1. UCLA Decanato de Ingeniería Civil
Departamento de Hidráulica y Sanitaria
PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADA
A LA INGENIERIA CIVIL
Autor: Oberto R., Livia R.
Barquisimeto, 2003

2. INDICE DE CONTENIDO
Pagína
ii
iv
v
INDICE DE CONTENIDO
INDICE DE TABLAS
INDICE DE FIGURAS
CAPITULO I. GENERALIDADES
1.0
Introducción
1.1
Justificación
1.2
Objetivo
1
1
1
CAPITULO II
2.0
Distribución espacial de la precipitación
2.1
Cálculo de la precipitación media
2.1.1 Promedio aritmético
2.1.2 Polígono de Thiessen
2.1.3 Métodos de las Isoyetas
2.2
Problemas relativos a la distribución espacial
de la precipitación
2
2
2
2
3
4
CAPITULO III.
3.0
Aplicación de la teoría de las probabilidades a la Hidrología
3.1
Distribución normal o Gaussiana
3.2
Distribución log-normal de 2 parámetros
3.3
Distribución log-normal de 3 parámetros
3.4
Distribución de valores extremos
3.5
Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología
11
11
12
13
14
16
CAPITULO IV
4.0
Hidrograma de escorrentía
4.1
Coeficiente de escorrentía
4.2
Hidrograma de crecientes
4.3
Separación del caudal base
4.4
Hidrograma Unitario
4.5
Cálculo de Hu para diferentes duraciones efectivas
4.6
Problemas relativos a Hidrogramas
31
31
32
33
34
36
38
CAPITULO V
5.1
Método de la curva número
5.2
Distribución del evento en el tiempo
5.3
Problemas de aplicación de la Curva Número
59
61
64
ii

3. CAPITULO VI
6.1
Tránsito por embalses
6.2
Tránsito por cauces naturales
6.3
Problemas relativos a el tránsito por el embalse y tránsito
por el cauce
70
73
75
CAPITULO VII
7.1
7.2
Hidrograma de C.O Clark
86
Problemas de aplicación del Hidrograma Unitario Instantáneo 88
CAPITULO VIII
8.1
Demanda de riego
8.2
Problemas relativos a la demanda de riego
108
110
CAPITULO IX
9.1
Operación de embalse
9.2
Problemas de aplicación de la operación de embalse
114
115
BIBLIOGRAFÍA
ANEXO 1
ANEXO 2
ANEXO 3
123
124
126
129
iii

4. INDICE DE TABLAS
Tabla No.
1
2
3
4
5
Gumbel
Número de curva de escorrentía para complejo
hidrológico suelos-cobertura, para condiciones
de humedad antecedente II e Ia = 0.20
Número de curva (CN) para otras condiciones
Coeficiente de desarrollo foliar para el cálculo
de la evapotranspiración
Coeficiente de densidad de enraizamiento, r,
Para el cálculo del umbral óptimo de riego
(Norero,1976)
iv
Página
125
127
128
130
130

5. INDICE DE FIGURAS
Figura
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5.1
6.1
6.2
6.3
7.1
Relación lluvia – Escorrentía
Hidrograma de escorrentía
Separación del caudal base del Hidrograma
Método de las tangentes para la separación de Qb
Determinación de la duración efectiva de la lluvia
Cálculo de HU de 2t horas a partir del HU de t horas
Método de la curva “ S “
Curva adimensionales de tormentas(SCS,1958)
Volúmenes característicos en un embalse
Esquema del transito de una creciente a través de
un embalse
Esquema del transito por cauces naturales
Líneas de igual tiempo de viaje Isocronas
v
Página
31
32
33
34
35
36
37
62
70
71
73
86

6. CAPITULO I
1.0
Introducción
La hidrología es una disciplina muy importante para el ingeniero civil ya
que estudia el agua en la tierra, su distribución y circulación, lo que le permite por
diferentes métodos y procedimientos cuantificar el agua que llega a un punto determinado.
Ello es información básica imprescindible para el diseño de puentes, estructuras para
control de avenidas, presas, vertederos, sistemas de drenaje para poblaciones, carreteras,
sistemas de abastecimiento de agua y otras estructuras similares.
Una de las dificultades que encuentra el estudiante de ingeniería es la falta de
bibliografía asociada al planteamiento y solución de problemas similares a los que se le
puedan presentar en su ejercicio profesional. Ello ha motivado la elaboración del presente
trabajo de problemas resueltos de hidrología, los cuáles pretender ayudar al estudiante a
comprender mejor la enseñanza teórica que se les imparte, encaminándolos de forma
sencilla y clara a la aplicación de esos conocimientos con ejemplos prácticos.
1.1
Justificación
En la generalidad de los casos, los textos tradicionales de hidrología básica
desarrollan sus ejemplos y aplicaciones prácticas utilizando información de cuencas cuyas
condiciones físico ambientales, y de disponibilidad de información, son diferentes al
entorno regional y nacional en el cual se desenvolverá el futuro ingeniero civil. Un
ejemplo típico lo constituye el tópico de cálculo de la evapotranspiración y las demandas
de riego, los cuáles usualmente se hacen a partir de ecuaciones basadas en información
climática que usualmente no están disponibles en la mayoría de las cuencas locales.
Adicionalmente, se estima conveniente que el estudio de los diferentes procesos que
integran el ciclo hidrológico se presenten de manera interrelacionada, tal como sucede en
la naturaleza. Por lo expuesto, se considera que el material aquí presentado constituye un
valioso aporte a la formación del futuro ingeniero civil
1.2
Objetivo
Elaborar un conjunto de ejemplos y problemas típicos que sirvan como material de
apoyo en el aprendizaje de la hidrología básica para el ingeniero civil.

7. 2
CAPITULO II
2.0
Distribución espacial de la precipitación
Desde el punto de vista espacial, la precipitación no se distribuye de manera
uniforme en el ámbito de la cuenca, debido principalmente a los mecanismos de generación
de la lluvia y a las características altitudinales de la hoya hidrográfica. De allí que uno de
los aspectos iniciales de la hidrología es la estimación de la precipitación representativa
para el conjunto del área en estudio.
Usualmente, este valor representativo puede tomarse como el promedio aritmético
del conjunto de las estaciones existentes o como el valor ponderado por un área de
influencia determinado. En este segundo caso, el problema a resolver será la estimación del
área para el cuál el valor puntual, medido en una estación, es representativo.
2.1
Cálculo de la precipitación media
Para la estimación de la precipitación media existen 3 métodos usuales:
•
•
•
Promedio aritmético
Polígono de Thiessen
Isoyetas.
2.1.1
Promedio aritmético
Es el más simple de los procedimientos para determinar la lluvia promedio sobre un
área, se promedian las profundidades de lluvia que se registran en un número dado de
pluviómetros. Este método es satisfactorio si los pluviómetros se distribuyen
uniformemente sobre el área y sus mediciones individuales no varían de manera
considerable de la media.
Pm =
P1 + P 2 + P3 + ......... + Pn
n
(2.1)
donde:
Pm:
P1, P2,P3…Pn:
n:
precipitación media
precipitación en cada una de las estaciones
número de estaciones
2

8. 3
2.1.2 Polígono de Thiessen
Este método es aplicado a zonas con una distribución irregular de las estaciones y
en dónde los accidentes topográficos no juegan un papel importante en la distribución de la
precipitación.
El cálculo se inicia ubicando en los mapas las estaciones de precipitación ubicadas
en la cuenca y en las áreas circunvecinas. Se unen estas estaciones con trazos rectos,
tratando de formar triángulos, cuyos lados sean de la mínima longitud posible; después de
que los triángulos hayan sido dibujados, se trazan las mediatrices de todos los lados, con lo
que se formarán unos polígonos alrededor de cada estación.
Se determina el área de cada polígono y, a partir de su relación con el área total, se
obtiene un coeficiente de ponderación para cada estación. La precipitación media resultante
de la sumatoria de los productos de las lluvias registradas en cada estación por su área
correspondiente, entre el área total:
n
Pm =
∑ Ai * Pi
i =1
At
(2.2)
para:
A i:
Pi:
A t:
Pm:
n:
área del polígono i
precipitación en la estación i
área total de la cuenca
precipitación media sobre la cuenca
número de polígonos
2.1.3 Métodos de las Isoyetas
Utilizando las profundidades que se observan en los pluviómetros, e interpolando
entre pluviómetros adyacentes, se unen los puntos de igual profundidad de precipitación,
(de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografía).
Una vez que el mapa de Isoyetas se construye, se mide el área Aj entre cada par de
Isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de la lluvia de
las dos isoyetas adyacentes para calcular la precipitación promedio sobre el área mediante
la ecuación:
n
Pm =
∑ Aj * Pj
j =1
At
(2.3)
donde:
Aj :
Pj :
área entre cada par de Isoyetas
promedio de las profundidades de lluvia de dos isoyetas adyacentes.
3

9. 4
At :
Pm:
n:
área total de la cuenca.
precipitación media
número de isoyetas adyacentes
El método de las isoyetas es flexible, y el conocimiento de los patrones de la
tormenta pueden influir en la gráfica de las mismas, pero es necesario una red de medidores
más o menos densa para construir correctamente el mapa de Isoyetas de una tormenta
compleja.
4

10. 5
2.2
Problemas relativos a la distribución espacial de la precipitación
PROBLEMA 2.2.1
En la figura y cuadro adjuntos se muestran la ubicación de 5 estaciones de
precipitación de una cuenca dada, así como los valores de precipitación anual, en
milímetros. Calcular la precipitación media anual en la cuenca aplicando el método de
polígonos de Thiessen, si cada cuadricula del gráfico equivale a 1 kilómetro cuadrado.
Estación
P1
P2
P3
P4
P5
Precipitación anual (mm)
800
600
900
400
200
SOLUCIÓN
El primer paso para la solución del problema es el trazado de los polígonos de
Thiessen, los mismos que se aprecian en el gráfico adjunto.
5

11. 6
Calculando las respectivas áreas, se tiene:
Estaciones
P1
P2
P3
P4
P5
Área (Km2) Precipitación (mm)
11.5
16.5
13
12.5
11.5
65
800
600
900
400
200
A*P
9200
9900
11700
5000
2300
38100
Aplicando la ecuación (2.2) se obtiene:
Pm =
38100 Km 2 * mm
= 586.15mm
65 Km 2
PROBLEMA 2.2.2
Resolver el problema anterior por el método de las isoyetas.
SOLUCIÓN
Con la información proporcionada se construyen las isoyetas, tal como se muestra
en el gráfico. Luego se mide el área encerrada por cada par de las isoyetas adyacentes,
como por ejemplo la correspondiente a los valores 800 y 900 mm que se destaca en la
figura.
6

12. 7
De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cuál el valor de la
columna precipitación corresponde al promedio de los valores de las isoyetas adyacentes:
Isoyetas
Áreas
Precipitación
Area*Precipitación
(mm)
(Km2)
(mm)
(Km2*mm)
900
6
900
5400
900-800
8
850
6800
800-700
700-600
600-500
500-400
400-300
300-200
200
9
7
8.5
8.5
8
6
4
65
750
650
550
450
350
250
200
6750
4550
4675
3825
2800
1500
800
37100
Aplicando ahora la ecuación (2.3) se tiene:
Pm =
37100 Km 2 * mm
= 570.77 mm
65 Km 2
7

13. 8
PROBLEMA 2.2.3
En la figura, las líneas delgadas identifican la delimitación de la cuenca y
subcuencas que como puede apreciarse son tres: SC1, SC2 y SC3. Cada cuadricula del
gráfico puede asumirse igual a 1 Km2. Empleando el método de los polígonos de Thiessen,
se pide calcular el volumen total de agua precipitada en cada una de las subcuencas, así
como en el total de la cuenca, durante el mes 2, en millones de metros cúbicos, mmc.
Precipitación (mm)
Estación
1
2
3
4
Mes 1
170
70
50
35
Mes 2
54
30
9.1
4.6
Mes 3
49.6
22
7.5
3.1
Mes 4
30
21
10.3
5
8

14. 9
SOLUCIÓN
En la figura adjunta se muestran los polígonos de Thiessen trazados para la cuenca.
Para cada subcuenca puede determinarse el área, en km2, que es influenciada por
cada estación de precipitación, obteniéndose el cuadro siguiente:
Subc/Estación
SC 1
SC2
SC3
Total
P1
8
8.5
0
16.5
P2
8
0
9
17
P3
4.5
18.75
0
23.25
P4
0.75
3.25
31
35
Total
21.25
30.5
40
91.75
Como puede apreciarse, el área total de la cuenca es de 91.75 km2,
correspondiendo superficies de 21.25, 30.5 y 40 km2 a las subcuencas 1, 2 y 3,
respectivamente. Esta área total también puede expresarse en términos de cuál es la
superficie de la cuenca influenciada por cada estación de precipitación lo cuál corresponde
a valores de 16.5, 17, 23.25 y 35 km2. para las estaciones P1, P2, P3 y P4, respectivamente.
9

15. 10
Aplicando ahora la ecuación (2.2) para el mes 2, la precipitación media en la cuenca
será:
Pm =
54mm * (8 + 8.5) Km 2 + 30mm * (8 + 9) Km 2 + 9.1mm * (4.5 + 18.75) Km 2 + 4.6mm * (0.75 + 3.25 + 31) Km 2
= 19.33mm
91.75 Km 2
Este valor corresponde a la precipitación media sobre toda la cuenca; a partir del
mismo, y considerando el área total, puede obtenerse el volumen total precipitado, Vp:
V p = 0.01933m * 91750000m 2 = 1.77 *10 6 m 3
Lo cuál equivale a 1.77 millones de metros cúbicos, mmc. Procediendo de forma
similar en cada una de las subcuencas, se tiene:
Subcuenca 1:
Pm1 =
54mm * 8 Km 2 + 30mm * 8Km 2 + 9.1mm * 4.5 Km 2 + 4.6mm * 0.75 Km 2
= 33.71mm
21.25 Km 2
V p1 = 0.0337 m * 21250000m 2 = 716337.5m 3 = 0.716mmc
Subcuenca 2:
Pm2 =
54mm * 8.5 Km 2 + 9.1mm * 18.75Km 2 + 4.6mm * 3.25 Km 2
= 21.13mm
30.5Km 2
V p 2 = 0.02113m * 30500000m 2 = 644465m 3 = 0.644mmc
Subcuenca 3:
Pm3 =
30mm * 9 Km 2 + 4.6mm * 31Km 2
= 10.315mm
40 Km 2
V p 3 = 0.010315m * 40000000 m 2 = 412600m 3 = 0.4126mmc
PROBLEMA 2.2.4
Calcule la precipitación media de la cuenca, que tiene las siguientes isoyetas, (línea
punteada), cada cuadro de la cuadricula vale 1 Km2.
10

