambas
chapas (O’2=O’3), luego 2 y 3 son ESTABLES (Ver Figura I.19). Entonces la estructura es
ESTABLE.
I.2.7. Ejemplos Resueltos.
Determinar si las estructuras de las Figuras son estables o inestables. Explique y
justifique su respuesta.
Problema Nº 1:
17
• Identificación de las chapas que conforman la estructura, recordando que los
nodos articulados representan los posibles puntos de unión de varias chapas.
3
1
2
Figura I.19. Identificación de CIR de la Estructura en estudio.
Figura I.20

ESTATICA APLICADA
La Chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones de CIR (∞ O1) por lo
tanto es ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa 2 se convierte en un CIR para
ambas chapas (O’1 = O2 = O3). Las chapas 2 y 3 tienen un rodillo que generan una dirección
de CIR (DIR O2 y DIR O3 respectivamente) que no pasan por O2 = O3, luego 2 y 3 son
ESTABLES. Entonces la estructura es ESTABLE.
Problema Nº2:
18
E
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2
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3
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≤
=
+
=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
• Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1 para la estructura.
• Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la
estructura.
O’1
=O2
=O3
3
DIR O2
1
2
∞ O1
DIR O3
1 2
3 Figura I.21

ESTATICA APLICADA
La Chapa 1 posee un empotramiento que genera infinitas direcciones de CIR (∞ O1) por
lo tanto es ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa 3 se convierte en un CIR relativo
para ambas chapas (O’1 = O3). La chapa 3 tiene un rodillo que genera una dirección de CIR
(DIR O3) que no pasa por O3, luego 3 es ESTABLE y la unión entre las chapas 2 y 3 se
19
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1
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2
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3
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=
+
=
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×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
estructura.
O’1
= O3
1
O2
2
3
DIR CIR O3
O’2
= O’’3
∞ O1

ESTATICA APLICADA
convierte en un CIR relativo (O’2 = O’’3) haciendo a la chapa 2 ESTABLE. Entonces la
estructura es ESTABLE.
Problema Nº3:
20
biela
biela
biela
biela
biela
biela
E
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4
2
2
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2
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º
1
º
2
º
3
.
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º
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+
=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
2
biela
biela
1
Figura I.22

ESTATICA APLICADA
La chapa 2 posee un CIR propio (O2) formado por la intersección de las líneas de
acción de las bielas externas. Luego la línea de acción de las bielas internas se cruza en el
infinito conformando una articulación ficticia impropia que une a las chapas 1 y 2.
Entonces el CIR de la chapa 1 debe encontrarse sobre una línea definida trazando por O2
una paralela a la línea de acción de las bielas internas (DIR O’1) la cual se corta con la DIR
O’’1 y con la DIR O’’’1 formadas por las bielas externas de la chapa 1, definiendo los CIR
propios O1 y O’1 que junto con el CIR impropio que forman las bielas externas O’’1 ⇒∞
convierten a 1 en una chapa ESTABLE, luego la unión de esta con la chapa N° 2 se
convierte en un CIR impropio para ambas chapas (O’2 ⇒ ∞ ) haciendo a la chapa 2
ESTABLE. Entonces la estructura es ESTABLE.
Problema Nº4:
21
estructura.
2
biela
biela
O2
DIR O’1
= DIR O2
=O’2
⇒∞
1
O’’1⇒
∞
O1
O’1
DIR O’’1
DIR O’’’1
Figura I.23

ESTATICA APLICADA
La chapa 5 posee un CIR propio (O5) y tiene un rodillo que genera una dirección de
CIR (DIR CIR O5) que no pasa por O5, luego 5 es ESTABLE, luego la unión de esta con la
chapa 4 se convierte en un CIR para ambas chapas (O4=O’’5). La chapa N° 6 posee un CIR
propio (O6) y la unión de esta con las chapas 3, 4 y 7 presenta vectores de corrimiento v4
para O4 y v6 para O6 con distintas direcciones, luego 4 y 6 son ESTABLES y la unión se
convierte en un CIR para todas las chapas allí conectadas (O’3 = O’4 = O’6 = O7). Lo mismo
22
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1
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.
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º
º
1
º
2
º
3
.
R
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=
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=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
estructura.
2
1
3
5
6 8
7
4
O8
O’1
=O’2
=O’3
O1
O3
=O’4
=O’6
=O7
O6
2
1
3
5
6
8
7
4
O2
O’7
=O’8
O5
DIR CIR O5
O4
=O’’5
v6
v4
v2
v1
v8
v7

ESTATICA APLICADA
ocurre para las chapas 1 y 2 que tiene CIR propio (O1 y O2) en donde la unión de estas
presentan distintos vectores de corrimiento (v1 y v2) siendo 1 y 2 ESTABLES, luego la
unión pasa a ser CIR (O’1 = O’2 = O’3) y 3 también es ESTABLE. Por ultimo se observa que
la unión entre las chapas 7 y la 8 presentan vectores de corrimiento distintos respecto a O7 y
a O8 (v7 y v8 respectivamente), luego 7 y 8 son ESTABLES. Entonces la estructura es
ESTABLE.
Problema Nº5:
23
5
3
2
1
4
6
7
E
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B
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1
0
9
2
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1
0
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1
5
2
0
3
.
R
e
º
º
1
º
2
º
3
.
R
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º
≤
=
+
=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
Figura I.24

ESTATICA APLICADA
Las chapas 2 y 3 poseen un CIR propio (O2 y O3) respectivamente y la unión de esta
con las chapas presenta dos vectores de corrimiento distintos para O2 y para O3 (v2 y v3),
luego 2 y 3 son ESTABLES y la unión se convierte en un CIR para todas las chapas allí
conectadas (O’2 = O’3 = O4). Lo mismo ocurre para las chapas 4 y 5 que tiene CIR propio
(O4 y O5) en donde la unión de estas presentan distintos vectores de corrimiento (v4 y v5)
siendo 4 y 5 ESTABLES, luego la unión pasa a ser CIR (O’1= O’4 = O’5 = O6) y 1 también
es ESTABLE. Por ultimo se observa que la unión entre las chapas 6 y la 7 presentan
vectores de corrimiento distintos respecto a O6 y a O7 (v6 y v7), luego 6 y 7 son
ESTABLES. Entonces la estructura es ESTABLE.
Problema Nº6:
24
estructura.
biela
biela
4
biela
biela
1
2
3
O2
O’1
= O’4
=O’5
=O6
O5
O’2
=O’3
=O4
O1
O7
5
3
2
1
4
6
7
O3
O’6
=O’7
v3
v2
v5
v4
v6
v7
Figura I.25

