Problemas resueltos hidrologia

1. PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADA
A LA INGENIERIA CIVIL
Autor: Oberto R., Livia R.
Barquisimeto, 2003
UCLA Decanato de Ingeniería Civil
Departamento de Hidráulica y Sanitaria

2. ii
INDICE DE CONTENIDO
Pagína
INDICE DE CONTENIDO ii
INDICE DE TABLAS iv
INDICE DE FIGURAS v
CAPITULO I. GENERALIDADES
1.0 Introducción 1
1.1 Justificación 1
1.2 Objetivo 1
CAPITULO II
2.0 Distribución espacial de la precipitación 2
2.1 Cálculo de la precipitación media 2
2.1.1 Promedio aritmético 2
2.1.2 Polígono de Thiessen 2
2.1.3 Métodos de las Isoyetas 3
2.2 Problemas relativos a la distribución espacial
de la precipitación 4
CAPITULO III.
3.0 Aplicación de la teoría de las probabilidades a la Hidrología 11
3.1 Distribución normal o Gaussiana 11
3.2 Distribución log-normal de 2 parámetros 12
3.3 Distribución log-normal de 3 parámetros 13
3.4 Distribución de valores extremos 14
3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología 16
CAPITULO IV
4.0 Hidrograma de escorrentía 31
4.1 Coeficiente de escorrentía 31
4.2 Hidrograma de crecientes 32
4.3 Separación del caudal base 33
4.4 Hidrograma Unitario 34
4.5 Cálculo de Hu para diferentes duraciones efectivas 36
4.6 Problemas relativos a Hidrogramas 38
CAPITULO V
5.1 Método de la curva número 59
5.2 Distribución del evento en el tiempo 61
5.3 Problemas de aplicación de la Curva Número 64

3. iii
CAPITULO VI
6.1 Tránsito por embalses 70
6.2 Tránsito por cauces naturales 73
6.3 Problemas relativos a el tránsito por el embalse y tránsito
por el cauce 75
CAPITULO VII
7.1 Hidrograma de C.O Clark 86
7.2 Problemas de aplicación del Hidrograma Unitario Instantáneo 88
CAPITULO VIII
8.1 Demanda de riego 108
8.2 Problemas relativos a la demanda de riego 110
CAPITULO IX
9.1 Operación de embalse 114
9.2 Problemas de aplicación de la operación de embalse 115
BIBLIOGRAFÍA 123
ANEXO 1 124
ANEXO 2 126
ANEXO 3 129

4. iv
INDICE DE TABLAS
Tabla No. Página
1 Gumbel 125
2 Número de curva de escorrentía para complejo
hidrológico suelos-cobertura, para condiciones
de humedad antecedente II e Ia = 0.20 127
3 Número de curva (CN) para otras condiciones 128
4 Coeficiente de desarrollo foliar para el cálculo
de la evapotranspiración 130
5 Coeficiente de densidad de enraizamiento, r,
Para el cálculo del umbral óptimo de riego
(Norero,1976) 130

5. v
INDICE DE FIGURAS
Figura Página
4.1 Relación lluvia – Escorrentía 31
4.2 Hidrograma de escorrentía 32
4.3 Separación del caudal base del Hidrograma 33
4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb 34
4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia 35
4.6 Cálculo de HU de 2t horas a partir del HU de t horas 36
4.7 Método de la curva “ S “ 37
5.1 Curva adimensionales de tormentas(SCS,1958) 62
6.1 Volúmenes característicos en un embalse 70
6.2 Esquema del transito de una creciente a través de
un embalse 71
6.3 Esquema del transito por cauces naturales 73
7.1 Líneas de igual tiempo de viaje Isocronas 86

6. CAPITULO I
1.0 Introducción
La hidrología es una disciplina muy importante para el ingeniero civil ya
que estudia el agua en la tierra, su distribución y circulación, lo que le permite por
diferentes métodos y procedimientos cuantificar el agua que llega a un punto determinado.
Ello es información básica imprescindible para el diseño de puentes, estructuras para
control de avenidas, presas, vertederos, sistemas de drenaje para poblaciones, carreteras,
sistemas de abastecimiento de agua y otras estructuras similares.
Una de las dificultades que encuentra el estudiante de ingeniería es la falta de
bibliografía asociada al planteamiento y solución de problemas similares a los que se le
puedan presentar en su ejercicio profesional. Ello ha motivado la elaboración del presente
trabajo de problemas resueltos de hidrología, los cuáles pretender ayudar al estudiante a
comprender mejor la enseñanza teórica que se les imparte, encaminándolos de forma
sencilla y clara a la aplicación de esos conocimientos con ejemplos prácticos.
1.1 Justificación
En la generalidad de los casos, los textos tradicionales de hidrología básica
desarrollan sus ejemplos y aplicaciones prácticas utilizando información de cuencas cuyas
condiciones físico ambientales, y de disponibilidad de información, son diferentes al
entorno regional y nacional en el cual se desenvolverá el futuro ingeniero civil. Un
ejemplo típico lo constituye el tópico de cálculo de la evapotranspiración y las demandas
de riego, los cuáles usualmente se hacen a partir de ecuaciones basadas en información
climática que usualmente no están disponibles en la mayoría de las cuencas locales.
Adicionalmente, se estima conveniente que el estudio de los diferentes procesos que
integran el ciclo hidrológico se presenten de manera interrelacionada, tal como sucede en
la naturaleza. Por lo expuesto, se considera que el material aquí presentado constituye un
valioso aporte a la formación del futuro ingeniero civil
1.2 Objetivo
Elaborar un conjunto de ejemplos y problemas típicos que sirvan como material de
apoyo en el aprendizaje de la hidrología básica para el ingeniero civil.

7. 2
2
CAPITULO II
2.0 Distribución espacial de la precipitación
Desde el punto de vista espacial, la precipitación no se distribuye de manera
uniforme en el ámbito de la cuenca, debido principalmente a los mecanismos de generación
de la lluvia y a las características altitudinales de la hoya hidrográfica. De allí que uno de
los aspectos iniciales de la hidrología es la estimación de la precipitación representativa
para el conjunto del área en estudio.
Usualmente, este valor representativo puede tomarse como el promedio aritmético
del conjunto de las estaciones existentes o como el valor ponderado por un área de
influencia determinado. En este segundo caso, el problema a resolver será la estimación del
área para el cuál el valor puntual, medido en una estación, es representativo.
2.1 Cálculo de la precipitación media
Para la estimación de la precipitación media existen 3 métodos usuales:
• Promedio aritmético
• Polígono de Thiessen
• Isoyetas.
2.1.1 Promedio aritmético
Es el más simple de los procedimientos para determinar la lluvia promedio sobre un
área, se promedian las profundidades de lluvia que se registran en un número dado de
pluviómetros. Este método es satisfactorio si los pluviómetros se distribuyen
uniformemente sobre el área y sus mediciones individuales no varían de manera
considerable de la media.
n
PnPPP
Pm
++++
=
.........321
(2.1)
donde:
Pm: precipitación media
P1, P2,P3…Pn: precipitación en cada una de las estaciones
n: número de estaciones