16. 11
SOLUCIÓN:
Se mide el área Aj entre cada par de isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio
Pj de las profundidades de lluvia de las dos isoyetas adyacentes; luego, aplicando la
ecuación (2.3) se obtiene:
Pm =
1000mm * 3.75Km2 + 950mm * 10 Km2 + 850mm * 7.25Km 2 750mm * 8.25Km2 + 650mm * 17 Km 2 + 550mm * 7.25Km2
53.5Km 2
Pm = 759.58mm
11

17. 12
CAPITULO III
3.0
Aplicaciones de la teoría de las probabilidades a la hidrología
El cálculo de un valor específico para una variable hidrológica que se evalúa es uno
de los aspectos básicos del análisis hidrológico en la ingeniería civil. Usualmente este
valor específico, también denominado valor de diseño, está referido a valores máximos de
precipitación en un intervalo dado o de caudal para una sección específica del cauce. En
ambos casos, constituye una información básica para el posterior dimensionamiento y
diseño de la estructura.
Sin embargo, el procedimiento de cálculo implica, además de los aspectos
númericos, los relativos a la posibilidad de que el valor de diseño sea igualado o excedido
durante un evento cualesquiera o durante un número de eventos dado.
Desde el punto de vista estadístico, las variables hidrológicas pueden considerarse
como variables aleatorias continúas mientras que su ocurrencia efectiva para un evento, o
un número de eventos dado, puede resolverse tratándolas como variables aleatorias
discretas.
3.1
Funciones de probabilidad: variable discreta
Un modelo probabilística asocia un valor de probabilidad a cada punto del espacio
muestral; dicho modelo se denomina función de probabilidad de masa (FPM) y se designa
por px(x0) y se define como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea
igual a x0.
Para que una función matemática cualquiera se considere una función de
probabilidad de masa debe cumplir las siguientes dos condiciones:
•
•
Su valor debe estar comprendido entre 0 y 1
La sumatoria de todos los posibles valores de x debe ser igual 1
También conviene recordar que, a partir de la definición de variable condicionada,
puede considerarse que dos variables aleatorias son independientes si:
p xy ( x 0 , y 0 ) = p x ( x 0 ) p y ( y 0 )
(3.1)
Se define como función distribución acumulada, FDA, a la función que define la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un valor
dado:
12

18. 13
Pr ob( X ≤ x0 ) = Px ( x0 ) = ∑ p x ( x0 )
(3.2)
∀x
Esta función es positiva, comprendida entre cero y uno, y es siempre creciente. Otro
concepto que conviene recordar es el del valor esperado, éste se define como la sumatoria
para todos los posibles valores de X del producto de la función por la FPM evaluada en el
mismo punto que la función:
E{g ( x)} = ∑ g ( x0 ) * p x ( x0 )
(3.3)
∀x
En particular interesan algunos casos especiales de la función g(x): los
correspondientes a las potencias enteras de x, las cuáles se denominan momentos de x:
E ( x n ) = ∑ x n * p x ( x0 )
(3.4)
La expresión (3.4) también puede definirse como la potencia centrada con respecto
al valor esperado o momento central n-ésimo de x:
{
E ( x − E ( x) n
3.2
}
(3.5)
Funciones de probabilidad: variable continua
La probabilidad asociada a una variable continua está representada por la función
densidad de probabilidad, fdp. Si X es una variable aleatoria continua en el rango a – b, se
tiene:
b
Pr ob(a ≤ x ≤ b) = ∫ f x ( x)dx
(3.6)
a
donde:
f x (x) :
función densidad de probabilidades
Figura 3.1. Area que representa la Prob(a ≤ x ≤ b)
13

19. 14
Se define como función de distribución acumulada, FDA, de la variable X a la
probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado:
Pr ob( x ≤ x0 ) = FX ( x0 ) =
x0
∫f
x
( x)dx
(3.7)
−∞
La función de distribución acumulada mide la probabilidad de que el valor de la
variable sea menor o igual al valor x0; tiene las siguientes propiedades:
FX (+∞) = 1
FX (−∞) = 0
Pr ob(a ≤ x ≤ b) = FX (b) − FX (a)
FX (b) ≥ FX (a )
para:
b≥a
dFX ( x)
= f x ( x)
dx
3.3
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Algunas distribuciones probabilísticas de uso frecuente en la hidrología
3.3.1 Distribución binomial
Esta es una distribución de probabilidad discreta; en este caso la variable aleatoria
K se define como el número de éxitos que ocurren en n ensayos; se define por la
expresión:
p K (k ) = C kn p k (1 − p) (1− k )
k = 1,2........n
(3.12)
siendo las combinaciones de k0 grupos en n elementos:
C kn =
n!
k!(n − k )!
(3.13)
3.3.2 Distribución de probabilidad empírica
A esta distribución se le denomina también probabilidad experimental o frecuencia
acumulada. Para su cálculo existen varias formulas algunas de las cuáles se presentan en el
cuadro 3.1.
14

20. 15
Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental
Método
Probabilidad(P)
Método
Probabilidad (P)
Weibull
m
n +1
2
Chegadayev
m − 0.3
n + 0.4
8
Tukey
3m − 1
3n + 1
n
m
m− 1
California
Hazen
n
m− 3
Blom
n+ 1
4
m−a
n + 1 − 2a
Gringorten
Donde:
P:
m:
n:
a:
probabilidad experimental o frecuencia relativa empírica
número de orden
número de datos
valor comprendido en el intervalo 0 a 1
el valor de a depende de n, de acuerdo a:
valor n
valor a
10
20
30
40
50
0.448 0.443 0.442 0.441 0.44
60
0.44
70
0.44
80
0.44
90
100
0.439 0.439
Fuente. Villón, 1993
3.3.3 Distribución normal o Gaussiana
Para esta distribución la función de densidad es:
1
f ( x) =
e
S 2π
 1  x− x
 −  &&& p
 2 S
 




2



− ∞〈 x〈∞
(3.14)
15

21. 16
xp:
S:
donde:
promedio
desviación típica
Cada valor x de la muestra puede ser expresado en términos de la variable reducida
utilizando la expresión:
Z=
x − xp
S
con lo cuál la ecuación (3.14) se transforma en:
f ( x) =
 Z 2
− 
 2 


1
e
S 2π
− ∞〈 Z 〈∞
(3.15)
(3.16)
La función de distribución acumulada, (FDA), es:
x
F ( x) =
∫
f ( x)dx =
−∞
1
S 2π
∫
x
e
−∞
 1  x− x
p
− 
 2 S
 




2



dx
(3.17)
o su equivalente:
1
F (Z ) =
2π
∫
Z
−∞
e
 Z 2
− 
 2 


dZ
(3.18)
Para resolver la ecuación (3.18) existen algunos métodos de aproximación entre los
cuáles puede mencionarse el de Abramowitz y Stegun:
F ( Z ) ≈ 1 − f ( Z )(0.043618V − 0.1217V 2 + 0.9373V 3
(3.19)
donde:
F(Z): función de distribución acumulada
f(Z): función densidad de la variable estandarizada
V se define para valores de Z mayores o iguales a cero como:
16

22. 17
1
1 + 0.33267 Z
el error de esta aproximación es menor de 10-5
V =
(3.20)
Otra aproximación usual es la de Masting:
F ( Z ) = 1 − f ( Z )(b1w + b2 w2 + b3 w3 + b4 w4 +b5 w5 )
(3.21)
donde w es definido para Z mayor o igual a cero como:
w=
con:
1
1 + 0.2316419 Z
(3.22)
b1 = 0.319381530
b3 = 1.781477937
b5 = 1.330274429
b2 = -0.356563782
b4 = -1.821255978
el error de esta aproximación es menor de 10-8 . En ambas aproximaciones la FDA es (1 –
F(Z) ) si Z < 0 el error de esta aproximación es menor de 10-5
3.3.4 Distribución Log-Normal de 2 parámetros
En este caso la variable aleatoria X es positiva y el límite inferior x0 no aparece.
La variable aleatoria Y = lnX es normalmente distribuida, con media µ y y varianza σ2y
La función de densidad de Y es:
f ( y) =
1
σy
e
1  y−µ y 
− 

2 σ y 


2
(3.23)
donde:
− ∞〈 y 〈∞
para:
la función de distribución acumulada es:
F ( y) =
1
2πσ y
y
∫e
1  y−µ y
− 
2 σ y





2
dy
(3.24)
−∞
o, en términos de la variable reducida:
17

23. 18
1
2π
F (Z ) =
3.3.5
∫
z
e
−
Z2
2
−∞
dZ
(3.25)
Distribuciones de valores extremos
Una muestra de valores extremos se genera tomando una serie continua de datos, de
longitud T, de la variable aleatoria x y dividiéndola en n submuestras, cada una de longitud
m, de forma tal que T = n*m. Luego, en cada una de dichas submuestras se seleccionan
valores de la variable x de acuerdo a un cierto criterio tal como la magnitud de la variable,
un valor acumulativo o alguna propiedad. Tal proceso de selección generará una muestra de
una nueva variable aleatoria, y, con una longitud n.
Usualmente los criterios de selección están asociados a la ocurrencia de eventos
máximos, tales como los caudales máximos, o mínimos, tal como las sequías. En ambos
casos se tratan de eventos extremos.
Una de las distribuciones de valores extremos para eventos máximos es la
presentada por R.A. Fisher y L.H.C. Tippet:
F ( x) = e − e
−α ( x − β )
(3.26)
donde:
0 ‹ α ‹∞
-∞ ‹ β ‹∞
es el parámetro de escala
es el parámetro de posición, llamado también valor
central o moda
A esta distribución
transformación:
también se le denomina de Gumbel.
Si se hace la
y = α (x − β )
la ecuación (3.26) se transforma en:
F ( x) = e − e
−y
(3.27)
También:
α=
1.281
σ
β = µ − 0.45 * σ
(3.28)
18

24. 19
Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los cuadrados de los
errores perpendiculares a la recta de ajuste de valores extremos.. Las ecuaciones que obtuvo
son sólo función del tamaño de muestra y de los parámetros:
 Y − yn
XT = X + 
 σ
n


 *σ x


(3.29)
donde:
XT :
X:
σx :
σn , yn :
3.4
valor de la variable correspondiente al período de retorno
media de la serie de datos
desviación estándar
funciones de la longitud de la serie de datos, en la tabla Nº1
anexo 1.
Prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov
Esta prueba de ajuste consiste en comparar las diferencias, en valores absolutos,
entre la probabilidad empírica y la probabilidad teórica seleccionada; de estas diferencias
se toma el valor máximo, el cuál se denomina discrepancia máxima calculada. Dicho valor
se compara con el valor de la máxima discrepancia permitida o valor crítico del estadístico
Smirnov – Kolmogorov, el cuál es función del número de datos y del nivel de confiabilidad
seleccionado, tal como se aprecia en el cuadro 3.2.
Cuadro 3.2 Valores críticos del estadístico Smirnov Kolmogorov
Tamaño de la
Muestra (N)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
N>50
0.20
NIVEL DE SIGNIFICACIÓN ( α )
0.10
0.05
0.01
0.45
0.32
0.27
0.23
0.21
0.19
0.18
0.17
0.16
0.15
1.07
N
0.51
0.37
0.30
0.26
0.24
0.22
0.20
0.19
0.18
0.17
1.22
N
0.56
0.41
0.34
0.29
0.27
0.24
0.23
0.21
0.20
0.19
1.36
N
0.67
0.49
0.40
0.36
0.32
0.29
0.27
0.25
0.24
0.23
1.63
N
Fuente: Yevjevich, 1972
19

25. 20
3.5
Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología
PROBLEMA 3.5.1
Para una estación de precipitación se tiene información de 15 años de registro para
profundidades máximas de lluvia para una duración de 02 horas. Los mismos indican que la
lluvia correspondiente a dicha duración y a un periodo de 15 años de período de retorno, es
de 97.52 mm. Análogamente, para un período de retorno de 100 años, y la misma
duración, se tiene un valor de 120.91 mm.
Con base a ello, y asumiendo que los datos se ajustan a una distribución Gumbel, se
pide calcular:
a.
b.
c.
Profundidad de la lluvia correspondiente a 50 años de periodo de retorno.
Probabilidad de que dicha lluvia sea igualada o excedida al menos una vez
durante 30 años de vida útil de la estructura a diseñar.
Si se toma 110 mm como valor de diseño. ¿Cuál será la probabilidad de que
dicho valor sea igualado o excedido 2 veces durante un período igual a 2 veces
su periodo de retorno.
SOLUCION:
a.
Aplicando la ecuación (3.29):
Los valores Yn y σn son función del número de datos, conforme al cuadro que se
muestra en el anexo 1; el valor de Y depende del período de retorno Tr. Utilizando dicha
tabla 1 para n = 15 datos se obtiene:
Yn = 0.5128
σn = 1.0210
Análogamente, y utilizando la misma tabla se tiene:
Tr = 15 años
Tr = 100 años
Y = 2.674
Y = 4.6
Aplicando nuevamente la ecuación (3.29) para los valores dados correspondientes a
los períodos de retorno de 15 y 100 años de período de retorno puede formarse el siguiente
sistema de ecuaciones:
−
97.52 = X +
(2.674 − 0.5128)
* σx
1.0210
20

26. 21
−
120.91 = X +
(4.6 − 0.5128)
* σx
1.0210
resolviendo, se obtiene:
σx = 12.40 mm
−
X = 71.27 mm
Conocidas la media y la desviación típica puede aplicarse la ecuación (3.29) para
un período de retorno de 50 años para el cuál Y = 3.9020, obtenido de la tabla del anexo 1:
(3.9020 − 0.5128)
* 12.40
1.0210
X = 71.27 +
de donde:
P = X50 = 112.43 mm.
b.
Por definición, la probabilidad de que un valor dado sea excedido al menos una vez
durante un período de vida útil n, corresponde al riesgo:
Riesgo = 1 – P(o)
En donde el valor P(o) se obtiene aplicando la ecuación (3.12) con k = 0. También:
P ( X ≥ x) =
1
Tr
(3.30)
luego:
P ( X ≥ x) =
1
1
=
= 0.02
Tr 50
luego:
P (0) =
30!
* (0.02)0 * (1 − 0.02)30 − 0
0!*(30 − 0)!
P(0) = 0.545
Finalmente, el riesgo de que se presente una lluvia igual o mayor de 112.43 mm, al menos
una vez durante un período de 30 años, es:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.545 = 0.455
R = 0.455
c. En este caso, aplicando la ecuación (3.29) para la precipitación de 110 mm:
110 = 71.27+
(Y − 0.5128)
* 12.40
1.0210
21

