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1. 1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
1.1 PLANTEO DEL PROBLEMA
La forma de resolver cualquier tipo de estructuras es determinar un modelo que es
necesariamente una simplificación la más aproximada a la realidad. En efecto las
vigas y las columnas no son líneas ya que tienen no sólo longitud sino alto y
ancho, las losas no son superficies planas sin espesor y así.
Lo que se trata de hacer es una abstracción que permita predecir lo más
aproximadamente el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo
permita dimensionar con suficiente seguridad las secciones de hormigón y de
acero necesarias para garantizar la estabilidad con buenas condiciones de servicio
y durabilidad. En este sentido es necesario resaltar que el modelo se debe
aproximar a la realidad y no a la inversa. La estructura real no tiene por qué recibir
órdenes del proyectista, sino que es éste quien debe tratar de encontrar un
modelo que se acerque a la realidad de la mejor manera posible.
En forma general se puede aceptar que un edificio de departamentos cuyo cálculo
es el objeto de nuestro curso, desde el punto de vista estructural, se compone de
un conjunto de barras y de placas interconectadas entre sí con vínculos inferiores
que corresponden a los apoyos sobre el terreno natural, modelo al cual podemos
denominar como pórtico espacial con el agregado de placas. Una imagen de este
tipo de estructura elaborada con un programa que procesa este tipo de sistemas,
se agrega a continuación.

2. Ahora bien, hasta la invención de las computadoras y los programas de cálculo
estructural, la resolución de este sistema implicaba un nivel de dificultad y de
trabajo material desde el punto de vista matemático que, en la práctica, hacían
imposible su resolución. Sin embargo, aún hoy, cuando se dispone de estas
poderosas herramientas de cálculo, sigue siendo dificultosa la resolución estática
y el dimensionamiento de la estructura de un edificio de pocos pisos en forma
completa.
En efecto, si se adopta este camino los resultados pueden llevarnos a una serie de
problemas. En primer lugar, las salidas pueden ser monstruosas, en especial en
cuanto a los resultados de las losas ya que, para hacer una representación fiel de
la estructura, se necesita particionar las losas en un gran número de pequeñas
lositas y, consiguientemente las vigas en una gran cantidad de tramos de vigas,
como se advierte en el gráfico siguiente donde se ha representado una planta del
modelo anterior.
Por ello, aún en los casos en que se decida realizar el cálculo por computadora
muchas veces resulta conveniente calcular las losas de cada planta por separado
obteniendo las reacciones sobre las vigas.
Ahora bien, si se eliminan las losas de la estructura queda un pórtico espacial que
si bien es resoluble en forma completa, procedimiento que cada vez tiene mayor
aceptación, tampoco está exento de dificultades. Entre otros aspectos porque
aparecen esfuerzos de poca importancia como son las flexiones oblicuas y
torsiones, esfuerzos que no se toman en cuenta pero que amplían las salidas.
Por ello es que tradicionalmente se realizó una ulterior simplificación que consiste
en subdividir el pórtico espacial en un conjunto de pórticos planos independientes

3. ya que se considera que los esfuerzos provocados por cargas gravitatorias sólo en
forma muy leve se transmiten a los elementos transversales.1 A continuación y
sobre el mismo modelo anterior se grafican un pórtico de fachada y otro
longitudinal:
Pórtico de fachada:
1 Incluso cuando se trata de esfuerzos de viento o de sismo que se verán en el curso posterior, se
acepta, a los fines del cálculo, que tales acciones pueden absorberse por pórticos planos y no
espacialmente.

4. Pórtico transversal:
Un pórtico plano es un tipo estructural más familiar con el cual se han encontrado
en el curso anterior y de los cuales obtenían las reacciones para un estado de
cargas dado y confecciones diagramas de característica. Claro que se trataba de
pórticos isostáticos y en realidad un pórtico de edificio como lo indicados
precedentemente que no es de muchos pisos ya sea de dos pisos es un sistema
hiperestático.
Por todo lo expuesto, haremos un repaso acerca de la resolución de sistemas
hiperestáticos de barras y sus métodos de resolución, en particular, nos
ocuparemos de las vigas continuas, que se ilustra a continuación.