8. 3
3
2.1.2 Polígono de Thiessen
Este método es aplicado a zonas con una distribución irregular de las estaciones y
en dónde los accidentes topográficos no juegan un papel importante en la distribución de la
precipitación.
El cálculo se inicia ubicando en los mapas las estaciones de precipitación ubicadas
en la cuenca y en las áreas circunvecinas. Se unen estas estaciones con trazos rectos,
tratando de formar triángulos, cuyos lados sean de la mínima longitud posible; después de
que los triángulos hayan sido dibujados, se trazan las mediatrices de todos los lados, con lo
que se formarán unos polígonos alrededor de cada estación.
Se determina el área de cada polígono y, a partir de su relación con el área total, se
obtiene un coeficiente de ponderación para cada estación. La precipitación media resultante
de la sumatoria de los productos de las lluvias registradas en cada estación por su área
correspondiente, entre el área total:
At
PiAi
Pm
n
i
∑=
= 1
*
(2.2)
para:
Ai: área del polígono i
Pi: precipitación en la estación i
At: área total de la cuenca
Pm: precipitación media sobre la cuenca
n: número de polígonos
2.1.3 Métodos de las Isoyetas
Utilizando las profundidades que se observan en los pluviómetros, e interpolando
entre pluviómetros adyacentes, se unen los puntos de igual profundidad de precipitación,
(de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografía).
Una vez que el mapa de Isoyetas se construye, se mide el área Aj entre cada par de
Isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de la lluvia de
las dos isoyetas adyacentes para calcular la precipitación promedio sobre el área mediante
la ecuación:
At
PjAj
Pm
n
j
∑=
=
1
*
(2.3)
donde:
Aj : área entre cada par de Isoyetas
Pj : promedio de las profundidades de lluvia de dos isoyetas adyacentes.

9. 4
4
At : área total de la cuenca.
Pm: precipitación media
n: número de isoyetas adyacentes
El método de las isoyetas es flexible, y el conocimiento de los patrones de la
tormenta pueden influir en la gráfica de las mismas, pero es necesario una red de medidores
más o menos densa para construir correctamente el mapa de Isoyetas de una tormenta
compleja.

10. 5
5
2.2 Problemas relativos a la distribución espacial de la precipitación
PROBLEMA 2.2.1
En la figura y cuadro adjuntos se muestran la ubicación de 5 estaciones de
precipitación de una cuenca dada, así como los valores de precipitación anual, en
milímetros. Calcular la precipitación media anual en la cuenca aplicando el método de
polígonos de Thiessen, si cada cuadricula del gráfico equivale a 1 kilómetro cuadrado.
Estación Precipitación anual (mm)
P1 800
P2 600
P3 900
P4 400
P5 200
SOLUCIÓN
El primer paso para la solución del problema es el trazado de los polígonos de
Thiessen, los mismos que se aprecian en el gráfico adjunto.

11. 6
6
Calculando las respectivas áreas, se tiene:
Estaciones Área (Km2
) Precipitación (mm) A * P
P1 11.5 800 9200
P2 16.5 600 9900
P3 13 900 11700
P4 12.5 400 5000
P5 11.5 200 2300
65 38100
Aplicando la ecuación (2.2) se obtiene:
mm
Km
mmKm
Pm 15.586
65
*38100
2
2
==
PROBLEMA 2.2.2
Resolver el problema anterior por el método de las isoyetas.
SOLUCIÓN
Con la información proporcionada se construyen las isoyetas, tal como se muestra
en el gráfico. Luego se mide el área encerrada por cada par de las isoyetas adyacentes,
como por ejemplo la correspondiente a los valores 800 y 900 mm que se destaca en la
figura.

12. 7
7
De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cuál el valor de la
columna precipitación corresponde al promedio de los valores de las isoyetas adyacentes:
Isoyetas Áreas Precipitación Area*Precipitación
(mm) (Km2) (mm) (Km2*mm)
900 6 900 5400
900-800 8 850 6800
800-700 9 750 6750
700-600 7 650 4550
600-500 8.5 550 4675
500-400 8.5 450 3825
400-300 8 350 2800
300-200 6 250 1500
200 4 200 800
65 37100
Aplicando ahora la ecuación (2.3) se tiene:
mm
Km
mmKm
Pm 77.570
65
*37100
2
2
==

13. 8
8
PROBLEMA 2.2.3
En la figura, las líneas delgadas identifican la delimitación de la cuenca y
subcuencas que como puede apreciarse son tres: SC1, SC2 y SC3. Cada cuadricula del
gráfico puede asumirse igual a 1 Km2
. Empleando el método de los polígonos de Thiessen,
se pide calcular el volumen total de agua precipitada en cada una de las subcuencas, así
como en el total de la cuenca, durante el mes 2, en millones de metros cúbicos, mmc.
Precipitación (mm)
Estación Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4
1 170 54 49.6 30
2 70 30 22 21
3 50 9.1 7.5 10.3
4 35 4.6 3.1 5

14. 9
9
SOLUCIÓN
En la figura adjunta se muestran los polígonos de Thiessen trazados para la cuenca.
Para cada subcuenca puede determinarse el área, en km2
, que es influenciada por
cada estación de precipitación, obteniéndose el cuadro siguiente:
Subc/Estación P1 P2 P3 P4 Total
SC 1 8 8 4.5 0.75 21.25
SC2 8.5 0 18.75 3.25 30.5
SC3 0 9 0 31 40
Total 16.5 17 23.25 35 91.75
Como puede apreciarse, el área total de la cuenca es de 91.75 km2
,
correspondiendo superficies de 21.25, 30.5 y 40 km2
a las subcuencas 1, 2 y 3,
respectivamente. Esta área total también puede expresarse en términos de cuál es la
superficie de la cuenca influenciada por cada estación de precipitación lo cuál corresponde
a valores de 16.5, 17, 23.25 y 35 km2
. para las estaciones P1, P2, P3 y P4, respectivamente.

15. 10
10
Aplicando ahora la ecuación (2.2) para el mes 2, la precipitación media en la cuenca
será:
mm
Km
KmmmKmmmKmmmKmmm
Pm 33.19
75.91
)3125.375.0(*6.4)75.185.4(*1.9)98(*30)5.88(*54
2
2222
=
++++++++
=
Este valor corresponde a la precipitación media sobre toda la cuenca; a partir del
mismo, y considerando el área total, puede obtenerse el volumen total precipitado, Vp:
362
10*77.191750000*01933.0 mmmVp ==
Lo cuál equivale a 1.77 millones de metros cúbicos, mmc. Procediendo de forma
similar en cada una de las subcuencas, se tiene:
Subcuenca 1:
mm
Km
KmmmKmmmKmmmKmmm
Pm 71.33
25.21
75.0*6.45.4*1.98*308*54
2
2222
1 =
+++
=
mmcmmmVp 716.05.71633721250000*0337.0 32
1 ===
Subcuenca 2:
mm
Km
KmmmKmmmKmmm
Pm 13.21
5.30
25.3*6.475.18*1.95.8*54
2
222
2 =
++
=
mmcmmmVp 644.064446530500000*02113.0 32
2 ===
Subcuenca 3:
mm
Km
KmmmKmmm
Pm 315.10
40
31*6.49*30
2
22
3 =
+
=
mmcmmmVp 4126.041260040000000*010315.0 32
3 ===
PROBLEMA 2.2.4
Calcule la precipitación media de la cuenca, que tiene las siguientes isoyetas, (línea
punteada), cada cuadro de la cuadricula vale 1 Km2
.