27. 22
se obtiene:
Y = 3.702
De acuerdo al cuadro del apéndice 1 este valor de Y correspondería a un período de retorno
de Tr = 38.64 años ≈ 39 años; como el período de análisis, o vida útil, corresponde a dos
veces este período de retorno: n = 2 * 39 = 78. Luego, aplicando (3.12) y teniendo en
cuenta (3.30):
P(k ) =
n!
* ( P( X ≥ x)) k * (1 − P( X ≥ x)) n − k
k!*(n − k )!
78!
1
1
* ( ) 2 * (1 − )78 − 2
2!*(78 − 2)! 39
39
Finalmente, la probabilidad de que la precipitación 110 mm ocurra 2 veces en un período
de 78 años es:
P (2) =
P(2) = 0.274
PROBLEMA 3.5.2
En una cuenca dada los caudales máximos anuales tienen un promedio de 421 m3/s
y una desviación típica de 378 m3/s. Asumiendo que dichos caudales se ajustan a una
distribución de probabilidades Extrema Tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra un
caudal entre 450 y 600 m3/s?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación (3.26) para la probabilidad de excedencia, se tiene:
P ( X ≥ x) = 1 − F ( x) = 1 − e − e
−α ( x − β )
(3.31)
Ecuación en la cuál α y β son los parámetros de la distribución e iguales a:
α=
1.281
Sx
−
β = X − 0.45 * Sx
reemplazando los valores dados:
α=
1.281 1.281
=
= 0.0034
378
Sx
−
β = X − 0.45 * Sx = 421 − 0.45 * 378 = 250.9
22

28. 23
reemplazando valores en la ecuación (3.31) para x = 450 m3/s:
P( X ≥ 450) = 1 − e − e
−0.0034 ( 450 − 250.9 )
P(X ≥ 450) = 0.398
Análogamente para x = 600 m3/s:
P ( X ≥ 600) = 1 − e − e
−0.0034 ( 600 − 250.9 )
P(X ≥ 600) = 0.263
Finalmente:
P(450 ≤ X ≤ 600) = 0.398 – 0.263 = 0.135
PROBLEMA 3.5.3
En una cuenca dada existen 3 estaciones de precipitación, P1, P2 y P3, que
influencian en 30%, el 40% y el 30% del área de la cuenca respectivamente. Para la
estación P2 se tiene un registro de 20 años de profundidades máximas de precipitación para
6 horas de duración, con un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.
Asumiendo que los datos de la estación 2 se ajustan a una distribución
probabilística Extrema Tipo I, se pide calcular la precipitación media de la cuenca para una
lluvia de 6 horas de duración, y 25 años de periodo de retorno, si se conoce que las
ecuaciones de correlación entre las estaciones son:
P1 = 3.2 + 0.28 * P2
P3 = 2.5 + 0.021 * P22
SOLUCION:
La probabilidad de excedencia para la lluvia de 6 horas de duración y 25 años de
período de retorno en la estación 2 será:
P ( X ≥ x) =
1
1
=
= 0.04
Tr 25
calculando los parámetros de la distribución Extrema Tipo I:
23

29. 24
α=
1.281 1.281
=
= 0.0463
Sx
27.65
−
β = X − 0.45 * Sx = 85.25 − 0.45 * 27.65 = 72.81
sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:
0.04 = 1 − e − e
−0.0463 ( x − 72.81)
de donde:
X= P2 = 141.90 mm
Considerando las ecuaciones de correlación se tendrá para las estaciones P1 y P3:
P1 = 3.2 + 0.28 * 141.9 = 42.93 mm
P3 = 2.5 + 0.021 * 141.92 = 425.35 mm
Luego, la precipitación media sobre la cuenca será:
Pm = P1 * 0.30 + P2 * 0.40 + P3 * 0.30
Pm = 42.93 *0.30 + 141.9 * 0.40 + 425.35 * 0.30
Pm = 197.24 mm.
PROBLEMA 3.5.4
La planta de tratamiento de agua para el abastecimiento de una ciudad tiene una
capacidad de 1.5 millones de metros cúbicos, mmc, por semana y debe satisfacer una
demanda aleatoria D, la cual puede considerarse que se ajusta a una distribución Gumbel,
como una media de 1.5 mmc por semana y desviación típica de 50.000 metros cúbicos por
semana. Estos valores se calcularon con base a 20 semanas de mediciones.
Para satisfacer una eventual demanda adicional durante una semana, la
municipalidad ha previsto un tanque a fin de tener en almacenamiento una cierta reserva de
seguridad. Calcular cuál debe ser la capacidad C del tanque de seguridad si se desea que la
probabilidad de no satisfacer la demanda sea de 0.01.
SOLUCION:
24

30. 25
En este caso debe aplicarse la ecuación (3.29) que es la correspondiente a la
distribución Gumbel; para ello debe tenerse en cuenta que:
X=1.5 mmc
σx = 0.05 mmc
utilizando la tabla Nº 1 del anexo 1 y para n = 20, se tiene:
Yn = 0.5236
σn = 1.063
De acuerdo al problema la probabilidad de excedencia de la demanda debe ser de
0.01 lo cuál corresponde a un período de retorno de:
Tr =
1
1
=
= 100años
P ( X ≥ x) 0.01
para el cuál, y utilizando la tabla antes citada, se tendrá: Y = 4.6
reemplazando valores en la ecuación (3.29) se tendrá:
X = 1.5 +
(4.6 − 0.5236)
* 0.05
1.063
de donde:
X= 1.692 mmc
Luego la capacidad del tanque de seguridad será: C = 1.692 – 1.5 = 0.192 mmc
PROBLEMA 3.5.5
El análisis de una serie anual de crecientes desde 1900 a 1959 muestra que la creciente
correspondiente a 100 años de período de retorno es de 3100 m3/seg y la de 10 años, 1400
m3/seg. Si puede considerarse que la serie de datos se ajusta a una distribución Gumbel
calcular:
a.
b.
c.
d.
La media y la desviación típica de las crecientes anuales.
La probabilidad de tener el próximo año una creciente mayor o igual a 2000 m3/seg
La magnitud del evento de 40 años de período de retorno.
La probabilidad de tener como mínimo una creciente de 100 años en los próximos 8
años.
SOLUCIÓN:
25

31. 26
a.
Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n = 60, se tiene:
Yn = 0.5521
σn = 1.1750
Así mismo, para Tr = 100 años, Y = 4.6; luego reemplazando valores en la ecuación (3.29),
se tiene:
−
(4.6 − 0.5521)
3100 = X +
* σx
1.1750
análogamente, para Tr = 10 años, Y = 2.25 se tiene:
−
1400 = X +
(2.25 − 0.5521)
* σx
1.1750
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
X= 171.73
σx = 850
b.
Para determinar la P(X ≥ 2000), se debe calcular el valor de Y para lo cual
reemplazando en la ecuación (3.29):
2000 = 171.73+
despejando se tiene:
(Y − 0.5521)
* 850
1.1750
Y = 3.079
De acuerdo al anexo 1, para Y = 3.079 se tiene Tr = 22.37 años; luego:
P ( X ≥ 2000) =
c.
1
1
=
= 0.0447
Tr 22.37
Para calcular la creciente correspondiente para un periodo de retorno de 40 años
debe considerarse que para este Tr se tiene Y = 3.643. Sustituyendo en la ecuación
(3.29):
X = 171.73+
de donde:
(3.643 − 0.5521)
* 850
1.1750
X = 2407.70 m3/seg.
26

32. 27
d.
Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100 años de período de
retorno en un lapso de 8 años debe considerarse que:
P ( X ≥ x) =
1
1
=
= 0.01
Tr 100
reemplazando valores en la ecuación (3.12):
P (0) =
8!
* 0.010 * (1 − 0.01)8 − 0 = 0.9227
0!*(8 − 0)!
de donde:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.9227 = 0.0773
PROBLEMA 3.5.6
Para un área turística, por ejemplo Chichiriviche, se ha planteado construir un campo de
pozos para extraer agua para abastecimiento urbano, con una capacidad de 25 litros por
segundo, lps, en cada pozo. El problema de este tipo de centro urbano es que en época de
temporada alta ( carnaval, semana santa, etc), la demanda de agua es bastante alta pudiendo
considerarse que se ajusta a una distribución Extrema Tipo I. Para el resto del año, la
demanda puede considerarse que se ajusta a una distribución normal.
a. Calcular cuantos pozos deben construirse para satisfacer la demanda de temporada
normal, si la misma tiene una media de 25 lps y una desviación típica de 0.25 lps. (
para una P(X ≥ x) = 0.8)
b. Para satisfacer la demanda de la temporada alta se ha propuesto habilitar 16 pozos.
Calcular cuál será la probabilidad de que la demanda exceda la disponibilidad de
dichos pozos, si existe un 5 % de probabilidad de que la demanda sea mayor de
389.25 lps y 1 % que supere a 593.02 lps.
SOLUCIÓN
Utilizando tablas estadísticas o métodos aproximados de solución se obtiene, para
un 80 % de probabilidad de excedencia:
Z = - 0.8416
remplazando en (3.15):
( X − 25)
0.25
X= 24.79 lps, lo que equivale a 1 pozo.
− 0.8416 =
despejando:
27

33. 28
b.
En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el pozo de temporada baja,
será de: 16 pozos * 25 lps / pozo = 400 lps. Reemplazando valores en la ecuación (3.31)
para la probabilidad de excedencia del 5 %:
P(X≥389.5) = 5% = 0.05 = 1 − e − e
− α ( 389.5 − β )
y para el 1 % se tendrá:
P(X≥593.02) = 1% = 0.01 = 1 − e − e
Resolviendo el sistema de ecuaciones :
− α ( 593.02 − β )
β=18.67
α = 8.009 * 10−3
Nuevamente reemplazando valores en (3.31):
−8.009*10 −3 ( 400 −18.67 )
P ( X ≥ 400) = 1 − e −e
de donde la probabilidad de que la demanda exceda los 400 l/s es:
P(X≥400) = 0.046
Lo cuál significa que cada año la probabilidad de falla del sistema de abastecimiento
en temporada alta es de 4.6 %.
PROBLEMA 3.5.7
La reglamentación legal de una llanura de inundación prohíbe la construcción
dentro de la zona de inundación con período de retorno de 25 años. ¿ Cuál es el riesgo de
que una estructura construida exactamente en el borde de esta llanura se inunde durante los
próximos 10 años?¿ Cuánto se reduciría este riesgo si la construcción estuviera limitada al
borde de la inundación causada por la creciente de 100 años?.
SOLUCIÓN
Aplicando la ecuación (3.12) con x = 0 y n = 10 y teniendo en cuenta (3.30) se
tiene:
P ( X ≥ x) =
P(0) =
1
1
=
= 0.04
Tr 25
10!
* 0.040 * (1 − 0.04)10 − 0 = 0.6648
0!*(10 − 0)!
El riesgo de que la llanura se inunde durante los próximos 10 años será entonces:
28

34. 29
R = 1 – P(0) = 1 – 0.6648 = 0.3352
De la misma forma para un período de retorno de 100 años:
P ( X ≥ x) =
P (0) =
1
1
=
= 0.01
Tr 100
10!
* 0.010 * (1 − 0.01)10 − 0 = 0.9044
0!*(10 − 0)!
y el riesgo para este período de retorno será:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.9044 = 0.096
Luego, el riesgo se reduciría en 0.3352 – 0.096 = 0.2392 = 23.92 % si la
construcción se limitase al borde del área inundada por la creciente de 100 años de período
de retorno.
PROBLEMA 3.5.8
Se tiene una cuenca de 20.000 hectáreas de superficie. Durante el mes de agosto, el
promedio de lluvia mensual es de 242.9 milímetros y la desviación típica, 79.7 milímetros.
Puede considerarse que el 8 % de esta lámina puede ser aprovechada almacenándola en una
presa. Asumiendo que estas lluvias se ajustan a una distribución normal, se pide calcular:
a.
b.
Cuál sería la capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea que el 80 % de
las veces se llene.
La capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea captar el 8% de las
láminas de lluvia que caen en el rango de 60% y el 75% de probabilidad de
excedencia.
SOLUCIÓN:
a. En este caso se sabe que para el mes de agosto: X = 242.9 mm Sx = 79.7 mm. La
condición de diseño establece que el 80 % de las veces se llene o, lo que es lo mismo:
P(X ≥ x) = 0.80
Para esta probabilidad, y en distribución normal, la variable tipificada es: z = 0.84162; o lo que es lo mismo:
29

35. 30
−
(X − X )
z=
Sx
de donde:
ó:
− 0.8416 =
( X − 242.9)
79.7
X = 175.82 mm.
La lámina aprovechable será entonces: = 175.82 mm *0.08 =14.07 mm
Y la capacidad de la presa:
= 14.07 * 10-3 m * 20* 103 *104 m2 = 2.814 * 106 m3
b. Análogamente, puede calcularse.
P(X ≥ x)
0.75
0.60
Valor z
-0.67449
-0.25335
Valor de X (mm)
189.14
222.708
Considerando estas láminas como los límites inferior y superior del intervalo, el
promedio de ambos será de 205.924 mm y la lámina aprovechable:
205.924 mm * 0.08 = 16.47 mm
y el volumen
V = 16.47 * 10-3 m * 2 * 108 m2 = 3.294 * 106 m3
PROBLEMA 3.5.9
Para un registro de 20 años de profundidad máximas de precipitación para 06 horas de
duración se ha obtenido un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.
Asumiendo que los datos se ajustan a una distribución normal. Se pide:
a.
b.
c.
Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que la probabilidad de
que dicha precipitación ocurra en dos años consecutivos sea de 0.0004 ( 0.04
%). Asumir que los eventos de precipitación máxima anual son independientes.
Determinar el riesgo de la precipitación de diseño calculada en el punto anterior
para 25 años de vida útil.
Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que el riesgo calculado
en el punto anterior se reduzca a la mitad.
SOLUCIÓN
a.
Asumiendo independencia de los eventos de precipitación, se tiene para la
ocurrencia en dos años consecutivos:
P(X≥x) * P(X≥x) = 0.0004
de donde:
30