5. Nos ocupamos de las vigas continuas porque estos pórticos planos permiten una
última simplificación parcial que consiste en estudiar cada planta por separado,
tomando en cuenta que los esfuerzos que absorben las columnas centrales es de
escasa significación y pueden reemplazarse aproximadamente por apoyos fijos del
tipo “cuchilla”. Es cierto que esto no ocurre con las vigas extremas y con las
columnas de borde y, de hecho no se realiza tal simplificación. Pero dicha
explicación queda pospuesta para el momento en que se aborde el análisis de los
elementos flexocomprimidos.
2. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
En primer lugar, haremos un recordatorio de una serie de ideas y conceptos que
se han estudiado en el curso anterior.
Un sistema estático es una cadena de barras con un cierto número de vínculos
externos y una barra es un elemento estructural en el cual una dimensión
predomina sobre las otras dos. Es decir, posee una longitud y una sección
determinada.
Sistema Estático
Ahora bien, un sistema estático puede ser hipostático (también llamado
mecanismo) cuando el número de vínculos no es suficiente para garantizar el
equilibrio y cuando se aplica una fuerza se produce una aceleración del sistema o
de una fracción del sistema. Es necesario señalar que en algunos casos existe
“vínculo aparente”, es decir el sistema posee la cantidad de vínculos necesarios
para garantizar el equilibrio pero, su disposición permite ciertos movimientos.

6. Sistema Hipostático
Vínculo aparente
Sistema Hipostático
El segundo caso, es el de los sistemas isostáticos cuya resolución ha sido vista en
el curso anterior. En este caso, se pueden obtener las reacciones y determinar los
esfuerzos característicos en cualquier punto del sistema a partir de las ecuaciones
de la estática.
Sistema Isostático
Si en cambio, las reacciones de vínculo o la determinación de los esfuerzos
característicos no pueden obtenerse a partir de ecuaciones estáticas, entonces se
trata de sistemas hiperestáticos.

7. Sistema Hiperestático
Cuando se intenta una resolución matemática en el primero de los casos
(“hipostáticos”) el sistema de ecuaciones resultante no tiene solución, por lo cual
es imposible alcanzar el equilibrio. En el caso de los hiprestàticos, el sistema tiene
infinitas soluciones que cumplen con la estática por lo cual es necesario idear
procedimientos para poder obtener el resultado, que siempre es único.
Como ejemplo indicaremos una serie de posibles resoluciones, todas ellas falsas,
pero que permiten garantizar el equilibrio.
P=2 t P=2 t
1.00 1.00 1.00 1.00
Sol 1:
A B C D E
RA = 0t RB = 0t RC =4t RD = 0t RE = 0t
Sol 2:
RA = 0t RB = 1t RC =2t RD = 1t RE = 0t
Sol 3:
RA = 1t RB = 1t RC =0t RD = 1t RE = 1t
Sol 4:
RA = 0.5t RB = 1t RC =1t RD = 1t RE = 0.5t
En todos los casos, la suma de las proyecciones verticales de las acciones y las
reacciones es nula, lo mismo ocurre cuando se toman momentos para cualquier
punto del plano y no hay acciones horizontales. Sin embargo, ninguna de estas
soluciones es correcta ya que no cumplen con otras condiciones, por ejemplo,
condiciones de deformación. En efecto, con estas reacciones los apoyos no
tendrían descenso nulo que es su propia definición.
Clasificación de los sistemas hiperestáticos
Antes de analizar la forma en que se resuelven los sistemas hiperestáticos, es
necesario tener presente algunos conceptos que ya fueron definidos en cursos
anteriores y que ahora recordamos.