ESTATICA APLICADA
La chapa 1 posee un CIR propio (O1) debido a la articulación externa existente, luego
podemos definir un CIR para la chapa 2 (O2) trazando una línea por O1 que pase por la
unión de las chapa 1 y 2 uniéndola con la dirección de CIR (DIR O2) que se forma por el
rodillo. De forma análoga, la chapa 4 que posee un CIR propio (O4) debido a la articulación
externa existente, permite definir un CIR para la chapa 3 (O3) debido al por el rodillo. Las
biela internas forman una articulación ficticia impropia ya que se cortan en el infinito,
luego otro CIR O’2 puede definirse para la chapa 2 trazando por O3 una paralela a la
dirección de las bielas, que en este caso coincide con el CIR O2 (O2 y O’2 son CIR
concurrentes); por lo tanto la chapa 2 posee solo dos direcciones de CIR y es INESTABLE.
La misma situación se evidencia si se repite este análisis para la chapa 3 que también es
INESTABLE. Entonces la estructura es INESTABLE.
Problema Nº7:
25
4
O4
DIR O’2
=O’3
biela
biela
1
2
3
O1
O2
O3
DIR O2
DIR O3
E
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1
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2
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=
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+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
estructura.
biela
biela
biela
biela

ESTATICA APLICADA
La Chapa 2 un CIR propio O2 debido a la articulación externa y otro CIR propio O’2
debido a la intersección de las líneas de acción de las bielas externas que no es concurrente
con O2, por lo tanto 2 presenta mas de tres DIR CIR y es ESTABLE. La unión entre 1 y 2
que se forma en la intersección de las líneas de acción de las bielas internas (articulación
ficticia) es un CIR propio O’1 = O’2. Por otra parte, la Chapa 1 posee otro CIR O1 debido a
la articulación externa el cual no concurre con O’1, luego 1 es ESTABLE. Entonces la
estructura es ESTABLE.
26
E
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1
º
2
º
3
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+
=
+
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
estructura.
biela
biela
2
1
O’1
=O”2
biela
biela
O’2
O2
O1
2
1
DIR CIR O2
DIR CIR O’2
Figura I.26

ESTATICA APLICADA
Problema Nº 8:
Problema Nº 9:
27
( )
I
N
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×
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×
=
×
+
×
+
×
=
biela
2
3
4
1
biela
biela
biela
biela
biela
biela
Figura I.27
Figura I.28

ESTATICA APLICADA
La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación externa existente y una
dirección de CIR generada por el rodillo la cual no pasa por O3 por lo tanto es estable.
28
biela
biela
biela
1
2
3
( )
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1
º
2
º
3
.
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=
−
−
×
−
×
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
estructura.
DIR CIR O3
DIR CIR O1
biela
biela
biela
DIR CIR O’1
DIR CIR O2
= DIR O’3
1
2
3
O3
O1
DIR CIR O’2
CIR O2
⇒∞
v1
= v2

ESTATICA APLICADA
Como la chapa 3 es estable, la biela que une a las chapas 2 y 3 genera una dirección de CIR
para las chapas 2 y 3 (DIR CIR O2 = DIR CIR O’3) mas la dirección del CIR que genera el
rodillo de la chapa 2 forman un CIR impropio para 2 (CIR O2 ⇒∞). La chapa 1 posee una
dirección de CIR formada por la biela y otra por el rodillo formando en su intersección un
CIR O1. Los vectores de corrimientos en el punto de unión de las chapas 1 y 2, formada por
la intersección de las líneas de acción de las bielas internas (articulación ficticia), presenta
vectores de corrimiento que coinciden respecto a O1 y a O2 ⇒∞; por lo tanto ambas chapas
son inestables. Luego la estructura es INESTABLE.
Problema Nº 10:
29
E
S
T
A
B
L
E
m
e
n
t
e
p
r
e
s
u
m
i
b
l
e
e
s
e
s
t
r
u
c
t
u
r
a
l
a
L
u
e
g
o
C
U
M
P
L
E
n
V
E
s
t
d
e
N
n
V
E
E
s
t
d
e
N
r
o
d
i
l
l
o
s
N
o
n
e
s
a
r
t
i
c
u
l
a
c
i
N
n
t
o
s
e
m
p
o
t
r
a
m
i
e
N
V
E
E
s
t
r
d
e
N
)
(
9
5
2
3
2
R
e
º
3
9
3
1
3
2
0
3
.
R
e
º
º
1
º
2
º
3
.
R
e
º
m
i
n ≤
=
+
=
+
=
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
biela
biela
biela
biela
biela
biela
1
2
3
Figura I.29

ESTATICA APLICADA
La chapa 1 tiene un CIR propio O1 debido a la articulación externa existente y dos
direcciones de CIR (DIR CIR O1 y O’1) que no pasan por O1 por lo tanto es estable. El
punto de unión de esta chapa con la chapa 2 se convierte en un CIR relativo ( O’1 = O2)
haciendo que la chapa 2 sea estable. La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la
articulación externa y una dirección de CIR que no pasa por O3 que genera e rodillo, luego
es estable, entonces la estructura es ESTABLE.
Problema Nº 11:
30
estructura.
DIR CIR O1 O1
biela
biela
biela
1
2
3
O2
DIR CIR O’1
DIR CIR O3
O3
O’1
= O’3
O’’1
= O’2
biela
biela
2
4
1
3
5
6
biela
biela
Figura I.30

ESTATICA APLICADA
La chapa 6 posee dos CIR propios (O’6 y O6) debido a las articulaciones externas
existentes, entonces es ESTABLE, luego la unión de esta con las chapas 4 y 5 es un CIR
relativo O4, O’5 y O’6, lo cual junto a CIR propio (O5) debido a la articulación externa
existente hacen a la chapa 5 ESTABLE. La chapa 4 tiene una dirección de CIR O4 debido
al rodillo externo que no pasa por el CIR O4, por lo tanto la chapa 4 sea ESTABLE,
generando un nuevo CIR O2 y O’4 en la articulación ficticia formada por la intersección de
las bielas generan una articulación ficticia propia.
La chapa 3 posee un CIR propio O3 debido a la articulación externa, que presenta un
vector de corrimiento en la unión con la chapa 2 con distinta dirección respecto del CIR O2,
entonces se concluye que dicha unión es un CIR propio relativo O’2 = O’3 haciendo a
ambas chapas ESTABLES. Por ultimo la chapa 1 posee un CIR propio O1 formado por la
intersección de las direcciones de CIR debido a los rodillos externos y un CIR propio
relativo O’1 en la unión con la chapa 2, luego la chpa 1 es ESTABLE; por lo tanto se
concluye que la estructura es ESTABLE.
Problema Nº 12:
31
estructura.
E
S
T
A
B
L
E
m
e
n
t
e
p
r
e
s
u
m
i
b
l
e
e
s
e
s
t
r
u
c
t
u
r
a
l
a
L
u
e
g
o
C
U
M
P
L
E
n
V
E
s
t
d
e
N
n
V
E
E
s
t
d
e
N
r
o
d
i
l
l
o
s
N
o
n
e
s
a
r
t
i
c
u
l
a
c
i
N
n
t
o
s
e
m
p
o
t
r
a
m
i
e
N
V
E
E
s
t
r
d
e
N
)
(
1
1
8
2
6
2
R
e
º
6
1
1
3
1
4
2
0
3
.
R
e
º
º
1
º
2
º
3
.
R
e
º
m
i
n ≤
=
+
=
+
=
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
biela
biela
biela
O2
= O’4
2 4
1
3
5
6
biela
biela
O’6
O6
O5
O4
= O’5
= O’’6
DIR CIR O4
O’’2
= O’3
O3
v3
v2