36. 31
P(X≥x) = 0.02
Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable tipificada será z =
2.0537 y reemplazando en la ecuación (3.15), se tiene:
2.0537 =
( X − 85.25)
27.65
y:
X = 142.03 mm
b. Aplicando la ecuación (3.12), la probabilidad de no ocurrencia de la precipitación de
diseño en un período de 25 años será:
P (0) =
25!
* 0.020 * (1 − 0.02) 25 − 0 = 0.6035
0!*(25 − 0)!
y el riesgo:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.6035 = 0.3965
c.
Si ahora el riesgo se reduce a la mitad se tendrá:
R = 0.19825 = 1 – P(0)
de donde:
P(0) = 1 – 0.19825 = 0.80175
reemplazando en (3.12):
P (0) =
25!
* P ( X ≥ x) 0 * (1 − P ( X ≥ x) 25−0
0!*(25 − 0)!
P(X ≥ x) = 0.0088
despejando:
para esta probabilidad de excedencia la variable tipificada será:
reemplazando en (3.15):
2.3739 =
( X − 85.25)
27.65
Z = 2.3739
y
despejando: X= 150.89 mm
PROBLEMA 3.5.10
Los datos siguientes corresponden a caudales máximos anuales registrados en el Río
Paguey, para el período 1948 – 1972 ( m3/s):
975.5
1450.0
1460.0
1870.0
990.0
640.0
940.0
950.0
820.0
845.0
1330.0
1136.0
690.0
800.0
1534.0
644.0
1240.0
1190.0
1856.0
995.0
1605.0
1030.0
1882.0
658.0
1745.0
31

37. 32
a. Realizar la prueba de ajuste a distribución extrema tipo I, considerando un delta
máximo de 0.27
b. Calcular el caudal correspondiente a una período de retorno de 250 años.
SOLUCIÓN:
Para efectuar la prueba de ajuste se ordenan los datos de forma descendente y se calcula,
para cada valor, su probabilidad empírica de acuerdo a la ecuación de Weibull, (Cuadro
3.1). Para calcular la probabilidad teórica, en este caso Distribución Extrema Tipo I, se
calculan:
X = 1171.02 m3/s
α = 3.157∗10−3
Sx = 405.76 m3/s
β = 988.43
con esta información puede elaborarse el cuadro siguiente:
N
Datos ordenados Probabilidad empírica
P(X≥x)
delta
de mayor a menor
n / (m+1)
D. Extrema tipo I
1
1882
0.0385
0.0578
0.0193
2
1870
0.0769
0.05997
0.017
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1856
1745
1605
1534
1460
1450
1330
1240
1190
1136
1030
995
990
975.5
950
940
845
820
800
690
658
644
640
0.1154
0.1538
0.1923
0.2308
0.2692
0.3077
0.3462
0.3846
0.4231
0.4615
0.5
0.5385
0.5769
0.6154
0.6538
0.6923
0.7308
0.7692
0.8077
0.8462
0.8846
0.9231
0.9615
0.0626
0.0877
0.133
0.1636
0.202
0.2078
0.2883
0.3636
0.4109
0.4661
0.584
0.6245
0.6303
0.6471
0.6766
0.6881
0.7925
0.8177
0.8368
0.9231
0.9415
0.9485
0.9504
0.0528
0.0661
0.0593
0.0672
0.0672
0.0999
0.0579
0.021
0.0122
0.0046
0.084
0.086
0.0534
0.0317
0.0228
0.0042
0.0617
0.0485
0.0291
0.0769
0.0569
0.0254
0.0111
32

38. 33
Como puede observarse, el máximo valor calculado de delta es igual 0.0999 el cuál
es menor que el delta máximo permitido, 0.27. Por lo tanto, puede concluirse que los datos
se ajustan a una distribución Extrema Tipo I.
b.
La probabilidad de excedencia para un período de retorno de 250 años será:
P ( X ≥ x) =
1
1
=
= 0.004
Tr 250
sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:
0.004 = 1 − e −e
de donde:
−3.157*10−3*( x −988.43 )
X= 2736.75 m3/s
33

39. 34
CAPITULO IV
4.0
Hidrograma de escorrentía
4.1
Coeficiente de escorrentía
La escorrentía es consecuencia directa de la precipitación, estando ambas variables
estrechamente relacionadas. Sin embargo, en esta relación deben considerarse las
características de la cuenca ya que , por ejemplo, dos tormentas con características iguales
sobre una misma hoya pueden producir escorrentías diferentes, dependiendo de sus
condiciones iniciales al momento de producirse el evento. Esquemáticamente, esta relación
puede apreciarse en la figura 4.1.
Figura 4.1 Relación lluvia - escorrentía
Un parámetro que cuantifica esta relación
escorrentía, definido por la ecuación:
Ce =
Ve
Vp
es el denominado coeficiente de
(4.1)
En la cuál:
Ce:
Ve:
Vp:
coeficiente de escorrentía.
volumen de escorrentía
volumen de precipitación
las magnitudes de la variable independiente de la ecuación (4.1) pueden expresarse también
en términos de lámina; en ambos casos el valor de Ce será menor que la unidad.
4.2
Hidrograma de crecidas
El hidrograma de una corriente es la representación grafica o tabular del caudal
como una función del tiempo y en una sección especifica del cauce. El hidrograma es una
34

40. 35
expresión integral de las características fisiográficas y climáticas que gobiernan la relación
lluvia-escorrentía de una cuenca en particular. En la figura 4.2 se observa la forma típica
del hidrograma.
Figura 4.2 Hidrograma de escorrentía
Como puede observarse, el hidrograma presenta un primer segmento ascendente,
denominado curva de concentración, cuyas características dependen de la duración,
intensidad y distribución en el tiempo y en el espacio de la tormenta. También la
condicionan la forma y tamaño de la cuenca receptora, así como las condiciones iniciales
de humedad del suelo y la cobertura vegetal.
La denominada cresta del hidrograma corresponde al valor máximo de caudal;
usualmente se le denomina el caudal pico. El sector denominado curva de descenso se debe
a la disminución gradual de la escorrentía directa y depende de las características de la red
de drenaje. Finalmente, se ubica el segmento final, denominado curva de agotamiento, la
cuál disminuye lenta y progresivamente, representando los aportes al flujo de la escorrentía
subterránea. Usualmente, la curva de agotamiento se define por la expresión:
Qt = Qo * e-αt
(4.2)
donde:
Qt:
Qo:
e:
α∞
t:
caudal en el instante t
caudal en el tiempo to, al inicio del agotamiento
base del logaritmo neperiano.
coeficiente de agotamiento expresado en unidades de tiempo.
tiempo
El valor de α depende de la morfología de la cuenca receptora y de su naturaleza
geológica.
35

41. 36
4.3
Separación del caudal base
El caudal que circula por un cauce puede tener dos componentes: uno proveniente
de la precipitación efectiva del evento o escorrentía directa, Qd y otro originado por flujos
susbsuperficiales generados por eventos anteriores o caudal base, Qb. A la suma de ambos
se le denomina caudal total, Qt.
Si se desea analizar la respuesta de la cuenca a la ocurrencia de una precipitación
específica deben eliminarse los aportes al hidrograma provenientes de eventos anteriores; a
este proceso se le denomina separación del caudal base del hidrograma, tal como se ilustra
en la figura 4.3
Figura 4.3 Separación del caudal base del hidrograma
Para ello existen diferentes procedimientos, siendo uno de los más usuales áquel que
consiste en trazar una línea recta desde el comienzo del hidrograma hasta un tiempo N, en
días, después de la ocurrencia del pico. Una relación que permite estimar el valor de N está
dada por:
0.2
N = O.827 * A
(4.3)
en la cuál:
N:
A:
tiempo en días.
área de la cuenca, Km2
Otro procedimiento consiste en proyectar hacia atrás la línea de recesión del agua
subterránea hasta un punto bajo el punto de inflexión del limbo descendente; luego se traza
un segmento arbitrario ascendente desde el punto de ascenso del hidrograma hasta
intersectarse con la recesión antes proyectada, tal como se ilustra en la figura 4.4.
Este tipo de separación puede presentar algunas ventajas cuando el aporte de agua
subterránea es relativamente grande y llega a la corriente con rapidez como sucede en
terrenos con calizas.
36

42. 37
Figura 4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb
4.4
Hidrograma unitario
El hidrograma unitario se define como aquél cuyo volumen de escurrimiento directo
representa para el área de la cuenca una altura de agua o lamina escurrida, de una unidad,
usualmente esta lámina unidad se expresa en milímetros. Para un evento cualquiera, la
lámina de escorrentía directa, Le, será igual a:
Le =
Ve
A
(4.4)
dónde Ve es el volumen escurrido, A es el área es el de la cuenca y Le es la lámina
escurrida
Para cada ordenada del hidrograma unitario se tendrá:
qu =
q
Le
(4.5)
expresión en la cuál:
qu:
q:
Le
ordenada del hidrograma unitario.
ordedenada del hidrograma de escorrentía directa.
lámina de escorrentía directa.
A la lámina de escorrentía directa también se le denomina lluvia efectiva o exceso
de precipitación. Un aspecto importante de este exceso de precipitación es el intervalo de
tiempo en el cuál se produce.
37

43. 38
En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante un intervalo de
tiempo que no necesariamente es igual a la duración total del evento de lluvia, siendo
usualmente menor. A dicha duración se le denomina duración efectiva de la lluvia y su
determinación se efectúa relacionando el histograma de precipitación y el hidrograma de
escorrentía directa, tal como se ilustra en la figura 4.5
Figura 4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia
El procedimiento se basa en la asunción que la capacidad de infiltración del suelo,
o índice φ, permanece constante a lo largo del evento, lo cuál puede ser representado por
una línea horizontal en el hietograma de precipitación, tal como se aprecia en la figura.
Luego, la sumatoria de los valores de precipitación por encima de esta línea de φ, debe
coincidir con el valor obtenido aplicando la ecuación (4.4); si ello no sucede, debe
asumirse un nuevo valor de infiltración y repetir el cálculo.
Finalmente, cuando se haya establecido, por tanteo, el valor de φ, el número de
intervalos que queden por encima de esta línea definirá la duración efectiva de la lluvia.
Todo hidrograma unitario, HU, debe estar asociado a una duración efectiva.
38

44. 39
4.5
Cálculo de HU para diferentes duraciones efectivas
Si se tiene un hidrograma unitario correspondiente a una duración efectiva igual a
“t” horas y se le suma el mismo hidrograma, desplazado un intervalo “t”, el hidrograma
resultante representa el de 2 unidades de escorrentía para 2t horas. Si las ordenadas de
dicho diagrama se dividen por 2, el resultado es un hidrograma unitario para una duración
de 2t horas. El procedimiento se ilustra en la figura 4.6
Figura 4.6 Cálculo del HU de 2t horas a partir del HU de t horas
Sin embargo, el procedimiento descrito sólo sería aplicable para determinar
hidrogramas unitarios de duración efectiva múltiplo del inicial. Para obtener el HU de una
duración cualquiera se utiliza el denominado método de la curva “S”, definiéndose como
tal al hidrograma resultante del desplazamiento, un número infinito de veces, del HU
original, tal como se ilustra en la figura 4.7. La magnitud de cada desplazamiento será “t”
horas respecto al anterior.
En la práctica, no es necesario realizar un número infinito de desplazamientos;
bastará efectuar los necesarios para alcanzar la zona de estabilización de la curva. El
número de desplazamientos que usualmente permite cumplir esta condición está dada por la
relación:
Nd =
Tb
Du
(4.6)
dónde:
Tb:
Du:
tiempo base del HU original
duración efectiva del HU original
39

45. 40
Figura 4.7 Método de la curva “S”
En algunos casos la curva “S” puede presentar oscilaciones que serán necesarias
corregir. Para ello se traza una línea recta, siguiendo el criterio de mejor ajuste, en el
segmento superior de la curva, tal como se aprecia en la figura; luego se procede a
sustituir los valores de la curva original por las nuevas lecturas que se harán en la recta
ajustada. A la nueva curva S así obtenida se le denomina curva S corregida.
El HU para cualquier duración efectiva puede ahora obtenerse desplazando la curva
S corregida un intervalo igual a la duración del hidrograma deseado, obteniéndose lo que se
denomina curva S desplazada; luego dicha curva desplazada se resta de la corregida.
Finalmente, para obtener el HU buscado cada uno de los valores de esta diferencia se
multiplica por el factor:
Factor =
Du
t
(4.7)
dónde:
Du:
t:
duración del HU con el cuál se construyó la curva S
duración efectiva del HU deseado
40

46. 41
4.6
Problemas relativos a Hidrogramas
PROBLEMA 4.6.1
Una tormenta de 6 horas de duración total ocurre en una cuenca de 150 Km2 de
superficie, con un hietograma de 42, 18 y 26 mm, respectivamente, cada 2 horas. Estimar
el caudal pico, en m3/s, del hidrograma generado. Asumir un índice φ igual a 10 mm/h.
Adicionalmente se dispone de la información de una creciente producida por una
lluvia de 2 horas de duración efectiva y cuyo hidrograma de escorrentía total fue:
T(h)
0
3
Q(m /s) 20
2
20
4
110
6
200
8
270
10
220
12
180
14
120
16
70
18
45
20
20
22
20
SOLUCIÓN
En primer lugar, se determina el hietograma de precipitación efectiva para un
intervalo de trabajo de 2 horas:
Pe0-2 = P0-2 - φ = 42 mm – 10 mm/h * 2h = 22 mm
Pe2-4 = P2-4 - φ = 18 mm – 10 mm/h * 2h = 0
Pe4-6 = P4-6 - φ = 26 mm – 10 mm/h * 2h = 6 mm
El siguiente paso es calcular el hidrograma unitario de 2 horas lo cuál puede hacerse a
partir de la información de la creciente y siguiendo la secuencia que a continuación se
describe:
1.
Se determinan los caudales de escorrentía directa. Para ello, a cada valor de la
escorrentía total se le resta el caudal base; como puede observarse, en este caso dicho
caudal base puede tomarse como un valor constante e igual a 20 m3/s.
2.
El volumen de escorrentía directa puede calcularse sumando las ordenadas del
hidrograma de escorrentía directa, en m3/s, y multiplicándolo por el intervalo de tiempo del
hidrograma, en segundos: 2 * 3600 seg
3.
Este volumen escurrido se divide entre el área de la cuenca para obtener la lámina de
escorrentía directa del evento:
Le =
∑ Qd * t = 1055m3 / s * 2 * 3600 = 0.0506mts.
Area
150 * 10 6
41