8. Para clasificar los sistemas hiperestáticos es necesario recordar previamente el
concepto de grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema es el número
de movimientos independientes que admite. Y entendemos por movimiento
independiente a aquel que no viene ligado a ningún otro.
La cantidad de grados de libertad de una cadena abierta de chapas o de barras
surge de la siguiente expresión:
Grados de Libertad = nº de chapas + 2
A partir de aquí directamente abandonaremos las chapas para centrarnos en los
sistemas de barras.
Cuando se aplica una restricción de vínculo se restringen grados de libertad.
Como recordamos los vínculos se clasifican según el número de grados de
libertad que restringen, como se indica a continuación. Si el número de Grados de
Libertad de una cadena de chapas o barras es mayor que a cantidad de vínculos,
tenemos un sistema isostático. Si es igual tenemos un sistema isostático,
recordando que estos vínculos no deben formar un “vínculo aparente”.
Si el sistema posee mayor cantidad de restricciones de vínculo que grados de
libertad, tenemos un sistema hiperestático. Ahora bien, estos sistemas se por
según la cantidad de vínculos superabundantes que poseen y cuyo número se
conoce como grado de hiperestaticidad.
Grado de Hiperestaticidad 1

9. Nº de chapas = 2
Vìnculos externos = 5
Grados de Libertad = 4
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 4 = 1
Nº de chapas = 1
Vìnculos externos = 4
Grados de Libertad = 3
Grado de Hiprestaticidad = 4 - 3 = 1
Grado de Hiperestaticidad 2
Nº de chapas = 1
Vìnculos externos = 5
Grados de Libertad = 3
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 3 = 2
Nº de chapas = 2
Vìnculos externos = 6
Grados de Libertad = 4
Grado de Hiprestaticidad = 6 - 4 = 2
Se señala que en el caso de las vigas continuas, el grado de hiperestaticidad
corresponde con el número de incógnitas que se necesitarían conocer para
resolver el sistema como isostáticos.
Ahora bien, también existen otros casos donde las barras se interconectan
internamente entre sí. Incluso, en algunos casos, es posible determinar las
reacciones de vínculo para un sistema de cargas dado. Pero no ocurre lo mismo
con los esfuerzos característicos de todas las secciones. El ejemplo que se agrega
a continuación es ilustrativo al respecto.

10. P = 2t
X
A B
RA = 1t RB = 1t
En este caso resulta muy sencillo obtener las reacciones de vínculo del sistema ya
que se trata de una única chapa conformada por un número dado de barras de
una configuración especial, por eso, desde el punto de vista exterior es isostático
de resolución sencilla. Pero obtener M, N y Q para el punto X ya no resulta nada
sencillo porque, en realidad, el sistema es hiperestático aunque no porque no se
puedan obtener las reacciones sino porque lo que no se pueden obtener son los
esfuerzos carácterísticos a partir de ecuaciones estáticas.
Por lo tanto, cuando se trata de cadenas de barras que poseen excesiva cantidad
de vínculos, hablamos de “hiperestaticidad externa”, en cambio cuando se trata de
cadenas cerradas de barras, hablamos de “hiperestaticidad interna”.
Resolución de Sistemas Hiperestáticos.
A partir de aquí nos centraremos en un caso particular de los sistemas
hiperestáticos que son las vigas continuas, dada su importancia para el cálculo de
una estructura de hormigón armado y que la resolución de pórticos hiperestáticos
presenta mayores dificultades.
Las vigas continuas, por lo general consisten en una barra con una serie de
apoyos ya sean empotramientos, apoyos fijos o móviles. Tal como se puede
apreciar a continuación.

11. Como ya hemos señalado para la resolución de sistemas hiperestáticos no bastan
las ecuaciones estáticas y es preciso considerar otras condiciones, como son las
condiciones de deformación. De aquí surgió el primer método para resolver
sistemas hiperestáticos que se basaban en el siguiente razonamiento: que pasa si
se retiran todos los vínculos sobrantes, manteniendo exclusivamente aquellos
necesarios para mantener el equilibrio y reemplazo los vínculos por fuerzas
incógnitas. Bastaría con que determinara qué fuerzas debo aplicar en cada uno de
los puntos donde antes hubo vínculos para que se cumpla la condición que
impone el vínculo: que el descenso en esos puntos sea nulo. A continuación se
ilustra gráficamente el problema.
Por razones de simplicidad analizaremos el caso de una viga continua de dos
tramos con un apoyo fijo y dos móviles con una carga distribuida uniforme.
De acuerdo a lo planteado anteriormente, retiramos en primer lugar el apoyo
central y los reemplazamos por una fuerza X de dirección vertical.
Seguidamente determinamos la flecha que produce dicha fuerza X que se puede
resolver por cualquier método de obtención de flecha y que resulta:
fX X (2⋅l3)
48⋅E⋅J
:= ⋅