ESTATICA APLICADA 32
estructura.
( ) ( ) ( )
E
S
T
A
B
L
E
m
e
n
t
e
p
r
e
s
u
m
i
b
l
e
e
s
e
s
t
r
u
c
t
u
r
a
l
a
L
u
e
g
o
C
U
M
P
L
E
V
E
s
t
d
e
N
V
E
E
s
t
d
e
N
r
o
d
i
l
l
o
s
N
o
n
e
s
a
r
t
i
c
u
l
a
c
i
N
n
t
o
s
e
m
p
o
t
r
a
m
i
e
N
V
E
E
s
t
r
d
e
N
)
(
1
1
1
1
2
1
2
2
1
3
2
1
2
2
7
3
R
e
º
1
1
2
1
3
2
1
3
.
R
e
º
º
1
º
2
º
3
.
R
e
º
m
i
n ≤
=
−
−
×
+
−
×
−
−
×
−
×
=
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
6
5
7
4
1
3
2
biela
biela
O’1
= O2
DIR CIR O7
DIR CIR O’3
=
DIR CIR O’2
O7
DIR CIR O2
O1
6
5
7
4
1
3
2
biela
biela
∞CIR O4
_
O’7
= O5
O6
O3
’
= O5
’
= O6
’
O2
DIR CIR O3
⇒
v6
v5
v1
v2
Figura I.31

ESTATICA APLICADA
La chapa 7 posee un un CIR propio O7 generado por la articulación externa y una DIR
CIR O7 debido a la biela externa que no pasa por el CIR O7, entonces la chapa 7 es
ESTABLE. La unión entre las chapas 5 y 7 se convierte en un CIR propio relativo para
ambas chapas (O’7 = O5). La chapa 6 posee un CIR propio O6 debido a la articulación
externa, observándose que la unión de las chapa 3, 5 y 6 presenta vectores de corrimiento
distintos respecto a O5 y a O6, convirtiéndose en un CIR propio relativo para todas las
chapas allí conectadas (O3 = O’5 = O’6) por lo tanto las chapas 5 y 6 son ESTABLES. La
chapa 4 posee un vinculo de tercer orden el cual genera infinitas direcciones de CIR (∞ O4)
por lo tanto es ESTABLE, lo cual permite que el vinculo interno de primer orden que une a
las chapas 3 y a 4 genere una DIR CIR O3 que no pasa por O3; lo tanto la chapa 3 es
ESTABLE.
Luego la biela interna que une a las chapas 3 y 2 genera una DIR CIR O’3 = DIR CIR
O’2 que junto con la DIR CIR O2 debido al rodillo externo que posee la chapa 2, que define
el CIR propio O2. La chapa 1 posee un CIR propio O1 generado por la articulación externa,
observándose que la unión de esta con la chapa 2 presenta vectores de corrimiento distintos
respecto a O1 y a O2, luego ambas chapas son ESTABLES, entonces la estructura es
ESTABLE.
I.3. DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN ESTÁTICA.
I.3.1. Concepto de Determinación e Indeterminación Estática.
En términos generales una estructura será DETERMINADA cuando el número de
incógnitas existentes, es igual al número de ecuaciones disponibles. La determinación
puede ser estática cuando las incógnitas analizadas son las componentes de fuerzas
(internas y externas) y cinemática cuando las incógnitas analizadas son las componentes de
desplazamiento [2].
Una estructura es DETERMINADA ESTATICAMENTE O ISOSTATICA cuando el
número de componentes fuerza es igual al numero de Ecuaciones suministradas por el
estudio de la Estática de cuerpos rígidos (Σ Fx = 0; Σ Fy = 0 y Σ Mo = 0) [2].
La determinación estática puede ser externa cuando se consideren componentes de
reacción o interna cuando se estudian las fuerzas internas generadas por la interacción de
los cuerpos que conforman una estructura.
Si las componentes de reacción generadas por los vínculos externos existentes, es igual
al número de restricciones mínimas necesarias para la estabilidad de la estructura se
concluye que la estructura es ISOSTÁTICA externamente. De manera análoga, la
estructura será ISOSTÁTICA internamente cuando la cantidad de restricciones internas
debido a los vínculos internos sea igual al mínimo número de fuerzas internas requeridas
33

ESTATICA APLICADA
para la estabilidad. Entonces si una estructura es determinada puede concluirse que también
es “presumiblemente Estable”; es decir; esto es equivalente al Criterio de Estabilidad Nº 1
discutido en la sección anterior [2].
En el caso de que el número de componentes de reacción o de fuerzas internas sea
menor al número de restricciones mínimas entonces la estructura será INESTABLE.
Si por el contrario el número de componentes de reacción o de fuerzas internas es
mayor al numero de restricciones mínimas requeridas para la estabilidad, entonces la
estructura será INDETERMINADA ESTÁTICAMENTE O HIPERESTATICA en un grado
que depende del numero fuerzas (internas y externas) que no pueden determinarse por las
ecuaciones de la Estática de cuerpos rígidos, lo cual definiremos como el Grado de
Indeterminación Estática (GIE) [2] que se obtiene en forma general a partir de la siguiente
expresión
GIE = Nº total de incógnitas – Nº total de Ecuaciones de Equilibrio
Luego el GIE puede ser interno (GIEI) si consideramos fuerzas internas o externo
(GIEE) si consideramos componentes de reacción, en donde la suma de estas es el Grado de
Indeterminación Estática Total (GIET) dada por la expresión
GIET = GIEI + GIEE
I.3.2. Ecuaciones de Condición (Sn).
Cuando se analiza el Grado de Indeterminación Estática (GIE) de una estructura deben
considerarse todas las posibles ecuaciones que se generan debido al equilibrio estático, por
ejemplo si estudiamos la estructura mostrada en la Figura I.32a) pudiéramos concluir por
simple inspección que es indeterminada externamente de primer grado ya que existen
cuatro componentes de reacción y solo tres ecuaciones de estática aplicables a toda la
estructura.
Sin embargo, dado que la estructura esta conformada por dos chapas conectadas en el
nodo articulado B, podemos realizar un despiece en este nodo y dibujar los Diagramas de
Cuerpo Libre (D.C.L.) de las partes A-B y B-C indicando las fuerzas internas producidas en
B y las componentes de reacción en A y en C tal y como se muestra en la Figura I.32b). Si
34
a) Estructura para analisis
A
B
C
Figura I.32. Determinación de Ecuaciones de Condición (S) en estructuras Estables
b) Despiece de la estructura en B
RCx C
A
B B
RAx
RC
y
RC
y
RBx
RBx
RBy
RBy
(6)
(7)