47. 42
4.
El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina dividiendo cada uno de los
valores de caudal de escorrentía directa entre Le. Los cálculos detallados se presentan en el
cuadro siguiente:
T(h)
Qt(m3/s)
Qb(m3/s)
Qd(m3/s) HU(m3/s)mm
2 horas
0
20
20
0
0
2
20
20
0
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
110
200
270
220
180
120
70
45
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
90
180
250
200
160
100
50
25
0
0
1.78
3.55
4.94
3.95
3.16
1.97
0.99
0.49
0
0
Multiplicando ahora el HU por cada una de las láminas de escorrentía directa,
teniendo en cuenta los respectivos desplazamientos, y sumando se obtiene el hidrograma de
escorrentía directa resultante, tal como se aprecia en el cuadro adjunto:
T(h)
HU(m3/s)mm Qd=Hu*22
Qd =HU*6
Qdt(m3/s)
2 horas
0
0
0
0
2
0
0
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
1.78
3.55
4.94
3.95
3.16
1.97
0.99
0.49
0
0
39.16
78.1
108.68
86.9
69.52
43.34
21.78
10.78
0
0
0
0
10.68
21.3
29.64
23.7
18.96
11.82
5.94
2.94
39.16
78.1
119.36
108.2
99.16
67.04
40.74
22.6
5.94
2.94
Como puede observarse, el caudal pico generado es de 119.36 m3/s.
42

48. 43
PROBLEMA 4.6.2
Es una cuenca de 0.5 Km2 determine el índice φ , la infiltración acumulada, la
precipitación efectiva acumulada y el hidrograma unitario de los siguientes datos de lluviaescorrentía.
T(h)
P(mm)
Qd(m3/s)
0
0
0
1
27
0.8
2
33
1.6
3
20
1.3
4
19
0.8
5
18
0.4
6
15
SOLUCIÓN:
La lámina de escorrentía directa será:
Le =
∑ Qd * t = 4.9 * 3600 = 0.03528m
Area
0.5 * 10 6
Le = 35.28 mm
En cada intervalo de tiempo una parte de la precipitación se infiltra y otra queda en
la superficie como lámina de escorrentía directa; el valor de la infiltración puede asumirse
constante e igual al denominado índice φ.
Para determinar el valor de φ puede seguirse el procedimiento que se ilustra en el
gráfico adjunto y que se explica a continuación. En primer lugar, se asume un valor inicial
de φ; por ejemplo, 1 mm; eso implica que la láminas de escorrentía directa será:
Le = (27-1) + (33-1) + (20-1) + (19-1) + (18-1) +(15-1) = 126 mm
43

49. 44
Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo que deberá
asumirse un valor mayor de φ ; este procedimiento de tanteo debe seguirse hasta obtener
una sumatoria de láminas de escorrentía directa igual a 35.28 mm. En este caso, ello se
produce para un valor de φ igual a 16.344 mm.
Luego la infiltración acumulada será:
Infiltración acumulada = 16.344 mm*5 + 15mm = 96.72 mm
Y la precipitación efectiva acumulada:
Precipitación efectiva acumulada = Precipitación acumulada – infiltración acumulada
Precipitación efectiva acumulada = 132 mm – 96.72 mm = 35.28 mm
Para calcular las ordenadas del hidrograma unitario, se dividen las ordenadas del
hidrograma de escorrentía directa entre la lamina de escorrentía directa. La duración de este
HU será de 5 horas ya que esa es la duración efectiva del evento o, dicho en otras palabras,
el número de horas durante los cuáles se produce escorrentía directa.
T(h)
Qd(m3/s)
HU(m3/s)/mm
0
0
0
1
0.8
0.023
2
1.6
0.045
3
1.3
0.037
4
0.8
0.023
5
0.4
0.011
PROBLEMA 4.6.3
La precipitación efectiva y la escorrentía directa registrada para una tormenta son las
siguientes:
T(h)
Pe(mm)
Qd(m3/s)
1
1
10
2
2
120
3
1
400
4
5
6
7
8
9
560
425
300
265
170
50
Calcular el hidrograma unitario de 1 hora, sin utilizar el método de la curva S.
SOLUCIÓN
Designando por X1, X2, ... X7 a los valores del hidrograma unitario buscado. Si
este HU se multiplicase por cada una de las precipitaciones efectivas, considerando los
respectivos desplazamientos, el resultado sería el hidrograma de escorrentía directa que es
44

50. 45
proporcionado como dato del problema. Este procedimiento permitiría formar el sistema de
ecuaciones que se muestra en el cuadro siguiente:
T(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Qd(m3/s)
10
120
400
560
425
300
265
170
50
HU*Pe0-1
X1*1
X2*1
X3*1
X4*1
X5*1
X6*1
X7*1
HU*Pe1-2
X1*2
X2*2
X3*2
X4*2
X5*2
X6*2
X7*2
HU*Pe2-3
X1*1
X2*1
X3*1
X4*1
X5*1
X6*1
X7*1
Resolviendo el sistema se tiene:
X2 =
X1 = 10
120 − 10 * 2
= 100
1
X3 =
400 − 100 * 2 − 10 * 1
= 190
1
X4 =
560 − 190 * 2 − 100 * 1
= 80
1
X5 =
425 − 80 * 2 − 190 * 1
= 75
1
X6 =
300 − 75 * 2 − 80 *1
= 70
1
X7 =
265 − 70 * 2 − 75 * 1
= 50
1
luego, el HU buscado será:
T(h)
1
2
3
4
5
6
7
HU(m3/s)/mm
1 hora
10
100
190
80
75
70
50
Sin embargo, es conveniente acotar que este procedimiento no siempre conduce a
soluciones directas, debiendo realizarse procesos de corrección y ajuste.
45

51. 46
PROBLEMA 4.6.4
Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento de precipitación:
Tiempo (h)
Precipitación Acumulada(mm)
Índice Fí (mm/h)
1
5
2.5
2
11
2
3
19
1.5
Dicho evento genera el siguiente hidrograma de escorrentía directa:
T(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
Qd(m /s) 4.5 84.45 349.3 647.75 898.86 638.37 598.18 231.52 11.7
Con base a ello, se pide calcular el hidrograma unitario de la cuenca para una hora
de duración. Así mismo, determinar el área de la cuenca:
SOLUCIÓN
1. Calculo de la precipitación efectiva.
Para el calculo de la precipitación efectiva es necesario, determinar la precipitación
parcial y restarle la infiltración o índice Fí.
Tiempo(h)
Precipitación parcial (mm)
1
5
2
6
3
8
Pe1 = 5 mm - 2.5 mm/h * 1 h = 2.5 mm
Pe2 = 6 mm - 2.0 mm/h * 1 h = 4 mm
Pe3 = 8 mm – 1.5 mm/h * 1 h = 6.5 mm
2. Calculo del Hidrograma Unitario de 1 hora de duración.
Se hace un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las ordenadas del
Hidrodrama Unitario.
46

52. 47
T(h)
1
Qd(m3/s)
4.5
HU*Pe0-1
X1*2.5
HU*Pe1-2
HU*Pe2-3
2
84.45
X2*2.5
X1*4
3
349.3
X3*2.5
X2*4
X1*6.5
4
5
6
7
8
9
647.75
820.4
512.86
394.22
231.52
11.7
X4*2.5
X5*2.5
X6*2.5
X7*2.5
X3*4
X4*4
X5*4
X6*4
X7*4
X2*6.5
X3*6.5
X4*6.5
X5*6.5
X6*6.5
X7*6.5
4.5
=1.8
2.5
84.45 − 1.8 * 4
X2 =
= 30.9
2.5
349.3 − 30.9 * 4 − 1.8 * 6.5
X3 =
= 85.6
2.5
647.75 − 85.6 * 4 − 30.9 * 6.5
X4 =
= 41.8
2.5
820.4 − 41.8 * 4 − 85.6 * 6.5
X5 =
= 38.72
2.5
512.86 − 38.72 * 4 − 41.8 * 6.5
X6 =
= 34.51
2.5
394.22 − 34.51 * 4 − 38.72 * 6.5
X7 =
= 1.8
2.5
X1 =
T(h)
HU(m3/s)/mm
1 hora
1
1.8
2
30.9
3
4
5
6
7
85.6
41.8
38.72
34.51
1.8
Para determinar el área de la cuenca se suman las ordenadas del hidrograma unitario, se
multiplica por el tiempo y los milímetros se llevan a metros, de la siguiente forma:
47

53. 48
(ΣHU (m 3 / s ) / mm * 3600 s
= 846.468 * 10 6 m 2
0.001m / mm
A= 846.468 km2
A=
PROBLEMA 4.6.5
Tres subcuencas A, B y C confluyen en un punto común a la salida de ellas. Sobre las
mismas ocurren los siguientes hietogramas de precipitación media efectiva, en milímetros.
Tiempo(h)
A
1
10
B
12
15
3
6
8
2
C
9
El hidrograma de escorrentía directa resultante del evento, en el punto de confluencia, es el
siguiente:
T(h)
Qd(m3/s)
0.5
9
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510 718.3 249.8 88
5.5
28.8
Tiempo después se produce una tormenta de seis horas de duración en la subcuenca A, en
el cuál existen tres estaciones de precipitación P1, P2, y P3, con porcentajes de influencia
de 30%, 40% y 30%, del área de la subcuenca, el cual es de 85 Km2. Los valores del índice
φ, expresados en mm/h, pueden considerarse variables de acuerdo a los tipos de suelos, tal
como se muestra en el cuadro adjunto. Los hietogramas de precipitación en las estaciones
también se presentan en el cuadro adjunto de la derecha.
Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante de este evento, asumiendo que el
hidrograma unitario de 1 hora es el mismo para las tres subcuencas.
Valor de φ mm/h
2
Hietograma (mm)
Area(Km )
h02
h04
h06
10
5
4
3
30
4
3
45
5
4.5
h02
h04
h06
P1
18
12
14
2.5
P2
16
12
9
3.5
P3
13
10
8
48

54. 49
SOLUCIÓN.
1.
Calculo del HU de 1 hora, por el método de deconvolución:
Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo como incógnita el hidrograma unitario, como
dicho hidrograma es el mismo para las tres subcuencas, se procede de la siguiente manera:
SUBCUENCA A
T(h)
SUBCUENCA B
SUBCUENCA C
Qd=HU*10 Qd=HU*15 Qd=HU*12 Qd=HU*8 Qd=HU*6 Qd=HU*9 QdR(m3/s)
0
X1*10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
X2*10
X3*10
X4*10
X5*10
X6*10
X7*10
X8*10
0
X1*15
X2*15
X3*15
X4*15
X5*15
X6*15
X7*15
X8*15
X1*12
X2*12
X3*12
X4*12
X5*12
X6*12
X7*12
X8*12
X1*8
X2*8
X3*8
X4*8
X5*8
X6*8
X7*8
X8*8
X1*6
X2*6
X3*6
X4*6
X5*6
X6*6
X7*6
X8*6
X1*9
X2*9
X3*9
X4*9
X5*9
X6*9
X7*9
X8*9
9
159.2
444.2
487.1
872.2
898.1
1510
718.3
249.8
88
28.8
X1 = 0
9
X2 =
= 0.9
10
159.2 − X 1 *12 − X 1 * 6
X3 =
= 15.92
10
444.2 − X 2 *12 − X 2 * 6
X4 =
= 42.8
10
487.1 − X 1 *15 − X 3 * 12 − X 1 * 8 − X 3 * 6 − X 1 * 9
X5 =
= 20.054
10
872.2 − X 2 * 15 − X 4 * 12 − X 2 * 8 − X 4 * 6 − X 2 * 9
X6 =
= 7.3
10
898.1 − X 3 *15 − X 5 *12 − X 3 * 8 − X 5 * 6 − X 3 * 9
= 2.769
X7 =
10
1510 − X 4 *15 − X 6 *12 − X 4 * 8 − X 6 * 6 − X 4 * 9
X8 =
= 0.9
10
49

55. 50
T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
HU(m3/s)/mm
1 hora
0
0.9
15.92
42.8
20.054
7.3
2.769
0.9
Como la precipitación en el hietograma de precipitación esta cada 2 horas se debe
determinar el Hu de 2 horas de duración:
T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm
1 horas
1 hora
0
0.9
15.92
0
42.8
0.9
20.054
15.92
7.3
42.8
2.769
20.054
0.9
7.3
2.769
0.9
0
0.9
15.92
43.7
35.974
50.1
22.823
8.2
2.769
0.9
HU(m3/s)/mm
2 horas
0
0.45
7.96
21.85
17.99
25.05
11.41
4.1
1.38
0.45
2. Calculo de la precipitación efectiva:
2.1 Calculo de la precipitación media en cada intervalo:
P0-2 = 18 * 0.3 + 16 * 0.4 + 13 * 0.3 = 15.7 mm
P2-4 = 12 * 0.3 +12 * 0.4 + 10 * 0.3 = 11.40 mm
P4-6 = 14 * 0.3 + 9 * 0.4 + 8 * 0.3 = 10.2 mm
2.2. Calculo del φ promedio:
5 *10 + 4 * 30 + 5 * 45
= 4.65mm / h
85
4 * 10 + 3 * 30 + 4.5 + 45
= 3.91mm / h
φ2 − 4 =
85
3 *10 + 2.5 * 30 + 3.5 * 45
φ4 − 6 =
= 3.09mm / h
85
φ0 − 2 =
50

56. 51
2.3 Precipitación efectiva:
Pe0-2 = 15.7 mm – 4.65 mm/h * 2h = 6.4 mm
Pe2-4 = 11.4 mm – 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mm
Pe4-6 = 10.2 mm – 3.09 mm/h * 2h = 4.02 mm
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa, se multiplica el hidrograma unitario de 2
horas por la precipitación efectiva de 2 horas de la forma siguiente:
T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
HU(m3/s)/mm Qd=HU*6.4 Qd=HU*3.58 Qd=HU*4.02 QdR(m3/s)
2 horas
0
0
0
0.45
2.88
2.88
7.96
50.94
50.94
21.85
139.84
139.84
17.99
115.14
0
115.14
25.05
160.32
1.61
161.93
11.41
73.02
28.5
101.52
4.1
26.24
78.22
104.46
1.38
8.83
64.4
0
73.24
0.45
2.88
89.68
1.81
94.37
40.85
32
72.85
14.68
87.84
102.52
4.94
72.32
77.26
1.61
100.7
102.31
0
45.87
45.87
16.48
16.48
5.55
5.55
1.81
1.81
PROBLEMA 4.6.6
Se tiene dos cuencas, A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en
las cuales simultáneamente ocurre un evento de precipitación, con los siguientes
hietogramas:
Intervalo (hrs)
Precipitación
cuenca A (mm)
Precipitación
cuenca B (mm)
0 - 1.0
31
13
1.0 - 2.0
2.0 - 3.0
21
22
51