12. Donde, fX es la flecha en el punto medio, l la luz de cada tramo de viga, E es el
módulo de elasticidad del material (hormigón, acero, etc.) y J es el momento de
inercia de la sección.
A continuación determinamos la flecha para una viga sin el apoyo central y una
carga distribuida uniforme en toda la luz. También hay muchos métodos para
resolver esta flecha cuyo resultado es:
fq 5
:= ⋅
384
⋅q 2 l ( ⋅ )4
E⋅J
Para que se cumpla la condición de equilibrio nulo, se debe cumplir la siguiente
condición:
fX– fq = 0
Que gráficamente significa lo siguiente:
Si resolvemos la ecuación, se obtiene que la fuerza X resulta:
X 5⋅q⋅(2⋅l)
8
:=
Con este valor intermedio se obtienen las reacciones:
Ra 3 q ⋅ ⋅l
8
:=
Rb 3 q ⋅ ⋅l
8
:=

13. Y el momento en el apoyo resulta:
Map −q l2
8
:= ⋅
Con estos valores se pueden obtener los momentos máximos de los tramos.
Mtr q l2
14.22
:= ⋅
Si recapitulamos vemos que para resolver el hiperestático utilizamos un sistema
isostático geométricamente afín al cual se le han modificado las condiciones de
vínculo. A este sistema se lo denomina fundamental. Los sistemas fundamentales
pueden ser de diferente tipo según sea qué tipo de vínculo eliminan y qué
incógnita ponen en evidencia. En este sentido hay que señalar que pueden ser
vínculos internos, agregando articulaciones lo que permite colocar, por ejemplo,
momentos flexores como incógnitas. A continuación se agregan un ejemplo de
sistema fundamental de este tipo:
X1 X2 X3
Este método de resolución que hemos utilizado casi intuitivamente fue el primero
en desarrollarse y se denomina método de las incógnitas estáticas o vulgarmente

14. método de las fuerzas. En este caso hay que aclarar que se denomina fuerzas a
lo que son en realidad fuerzas y momentos, de ahí que el primero de los nombres
sea el más correcto.
Ahora bien, este método de resolución de hiperestáticos es conveniente cuando
se trata de hiperestáticos de pequeño grado de hiperestaticidad. Por ejemplo, el
caso que hemos visto posee un grado de hiperestaticidad igual a 1. Cuando
tenemos casos de mayor hiperestaticidad la dificultad matemática es creciente por
lo cual se idearon otros métodos para resolver hiperestáticos.
MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES
Este método que tomaremos como base para la resolución de vigas continuas, es
en cierta, manera especular con respecto al anterior. Pero tiene algunas
diferencias que es necesario recalcar. En primer lugar, es necesario conocer los
resultados de sistemas hiperestáticos de un tramo que fueron obtenidos por el
método anterior y que se han tabulado. En particular, la magnitud que nos interesa
son los momentos en los apoyos. En forma anexa a la resolución del trabajo
práctico incluiremos una tabla con muchos casos ya resueltos.
Este método de resolución trabaja también con un sistema fundamental. Es decir,
con un sistema geométricamente afín con diferentes condiciones de vínculo. Sólo
que en este caso no se trata de un sistema isostático sino un sistema con mayor
grado de hiperestaticidad, por ello es importante conocer los resultados de los
sistemas hiperestáticos de una barra.
Tomemos un hiperestático de grado 2, es decir que posee dos incógnitas para
resolver.
En efecto, el sistema fundamental se obtiene adicionando un empotramiento en
cada nudo interno del sistema hiperestático como se puede apreciar a
continuación.