ESTATICA APLICADA
establecemos el equilibrio estático de cada parte se obtiene una ecuación estática adicional
que permitirá determinar todas las reacciones en A y en C y las fuerzas internas en B.
De lo anterior podemos concluir que cuando se analizan estructuras con uniones
articuladas (vínculos de 2DO
orden) en estos nodos se producen ecuaciones estáticas
adicionales denominadas Ecuaciones de Condición del nodo (Sn) debido a que el momento
en dicho punto es nulo (Σ Mnodo = 0). Estas Ecuaciones de Condición junto a las ecuaciones
del Equilibrio Estático de toda la estructura reducen el GIE de la estructura [2] y se
obtienen aplicando la siguiente expresión para cada nodo
Sn = N – 1
en donde N es el N° de elementos que llegan al nodo articulado considerado. Para la
estructura de la Figura Nº 16a las ecuaciones de condición del nodo B (SB) se obtienen a
partir de (8) observando que N = 2, luego SB = 2 – 1 = 1, lo cual significa que existe una
ecuación de estática adicional que al sumarla a las 3 ecuaciones del equilibrio estático
global dan como resultado que la estructura es determinada, situación que concuerda con lo
expresado en el párrafo anterior.
Las Ecuaciones de Condición pueden dividirse en Ecuaciones de Condición externa
(Se) y en Ecuaciones de Condición interna (Si), siendo la suma de estas igual a Sn lo cual se
indica en la siguiente expresión
Sn = Se + Si
Las Ecuaciones de Condición Externa (Se) se determinan para cada nodo articulado,
considerando uno a la vez en forma independiente de los demás, mediante la expresión
Se = Ne – 1
en donde Ne es el N° de chapas con vínculos que llegan a tierra (o apoyos) que se
encuentran conectadas en el nodo considerado, suponiendo que este se suprime
virtualmente mientras que el resto de los nodos permanece en su condición original; es
decir, es el numero de cuerpos rígidos (o D.C.L.) que se pueden definir haciendo un
despiece en el nodo considerado.
Las Ecuaciones de Condición Interna (Si) se determinan para cada nodo articulado,
considerando uno a la vez en forma independiente de los demás, mediante la expresión
Si = Ni – 1
en donde Ni es el N° de elementos internos que conforman áreas cerradas en las chapas (o
cuerpos rígidos) a las cuales estos pertenecen y que se encuentran conectados en el nodo
considerado. Para ilustrar estos conceptos analizaremos la estructura estable de la Figura
I.33a).
Consideremos la estructura estable de la Figura I.33a). Para estudiar los Se la dividimos
en chapas tal y como lo hicimos en el análisis de estabilidad de los párrafos anteriores ya
que estas ecuaciones de condición externa se producen en las uniones entre chapas.
35
(10)
(8)
(9)
(11)

ESTATICA APLICADA
Estudiando el nodo C se observa que cuando este se suprime, el número de chapas
conectadas en el nodo que se encuentran apoyadas a tierra son 2 (Ne = 2) ya que el resto de
los nodos permanecen conectados (D,E y F), entonces de (10) se tiene que (Se)C = 2 – 1 = 1.
En la Figura I.33b) al estudiar las Si del nodo C, se observa que los elementos que
conforman la chapa CDEF forman en dicho nodo un área cerrada (Ai) con dos elementos
conectados allí (Ni = 2), entonces de (11) se tiene que (Si)C = 2 – 1 = 1 y de (8) o (9) se
tiene que SC = 3 - 1 = 1 + 1 = 2.
Ahora para definir el grado de indeterminación estática interna y externa de una
estructura debemos establecer en primer lugar quien representa las incógnitas y quien las
ecuaciones disponibles para cada caso. Para ello considérese la estructura mostrada en la
Figura I.34a).
Para el Grado de Indeterminación Estática Externa (GIEE) el numero total de
componentes de reacción (R) generados por los vínculos externos existentes en la estructura
representa las incógnitas estáticas, mientras que el número de ecuaciones disponibles viene
dado por las tres Ecuaciones del Equilibrio Estático global mas las Se de todos los nodos
articulados existentes en la estructura, en donde el GIEE se obtiene según la expresión
GIEE = R – (3 + Se)
36
Figura I.33. Ejemplos prácticos de Ecuaciones de Condición (S) en estructuras Estables
a) Determinación de Se
en el nodo C
Se
= 1
Ne
Ne
A
C
B
D
E
F
b) Determinación de Si
en el nodo C
Si
= 1
Ni
Ni
A
C
B
D
E
F
Ai
(12)
Figura I.34. Ejemplo práctico para el analisis del Grado de Indeterminación Estática
b) D.C.L. de la sección a la
izquierda del corte 1 - 1
A
C N
V
E
M
N
M
V
a) Estructura para analisis de
Indeterminación Estática
A
C
B
D
E F


Area (A)

ESTATICA APLICADA
Para el Grado de Indeterminación Estática Externa (GIEI) debemos considerar las áreas
cerradas (A) formadas por los elementos estructurales, ya que en estas se producen las
incógnitas internas. Para la Figura I.34b) se observa que al seccionar el área A se genera un
total de seis fuerzas internas, que al restarles las tres ecuaciones del equilibrio estático del
D.C.L resultante del corte 1 – 1, dado que las reacciones no se consideran por ser fuerzas
externas y estamos interesados solo en las fuerzas internas, resulta que existen tres
incógnitas internas, lo cual permite concluir que cada área cerrada genera 3 incógnitas
internas.
Si tomamos en cuenta la existencia de nodos internos articulados, entonces existirán Si
en el área A las cuales representan ecuaciones estáticas internas, luego el GIEI puede
calcularse como
GIEI = 3 x A - Si
Nótese que si GIEI ≥ 0 o GIEE ≥ 0 la estructura es Estable interna o externamente
mientras si GIEI < 0 o GIEE < 0 la estructura es Inestable.
Puede demostrarse que una expresión análoga para determinar el GIEI en armaduras es
GIEI = b - 2 x n - 3
en donde “b” es el numero de barras y “n” el numero de nodos de la armadura
I.3.3. Ejemplo Demostrativo.
Para facilitar el análisis y aplicación de los conceptos introducidos en los párrafos
anteriores estudiaremos paso a paso el Grado de Indeterminación Estática del EJEMPLO
DEMOSTRATIVO de la Figura I.35.
Paso 1: Deben identificarse las chapas que conforman la estructura, recordando que en
los nodos articulados que representan las uniones de estas chapas se producen las
Ecuaciones de Condición Externa Se que se determinan a partir de la expresión (11) para
cada nodo (Ver Figura I.36). Las reacciones se obtienen aplicando la expresión (3).
37
(13)
Se
= 2-1 = 1
Se
= 2-1 = 1
R = 3 x 1 + 2 x 1 + 1 x 1 = 6 (3)
(14)
Figura I.35. Estructura para analisis de Indeterminación Estática.