57. 52
El hidrograma unitario de ½ hora para ambas cuencas es el siguiente:
t(h)
0
3
HU(m /s/mm) 0
0.5
0.47
1.0
2.12
1.5
2.60
2.0
2.24
2.5
1.65
3.0
1.06
3.5
0.59
4.0
0.30
4.5
0.12
5.0
0
En la cuenca A el índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en 10% en cada intervalo; en
la cuenca B puede considerarse constante e igual a 6 mm/hora. Calcular el hidrograma de
escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas.
SOLUCIÓN
Cálculo de la precipitación efectiva en cada subcuenca:
Los valores del índice φ y de la precipitación efectiva en la subcuenca A, en cada
intervalo serán:
Intervalo
Indice φ (mm/h)
Precipitación efectiva (mm)
0-1
1–2
2–3
8
8 – 0.10*8 = 7.2
7.2 – 0.10*7.2 = 6.48
31 – 8 = 23
0
22 – 6.48 = 15.52
Análogamente, para la subcuenca B se tendrá:
Intervalo
0-1
1–2
Indice φ (mm/h)
6
6
Precipitación efectiva (mm)
13 – 6 = 7
21 – 6 = 15
Los hietogramas de precipitación para cada subcuenca están en intervalos de 01
hora mientras que el hidrograma unitario proporcionado como dato corresponde a 0.5 horas
de duración. Ello hace aconsejable determinar el HU de 01 horas.
Para ello, se desplaza el HU de ½ hora, una vez y un intervalo respecto a sí mismo,
determinándose luego la sumatoria del hidrograma original y el desplazado. El resultado
será un hidrograma de 1 hora de duración y 2 mm de precipitación efectiva; dividiendo este
nuevo hidrograma entre dos se obtendrá el HU correspondiente a 01 horas de duración. El
procedimiento descrito se resume en el cuadro adjunto:
52

58. 53
T(h)
HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm)
1/2 hora
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
0
0.47
2.12
2.6
2.24
1.65
1.06
0.59
0.3
0.12
0
HU(m3/s)/mm)
1/2 hora
1 hora
0
0.47
2.59
4.72
4.84
3.89
2.71
1.65
0.89
0.42
0.12
0
0
0.47
2.12
2.6
2.24
1.65
1.06
0.59
0.3
0.12
0
0
0.24
1.3
2.36
2.42
1.95
1.36
0.83
0.45
0.21
0.06
0
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de
ambas cuencas, se procede de la forma siguiente:
SUBCUENCA A
T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
HU(m3/s)/mm) Qd= HU*23 Qd= HU*15.52
1 hora
0
0.24
1.3
2.36
2.42
1.95
1.36
0.83
0.45
0.21
0.06
0
0
5.52
29.9
54.28
55.66
44.85
31.28
19.09
10.35
4.83
1.38
0
0
3.72
20.18
36.63
37.56
30.26
21.11
12.88
6.98
3.26
0.93
0
SUBCUENCA B
Qd=HU*7
0
1.68
9.10
16.52
16.94
13.65
9.52
5.81
3.15
1.47
0.42
0
Qd=HU*15
QdR(m3/S)
0
3.60
19.50
35.4
36.3
29.25
20.40
12.45
6.75
3.15
0.9
0
0
7.20
39.00
74.4
92.04
97.62
97.28
90.67
71.46
49.01
29.66
16.03
7.88
3.26
0.93
0
PROBLEMA 4.6.7
En una cuenca de 15 Km2 de superficie se tiene información de precipitaciones máximas
anuales para una hora de duración las cuáles puede asumirse se ajustan a una distribución
53

59. 54
Extrema Tipo I. Dicha información indica que la probabilidad de exceder la lámina de 80
mm en una hora es del 29 %, mientras que la probabilidad de exceder los 140 mm de lluvia,
también en una hora, es de 5.19 %.
Sobre dicha cuenca ocurre una precipitación de 3 horas de duración. En la primera hora,
cae la precipitación de periodo de retorno, Tr = 25 años; en la segunda hora cae la
precipitación Tr = 15 años y finalmente, en la tercera ocurre la precipitación de Tr = 10
años. El hidrograma unitario de la cuenca, para una duración de 1/3 de hora, es:
T(h)
0
HU((m3/s)/mm) 0
0.5
0.47
1
2.12
1.5
2.6
2
2.24
2.5
1.65
3
1.06
3.5
0.59
4
0.3
4.5
0.12
5
0
El índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en un 15 % cada intervalo. Calcular el
hidrograma de escorrentía directa generado por la tormenta.
SOLUCIÓN
Como las precipitaciones se ajustan a una distribución extrema Tipo I , se calcula los
parámetros de la distribución con los siguientes datos:
Para P= 80 mm la P(X≥x) = 0.29
Para P = 140mm la P(X≥x) = 0.0519
luego:
−
0.29 − 1 = − e e
−α ( x − β )
−
0.0519 − 1 = − e e
−α ( x − β )
resolviendo:
β= 45.45
α=0.031
Con los parámetros calculados se determinan las precipitaciones para las horas indicadas en
1 1
el hietograma. En la primera hora, para Tr = 25 años se tiene: P ( X ≥ x) = = = 0.04
Tr 25
Luego, sustituyendo en la ecuación probabilística se obtiene:
−0.031 ( x −45.45 )
0.04 = 1 − e−e
despejando el valor de x (precipitación en la primera hora):
Igualmente, en la segunda hora y para Tr = 15 años:
P ( X ≥ x) =
P01= 148,63 mm
1 1
= = 0.0667
Tr 15
54

60. 55
−0.031( x −45.45 )
0.0667 = 1 − e−e
Sustituyendo:
el valor de x, (precipitación en la segunda hora), será:
P02= 131.68 mm
análogamente, para la tercera hora: Tr = 10 años, la P ( X > x) =
1 1
= = 0.1
Tr 10
−0.031( x −45.45 )
Sustituyendo: 0.1 = 1 − e−e
despejando el valor de x (precipitación en la tercera hora):
P03= 118.04 mm
Para determinar la precipitación efectiva, se debe calcular el índice φ para cada intervalo y
restárselo a la precipitación: luego:
Hora (h)
1
2
3
Indice φ (mm/h)
8
8 – 0.15*8 = 6.8
6.8 – 0.15*6.8 = 5.78
Precipitación efectiva (mm)
148.63 – 8 = 140.63
131.68 – 6.8 = 124.88
118.04 – 5.78 = 112.26
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa se debe determinar primero el
hidrograma unitario de 1 hora, por desplazamientos, tal como se ilustra a continuación:
T(horas) HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1/3 h
(m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s)/mm
0
0
0.33
0.31
0
0.67
1.02
0.31
0
1
2.12
1.02
0.31
1.33
2.44
2.12
1.02
1.67
2.48
2.44
2.12
2
2.24
2.48
2.44
2.33
1.85
2.24
2.48
2.67
1.45
1.85
2.24
3
1.06
1.45
1.85
3.33
0.75
1.06
1.45
4
0.3
0.75
1.06
4.33
0.18
0.3
0.75
4.67
0.08
0.18
0.3
5
0.08
0.18
5.33
0.08
0
0.31
1.33
3.45
5.58
7.04
7.16
6.57
5.54
4.36
3.26
2.11
1.23
0.56
0.26
0.08
HU 1 hora
(m3/s/mm)
0
0.1
0.44
1.15
1.86
2.35
2.39
2.19
1.85
1.45
1.09
0.7
0.41
0.19
0.09
0.03
55

61. 56
T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26
(m3/s/mm)
m3/s
m3/s
m3/s
0
0
0
0.33
0.1
14.06
0.67
0.44
61.88
1
1.15
161.72
0
1.33
1.86
261.57
12.49
1.67
2.35
330.48
54.95
2
2.39
336.11
143.61
0
2.33
2.19
307.98
232.28
11.23
2.67
1.85
260.17
293.47
49.39
3
1.45
203.91
298.46
129.10
3.33
1.09
153.29
273.49
208.80
4
0.7
98.44
231.03
263.81
4.33
0.41
57.66
181.08
268.30
4.67
0.19
26.72
136.12
245.85
5
0.09
12.66
87.42
207.68
5.33
0.03
4.22
51.20
162.78
5.67
23.73
122.36
6
11.24
78.58
6.33
3.75
46.03
6.67
21.33
7
10.10
7.33
3.37
QdR
m3/s
0
14.06
61.88
161.72
274.06
385.43
479.72
551.49
603.03
631.47
635.58
593.28
507.04
408.69
307.76
218.2
146.09
89.82
49.78
21.33
10.10
3.37
PROBLEMA 4.6.8
Dado el hidrograma unitario de 4 h de duración, se pide calcular el hidrograma unitario de
3 horas, en una cuenca de 300 Km2 de superficie.
T(h)
0
3
HU(m /s)/mm 0
11
41
1
6
2
36
3
66
4
91
5
106
6
93
7
79
8
68
9
58
12
34
13
27
14
23
15
17
16
13
17
9
18
6
19
3
10
49
20
1.5
SOLUCIÓN
Para resolver este problema se utilizará el procedimiento de la curva S para lo cuál debe
determinarse primero el número de desplazamientos mínimos que deben efectuarse
empleando la relación:
56

62. 57
Nd =
Tb
Du
donde:
Nd:
Tb:
Du:
número mínimo de desplazamientos
tiempo base del hidrograma unitario en h
duración del hidrograma unitario h.
Luego:
20
=5
4
Se calcula ahora la curva S, sumando el hidrograma unitario y los 5 desplazamientos
cada 4 horas (duración del hidrograma unitario), obteniéndose:
Nd =
T(h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
HU(m3/s/)mm
Suma de los 5
4h
0
6
36
66
91
106
93
79
68
58
49
41
34
27
23
17
13
9
6
3
1.5
Desplazamientos
0
6
36
66
91
112
129
145
159
170
178
186
193
197
201
203
206
206
207
206
Curva S
0
6
36
66
91
112
129
145
159
170
178
186
193
197
201
203
206
206
207
206
207.5
206
207
206
Esta curva S debe corregirse a fin de eliminar las oscilaciones que se presentan en la parte
superior de la curva; esta corrección puede efectuarse de manera gráfica, tal como se
aprecia en la figura adjunta y cuadro adjuntos.
57

63. 58
Curva S Corregida
T(h)
CSC
CSCD
CSC - CSCD HU(m3/s)/mm
3h
(CSC-CSCD)*4/3
0
0
6
8
36
48
91
121.33
106
141.33
93
124
54
72
47
62.67
41
54.67
33
44
27
36
23
30.67
19
25.33
15
20
10
13.33
9.5
12.67
5.5
7.33
3.5
4.67
0
0
0
0
1
6
2
36
3
91
0
4
112
6
5
129
36
6
145
91
7
159
112
8
170
129
9
178
145
10
186
159
11
193
170
12
197
178
13
201
186
14
203
193
15
206.5
197
16
206.5
201
17
206.5
203
18
206.5
206.5
CSC : CURVA S CORREGIDA
CSCD: CURVA S CORREGIDA DESPLAZADA
58

64. 59
Como puede apreciarse, para determinar el hidrograma unitario de 3 horas se resta de la
curva S corregida la curva S, también corregida, desplazada previamente un intervalo igual
a la duración del hidrograma que se desea calcular. En el cuadro, el resultado corresponde a
la columna CSC – CSCD.
Luego, dicho resultado se multiplica por el factor obtenido al dividir la duración del
hidrograma con el que se construyó la curva S, en este caso 4 horas, entre la duración del
hidrograma que se desea calcular. Para el problema el factor es igual a 4/3; el resultado será
el HU de la duración deseada.
PROBLEMA 4.6.9
Se tiene dos cuencas A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en las
cuales simultáneamente empieza a llover, con los siguientes hietogramas de precipitación
en cada cuenca:
Cuenca A
0 - 1.5
Cuenca B
40
1.5 – 3
3.0 – 4.5
30
60
25
El hidrograma unitario de 1/3 de hora para ambas cuencas es el siguiente:
T(h)
0
3
HU(m /s)/mm 0
1/3
0.47
2/3
2.12
3/3
2.6
4/3
2.24
5/3
1.65
6/3
1.06
7/3
0.59
8/3
0.3
9/3
0.12
En la cuenca A el índice φ es de 7 mm/h y se reduce en 12 % cada intervalo; en la cuenca B
puede considerarse constante e igual a 5 mm/h. Calcular el hidrograma de escorrentía
directa resultante en la confluencia de ambas cuencas.
SOLUCIÓN:
En este caso, y procediendo de forma similar a problemas anteriores se tendrá para la
cuenca A:
Intervalo (h)
0 – 1.5
1.5 – 3.0
3.0 – 4.5
Indice φ
7
7 – 7*0.12 = 6.16
6.16 – 6.16*0.12 = 5.42
Precipitación efectiva (mm)
40 – 7*1.5 = 29.5
60 – 5.42*1.5 = 51.87
En la cuenca B el índice φ es constante, por lo tanto, la precipitación efectiva en cada
intervalo será:
59

65. 60
Pe 1.5-3 = 30 mm – 5 mm/h*1.5 h =22.5 mm
Pe 3-4.5= 25 mm – 5 mm/h*1.5 h =17.5 mm
Para determinar el hidrograma unitario de 1.5 h puede emplearse el método de la curva S a
partir del HU de 1/3 hora; el número mínimo de desplazamientos será:
10
Tb
= 3 = 10
Nd =
1
Du
3
Luego, la curva S será:
T(h)
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
2
2.33
2.67
3
3.33
HU(m3/s)/mm
1/3 h
0
0.47
2.12
2.6
2.24
1.65
1.06
0.59
0.3
0.12
0
Suma de los 10
desplazamientos
0
0.47
2.59
5.19
7.43
9.08
10.14
10.73
11.03
11.15
Cuva S
0
0.47
2.59
5.19
7.43
9.08
10.14
10.73
11.03
11.15
11.15
Y la curvas S corregida:
60