16. 11
11
SOLUCIÓN:
Se mide el área Aj entre cada par de isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio
Pj de las profundidades de lluvia de las dos isoyetas adyacentes; luego, aplicando la
ecuación (2.3) se obtiene:
2
222222
5.53
25.7*55017*65025.8*75025.7*85010*95075.3*1000
Km
KmmmKmmmKmmmKmmmKmmmKmmm
Pm
++++
=
mmPm 58.759=

17. 12
12
CAPITULO III
3.0 Aplicaciones de la teoría de las probabilidades a la hidrología
El cálculo de un valor específico para una variable hidrológica que se evalúa es uno
de los aspectos básicos del análisis hidrológico en la ingeniería civil. Usualmente este
valor específico, también denominado valor de diseño, está referido a valores máximos de
precipitación en un intervalo dado o de caudal para una sección específica del cauce. En
ambos casos, constituye una información básica para el posterior dimensionamiento y
diseño de la estructura.
Sin embargo, el procedimiento de cálculo implica, además de los aspectos
númericos, los relativos a la posibilidad de que el valor de diseño sea igualado o excedido
durante un evento cualesquiera o durante un número de eventos dado.
Desde el punto de vista estadístico, las variables hidrológicas pueden considerarse
como variables aleatorias continúas mientras que su ocurrencia efectiva para un evento, o
un número de eventos dado, puede resolverse tratándolas como variables aleatorias
discretas.
3.1 Funciones de probabilidad: variable discreta
Un modelo probabilística asocia un valor de probabilidad a cada punto del espacio
muestral; dicho modelo se denomina función de probabilidad de masa (FPM) y se designa
por px(x0) y se define como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea
igual a x0.
Para que una función matemática cualquiera se considere una función de
probabilidad de masa debe cumplir las siguientes dos condiciones:
• Su valor debe estar comprendido entre 0 y 1
• La sumatoria de todos los posibles valores de x debe ser igual 1
También conviene recordar que, a partir de la definición de variable condicionada,
puede considerarse que dos variables aleatorias son independientes si:
)()(),( 0000 ypxpyxp yxxy = (3.1)
Se define como función distribución acumulada, FDA, a la función que define la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un valor
dado:

18. 13
13
∑∀
==≤
x
xx xpxPxXob )()()(Pr 000 (3.2)
Esta función es positiva, comprendida entre cero y uno, y es siempre creciente. Otro
concepto que conviene recordar es el del valor esperado, éste se define como la sumatoria
para todos los posibles valores de X del producto de la función por la FPM evaluada en el
mismo punto que la función:
{ } ∑∀
=
x
x xpxgxgE )(*)()( 00 (3.3)
En particular interesan algunos casos especiales de la función g(x): los
correspondientes a las potencias enteras de x, las cuáles se denominan momentos de x:
∑= )(*)( 0xpxxE x
nn
(3.4)
La expresión (3.4) también puede definirse como la potencia centrada con respecto
al valor esperado o momento central n-ésimo de x:
{ }n
xExE )(( − (3.5)
3.2 Funciones de probabilidad: variable continua
La probabilidad asociada a una variable continua está representada por la función
densidad de probabilidad, fdp. Si X es una variable aleatoria continua en el rango a – b, se
tiene:
∫=≤≤
b
a
x dxxfbxaob )()(Pr (3.6)
donde:
)(xfx : función densidad de probabilidades
Figura 3.1. Area que representa la Prob(a ≤ x ≤ b)

19. 14
14
Se define como función de distribución acumulada, FDA, de la variable X a la
probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado:
∫∞−
==≤
0
)()()(Pr 00
x
xX dxxfxFxxob (3.7)
La función de distribución acumulada mide la probabilidad de que el valor de la
variable sea menor o igual al valor x0; tiene las siguientes propiedades:
1)( =+∞XF 0)( =−∞XF (3.8)
)()()(Pr aFbFbxaob XX −=≤≤ (3.9)
)()( aFbF XX ≥ para: ab ≥ (3.10)
)(
)(
xf
dx
xdF
x
X
= (3.11)
3.3 Algunas distribuciones probabilísticas de uso frecuente en la hidrología
3.3.1 Distribución binomial
Esta es una distribución de probabilidad discreta; en este caso la variable aleatoria
K se define como el número de éxitos que ocurren en n ensayos; se define por la
expresión:
)1(
)1()( kkn
kK ppCkp −
−= nk ........2,1= (3.12)
siendo las combinaciones de k0 grupos en n elementos:
)!(!
!
knk
n
Cn
k
−
= (3.13)
3.3.2 Distribución de probabilidad empírica
A esta distribución se le denomina también probabilidad experimental o frecuencia
acumulada. Para su cálculo existen varias formulas algunas de las cuáles se presentan en el
cuadro 3.1.

20. 15
15
Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental
Método Probabilidad(P) Método Probabilidad (P)
California
m
n
Weibull
1+n
m
Hazen
n
m
2
1−
Chegadayev
4.0
3.0
+
−
n
m
Blom
4
1
8
3
+
−
n
m
Tukey
13
13
+
−
n
m
Gringorten
an
am
21−+
−
Donde:
P: probabilidad experimental o frecuencia relativa empírica
m: número de orden
n: número de datos
a: valor comprendido en el intervalo 0 a 1
el valor de a depende de n, de acuerdo a:
valor n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
valor a 0.448 0.443 0.442 0.441 0.44 0.44 0.44 0.44 0.439 0.439
Fuente. Villón, 1993
3.3.3 Distribución normal o Gaussiana
Para esta distribución la función de densidad es:













 −
−
=
2
2
1
2
1
)(
S
xx p
e
S
xf
&&&
π
〈∞∞〈− x (3.14)

21. 16
16
donde: xp: promedio
S: desviación típica
Cada valor x de la muestra puede ser expresado en términos de la variable reducida
utilizando la expresión:
S
xx
Z
p−
= (3.15)
con lo cuál la ecuación (3.14) se transforma en:








−
=
2
2
2
1
)(
Z
e
S
xf
π
〈∞∞〈− Z (3.16)
La función de distribución acumulada, (FDA), es:
dxe
S
dxxfxF
x S
xx
x
p
∫∫ ∞−















 −
−
∞−
==
2
2
1
2
1
)()(
π
(3.17)
o su equivalente:
dZeZF
Z
Z








−
∞−∫=
2
2
2
1
)(
π
(3.18)
Para resolver la ecuación (3.18) existen algunos métodos de aproximación entre los
cuáles puede mencionarse el de Abramowitz y Stegun:
32
9373.01217.0043618.0)((1)( VVVZfZF +−−≈ (3.19)
donde:
F(Z): función de distribución acumulada
f(Z): función densidad de la variable estandarizada
V se define para valores de Z mayores o iguales a cero como:

22. 17
17
Z
V
33267.01
1
+
= (3.20)
el error de esta aproximación es menor de 10-5
Otra aproximación usual es la de Masting:
))((1)( 5
5
4
4
3
3
2
21 wbwbwbwbwbZfZF ++++−= (3.21)
donde w es definido para Z mayor o igual a cero como:
Z
w
2316419.01
1
+
= (3.22)
con: b1 = 0.319381530 b2 = -0.356563782
b3 = 1.781477937 b4 = -1.821255978
b5 = 1.330274429
el error de esta aproximación es menor de 10-8
. En ambas aproximaciones la FDA es (1 –
F(Z) ) si Z < 0 el error de esta aproximación es menor de 10-5
3.3.4 Distribución Log-Normal de 2 parámetros
En este caso la variable aleatoria X es positiva y el límite inferior x0 no aparece.
La variable aleatoria Y = lnX es normalmente distribuida, con media µ y y varianza σ2
y
La función de densidad de Y es:
2
2
1
1
)(







 −
−
= y
yy
y
eyf
σ
µ
σ
(3.23)
donde:
para: 〈∞∞〈− y
la función de distribución acumulada es:
∫∞−







 −
−
=
y
y
y
dyeyF y
y
2
2
1
2
1
)(
σ
µ
πσ
(3.24)
o, en términos de la variable reducida:

23. 18
18
∫ ∞−
−
=
z
Z
dZeZF 2
2
2
1
)(
π
(3.25)
3.3.5 Distribuciones de valores extremos
Una muestra de valores extremos se genera tomando una serie continua de datos, de
longitud T, de la variable aleatoria x y dividiéndola en n submuestras, cada una de longitud
m, de forma tal que T = n*m. Luego, en cada una de dichas submuestras se seleccionan
valores de la variable x de acuerdo a un cierto criterio tal como la magnitud de la variable,
un valor acumulativo o alguna propiedad. Tal proceso de selección generará una muestra de
una nueva variable aleatoria, y, con una longitud n.
Usualmente los criterios de selección están asociados a la ocurrencia de eventos
máximos, tales como los caudales máximos, o mínimos, tal como las sequías. En ambos
casos se tratan de eventos extremos.
Una de las distribuciones de valores extremos para eventos máximos es la
presentada por R.A. Fisher y L.H.C. Tippet:
)(
)(
βα −−
−
=
x
e
exF (3.26)
donde:
0 ‹ α ‹∞ es el parámetro de escala
-∞ ‹ β ‹∞ es el parámetro de posición, llamado también valor
central o moda
A esta distribución también se le denomina de Gumbel. Si se hace la
transformación:
)( βα −= xy
la ecuación (3.26) se transforma en:
y
e
exF
−
−
=)( (3.27)
También:
σ
α
281.1
= σµβ *45.0−= (3.28)

24. 19
19
Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los cuadrados de los
errores perpendiculares a la recta de ajuste de valores extremos.. Las ecuaciones que obtuvo
son sólo función del tamaño de muestra y de los parámetros:
x
n
n
T
yY
XX σ
σ
*




 −
+= (3.29)
donde:
XT : valor de la variable correspondiente al período de retorno
:X media de la serie de datos
σx : desviación estándar
σn , yn : funciones de la longitud de la serie de datos, en la tabla Nº1
anexo 1.
3.4 Prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov
Esta prueba de ajuste consiste en comparar las diferencias, en valores absolutos,
entre la probabilidad empírica y la probabilidad teórica seleccionada; de estas diferencias
se toma el valor máximo, el cuál se denomina discrepancia máxima calculada. Dicho valor
se compara con el valor de la máxima discrepancia permitida o valor crítico del estadístico
Smirnov – Kolmogorov, el cuál es función del número de datos y del nivel de confiabilidad
seleccionado, tal como se aprecia en el cuadro 3.2.
Cuadro 3.2 Valores críticos del estadístico Smirnov Kolmogorov
Tamaño de la NIVEL DE SIGNIFICACIÓN (α )
Muestra (N) 0.20 0.10 0.05 0.01
5 0.45 0.51 0.56 0.67
10 0.32 0.37 0.41 0.49
15 0.27 0.30 0.34 0.40
20 0.23 0.26 0.29 0.36
25 0.21 0.24 0.27 0.32
30 0.19 0.22 0.24 0.29
35 0.18 0.20 0.23 0.27
40 0.17 0.19 0.21 0.25
45 0.16 0.18 0.20 0.24
50 0.15 0.17 0.19 0.23
N>50
N
07.1
N
22.1
N
36.1
N
63.1
Fuente: Yevjevich, 1972

25. 20
20
3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología
PROBLEMA 3.5.1
Para una estación de precipitación se tiene información de 15 años de registro para
profundidades máximas de lluvia para una duración de 02 horas. Los mismos indican que la
lluvia correspondiente a dicha duración y a un periodo de 15 años de período de retorno, es
de 97.52 mm. Análogamente, para un período de retorno de 100 años, y la misma
duración, se tiene un valor de 120.91 mm.
Con base a ello, y asumiendo que los datos se ajustan a una distribución Gumbel, se
pide calcular:
a. Profundidad de la lluvia correspondiente a 50 años de periodo de retorno.
b. Probabilidad de que dicha lluvia sea igualada o excedida al menos una vez
durante 30 años de vida útil de la estructura a diseñar.
c. Si se toma 110 mm como valor de diseño. ¿Cuál será la probabilidad de que
dicho valor sea igualado o excedido 2 veces durante un período igual a 2 veces
su periodo de retorno.
SOLUCION:
a. Aplicando la ecuación (3.29):
Los valores Yn y σn son función del número de datos, conforme al cuadro que se
muestra en el anexo 1; el valor de Y depende del período de retorno Tr. Utilizando dicha
tabla 1 para n = 15 datos se obtiene:
Yn = 0.5128 σn = 1.0210
Análogamente, y utilizando la misma tabla se tiene:
Tr = 15 años Y = 2.674
Tr = 100 años Y = 4.6
Aplicando nuevamente la ecuación (3.29) para los valores dados correspondientes a
los períodos de retorno de 15 y 100 años de período de retorno puede formarse el siguiente
sistema de ecuaciones:
xX σ*
0210.1
)5128.0674.2(
52.97
−
+=
−

26. 21
21
xX σ*
0210.1
)5128.06.4(
91.120
−
+=
−
resolviendo, se obtiene:
σx = 12.40 mm
−
X = 71.27 mm
Conocidas la media y la desviación típica puede aplicarse la ecuación (3.29) para
un período de retorno de 50 años para el cuál Y = 3.9020, obtenido de la tabla del anexo 1:
40.12*
0210.1
)5128.09020.3(
27.71
−
+=X
de donde:
P = X50 = 112.43 mm.
b. Por definición, la probabilidad de que un valor dado sea excedido al menos una vez
durante un período de vida útil n, corresponde al riesgo:
Riesgo = 1 – P(o)
En donde el valor P(o) se obtiene aplicando la ecuación (3.12) con k = 0. También:
rT
xXP
1
)( =≥ (3.30)
luego:
02.0
50
11
)( ===≥
Tr
xXP
luego:
0300
)02.01(*)02.0(*
)!030!*(0
!30
)0( −
−
−
=P
P(0) = 0.545
Finalmente, el riesgo de que se presente una lluvia igual o mayor de 112.43 mm, al menos
una vez durante un período de 30 años, es:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.545 = 0.455 R = 0.455
c. En este caso, aplicando la ecuación (3.29) para la precipitación de 110 mm:
40.12*
0210.1
)5128.0(
27.71110
−
+=
Y