ESTATICA APLICADA
Paso 2: Deben identificarse áreas cerradas conformadas por los elementos estructurales,
recordando que en los nodos articulados de dichas áreas se producen las Ecuaciones de
Condición Interna Si que se determinan a partir de la expresión (12) para cada nodo
articulado (Ver Figura I.37).
Paso 3: Se determinan GIET, GIEE y GIEI aplicando las expresiones (8), (13) y (14).
Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de las
estructuras estables indicadas en las Figuras.
Problema 1:
38
• Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para
determinar los Se.
Se
= 2
Se
= 2
1
2
3
4
Si
= 3-1 = 2
Si
= 2-1 = 1
Área (1)
Área (2) Área
(3)
7
7
1
6
6
3
3
3
3
1
2
3
6
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Figura I.38
Figura I.36. Identificación de Chapas y Calculo de las Se.
Figura I.37. Identificación de las Areas Cerradas y Calculo de las Si.

ESTATICA APLICADA
13
13
5
8
8
37
15
3
3
5
4
3
12
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Problema 2:
39
• Identificar los nodos articulados que representan unión entre elementos de una
misma chapa que forman áreas cerradas para determinar los Si.
• Calculamos la Indeterminación Estática Interna, Externa y Total.
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 4
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 1
Si
= 4
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
(6) (7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
determinar los Se.
biela
Se
= 1
Se
= 1
Se
= 1
Se
= 1
Se
= 2
Se
= 2
biela
1
2 3 4
5
6
7
Figura I.39

ESTATICA APLICADA
8
8
3
5
5
31
12
3
3
3
8
3
14
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Problema 3:
40
Si
= 3
(1)
Si
= 2 Si
= 3
Si
= 1 Si
= 2 Si
= 4 Si
= 2
Si
= 1
Si
= 1
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 1
Si
= 1
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
determinar los Se.
Figura I.40
biela
biela
Se
= 2
Se
= 2
Se
= 2
biela

ESTATICA APLICADA
8
8
3
5
5
25
10
3
3
3
6
3
12
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Problema 4:
41
determinar los Se.
biela
biela
biela
biela
biela
Se
= 1
Se
= 1
Se
= 1
1
2
3
4
Figura I.41
Si
= 1
Si
= 2
(1)
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 4
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 1
Si
= 1
Si
= 3
(2) (3) (6) (7)
(4) (5)
(8)
(9) (10)
biela

ESTATICA APLICADA
1
1
0
1
0
42
14
3
3
1
3
3
7
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Problema 5:
42
biela
biela
biela
biela
biela
Si
= 1
(1)
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 1
Si
= 2
Si
= 1
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 5
Si
= 1
Si
= 3
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 1
Si
= 1
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13)
(14)
determinar los Se.
biela
biela
Se
= 1
Se
= 1
Se
= 1
1
2
3
4
Figura I.42

ESTATICA APLICADA
10
10
5
5
5
25
10
3
3
5
3
3
11
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
Problema 6:
43
determinar los Se.
biela
biela
Si
= 1
(1)
Si
= 3 Si
= 4 Si
= 3
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 1
Si
= 1
Si
= 3 Si
= 3
(2) (3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
Si
= 2
2
1
3
5
6 8
7
4
Se
= 2
Se
= 3
Se
= 1
Se
= 1
Figura I.43

ESTATICA APLICADA
1
0
1
0
0
39
13
3
3
1
7
3
11
3
grado
de
ADA
INDETERMIN
nte
Estaticame
Estructura
GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
=
+
=
+
=
=
−
×
=
−
×
=
=
−
−
=
−
−
=
44
Si
= 1
(1)
Si
= 2 Si
= 3 Si
= 4
Si
= 3
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 3 Si
= 3
Si
= 3
(2)
(3)
(4) (5)
(6) (7)
(8) (9)
(10) (11)
(12) (13)
Si
= 2
Si
= 2
Si
= 3
Si
= 1
Si
= 1
Si
= 1

ESTATICA APLICADA
I.4. DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA.
I.4.1. Concepto de Determinación e Indeterminación Estática.
Una estructura será DETERMINADA CINEMATICAMENTE cuando el número de
componentes de desplazamiento es igual a cero. Si por el contrario el número de
componentes de desplazamiento es diferente de cero entonces la estructura será
INDETERMINADA CINEMATICAMENTE en un grado que depende del número de Grados
de Libertad (G.D.L.) debido a los desplazamientos elásticos que posea la estructura (GIC)
[2].
Consideremos la viga en voladizo empotrada en A que se muestra en la Figura I.44. Si
despreciamos las deformaciones axiales (viga axialmente rígida) ya que el punto A se
encuentra totalmente restringido el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC) viene dado
por los desplazamientos que experimenta el punto B que son una traslación vertical ∆ vB y
una rotación θ B de la cuerda elástica debido a los efectos de flexión (Ver Figura I.44a)) .
Si tomamos en cuenta la deformación axial entonces existirá también una componente de
deflexión horizontal ∆ vB (Ver Figura I.44b)). El proceso anterior se conoce como el
“Análisis Cinemático Directo”.
Para complementar lo antes mencionado, analicemos el pórtico mostrado en la Figura
I.45a). Los puntos A y D se encuentran totalmente restringidos por los apoyos empotrados,
45
Figura I.44. Grado de indeterminación Cinematica (GIC)de un voladizo
a) Sin considerar deformación axial
A
B
B’
∆ v
B
θ B
GIC = 1∆ + 1θ =
2
b) Considerando deformación axial
∆ h
B
A
B
∆ vB
B’ θ B
GIC = 2∆ + 1θ = 3

ESTATICA APLICADA
luego el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC) viene dado por los desplazamientos
que experimentan los puntos B y C, tal y como se muestra en las Figuras I.45b) e I.45c).
Al analizar las rotaciones observamos que el nodo B posee una rotación θ B, ya que al
ser este un nodo continuo (o rígido) los elementos AB y BC del pórtico deben rotar
simultáneamente, es decir el nodo rota como un cuerpo rígido. Obsérvese que la rotación
del nodo B no depende de la posibilidad de desplazamiento en C ya que si suponemos que
de alguna forma restringiéramos los desplazamientos en C el nodo B mantiene la capacidad
de experimentar una rotación (Ver Figura I.46a)). Una situación análoga ocurre para el
nodo continuo C, el cual puede experimentar una rotación θ C la cual es independiente de la
rotación θ B, de donde se concluye que existen 2 rotaciones θ  mutuamente independientes
(Ver Figura I.46b)). Entonces, se puede concluir que para una estructura existirá una
rotación por cada nodo interno continuo que esta posea.
Al analizar las traslaciones de la estructura de la Figura I.46b) se observa que la
traslación horizontal que lleva a B y C a las posiciones B’ y C’ respectivamente es la
misma debido a que el elemento BC no se deforma axialmente, es decir las traslaciones de
los nodos B y C son mutuamente dependientes, entonces se concluye que esta representa
solo una desplazabilidad ∆ ( o 1 G.D.L. de traslación).
Si consideramos que existe deformación axial (Ver Figura I.46c)) entonces existirá
también una componente de traslación vertical en los puntos B y C independientes entre si
46
C
A D
B
a) Portico a estudiar
c) Considerando deformación axial
∆ h
C
∆ vB
∆ h
B
θ B
θ C
∆ v
C
A D
B
B’
C
C’
GIC = 4∆ + 2θ =
6
Figura N° I.45. Indeterminación Cinematica en porticos
b) Sin considerar deformación axial
C’
A D
∆ h
B
B’
θ B
θ C
B C
GIC = 1∆ + 2θ = 3
a) Deformada elástica para θ B
b) Deformada elástica para θ C
A
B
C
D
θ
C
A
B C
D
θ
B
Figura I.46. Deformada elástica para los desplazamientos de rotación (θ )