66. 61
El HU de 1.5 horas de duración será entonces:
T(h)
CSC
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
1.4
5.19
8.5
10.14
10.9
11.15
11.15
11.15
11.15
CSCD
CSC –CSCD
0
1.4
5.19
8.5
10.14
10.9
11.15
0
1.4
5.19
8.5
8.74
5.71
2.65
1.01
0.25
0
HU(m3/s)/mm
1.5 H
(CSC-CSCD)*(1/3)/1.5
0
0.31
1.15
1.89
1.94
1.27
0.59
0.22
0.06
0
CSC: CURVA S CORREGIDA
CSCD: CUEVA S CORREGIDA DESPLAZADA
Luego, el hidrograma de escorrentía directa en la confluencia de ambas cuencas es:
T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
Cuenca A
Cuenca B
HU(m3/s)/mm Qd = HU*29.50 Qd=HU*51.87 Qd =HU*22.5 Qd=HU*17.5 QdR(m3/s)
0
0
0
0.31
9.15
9.15
1.15
33.93
33.93
1.89
55.76
0
55.76
1.94
57.23
6.98
64.21
1.167
34.43
25.88
60.31
0.59
17.41
0
42.53
0
59.94
0.22
6.49
16.08
43.65
5.43
71.65
0.06
1.77
59.65
26.26
20.13
107.81
0
0
98.03
13.28
33.08
144.39
100.63
4.95
33.95
139.53
60.53
1.35
20.42
82.3
30.6
10.33
40.93
11.41
3.85
15.26
3.11
1.05
4.16
61

67. 62
CAPÍTULO V
5.1
Método de la curva número
La relación entre la escorrentía y la lluvia que la origina ha sido objeto de múltiples
análisis e interpretaciones hidrológicas. Si bien es cierto que existe una estrecha
interrelación entre ambos elementos hidrológicos, ésta no es una asociación fija e invariable
en el tiempo y en el espacio. Básicamente, la relación lluvia- escorrentía está determinada
por las características específicas de la cuenca tales como pendiente, vegetación, tipo de
suelos y otras. El conjunto de ellas determina la respuesta del sistema, o cuenca, ante la
ocurrencia de la lluvia.
Los diversos métodos desarrollados para el análisis del proceso tratan de cuantificar
esta capacidad de respuesta de la cuenca. La forma más simple está dada por la adopción de
un coeficiente global que expresa, en forma de porcentaje, la relación entre lo precipitado y
lo escurrido. Esto es lo que se denomina el coeficiente de escorrentía. Aún cuando este
método ha sido bastante difundido, sus limitaciones son obvias si se tiene en cuenta la
excesiva simplificación del ciclo hidrológico que él mismo hace.
El servicio de Conservación de Suelos, SCS, de los Estados Unidos, luego del
análisis de gran número de datos de cuencas experimentales, ha desarrollado un método de
estimación de la escorrentía. Dicho método se basa en el análisis del complejo suelo cobertura y las condiciones de humedad del suelo antes de la ocurrencia de la precipitación.
La relación básica del procedimiento es:
Re tención _ Re al
Escorrentía _ Re al
=
Re tención _ Potencial Escorrentìa _ Potencial
(5.1)
Si se adopta la designación de variables siguientes:
S:
Q:
Ia:
P:
retención potencial
escorrentía real
pérdidas por intercepción, almacenamiento en depresiones e infiltración.
precipitación.
La ecuación (5.1) puede escribirse ahora como:
( P − Ia) − Q
Q
=
S
P − Ia
(5.2)
Efectuando operaciones:
[( P − Ia) − Q ]* ( P − Ia) = Q * S
62

68. 63
( P − Ia) 2 − ( P − Ia) * Q = Q * S
( P − Ia) 2 = Q * S + Q * ( P − Ia)
( P − Ia) 2 = Q * ( S + ( P − Ia))
Q=
( P − Ia) 2
S + ( P − Ia)
(5.3)
Trabajos realizados en diversas cuencas experimentales han permitido establecer
que el valor de Ia es aproximadamente el 20% del valor de S, o sea:
Ia = 0.20 * S
(5.4)
Reemplazando (5.4) en (5.3), se tiene:
Q=
( P − 0.20 * S ) 2
S + P − 0.20 * S
Finalmente:
Q=
( P − 0.20 * S ) 2
P + 0.80 * S
(5.5)
El valor de S, en centímetros, se relaciona con el número de curva de escorrentía a
través de la expresión:
S=
2540
− 25.40
CN
(5.6)
donde:
CN:
valor de la curva número
El valor de CN se determina a partir de las características de infiltración y uso del
suelo, la cobertura vegetal y las condiciones de humedad en la cuenca al momento de
producirse la precipitación, lo que se denomina humedad antecedente; los rangos
establecidos experimentalmente son:
Condición de humedad
Antecedente
I
II
III
ILRI, 1978
Lluvia total de los 5
días previos (cm)
0 - 3.50
3.50 - 5.25
más de 5.25
63

69. 64
Las condiciones hidrológicas pueden aproximarse a partir del grado de cobertura vegetal
del área en estudio, de la forma siguiente:
Condición Hidrológica Porcentaje de Cobertura vegetal (%)
Buena
más de 75
Regular
Entre 50 y 75
Mala
menos del 50
ILRI, 1978
En lo referente al grupo hidrológico del suelo, éste es un parámetro que trata de
ponderar las características de infiltración del suelo. De acuerdo a ello, se han establecido
cuatro grupos:
Grupo
A
B
C
D
ILRI, 1978
Infiltración
Alta
Moderada
Lenta
Muy lenta
Con la información descrita puede determinarse el número de curva, CN,
empleando la Tabla Nº1, la cual corresponde a condiciones de humedad antecedente II.
Para otras condiciones, debe emplearse la Tabla Nº 2, en el anexo 2.
5.2
Distribución del evento en el tiempo
El método del número de curva no considera la variable tiempo por lo que
previamente a su aplicación se requiere distribuir la precipitación a lo largo de la duración
total del evento; luego para el cálculo de los hidrogramas generados por la precipitación
efectiva de cada intervalo también se requerirá considerar el factor tiempo.
Para la distribución de la lluvia en el tiempo debe considerarse previamente el
intervalo de trabajo a emplear. Una regla práctica para ello establece que dicho intervalo
debe ser igual o menor que la cuarta parte del tiempo al pico de la cuenca.
Establecido el intervalo de trabajo se utiliza la denominada curva adimensional de
tormentas que es un gráfico que relaciona la fracción acumulada de tiempo transcurrido,
respecto a la duración total del evento, con la fracción acumulada, respecto a la lámina total
del evento, de la lámina precipitada. En la figura 5.1. Pueden apreciarse las curvas
adimensionales de lluvia típicas desarrolladas por el Servicio de Conservación de Suelos,
SCS.
64

70. 65
Figura 5.1. Curvas adimensionales de tormentas (SCS, 1958)
Sin embargo, es recomendable tratar de obtener curvas características para las
zonas en estudio a partir de la información disponible.
Para el cálculo de los valores de caudales en los hidrogramas generados puede
utilizarse el hidrograma adimensional de escorrentía. Este es un gráfico donde en el eje x
se encuentran los valores discretizados en intervalos de 0.25 del tiempo al pico y desde 0
hasta 5 veces el tiempo al pico. En el eje y se colocan los correspondientes valores para
cada x, pero expresados en términos qt / qp; es decir como una fracción del caudal pico. El
hidrograma adimensional desarrollado por el SCS se muestra a continuación:
T/Tp
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
qt/qp
0
0.12
0.43
0.83
1
0.88
0.66
0.45
0.32
0.22
0.15
0.105
0.075
0.053
0.036
0.026
0.018
0.012
0.009
0.006
0.004
65

71. 66
El procedimiento a seguir puede resumirse en los siguientes pasos:
•
•
La duración de la lluvia total se divide en intervalos iguales, o menores, a 0.25 del
tiempo al pico
Para cada intervalo se calcula la relación:
tiempo _ acumulado _ hasta _ el _ int ervalo
Duración _ total
•
Empleando la curva adimensional de tormenta, se calcula la relación:
Precipitación acumulada hasta el intervalo dado
Precipitación total
•
•
•
•
Con el valor anteriormente obtenido se calcula el valor de la lluvia acumulada
Con la lluvia acumulada, y las ecuaciones (5.5) y (5.6), pueden obtenerse los valores de
la lámina de escorrentía directa acumulada.
Con los valores obtenidos en el paso anterior pueden obtenerse las láminas de
escorrentía directa generados en cada intervalo
Luego, se calcula el caudal pico producido por la lámina de escorrentía correspondiente
a cada intervalo de tiempo. Para ello se emplea la siguiente ecuación:
qp = 0.208 * A *
Q
Tp
(5.7)
donde:
A:
Q:
Tp:
qp:
•
•
área de la cuenca, Km2
escorrentía directa, mm
tiempo al pico, horas
caudal pico en m3/s.
Empleando el hidrograma adimensional de escorrentía se calcula el hidrograma
correspondiente a cada intervalo de tiempo.
Se suman los hidrogramas de cada intervalo, para calcular el hidrograma de escorrentía
directa resultante
66

72. 67
5.3
Problemas de aplicación de la Curva Número
PROBLEMA 5.3.1
Una cuenca tiene 47.36 Km de longitud máxima de recorrido de la escorrentía y una
diferencia de cota de 1000 mts entre el punto más remoto y la salida, con un área total de
350 Km2. En ella, el 30 % del área tiene CNII de 88; 40% posee CNII de 82 y el 30%
restante tiene CNII de 75.
Sobre esta cuenca ocurre una lluvia de 70 mm en tres horas. Calcular el hidrograma de
escorrentía directa resultante del evento empleando la curva adimensional de lluvia y el
hidrograma adimensional de escorrentía que se dan a continuación y asumiendo que al
producirse el evento las curvas números están en condición I.
t/T
p/Pt
0
0
t/Tp 0
qt/qp 0
0.1
0.3
0.2
0.5
0.3
0.7
0.4
0.8
0.5
0.87
0.6
0.91
0.7
0.95
0.8
0.97
0.9
0.99
1.0
1.0
0.25
0.12
0.50
0.4
0.75
0.83
1.0
1.0
1.25
0.85
1.50
0.66
1.75
0.45
2.0
0.32
2.25
0.22
2.50
0.15
2.75 3.0
3.25 3.50 3.75 4.0
4.25 4.50 4.75 5.0
0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004
SOLUCIÓN
La curva adimensional de lluvia permite desagregar la duración total del evento en
intervalos de tiempo más pequeños. Sin embargo el problema será determinar cuál es el
intervalo de trabajo más recomendable de manera de no perder precisión en el cálculo o
generar un excesivo, e innecesario, número de segmentos.
Al respecto, una regla práctica establece que la longitud del intervalo de trabajo
recomendado es que sea menor o igual a la cuarta parte del tiempo al pico; de allí que la
solución de este problema se inicie por calcular el tiempo de concentración de la cuenca,
para lo cuál se dispone de la información necesaria, y luego relacionarlo con el tiempo al
pico, luego:
Tc = 0.0195 * L1.155 * H −0.385
Tc = 0.0195 * (47.36 *1000)1.155 * 1000−0.385
Tc = 5.715 h
A partir de este valor puede calcularse el tiempo al pico empleando la relación:
Tp = 0.7*Tc = 0.7*5.715 h = 4 h
67

73. 68
Luego el intervalo de trabajo será:
IT ≤ 0.25 Tp IT ≤ 0.25* 4 h IT ≤ 1.0 h.
El resultado indica que el evento de tres horas de duración total será segmentado en 3
intervalos de una hora cada uno. Luego se calcula la relación t/T, en la cual t es el tiempo
acumulado hasta el intervalo considerado y T la duración total del evento. Empleando la
curva adimensional de lluvia puede determinarse el valor p/P, correspondiente a cada t/T.
El valor p es la precipitación acumulada hasta el tiempo t y P la precipitación total del
evento.
Los valores de p/P permiten calcular la precipitación acumuladas hasta cada intervalo, Pa,
tal como se aprecia en el cuadro siguiente.
T(h)
0
1
2
3
t/T
0
0.33
0.67
1
p/P
0
0.73
0.938
1
Pa(cm)
0
5.11
6.566
7
Qa(cm)
0
0.382
0.888
1.069
Qparc.(mm)
0
3.82
5.06
1.81
qp(m3/s)
0
69.52
92.09
32.94
El valor Qa corresponde a la lamina escorrentía directa acumulada hasta el intervalo t y se
calcula utilizando la expresión:
Q=
( P − 0.20 * S ) 2
( P + 0.8 * S )
donde S es el coeficiente de retención potencial del suelo el cuál puede calcularse por la
relación siguiente, para S en centímetros:
S=
2540
− 25.4
CN
aquí, CN es la curva número de la cuenca y es función de las condiciones de suelo,
vegetación y humedad antecedente. De acuerdo al enunciado del problema la condición de
humedad antecedente es I al momento de producirse el evento, por lo cual cada una de las
curvas número proporcionadas deberán ser llevadas a esta condición; para ello pueden
utilizarse las ecuaciones:
CN I =
4.2 * CN II
10 − 0.058 * CN II
CN III =
23 * CN II
10 + 0.13 * CN II
luego:
68

74. 69
CNII = 88→CNI = 75.49
CNII = 82→CNI = 65.675
CNII = 75→CNI = 55.75
Como existen 3 sectores de la cuenca con diferentes valores de CN resulta conveniente
ponderar dichos valores por sus respectivas áreas obteniéndose:
CNp = 75.49 * 0.3 + 65.675 * 0.4 + 55.75 * 0.3 = 65.642
y el coeficiente de retención será:
S=
2540
− 25.40 = 13.29cm
65.642
Determinada la precipitación efectiva acumulada, por diferencia puede calcularse la
escorrentía directa para cada intervalo, Qparc; cada una de estas láminas producirá un
hidrograma de salida del cuál puede conocerse su caudal pico aplicando la ecuación:
qp = 0.208 *
donde:
qp:
A:
Q:
Tp:
A*Q
Tp
caudal pico, m3/seg
área de la cuenca, Km2
lámina de escorrentía, mm
tiempo al pico de la cuenca, horas
El problema será ahora definir completamente los hidrogramas de escorrentía directa de
cada intervalo. Para ello se utiliza el concepto de hidrograma adimensional de escorrentías
el cuál no es otra cosa sino la relación entre el porcentaje de tiempo transcurrido, t/Tp, y el
porcentaje del caudal instantáneo con relación al caudal pico, qt/qp.
En el cuadro adjunto las dos primeras columnas corresponden a la relación adimensional de
tiempos y caudales. Por ejemplo el par de valores 0.25 y 0.12 de la segunda línea debe
interpretarse como que en el instante en que ha transcurrido el 25 % del tiempo al pico, el
caudal es igual al 12 % del caudal pico correspondiente a la primera hora.
Ello permite calcular el tiempo absoluto transcurrido hasta este intervalo, el cuál será igual
a 0.25*Tp = 0.25*4 h = 1; este valor se coloca en la columna T(h). El caudal instantáneo,
columna Qd, para ese momento será entonces igual a 0.12*69.52 = 8.34 m3/seg.
Procediendo de forma análoga para la tercera línea se tendrá que transcurrido un lapso igual
al 50 % del tiempo al pico se produce un caudal igual al 40 % del caudal pico de la
primera hora lo cuál equivale a 0.4*69.52 = 27.81 m3/seg. El resto de los valores del
69