15. En primer lugar se procede a cargar este sistema con el estado de cargas del
sistema hiperestático y se obtienen los momentos a ambos lados de los nudos
internos. La ventaja de haber colocado empotramientos en cada nudo permite que
trabajar con un conjunto de barras aisladas de un único tramo.
A continuación se obtienen los momentos de apoyo de cada tramo para lo cual se
deben conocer los resultados de los momentos de apoyo para el caso de vigas de
un tramo. Estos son sistemas hiperestáticos por lo cual se deben haber resuelto
previamente por otro método como puede ser el método de las fuerzas. Con el
enunciado del trabajo práctico se incluye una tabla con la resolución de los casos
más usuales. Como ejemplo se agregan los casos correspondientes a este
ejercicio.
Con estos datos se obtienen los momentos en los nudos. Para diferenciar los
momentos agregaremos un primer subíndice que indica el nudo en el cual se
encuentran y un segundo que indica el otro extremo de la barra y el mismo criterio
utilizaremos con los momentos generados por las cargas en el sistema
fundamental. Por último, agregaremos un superíndice que indica que se trata de
los momentos en el sistema fundamental.

16. Dado que las cargas, las luces y las condiciones de vínculo (un borde empotrado,
otro articulado o ambos empotrados) son diferentes los momentos en los nudos no
suelen coincidir, tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente donde se
encuentran volcados, no sólo los momentos extremos sino los momentos en todo
el tramo. ¿Adonde va la diferencia de momentos? Pues bien, la absorbe el
empotramiento.
En forma amplificada se grafica el apoyo C.
Con respecto al signo de los momentos en el apoyo hay que tomar en cuenta que
en el apoyo los momentos son negativos y que en el empotramiento tenemos
reacciones por lo cual a la izquierda del apoyo existe un momento positivo y a la
izquierda un momento negativo.
Ahora hay que tener en cuenta una idea conceptual más compleja porque escapa
a nuestra experiencia práctica. Ciertamente, nos resulta claro que si aplico una
fuerza o un momento a un elemento estructural, éste se desplaza o gira. Ahora
vamos a tener que aceptar la operación inversa. Si yo tengo un elemento
estructural y le aplico una deformación o un giro, aparecerán fuerzas o momentos,
sin importarme cuál fue el origen de la deformación impuesta.
En general, cuando le impongo un giro a una barra, aparecen momentos. Ahora
bien, si le aplico un giro unitario y positivo (igual a +1, medido en radianes)
aparecerán momentos a los cuales se denomina rigideces, Dicho de otra forma se
denomina rigidez angular en el extremo de una barra al momento que aparece en
la misma cuando se le impone un giro unitario y positivo.

17. Las rigideces angulares para los casos sencillos han sido calculadas y tabuladas,
denominándose rigideces directas (μ) a aquellas inducidas en el nudo donde se
impone el giro y rigideces cruzadas (m) a aquellas que aparecen en un nudo
cuando el giro no se impone en dicho nudo.
El objetivo del método es obtener qué giros hay que imponerle a cada
empotramiento para que se generen esfuerzos que se equilibren las diferencias de
momentos que se produjeron en el sistema fundamental al recibir las cargas del
hiperestático.
Para ello, se sigue este camino: Se le impone a cada nudo un giro unitario y
positivo manteniendo el resto de los nudos empotrados, lo que generará la
aparición de estos momentos inducidos por un giro unitario, llamados rigideces.
Para diferenciar las rigideces
En el punto B:
En el punto C:
Para mejor aclaración se indicará los momentos en el fundamental bajo la acción
de las cargas.

18. Posteriormente se plantean ecuaciones de equilibrio en cada nudo, tomando en
cuenta que los giros en los nudos (θB; θC, etc..) son las incógnitas que debemos
obtener.
En el nudo B queda la siguiente ecuación:
MºBA – MºBC + (μBA + μBC) θB + mBC θC = 0
En el nudo C queda la siguiente ecuación:
MºCB – MºCD + mCB θB + (μCB + μCD) θC = 0
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se obtienen los giros en cada nudo que
hacen que el sistema fundamental se asemeje a lo que ocurre en el hiperestático
original.
Ahora bien, cómo se pasa de giros a momentos. Para ello tenemos que recordar
la definición de momento flexor que no era un par sino un par de pares. Es decir,
había un momento a izquierda y otro a derecha. Pues bien se obtienen los
momentos a partir de los momentos denominados términos de carga sumados a
las rigideces multiplicados por los respectivos giros o bien a la izquierda o bien a la
derecha pero no sumados todos porque darían cero.
Mh
BA = MºBA+ μBA θB → Momento flexor en B
Mh
Bc = -MºBC+ μBA θB + mBC θC → - (Momento flexor en B)
Mh
CB = MºCB+ μCB θB + mBC θC → Momento flexor en C
Mh
CD = -MºCD+ μCD θB → - (Momento flexor en C)
Más aún, es conveniente resolver el sistema a izquierda y a derecha por separado
ya que tienen que tener igual valor con signos opuestos y de esta forma se puede
verificar la corrección del resultado.
En este punto, el hiperestático está resuelto pero les indicaremos una forma de
obtener los esfuerzos característicos de cada barra, en forma separada.
En primer lugar, se obtienen los diagramas de corte. Para ellos se resuelven
barras simplemente apoyadas con las cargas y los momentos en los extremos.
Esto nos permite utilizar el principio de superposición y resolver la viga dos veces.
La primera, como viga simplemente apoyada con las cargas. La segunda, con los
momentos en los extremos.