ESTATICA APLICADA
y por otra parte la traslación horizontal del punto B es diferente a la del nodo C y entonces
existen cuatro (4) traslaciones independientes; es decir, la desplazabilidad de la estructura
es igual a 4∆ , mientras que las rotaciones siguen siendo las mismas.
Ahora consideremos que a la estructura de la Figura I.45a) se le introduce un nodo
articulado en B y un apoyo articulado en A para formar la estructura de la Figura I.47a).
Luego existirá un aumento en el número de rotaciones independientes ya que como se
observa en el nodo B de la Figura I.47b) los dos elementos allí conectados pueden rotar de
manera independiente respecto a B por ser este articulado. Entonces, por cada nodo interno
articulado que posea la estructura existirán un número de rotaciones igual al número de
elementos conectados en dichos nodos.
Por otra parte, se observa que existe una rotación en el apoyo A por ser este articulado,
lo que significa que ahora existirán un total de cuatro (4) rotaciones independientes,
mientras que las traslaciones permanecen iguales a la que posee la estructura de la Figura
I.45b, concluyéndose que la existencia de nodos articulados solo afecta a los G.D.L. de
rotación de la estructura.
I.4.2. Método de la Imagen Cinemática para Estructuras Aporticadas.
El análisis cinemático es una herramienta que se utiliza para calcular estructuras
indeterminadas empleando el Método de las Rotaciones, es por ello que en esta sección se
orienta hacia la resolución de pórticos en los cuales se despreciaran las deformaciones
axiales.
Si bien determinar el N° de rotaciones θ es relativamente sencillo a veces no es tan
fácil determinar la desplazabilidad ∆ de una estructura. En tal sentido para las estructuras
aporticadas como la que se muestra en la Figura I.48a) existe una metodología que consiste
en estudiar una estructura equivalente denominada la “Imagen Cinemática”, en donde se
reemplazan todos los apoyos empotrados y los nodos internos rígidos por articulaciones,
permitiéndole a la estructura libertad de movimiento (Ver Figura I.48b)).
47
Figura I.48. Determinación de la desplazabilidad del pórtico
a) Estructura para análisis de
desplazabilidad
b) Imagen Cinemática
⇒
A
D
B
C
E
F
A
D
E
B
C
F
Figura I.47. Portico con nodos internos y apoyos articulados sin considerar
deformación axial
GIC = 1∆ + 4θ = 5
θ C
C’
A D
∆ h
B
B’
θ ’B
B
C
θ B
θ A
A D
B C
a) Estructura a estudiar b) Desplazamientos de la Estructura

ESTATICA APLICADA
La Imagen Cinemática obtenida es una “Cadena Cinemática Inestable” a la cual se le
deben restringir los G.D.L. para hacerla “Estable”. Si consideramos la Figura I.48b) se
pueden identificar los puntos fijos A y B, los cuales representan CIR de los elementos AC y
BD respectivamente.
Entonces para determinar el movimiento de nodos que poseen G.D.L. no restringidos
debe tenerse en cuenta que estos se producen en dirección perpendicular a la línea que une
un CIR con el punto en estudio, lo cual coincide con el vector de corrimiento de dichos
puntos discutido en la sección anterior.
Para la imagen cinemática que presenta la desplazabilidad indicada en la Figura I.49a)
se observa que los puntos C y D pueden desplazarse en dirección perpendicular a las líneas
AC y AD respectivamente, por lo tanto debe colocarse un “rodillo ficticio“ que permita
restringir esa desplazabilidad de la estructura tal y como se muestra en la Figura I.49b).
Debe enfatizarse el hecho de que el punto de ubicación de este rodillo ficticio no es
único, sin embargo su ubicación deberá ser tal que permitirá restringir un grado de libertad
de traslación determinado pudiendo variar, lo que significa que para la Figura I.49b) se
produce la restricción del mismo G.D.L. colocando el rodillo ficticio en C o en D.
Una vez identificada una desplazabilidad por la colocación de un rodillo ficticio los
nuevos puntos restringidos se convertirán en CIR del resto que se encuentre libre (Ver
Figura Nº I.49b)), luego se continua el análisis para detectar otras posibles traslaciones,
procediendo de forma similar hasta que todos los puntos se encuentren totalmente
restringidos (Ver Figura I.49c)). Entonces la desplazabilidad ∆ de la estructura aporticada
48
Figura I.49. Desplazabilidad del pórtico y posible ubicación de rodillos ficticios
∆ = 2
CIR
F’
A
D
E
B
C
F
E’
CIR
b) Posible ubicación del 1E
R
rodillo ficticio
CIR
A
D
E
B
C
F
CIR
CIR
c) Posible ubicación del 2D
O
rodillo ficticio
a) Desplazabilidad del pórtico
CIR
E’
B’ D’
F’
A
D
E
B
C
F
CIR

ESTATICA APLICADA
es igual al numero mínimo de rodillos ficticio que se requiere para restringir todos los
posibles G.D.L. de traslación de la Imagen Cinemática de la estructura.
Para el ejemplo considerado, una vez restringida la traslación de los puntos C y D
debido al rodillo ficticio, estos se convierten en CIR de los puntos E y F respectivamente,
luego estos pueden desplazarse en dirección perpendicular a las líneas CE y DF
respectivamente, por lo tanto debe colocarse un “rodillo ficticio“ que permita restringir esa
nueva desplazabilidad de la estructura tal y como se muestra en la Figura I.49c).
Entonces al colocar el rodillo ficticio en F se observa que todos los puntos se
encuentran restringidos, por lo que la desplazabilidad de la estructura considerada es igual a
2 (Ver Figura I.49).
Determinar por análisis directo el grado de indeterminación cinemática de las
estructuras estables indicadas en las Figuras.
Problema 1:
49
• Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura
A
E
B
D
F G H
K L
M N
C
J
I
α
A
E
B
D
F
G H
K L
M N
C
J
I
α
θ = 29
Figura I.50

ESTATICA APLICADA
Problema 2:
50
GIC = 29θ + 7∆ = 36
• Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura
A
E
B
D
F G H
K L
M N
C
J
I
α
∆ = 7
A
α
B C
D E F G
H I
J K
β
θ = 15
A
α
B C
D E F G
H I
J K
β
Figura I.51

ESTATICA APLICADA
Problema 3:
51
GIC = 15θ + 4∆ =
19
∆ = 4
A
α
B C
D E F G
H I
J K
β
A
E
B
D F
G H
K
L
M N
C
J
I
θ = 21
A
E
B
D F
G H
K
L
M N
C
J
I
GIC = 21θ + 7∆ =
28
∆ = 7
A
E
B
D
F
G
H
K
L
M N
C
J
I
Figura I.52