75. 70
hidrograma generado por la escorrentía directa de la primera hora se calculan procediendo
de forma similar.
Los hidrogramas correspondientes a la segunda y tercera hora se calcula de la misma forma
teniendo en cuenta los desplazamientos que deben efectuarse. El hidrograma de escorrentía
directa resultante, Qdt, se muestra en la última columna del cuadro.
t/Tp
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
qt/qp
0
0.12
0.4
0.83
1
0.85
0.66
0.45
0.32
0.22
0.15
0.105
0.075
0.053
0.036
0.026
0.018
0.012
0.009
0.005
0.004
T(h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Qd=qt/qp*69.52 Qd=qt/qp*92.09 Qd=qt/qp*32.94 Qdt(m3/s)
0
0
8.34
0
8.34
27.81
11.05
0
38.86
57.7
36.84
3.95
98.49
69.52
76.43
13.18
159.13
59.09
92.09
27.34
178.52
45.88
78.28
32.94
157.1
31.28
60.78
28
120.06
22.25
41.44
21.74
85.43
15.29
29.47
14.82
59.58
10.43
20.26
10.54
41.23
7.3
13.81
7.25
28.36
5.21
9.67
4.94
19.82
3.68
6.91
3.46
14.05
2.5
4.88
2.47
9.85
1.81
3.32
1.75
6.88
1.25
2.39
1.19
4.83
0.83
1.66
0.86
3.35
0.63
1.11
0.59
2.33
0.35
0.83
0.4
1.58
0.28
0.46
0.3
1.04
0.37
0.16
0.53
0.13
0.13
70

76. 71
PROBLEMA 5.3.2
Una cuenca de 15 Km2 de área total tiene 6 Km2 con curva número 60, 5 Km2 con curva
número 85, el resto del área con curva número 93. El tiempo al pico de la cuenca se puede
estimar en 2 horas. Sobre ella ocurre una precipitación de 3 horas de duración y lámina
total precipitada igual a 39.87 mm.
Se pide calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante, empleando la curva
adimensional de lluvia y el hidrograma adimensional de escorrentía que se da a
continuación:
t/T
p/Pt
0
0
T/Tp 0
qt/qp 0
0.1
0.3
0.2
0.5
0.3
0.7
0.4
0.8
0.5
0.87
0.6
0.91
0.7
0.95
0.8
0.97
0.9
0.99
1.0
1.0
0.25
0.12
0.50
0.4
0.75
0.83
1.0
1.0
1.25
0.85
1.50
0.66
1.75
0.45
2.0
0.32
2.25
0.22
2.50
0.15
2.75 3.0
3.25 3.50 3.75 4.0
4.25 4.50 4.75 5.0
0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004
SOLUCION
En este caso, el intervalo de trabajo a utilizar será IT≤ 0.25*2 = IT≤ 0.5 horas. La curva
número promedio ponderada para el conjunto de la cuenca es:
CN =
6 * 60 + 5 * 85 + 4 * 93
= 77.13
15
para el cuál se tendrá un valor igual a 7.53 cm para el almacenamiento potencial del suelo.
Luego, aplicando los mismos criterios y relaciones del problema anterior pueden elaborarse
los cuadros mostrados a continuación.
T(h)
t/T
p/P
Pa(cm)
Qa(cm)
Qp(mm)
qp(m3/s)
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0.17
0.44
1.75
0.008
0.08
0.12
1
0.33
0.73
2.91
0.22
2.12
3.31
1.5
0.5
0.87
3.47
0.406
1.86
2.9
2
0.67
0.938
3.74
0.511
1.05
1.64
2.5
0.83
0.976
3.89
0.573
0.62
0.97
3
1
1
3.99
0.616
0.43
0.67
71

77. 72
T/Tp
qt/qp
T(h)
Qd1(m3/s) Qd2(m3/s) Qd3(m3/s) Qd4(m3/s) Qd5(m3/s) Qd6(m3/s) Qdt(m3/s)
0
0
0
0
0.25
0.12
1
0.014
0
0.5
0.4
2
0.048
0.397
0
0.75
0.83
3
0.1
1.324
0.348
0
1
1
4
0.12
2.747
1.16
0.197
0
1.25
0.85
5
0.102
3.31
2.407
0.656
0.116
qt/qp*0.12 qt/qp*3.31
qt/qp*2.9
qt/qp*1.64
qt/qp*0.97
qt/qp*0.67
0
0.014
0.445
1.772
4.224
0
6.591
1.5
0.66
6
0.079
2.814
2.9
1.361
0.388
0.08
7.622
1.75
0.45
7
0.054
2.185
2.465
1.64
0.805
0.268
7.417
2
0.32
8
0.038
1.49
1.914
1.394
0.97
0.556
6.362
2.25
0.22
9
0.026
1.059
1.305
1.082
0.82
0.67
4.962
2.5
0.15
10
0.018
0.728
0.928
0.738
0.64
0.57
3.622
2.75
0.105
11
0.013
0.497
0.638
0.525
0.44
0.44
2.553
3
0.075
12
0.009
0.348
0.435
0.361
0.31
0.302
1.765
3.25
0.053
13
0.006
0.248
0.305
0.246
0.213
0.214
1.232
3.5
0.036
14
0.004
0.175
0.218
0.172
0.146
0.147
0.862
3.75
0.026
15
0.003
0.119
0.154
0.123
0.102
0.101
0.602
4
0.018
16
0.002
0.086
0.104
0.087
0.073
0.07
0.422
4.25
0.012
17
0.001
0.06
0.075
0.059
0.051
0.05
0.296
4.5
0.009
18
0.001
0.04
0.052
0.043
0.035
0.036
0.207
4.75
0.005
19
0.001
0.03
0.035
0.03
0.025
0.024
0.145
5
0.004
20
0
0.017
0.026
0.02
0.018
0.017
0.098
0.013
0.015
0.015
0.012
0.012
0.067
0.012
0.008
0.009
0.008
0.037
21
22
72

78. 73
CAPITULO VI
6.1
Tránsito por embalses
Un embalses es una estructura de almacenamiento que permite regular el escurrimiento
de un río; es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las
temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las épocas de sequía cuando los
escurrimientos son escasos.
Las características topográficas de un sitio de presa se resumen en la denominada curva
altura – área – capacidad, la misma que permite calcular el volumen almacenado y el área
de la superficie libre para cualquier altura del nivel de agua. Esta curva se calcula siguiendo
los siguientes pasos:
•
•
•
Se mide el área encerrada por cada curva de nivel.
El volumen almacenado entre dos curvas de nivel se calcula como el producto de la
semisuma de las áreas inicial y final por el intervalo entre curvas.
El volumen de agua almacenada hasta una altura dada se obtiene acumulando los
valores obtenidos en el paso anterior.
Los volúmenes característicos de un embalse se muestran en la figura 6.1.
Figura 6.1 Volúmenes característicos en un embalse
En el gráfico:
CNM:
CNN:
CNMa:
VM:
VU:
VSA:
cota de nivel muerto
cota de nivel normal
cota a nivel máximo
volumen muerto
volumen útil
almacenamiento de seguridad, (control de crecientes)
73

79. 74
El tránsito a través del embalse es el procedimiento por medio del cuál se
determina el hidrograma de salida, conocidos el hidrograma de entrada, el nivel del
agua al inicio del tránsito y las normas de funcionamiento de la estructura. El
procedimiento se esquematiza en la figura 6.2.
Figura 6.2 Esquema del tránsito de una creciente a través de un embalse
Las ecuaciones de tránsito a través de un embalse se deducen a partir de la ecuación
fundamental de la hidrología:
ENTRADAS - SALIDAS = CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO
Expresando esta ecuación en términos de volumen, y para un intervalo de tiempo ∆t,
se tendrá:
( I1 + I 2)
(O1 + O 2)
* ∆t −
* ∆t = S 2 − S1
2
2
(6.1)
Los términos con subíndice 1 corresponden al instante inicial del intervalo, mientras
que los poseen el subíndice 2 son los instante 2; el valor O1 corresponde al caudal de
salida al iniciarse al cálculo, siendo dato del problema o pudiendo deducirse de las
condiciones iniciales. Si ahora los valores de la ecuación (6.1) se reordenan colocando
en el lado izquierdo los valores conocidos, se tendrá:
I1 + I 2 − O1 − O 2 =
2 * S 2 2 * S1
−
∆t
∆t
74

80. 75
I1 + I 2 +
2 * S1
2* S2
− O1 =
+ O2
∆t
∆t
(6.2)
La ecuación (6.2) tiene dos incógnitas; para resolverla se construye una expresión
2*S
+ O con O. El procedimiento a seguir es el descrito
que relaciona los valores de
∆t
brevemente a continuación:
1. Se fija el intervalo ∆t que se empleará para el transito; es recomendable que
dicho intervalo sea el del hidrograma de entrada.
2. Se calcula O con la ecuación, (o ecuaciones) de descarga
3. Se determina S con la curva Altura- Area-Capacidad
4. Se determina
2*S
+O
∆t
Para el tránsito por el embalse deben seguirse los siguientes pasos:
1. Se fija el nivel del agua en el embalse.
2 * S1
+ O1 , correspondiente del nivel al inicio del transito, en la
2. Se determina O1 y
∆t
2*S
+ O Vs O.
curva
∆t
2 * S1
2 * S1
3. Se Calcula
− O1 , restándole 2*O1 a
+ O1
∆t
∆t
4. Con los valores de I1 e I2, conocidas del hidrograma de entrada y el resultado del
2* S2
paso 3, se calcula
+ O2
∆t
2 * S1
2* S2
I1 + I 2 +
− O1 =
+ O2
∆t
∆t
2*S
+ O Vs O , se determina O2
5. Con el resultado anterior y la curva
∆t
2* S2
2* S2
+ O 2 , con esto se obtiene
− O2
6. Se resta O2 dos veces de
∆t
∆t
7. Se pasa al siguiente intervalo y se vuelve al paso 4
75

81. 76
6.2
Tránsito por cauces naturales
El método de Muskingum es un procedimiento de tránsito hidrológico que se usa
comúnmente para manejar la relación caudal – almacenamiento en los cauces naturales.
Este método modela el almacenamiento volumétrico de creciente en un tramo de un río
mediante la combinación del almacenamiento de cuña y prisma, tal como se esquematiza en
la figura 6.3
Figura 6.3 Esquema del tránsito por cauces naturales
Durante el avance de la onda de creciente, el caudal de entrada es mayor que el de
salida, siendo un almacenamiento de cuña. Adicionalmente, existe un almacenamiento por
prisma que esta formado por un volumen de sección transversal constante a lo largo de la
longitud del canal.
Suponiendo, que el área de la sección transversal del flujo de la creciente es
directamente proporcional al caudal en la sección el almacenamiento por prisma es igual a
KO, donde K es un coeficiente de proporcionalidad ( es el tiempo de tránsito de la onda de
creciente a través del tramo del canal). El volumen de almacenamiento por cuña es igual a
Kx(I-O), donde x es un factor de ponderación dentro de un rango 0≤x≤0.5 ( llamado el peso
del volumen de cuña en el calculo de volumen total).
S = KO + Kx( I − O)
(6.3)
Lo cual puede reordenarse para dar la función de almacenamiento por el método de
Muskingun.
S = K [xI + (1 − x )O ]
(6.4)
El valor de x depende de la forma de almacenamiento por cuña modelada; su valor
varía desde 0 para un almacenamiento tipo embalse hasta 0.5 para una cuña completamente
desarrollada. Los valores de almacenamientos pueden escribirse como:
∆S = K [x(I 2 − I1) + (1 − x )(O 2 − O1)]
(6.5)
76

82. 77
por continuidad:
∆S =
(I1 + I 2) ∆t − (O 2 − O1) ∆t
2
(6.6)
2
igualando (6.5) y (6.6):
K [x(I 2 − I1) + (1 − x )(O 2 − O1)] =
(I1 + I 2) ∆t − (O 2 − O1) ∆t
2
(6.7)
2
despejando O2:
O2 =
− ( Kx − 0.5t )
( Kx + 0.5t )
( K − Kx − 0.5t )
*I2 +
* I1 +
* O1
( K − Kx + 0.5t
( K − Kx + 0.5t )
( K − Kx + 0.5t )
O 2 = Co * I 2 + C1 * I1 + C 2 * O1
(6.8)
los coeficientes deben cumplir la condición:
Co + C1 + C 2 = 1
(6.9)
77

83. 78
6.3
Problemas relativos a el transito por el embalse y transito por el cauce
PROBLEMA 6.3.1
A un tramo de un río, con parámetros de tránsito K= 10 horas y x = 0.08 llega la siguiente
creciente:
T(h)
Q(m3/s)
T(h)
Q(m3/s)
0
50
30
250
3
65
33
200
6
125
36
165
9
200
39
140
12
320
42
120
15
475
45
100
18
545
48
85
21
490
51
75
24
372
27
300
Calcular cuál será el caudal máximo de la creciente a la salida del tramo.
SOLUCION
En este caso los coeficientes de Muskingum para el tránsito en el cauce serán:
Co =
− (10 * 0.08 − 0.5 * 3)
− ( K * x − 0.5 * t )
=
= 0.0654
( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3)
C1 =
( K * x + 0.5 * t )
(10 * 0.08 + 0.5 * 3)
=
= 0.215
( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3)
C2 =
( K − K * x − 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 − 0.5 * 3)
=
= 0.720
( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3)
Verificando que la suma de los coeficientes cumplan la condición:
Co+C1+C2 = 1
0.0654+ 0.215 + 0.720 = 1
Luego para este cauce la ecuación de tránsito será:
O2 = Co*I2 + C1*I1 + C2*O1
O2 = 0.0654*I2 + 0.215*I1 + 0.720*O1
78