19. Mizq Mder
q
q
=
+
Mizq Mder
Para el caso de los momentos se puede aplicar la siguiente fórmula
Qizq = (Mder-Mizq) / l
Qder = (Mizq-Mder) / l
Finalmente el momento de tramo puede obtener a partir del corte izquierdo y el
momento.
Para determinar el momento máximo de tramo se debe encontrar el punto en el
cual se produce cuando el cambio de signo del diagrama de corte. El punto de
momento máximo tiene dos posibilidades: a) El cambio de signo del diagrama de
corte se puede producir por efecto de una carga concentrada lo que genera un
punto de quiebre en el diagrama de momento flexor. b) El cambio de signo se
produce porque el diagrama de corte corta al eje de la viga, lo que genera una
tangente horizontal del diagrama de momentos.
a)

20. a)
En el primer caso, se toman momentos a izquierda desde el punto de cambio de
signo del diagrama de corte. En el segundo caso, hay que determinar la
coordenada de corte nulo.
Qizq– q . x = 0
x = Qizq / q
Finalmente
Mtr = Qizq . x – q . x² / 2 - Mizq
OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS
El Método de las Fuerzas o de las Deformaciones son los métodos troncales y
tradicionales, pero existen un gran número de métodos de resolución de
hiperestáticos. Entre los más populares podemos nombrar al Método de Cross que
en realidad es un derivado del método de las deformaciones y permite resolverlo
en forma iterativa.
También existen tablas para la resolución de hiperestáticos. Estas tablas brindan
divisores que permiten obtener momentos y cortes. En el primer caso estos
valores dividen a la carga multiplicada por la luz al cuadrado y en el segundo, la
carga multiplicada por la luz. Lo que es necesario advertir es que su alcance está

21. limitado al caso de cargas iguales y luces iguales aceptando muy leves
variaciones. Incluso la llamada adaptación del 15% corresponde a una reducción
de los momentos de apoyo y el consiguiente aumento de los momentos de tramo.
La ventaja que tienen es que en realidad son diagramas envolventes ya que si
bien las cargas permanentes se aplican en todos los casos, las sobrecargas sólo
se aplican alternadamente a fin de obtener los casos más desfavorables. Por eso
se ingresa como dato la relación entre cargas permanentes y cargas totales, el
esquema de cortes y momentos aparece quebrado. A ese diagrama que toma los
casos más desfavorables de esfuerzos característicos, se los denomina
diagramas envolventes.
Por último hay que hablar de la resolución de sistemas hiperestáticos por
computadoras. En la actualidad existen gran número de programas de resolución
de pórticos no sólo planos sino también espaciales, que presentan muchas
posibilidades de combinación de barras y también permiten intercalar
articulaciones, etc. Incluso la generación ha mejorado sensiblemente ya que se
puede dibujar la estructura y el programa la interpreta, reduciendo engorrosos
ingresos de datos. También permiten obtener los diagramas de esfuerzos
característicos.
En realidad, la utilización de estas poderosas herramientas de cálculo ha
desplazado el problema de la resolución de estos sistemas. Anteriormente la
dificultad se centraba en la resolución, hoy día, el problema es analizar la validez
de las hipótesis y la interpretación de los resultados obtenidos.