ESTATICA APLICADA
Problema 4:
52
A
C
D
G
H
F
E
β
α
γ
B
θ = 12
A
C
D
G
H
F
E
β
α
γ
B
A
C
D
G
F
E
β
α
γ
B
Figura I.53

ESTATICA APLICADA
Problema 5:
53
GIC = 12θ + 2∆ = 14
∆ = 2
I
B
F H
C
G
E
β
α
A
A
D
γ
γ
θ = 15
I
B
F H
C
G
E
β
α
A
A
D
γ
γ
I
B
F
H
C
G
E
β
α
A
A
D
γ
γ
Figura I.54

ESTATICA APLICADA
I.5. DIAGRAMAS DE WILLIOT.
I.5.1. Concepto y Metodologia para construir los Diagramas de Williot.
Una vez determinada la desplazabilidad de una estructura aporticada a menudo se
requiere cuantificar las deflexiones producidas por las deformaciones elásticas de los
elementos estructurales y su influencia sobre los esfuerzos internos y componentes de
reacción en los apoyos. En este sentido el diagrama de Williot es un método grafico que
permite conocer la deformación elástica producida para cada desplazamiento de la
estructura [2].
El Método consiste en liberar cada rodillo ficticio obtenido del análisis cinemático de la
estructura, suprimiendo uno a la vez mientras los demás se mantienen fijos, permitiendo de
esta manera un G.D.L. de traslación que produce una deformación elástica de la estructura,
tomando la consideración de que no existe deformación axial en los elementos
componentes de la estructura.
Para ilustrar la metodología empleada en el análisis consideremos la estructura de la
Figura I.55a), para la cual se obtiene la Imagen Cinemática que se indica en la Figura I.55b)
con una desplazabilidad igual a uno (∆ = 1).
54
Figura I.55. Ejemplo de aplicación para trazar los Diagramas de Williot
⇒
b) Imagen Cinemática restringida
por los rodillos ficticios
∆ = 1
A
D
B
C
a) Estructura para análisis de
desplazabilidad
α
A
D
B
C
β
c) Deformada elástica liberando el
rodillo en B
B’
C’
∆ B
α
A
D
B
C
β
∆ C
GIC = 15θ + 2∆ = 17
∆ = 2

ESTATICA APLICADA
Luego al liberar el rodillo ficticio empleado para restringir la desplazabilidad existente
se obtiene la configuración deformada elástica de la Figura I.55c), en donde las letras con
apostrofe (’) corresponden a los puntos desplazados.
Para trazar los Diagramas de Williot correspondientes a la desplazabilidad de la
estructura se procede a aplicar los pasos siguientes:
1. Se ubica un punto de inicio denominado “el polo” en el cual se encuentran
aquellos puntos que no se desplazan para el grado de libertad de traslación considerado.
Cabe destacar que este punto corresponde a la ubicación inicial de todos los puntos de
la estructura antes de la deformación elástica, siendo la referencia a partir de la cual se
miden los desplazamientos. Para la estructura en estudio allí se encuentran los puntos
A’ y D’ que son los puntos fijos debido a los apoyos empotrados (Ver Figura I.56a)).
2. Se supone conocido el valor del desplazamiento (∆ ) de un punto cualquiera, el
cual suele tomarse en el punto en donde se retiro el rodillo ficticio, trazándolo a partir
del polo para ubicar dicho punto en la configuración deformada, denotándolo con un
apostrofe (Pto. B’ de la Figura I.56b)).
3. Para conocer el desplazamiento de otro punto cualesquiera, por ejemplo el punto
C de la Figura I.55c), deberán conocerse al menos otros dos puntos en el diagrama de
Williot que se encuentren vinculados a este por medio de elementos estructurales
(puntos B’ y D’ del caso de estudio). Luego se trazan por estos puntos del diagrama (B’
y D’) líneas perpendiculares a los elementos estructurales ( a BC y DC) para definir
el punto buscado el cual se encuentra en la intersección dichas rectas (Punto C’ de la
Figura I.56d)).
4. Por ultimo, en función de la geometría de la estructura se aplica las relaciones
trigonometricas para expresar el nuevo desplazamiento encontrado (∆ C de la Figura
I.56d) en función de ∆ repitiendo el paso 3 para ubicar todos los demás puntos
desplazados que existan para la desplazabilidad considerada.
5. El proceso anterior se repite para cada rodillo ficticio hasta obtener la deformada
elástica que corresponde a cada una de las desplazabilidades de la estructura.
55
Figura 
        

d) a BC por B’ para definir C’
∆ C
=
∆ senβ
sen 2α
∆ =
∆ B
A’ = D’ B’
β
∆ C


C’
β
α α
POLO
a) Definición del Polo
A’ = D’
POLO
∆ =
∆ B
A’ = D’ B’
POLO
b) Trazado del desplazamiento de
referencia
∆ =
∆ B
A’ = D’ B’
β
DC
α
POLO
c) a DC por el punto D’

ESTATICA APLICADA
Trazar los Diagramas de Williot correspondientes a los desplazamientos de cada una de
las estructuras estables indicadas en las Figuras.
Problema 1:
56
G
A
α
B C
D E F
H I
J K
β
A
α
B C
D E F G
H I
J
K
β
∆ = 3
Figura I.57

∆ =∆ I
A’=B’=C’=E’
=F’=J’=K’
I’=H’=D
’
β
∆ G
FG
GI
∆ G
= ∆ I
tan β
G’
DH
AD
∆ I
= ∆ H
=
∆ D
K
A
α
B C
D E F G
H I
J
β
∆

D’
H’ I’
G’
∆ =∆ J
=
∆ K
A’=B’=C’=D’=
E’=F’=G’=H’=I’
J’=K’
G
A
α
B C
D E F
H I
J K
β
∆

J’ K’
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en E
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en I
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en K
∆ =∆ E
=
∆ F
A’=B’=C’=D’
=H’=I’=J’=K’
E’=F’
β
∆ G
FG
GI
∆ G
= ∆ G
sen β
G’
K
A
α
B C
D E F
G
H I
J
β
∆ E’ F’
G’

ESTATICA APLICADA
Pregunta 2:
58
A
B
C D
E
F
G
α
α
α
A
B
C D
E
F
G
α
α
α
∆

C’
B’
F’
A
B
C D
E
F
G
α
α
α
∆ = 2
∆ =∆ B
A’=D’=E’=G’
α
CD = FG
∆ C
= ∆ B
cos
α
B’
∆ C
= ∆ F
C’= F’
CD = FG
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en B
Figura I.58

ESTATICA APLICADA
Problema 3:
59
∆ = 2
A
B
C D
E
F
G
α
α
α
∆

C’
D’
∆ =∆ B
A’=B’=E’
=F’=G’
α
CD
D’
∆ D
C’
DE
∆ D
= ∆ B
sen α
A
B
D
E
C
F G
α
γ
β
A
B
D
E
C
F G
α
γ
β
A
B
D
E
C
F G
α
γ
β
B’
C’
G’
∆

• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en C
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en D
←∆ B
A’=D’=E’
=F’=G’
β
BC
∆ B
= ∆ C
sen β
∆ G
= ∆ C
tan γ
B’
∆
G
G’
BG
C’
CD
FG
CG
∆ C
=
∆ γ

Figura I.59

ESTATICA APLICADA
Problema 4:
60
∆ D
A’=B’=E’
α
DE
D’
∆ = ∆ C
C’
CD
G’=F’
BG
CG
γ
∆ G
=∆ F
∆ D
= ∆ C
cos α
∆ G
= ∆ C
tan γ 
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en D
A
B
D
E
C
F
G
α
γ
β
∆
G’
C’
F’
D’
I
B
F H
C
G
E
β
α
A
A
D
γ
γ
I
B
F
H
C
G
E
β
α
A
A
D
γ
γ
Figura I.60

• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en H
∆ = 2
γ
γ
B
F
H
C
H’
F’
E
A
A
D
D’
I’
I
G’
G
E’
∆
∆ D = ∆ G= ∆ 
∆ I = ∆ sen β /sen α
∆ E = ∆ senβ
∆ H = ∆ sen β /cos γ 
α
H’
∆ E
A’=B’=C’= F’
β
D’= G’
I’
∆ D
=∆
γ
γ
E’
∆ I
∆ H
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en F
γ
γ
B
F H
C
H’
F’
E
A
A
D
D’
I’
I
G’
G
E’
∆
∆ D = ∆ sen β
∆ G =∆ sen α

∆ E = ∆ G = ∆ H =
∆ F
I’
∆ = ∆ E
A’=B’=C’
β
D’
E’ = G’ = H’ = F’
α
∆ I
∆ D

ESTATICA APLICADA
Problema 5:
62
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en H
∆ = 3
α
β
A B D
C
E F G H I J
K L
O
M
P
N
O P
α
β
A B D
C
E
F G H I
J
K L M N
M’
O’
∆

α
β
A B D
C
E
F G H I
J
K L
O
M
P
N
P’
H’
A’=B’=C’=D’
E’=F’=G’=I’
J’=K’=L’=N’
∆ =∆ H
=∆ M
M’=H
’
P’=O’
β
∆ P
=∆ O
∆ P
= ∆ D
= ∆ C
/tan
β

Figura I.61

• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en J
α
β
A
B D
C
E F G H I
J
K L
O
M
P
N
J’
I’
H’
F’ G’
∆ F
=
∆
=G
=
H
=
I
=
A’=B’=C’= D’
E’=K’=L’= M’
N’=O’=P’
β F’= G’= H’= I’
J’
∆ J
∆ J
= ∆
cos β
• Trazamos el Diagrama de Williot liberando el Rodillo en N
N’
∆
 M’
’
J’
L’
α
β
A B D
C
E F G H I
J
K
L
O
M
P
N
K
’
P’
∆ K
=∆ L
=∆ M
=∆ N
=
∆ O
=∆ P
=∆ E
=∆
A’=B’=C’= D’
F’=G’=H’= I’ β
∆ J
E
C

ESTATICA APLICADA
I.6. Ejercicios Propuestos.
I.6.1. Parte 1: AUTOEVALUACIÓN.
1.- Selección simple: Colocar el número de la definición indicada en la lista (b) en el
paréntesis que le corresponda a cada elemento de la lista (a) c/u)
2.- Verdadero y falso: Indicar en cada paréntesis si los siguientes postulados son verdaderos
(V) o falsos (F)
a.- Cuando una estructura no es capaz de soportar las cargas actuando de manera inmediata
y en el rango del comportamiento elástico se dice que es ESTABLE ( ).
b.- La desplazabilidad ∆ de una estructura aporticada es igual al numero mínimo de
rodillos ficticios que se requiere para restringir todos los posibles G.D.L. de la Imagen
Cinemática ( ).
c.- Cuando el Grado de Indeterminación Estática es menor que cero se dice que la
estructura es ESTABLE ( ).
d.- El Grado de Indeterminación Cinemática es igual al numero de traslaciones y rotaciones
independientes entre si debido a las deformaciones elásticas de la estructura ( ).
64
Lista (a)
Ecuaciones de Condición ( )
Grado de Indeterminación Estática
Externa ( )
Vínculos ( )
Grados de Libertad
Cinemáticos ( )
Lista (b)
1.- Es el número de desplazamientos debido a deformaciones
elásticas de los elementos estructurales que conforman la
estructura.
2.- Es el número de componentes de reacción, generados por
los vínculos existentes, por encima del número de
restricciones mínimas necesarias para la estabilidad.
3.- Es el número de ecuaciones adicionales que se producen
en las uniones articuladas y rodillos internos, que junto con
las ecuaciones de la Estática reducen la indeterminación de la
estructura.
4.- Es un elemento físico que produce la restricción de una o
más posibilidades de movimiento de una estructura.

ESTATICA APLICADA
e.- El polo en el Diagrama de Williot es el punto en el cual se encuentran los puntos que no
se desplazan para un G.D.L. de traslación considerado ( ).
3.- Desarrollo: Responda de forma breve las siguientes preguntas
a.- Indique para que se utilizan los Diagramas de Williot
b.- ¿Cuáles son las diferencias entre el Grado de Indeterminación Estática (GIE) y el Grado
de Indeterminación Cinemática (GIC)?
c.- Defina que son las Ecuaciones de Condición
d.- ¿Para que se emplea el Método de la Imagen Cinemática?
4.- Estudio de Casos:
a.- Para las Cadenas Cinemáticas de las Figuras se pide establecer el mínimo número de
vínculos externos (apoyos) requeridos para que sean estables indicando adicionalmente su
ubicación.
b.- La estructura mostrada en la Figura es INESTABLE. Explique brevemente ¿Porque?.
65
1
2
4
3
E
A
C
B
F
D
G H
1
biela
3
2
biela
1)
2)
1)
biela
biela
biela
biela
biela
biela
2)

ESTATICA APLICADA
I.6.2. Parte 2: Estabilidad y Determinación Estática.
Determinar si las estructuras mostradas en las Figuras son estables o inestables. Explique y
Justifique su respuesta empleando los criterios correspondientes. Determinar el grado de
indeterminación estática interna, externa y total de cada una de ellas.
66
1)
biela
biela
biela
2)
3)
biela
biela
biela
biela

biela
biela
biela
biela
biela
4)
5)
6)
biela
biela
biela
biela
biela
biela

ESTATICA APLICADA
I.6.3. Parte 3: Indeterminación Cinemática y Diagramas de Williot.
Determinar la indeterminación cinemática de las estructuras estables indicadas en las
Figuras empleando análisis cinemático directo y Trazar los diagramas de Williot
correspondientes a los desplazamientos de cada estructura.
68
biela
biela
biela
7)
1)
H I
G
E F
C D
J
γ
γ
α
β
α
β
B
A
2)
β
α
γ
A
D
H I
E F
B
C
G
3)
C
α
A B
D E
F
G H I J
K
L
M N
α
γ β
δ
θ

4)
B
C
H I
D
G
F
β
α
γ
A
A
J
E
A
 
B
C
H
F G
α
β
5)

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