27. 22
22
se obtiene: Y = 3.702
De acuerdo al cuadro del apéndice 1 este valor de Y correspondería a un período de retorno
de Tr = 38.64 años ≈ 39 años; como el período de análisis, o vida útil, corresponde a dos
veces este período de retorno: n = 2 * 39 = 78. Luego, aplicando (3.12) y teniendo en
cuenta (3.30):
knk
xXPxXP
knk
n
kP −
≥−≥
−
= ))(1(*))((*
)!!*(
!
)(
2782
)
39
1
1(*)
39
1
(*
)!278!*(2
!78
)2( −
−
−
=P
Finalmente, la probabilidad de que la precipitación 110 mm ocurra 2 veces en un período
de 78 años es:
P(2) = 0.274
PROBLEMA 3.5.2
En una cuenca dada los caudales máximos anuales tienen un promedio de 421 m3
/s
y una desviación típica de 378 m3
/s. Asumiendo que dichos caudales se ajustan a una
distribución de probabilidades Extrema Tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra un
caudal entre 450 y 600 m3
/s?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación (3.26) para la probabilidad de excedencia, se tiene:
)(
1)(1)(
βα −−
−
−=−=≥
x
e
exFxXP (3.31)
Ecuación en la cuál α y β son los parámetros de la distribución e iguales a:
Sx
281.1
=α SxX *45.0−=
−
β
reemplazando los valores dados:
0034.0
378
281.1281.1
===
Sx
α 9.250378*45.0421*45.0 =−=−=
−
SxXβ

28. 23
23
reemplazando valores en la ecuación (3.31) para x = 450 m3
/s:
)9.250450(0034.0
1)450(
−−
−
−=≥ e
eXP
P(X ≥ 450) = 0.398
Análogamente para x = 600 m3
/s:
)9.250600(0034.0
1)600(
−−
−
−=≥ e
eXP
P(X ≥ 600) = 0.263
Finalmente:
P(450 ≤ X ≤ 600) = 0.398 – 0.263 = 0.135
PROBLEMA 3.5.3
En una cuenca dada existen 3 estaciones de precipitación, P1, P2 y P3, que
influencian en 30%, el 40% y el 30% del área de la cuenca respectivamente. Para la
estación P2 se tiene un registro de 20 años de profundidades máximas de precipitación para
6 horas de duración, con un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.
Asumiendo que los datos de la estación 2 se ajustan a una distribución
probabilística Extrema Tipo I, se pide calcular la precipitación media de la cuenca para una
lluvia de 6 horas de duración, y 25 años de periodo de retorno, si se conoce que las
ecuaciones de correlación entre las estaciones son:
P1 = 3.2 + 0.28 * P2
P3 = 2.5 + 0.021 * P22
SOLUCION:
La probabilidad de excedencia para la lluvia de 6 horas de duración y 25 años de
período de retorno en la estación 2 será:
04.0
25
11
)( ===≥
Tr
xXP
calculando los parámetros de la distribución Extrema Tipo I:

29. 24
24
0463.0
65.27
281.1281.1
===
Sx
α
81.7265.27*45.025.85*45.0 =−=−=
−
SxXβ
sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:
)81.72(0463.0
104.0
−−
−
−=
x
e
e
de donde:
X= P2 = 141.90 mm
Considerando las ecuaciones de correlación se tendrá para las estaciones P1 y P3:
P1 = 3.2 + 0.28 * 141.9 = 42.93 mm
P3 = 2.5 + 0.021 * 141.92
= 425.35 mm
Luego, la precipitación media sobre la cuenca será:
Pm = P1 * 0.30 + P2 * 0.40 + P3 * 0.30
Pm = 42.93 *0.30 + 141.9 * 0.40 + 425.35 * 0.30
Pm = 197.24 mm.
PROBLEMA 3.5.4
La planta de tratamiento de agua para el abastecimiento de una ciudad tiene una
capacidad de 1.5 millones de metros cúbicos, mmc, por semana y debe satisfacer una
demanda aleatoria D, la cual puede considerarse que se ajusta a una distribución Gumbel,
como una media de 1.5 mmc por semana y desviación típica de 50.000 metros cúbicos por
semana. Estos valores se calcularon con base a 20 semanas de mediciones.
Para satisfacer una eventual demanda adicional durante una semana, la
municipalidad ha previsto un tanque a fin de tener en almacenamiento una cierta reserva de
seguridad. Calcular cuál debe ser la capacidad C del tanque de seguridad si se desea que la
probabilidad de no satisfacer la demanda sea de 0.01.
SOLUCION:

30. 25
25
En este caso debe aplicarse la ecuación (3.29) que es la correspondiente a la
distribución Gumbel; para ello debe tenerse en cuenta que:
X=1.5 mmc σx = 0.05 mmc
utilizando la tabla Nº 1 del anexo 1 y para n = 20, se tiene:
Yn = 0.5236 σn = 1.063
De acuerdo al problema la probabilidad de excedencia de la demanda debe ser de
0.01 lo cuál corresponde a un período de retorno de:
años
xXP
Tr 100
01.0
1
)(
1
==
≥
=
para el cuál, y utilizando la tabla antes citada, se tendrá: Y = 4.6
reemplazando valores en la ecuación (3.29) se tendrá:
05.0*
063.1
)5236.06.4(
5.1
−
+=X
de donde:
X= 1.692 mmc
Luego la capacidad del tanque de seguridad será: C = 1.692 – 1.5 = 0.192 mmc
PROBLEMA 3.5.5
El análisis de una serie anual de crecientes desde 1900 a 1959 muestra que la creciente
correspondiente a 100 años de período de retorno es de 3100 m3
/seg y la de 10 años, 1400
m3
/seg. Si puede considerarse que la serie de datos se ajusta a una distribución Gumbel
calcular:
a. La media y la desviación típica de las crecientes anuales.
b. La probabilidad de tener el próximo año una creciente mayor o igual a 2000 m3
/seg
c. La magnitud del evento de 40 años de período de retorno.
d. La probabilidad de tener como mínimo una creciente de 100 años en los próximos 8
años.
SOLUCIÓN:

31. 26
26
a. Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n = 60, se tiene:
Yn = 0.5521 σn = 1.1750
Así mismo, para Tr = 100 años, Y = 4.6; luego reemplazando valores en la ecuación (3.29),
se tiene:
xX σ*
1750.1
)5521.06.4(
3100
−
+=
−
análogamente, para Tr = 10 años, Y = 2.25 se tiene:
xX σ*
1750.1
)5521.025.2(
1400
−
+=
−
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
σx = 850 X= 171.73
b. Para determinar la P(X ≥ 2000), se debe calcular el valor de Y para lo cual
reemplazando en la ecuación (3.29):
850*
1750.1
)5521.0(
73.1712000
−
+=
Y
despejando se tiene: Y = 3.079
De acuerdo al anexo 1, para Y = 3.079 se tiene Tr = 22.37 años; luego:
0447.0
37.22
11
)2000( ===≥
Tr
XP
c. Para calcular la creciente correspondiente para un periodo de retorno de 40 años
debe considerarse que para este Tr se tiene Y = 3.643. Sustituyendo en la ecuación
(3.29):
X = 850*
1750.1
)5521.0643.3(
73.171
−
+
de donde: X = 2407.70 m3
/seg.

32. 27
27
d. Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100 años de período de
retorno en un lapso de 8 años debe considerarse que:
01.0
100
11
)( ===≥
Tr
xXP
reemplazando valores en la ecuación (3.12):
080
)01.01(*01.0*
)!08!*(0
!8
)0( −
−
−
=P = 0.9227
de donde: R = 1 – P(0) = 1 – 0.9227 = 0.0773
PROBLEMA 3.5.6
Para un área turística, por ejemplo Chichiriviche, se ha planteado construir un campo de
pozos para extraer agua para abastecimiento urbano, con una capacidad de 25 litros por
segundo, lps, en cada pozo. El problema de este tipo de centro urbano es que en época de
temporada alta ( carnaval, semana santa, etc), la demanda de agua es bastante alta pudiendo
considerarse que se ajusta a una distribución Extrema Tipo I. Para el resto del año, la
demanda puede considerarse que se ajusta a una distribución normal.
a. Calcular cuantos pozos deben construirse para satisfacer la demanda de temporada
normal, si la misma tiene una media de 25 lps y una desviación típica de 0.25 lps. (
para una P(X ≥ x) = 0.8)
b. Para satisfacer la demanda de la temporada alta se ha propuesto habilitar 16 pozos.
Calcular cuál será la probabilidad de que la demanda exceda la disponibilidad de
dichos pozos, si existe un 5 % de probabilidad de que la demanda sea mayor de
389.25 lps y 1 % que supere a 593.02 lps.
SOLUCIÓN
Utilizando tablas estadísticas o métodos aproximados de solución se obtiene, para
un 80 % de probabilidad de excedencia:
Z = - 0.8416
remplazando en (3.15):
25.0
)25(
8416.0
−
=−
X
despejando: X= 24.79 lps, lo que equivale a 1 pozo.

33. 28
28
b. En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el pozo de temporada baja,
será de: 16 pozos * 25 lps / pozo = 400 lps. Reemplazando valores en la ecuación (3.31)
para la probabilidad de excedencia del 5 %:
P(X≥389.5) = 5% =
)5.389(
105.0
βα −−
−
−= e
e
y para el 1 % se tendrá:
P(X≥593.02) = 1% =
)02.593(
101.0
βα −−
−
−= e
e
Resolviendo el sistema de ecuaciones : β=18.67 3
10*009.8 −
=α
Nuevamente reemplazando valores en (3.31):
)67.18400(310*009.8
1)400(
−−−
−
−=≥ e
eXP
de donde la probabilidad de que la demanda exceda los 400 l/s es:
P(X≥400) = 0.046
Lo cuál significa que cada año la probabilidad de falla del sistema de abastecimiento
en temporada alta es de 4.6 %.
PROBLEMA 3.5.7
La reglamentación legal de una llanura de inundación prohíbe la construcción
dentro de la zona de inundación con período de retorno de 25 años. ¿ Cuál es el riesgo de
que una estructura construida exactamente en el borde de esta llanura se inunde durante los
próximos 10 años?¿ Cuánto se reduciría este riesgo si la construcción estuviera limitada al
borde de la inundación causada por la creciente de 100 años?.
SOLUCIÓN
Aplicando la ecuación (3.12) con x = 0 y n = 10 y teniendo en cuenta (3.30) se
tiene:
04.0
25
11
)( ===≥
Tr
xXP
0100
)04.01(*04.0*
)!010!*(0
!10
)0( −
−
−
=P = 0.6648
El riesgo de que la llanura se inunde durante los próximos 10 años será entonces:

34. 29
29
R = 1 – P(0) = 1 – 0.6648 = 0.3352
De la misma forma para un período de retorno de 100 años:
01.0
100
11
)( ===≥
Tr
xXP
0100
)01.01(*01.0*
)!010!*(0
!10
)0( −
−
−
=P = 0.9044
y el riesgo para este período de retorno será:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.9044 = 0.096
Luego, el riesgo se reduciría en 0.3352 – 0.096 = 0.2392 = 23.92 % si la
construcción se limitase al borde del área inundada por la creciente de 100 años de período
de retorno.
PROBLEMA 3.5.8
Se tiene una cuenca de 20.000 hectáreas de superficie. Durante el mes de agosto, el
promedio de lluvia mensual es de 242.9 milímetros y la desviación típica, 79.7 milímetros.
Puede considerarse que el 8 % de esta lámina puede ser aprovechada almacenándola en una
presa. Asumiendo que estas lluvias se ajustan a una distribución normal, se pide calcular:
a. Cuál sería la capacidad de la presa, en millones de m3
, si se desea que el 80 % de
las veces se llene.
b. La capacidad de la presa, en millones de m3
, si se desea captar el 8% de las
láminas de lluvia que caen en el rango de 60% y el 75% de probabilidad de
excedencia.
SOLUCIÓN:
a. En este caso se sabe que para el mes de agosto: X = 242.9 mm Sx = 79.7 mm. La
condición de diseño establece que el 80 % de las veces se llene o, lo que es lo mismo:
P(X ≥ x) = 0.80
Para esta probabilidad, y en distribución normal, la variable tipificada es: z = -
0.84162; o lo que es lo mismo:

35. 30
30
Sx
XX
z
)(
−
−
= ó:
7.79
)9.242(
8416.0
−
=−
X
de donde: X = 175.82 mm.
La lámina aprovechable será entonces: = 175.82 mm *0.08 =14.07 mm
Y la capacidad de la presa: = 14.07 * 10-3
m * 20* 103
*104
m2
= 2.814 * 106
m3
b. Análogamente, puede calcularse.
P(X ≥ x) Valor z Valor de X (mm)
0.75 -0.67449 189.14
0.60 -0.25335 222.708
Considerando estas láminas como los límites inferior y superior del intervalo, el
promedio de ambos será de 205.924 mm y la lámina aprovechable:
205.924 mm * 0.08 = 16.47 mm
y el volumen
V = 16.47 * 10-3
m * 2 * 108
m2
= 3.294 * 106
m3
PROBLEMA 3.5.9
Para un registro de 20 años de profundidad máximas de precipitación para 06 horas de
duración se ha obtenido un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.
Asumiendo que los datos se ajustan a una distribución normal. Se pide:
a. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que la probabilidad de
que dicha precipitación ocurra en dos años consecutivos sea de 0.0004 ( 0.04
%). Asumir que los eventos de precipitación máxima anual son independientes.
b. Determinar el riesgo de la precipitación de diseño calculada en el punto anterior
para 25 años de vida útil.
c. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que el riesgo calculado
en el punto anterior se reduzca a la mitad.
SOLUCIÓN
a. Asumiendo independencia de los eventos de precipitación, se tiene para la
ocurrencia en dos años consecutivos:
P(X≥x) * P(X≥x) = 0.0004
de donde:

36. 31
31
P(X≥x) = 0.02
Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable tipificada será z =
2.0537 y reemplazando en la ecuación (3.15), se tiene:
65.27
)25.85(
0537.2
−
=
X
y: X = 142.03 mm
b. Aplicando la ecuación (3.12), la probabilidad de no ocurrencia de la precipitación de
diseño en un período de 25 años será:
0250
)02.01(*02.0*
)!025!*(0
!25
)0( −
−
−
=P = 0.6035
y el riesgo:
R = 1 – P(0) = 1 – 0.6035 = 0.3965
c. Si ahora el riesgo se reduce a la mitad se tendrá:
R = 0.19825 = 1 – P(0) de donde: P(0) = 1 – 0.19825 = 0.80175
reemplazando en (3.12):
0250
)(1(*)(*
)!025!*(0
!25
)0( −
≥−≥
−
= xXPxXPP
despejando: P(X ≥ x) = 0.0088
para esta probabilidad de excedencia la variable tipificada será: Z = 2.3739 y
reemplazando en (3.15):
65.27
)25.85(
3739.2
−
=
X
despejando: X= 150.89 mm
PROBLEMA 3.5.10
Los datos siguientes corresponden a caudales máximos anuales registrados en el Río
Paguey, para el período 1948 – 1972 ( m3
/s):
975.5 640.0 845.0 800.0 1190.0 1030.0
1450.0 940.0 1330.0 1534.0 1856.0 1882.0
1460.0 950.0 1136.0 644.0 995.0 658.0
1870.0 820.0 690.0 1240.0 1605.0 1745.0
990.0

37. 32
32
a. Realizar la prueba de ajuste a distribución extrema tipo I, considerando un delta
máximo de 0.27
b. Calcular el caudal correspondiente a una período de retorno de 250 años.
SOLUCIÓN:
Para efectuar la prueba de ajuste se ordenan los datos de forma descendente y se calcula,
para cada valor, su probabilidad empírica de acuerdo a la ecuación de Weibull, (Cuadro
3.1). Para calcular la probabilidad teórica, en este caso Distribución Extrema Tipo I, se
calculan:
X = 1171.02 m3
/s Sx = 405.76 m3
/s
α = 3.157∗10−3
β = 988.43
con esta información puede elaborarse el cuadro siguiente:
N Datos ordenados Probabilidad empírica P(X≥x) delta
de mayor a menor n / (m+1) D. Extrema tipo I
1 1882 0.0385 0.0578 0.0193
2 1870 0.0769 0.05997 0.017
3 1856 0.1154 0.0626 0.0528
4 1745 0.1538 0.0877 0.0661
5 1605 0.1923 0.133 0.0593
6 1534 0.2308 0.1636 0.0672
7 1460 0.2692 0.202 0.0672
8 1450 0.3077 0.2078 0.0999
9 1330 0.3462 0.2883 0.0579
10 1240 0.3846 0.3636 0.021
11 1190 0.4231 0.4109 0.0122
12 1136 0.4615 0.4661 0.0046
13 1030 0.5 0.584 0.084
14 995 0.5385 0.6245 0.086
15 990 0.5769 0.6303 0.0534
16 975.5 0.6154 0.6471 0.0317
17 950 0.6538 0.6766 0.0228
18 940 0.6923 0.6881 0.0042
19 845 0.7308 0.7925 0.0617
20 820 0.7692 0.8177 0.0485
21 800 0.8077 0.8368 0.0291
22 690 0.8462 0.9231 0.0769
23 658 0.8846 0.9415 0.0569
24 644 0.9231 0.9485 0.0254
25 640 0.9615 0.9504 0.0111

38. 33
33
Como puede observarse, el máximo valor calculado de delta es igual 0.0999 el cuál
es menor que el delta máximo permitido, 0.27. Por lo tanto, puede concluirse que los datos
se ajustan a una distribución Extrema Tipo I.
b. La probabilidad de excedencia para un período de retorno de 250 años será:
004.0
250
11
)( ===≥
Tr
xXP
sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:
)43.988(*310*157.3
1004.0
−−−
−
−=
x
e
e
de donde:
X= 2736.75 m3
/s

39. 34
34
CAPITULO IV
4.0 Hidrograma de escorrentía
4.1 Coeficiente de escorrentía
La escorrentía es consecuencia directa de la precipitación, estando ambas variables
estrechamente relacionadas. Sin embargo, en esta relación deben considerarse las
características de la cuenca ya que , por ejemplo, dos tormentas con características iguales
sobre una misma hoya pueden producir escorrentías diferentes, dependiendo de sus
condiciones iniciales al momento de producirse el evento. Esquemáticamente, esta relación
puede apreciarse en la figura 4.1.
Figura 4.1 Relación lluvia - escorrentía
Un parámetro que cuantifica esta relación es el denominado coeficiente de
escorrentía, definido por la ecuación:
En la cuál:
Ce: coeficiente de escorrentía.
Ve: volumen de escorrentía
Vp: volumen de precipitación
las magnitudes de la variable independiente de la ecuación (4.1) pueden expresarse también
en términos de lámina; en ambos casos el valor de Ce será menor que la unidad.
4.2 Hidrograma de crecidas
El hidrograma de una corriente es la representación grafica o tabular del caudal
como una función del tiempo y en una sección especifica del cauce. El hidrograma es una
Vp
Ve
Ce = (4.1)

40. 35
35
expresión integral de las características fisiográficas y climáticas que gobiernan la relación
lluvia-escorrentía de una cuenca en particular. En la figura 4.2 se observa la forma típica
del hidrograma.
Figura 4.2 Hidrograma de escorrentía
Como puede observarse, el hidrograma presenta un primer segmento ascendente,
denominado curva de concentración, cuyas características dependen de la duración,
intensidad y distribución en el tiempo y en el espacio de la tormenta. También la
condicionan la forma y tamaño de la cuenca receptora, así como las condiciones iniciales
de humedad del suelo y la cobertura vegetal.
La denominada cresta del hidrograma corresponde al valor máximo de caudal;
usualmente se le denomina el caudal pico. El sector denominado curva de descenso se debe
a la disminución gradual de la escorrentía directa y depende de las características de la red
de drenaje. Finalmente, se ubica el segmento final, denominado curva de agotamiento, la
cuál disminuye lenta y progresivamente, representando los aportes al flujo de la escorrentía
subterránea. Usualmente, la curva de agotamiento se define por la expresión:
Qt = Qo * e-αt (4.2)
donde:
Qt: caudal en el instante t
Qo: caudal en el tiempo to, al inicio del agotamiento
e: base del logaritmo neperiano.
α∞ coeficiente de agotamiento expresado en unidades de tiempo.
t: tiempo
El valor de α depende de la morfología de la cuenca receptora y de su naturaleza
geológica.

41. 36
36
4.3 Separación del caudal base
El caudal que circula por un cauce puede tener dos componentes: uno proveniente
de la precipitación efectiva del evento o escorrentía directa, Qd y otro originado por flujos
susbsuperficiales generados por eventos anteriores o caudal base, Qb. A la suma de ambos
se le denomina caudal total, Qt.
Si se desea analizar la respuesta de la cuenca a la ocurrencia de una precipitación
específica deben eliminarse los aportes al hidrograma provenientes de eventos anteriores; a
este proceso se le denomina separación del caudal base del hidrograma, tal como se ilustra
en la figura 4.3
Figura 4.3 Separación del caudal base del hidrograma
Para ello existen diferentes procedimientos, siendo uno de los más usuales áquel que
consiste en trazar una línea recta desde el comienzo del hidrograma hasta un tiempo N, en
días, después de la ocurrencia del pico. Una relación que permite estimar el valor de N está
dada por:
en la cuál:
N: tiempo en días.
A: área de la cuenca, Km2
Otro procedimiento consiste en proyectar hacia atrás la línea de recesión del agua
subterránea hasta un punto bajo el punto de inflexión del limbo descendente; luego se traza
un segmento arbitrario ascendente desde el punto de ascenso del hidrograma hasta
intersectarse con la recesión antes proyectada, tal como se ilustra en la figura 4.4.
Este tipo de separación puede presentar algunas ventajas cuando el aporte de agua
subterránea es relativamente grande y llega a la corriente con rapidez como sucede en
terrenos con calizas.
AON
2.0
*827.= (4.3)

42. 37
37
Figura 4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb
4.4 Hidrograma unitario
El hidrograma unitario se define como aquél cuyo volumen de escurrimiento directo
representa para el área de la cuenca una altura de agua o lamina escurrida, de una unidad,
usualmente esta lámina unidad se expresa en milímetros. Para un evento cualquiera, la
lámina de escorrentía directa, Le, será igual a:
A
Ve
Le = (4.4)
dónde Ve es el volumen escurrido, A es el área es el de la cuenca y Le es la lámina
escurrida
Para cada ordenada del hidrograma unitario se tendrá:
Le
q
qu = (4.5)
expresión en la cuál:
qu: ordenada del hidrograma unitario.
q: ordedenada del hidrograma de escorrentía directa.
Le lámina de escorrentía directa.
A la lámina de escorrentía directa también se le denomina lluvia efectiva o exceso
de precipitación. Un aspecto importante de este exceso de precipitación es el intervalo de
tiempo en el cuál se produce.

43. 38
38
En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante un intervalo de
tiempo que no necesariamente es igual a la duración total del evento de lluvia, siendo
usualmente menor. A dicha duración se le denomina duración efectiva de la lluvia y su
determinación se efectúa relacionando el histograma de precipitación y el hidrograma de
escorrentía directa, tal como se ilustra en la figura 4.5
Figura 4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia
El procedimiento se basa en la asunción que la capacidad de infiltración del suelo,
o índice φ, permanece constante a lo largo del evento, lo cuál puede ser representado por
una línea horizontal en el hietograma de precipitación, tal como se aprecia en la figura.
Luego, la sumatoria de los valores de precipitación por encima de esta línea de φ, debe
coincidir con el valor obtenido aplicando la ecuación (4.4); si ello no sucede, debe
asumirse un nuevo valor de infiltración y repetir el cálculo.
Finalmente, cuando se haya establecido, por tanteo, el valor de φ, el número de
intervalos que queden por encima de esta línea definirá la duración efectiva de la lluvia.
Todo hidrograma unitario, HU, debe estar asociado a una duración efectiva.

44. 39
39
4.5 Cálculo de HU para diferentes duraciones efectivas
Si se tiene un hidrograma unitario correspondiente a una duración efectiva igual a
“t” horas y se le suma el mismo hidrograma, desplazado un intervalo “t”, el hidrograma
resultante representa el de 2 unidades de escorrentía para 2t horas. Si las ordenadas de
dicho diagrama se dividen por 2, el resultado es un hidrograma unitario para una duración
de 2t horas. El procedimiento se ilustra en la figura 4.6
Figura 4.6 Cálculo del HU de 2t horas a partir del HU de t horas
Sin embargo, el procedimiento descrito sólo sería aplicable para determinar
hidrogramas unitarios de duración efectiva múltiplo del inicial. Para obtener el HU de una
duración cualquiera se utiliza el denominado método de la curva “S”, definiéndose como
tal al hidrograma resultante del desplazamiento, un número infinito de veces, del HU
original, tal como se ilustra en la figura 4.7. La magnitud de cada desplazamiento será “t”
horas respecto al anterior.
En la práctica, no es necesario realizar un número infinito de desplazamientos;
bastará efectuar los necesarios para alcanzar la zona de estabilización de la curva. El
número de desplazamientos que usualmente permite cumplir esta condición está dada por la
relación:
Du
Tb
Nd = (4.6)
dónde:
Tb: tiempo base del HU original
Du: duración efectiva del HU original

45. 40
40
Figura 4.7 Método de la curva “S”
En algunos casos la curva “S” puede presentar oscilaciones que serán necesarias
corregir. Para ello se traza una línea recta, siguiendo el criterio de mejor ajuste, en el
segmento superior de la curva, tal como se aprecia en la figura; luego se procede a
sustituir los valores de la curva original por las nuevas lecturas que se harán en la recta
ajustada. A la nueva curva S así obtenida se le denomina curva S corregida.
El HU para cualquier duración efectiva puede ahora obtenerse desplazando la curva
S corregida un intervalo igual a la duración del hidrograma deseado, obteniéndose lo que se
denomina curva S desplazada; luego dicha curva desplazada se resta de la corregida.
Finalmente, para obtener el HU buscado cada uno de los valores de esta diferencia se
multiplica por el factor:
t
Du
Factor = (4.7)
dónde:
Du: duración del HU con el cuál se construyó la curva S
t: duración efectiva del HU deseado

46. 41
41
4.6 Problemas relativos a Hidrogramas
PROBLEMA 4.6.1
Una tormenta de 6 horas de duración total ocurre en una cuenca de 150 Km2
de
superficie, con un hietograma de 42, 18 y 26 mm, respectivamente, cada 2 horas. Estimar
el caudal pico, en m3
/s, del hidrograma generado. Asumir un índice φ igual a 10 mm/h.
Adicionalmente se dispone de la información de una creciente producida por una
lluvia de 2 horas de duración efectiva y cuyo hidrograma de escorrentía total fue:
T(h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Q(m3
/s) 20 20 110 200 270 220 180 120 70 45 20 20
SOLUCIÓN
En primer lugar, se determina el hietograma de precipitación efectiva para un
intervalo de trabajo de 2 horas:
Pe0-2 = P0-2 - φ = 42 mm – 10 mm/h * 2h = 22 mm
Pe2-4 = P2-4 - φ = 18 mm – 10 mm/h * 2h = 0
Pe4-6 = P4-6 - φ = 26 mm – 10 mm/h * 2h = 6 mm
El siguiente paso es calcular el hidrograma unitario de 2 horas lo cuál puede hacerse a
partir de la información de la creciente y siguiendo la secuencia que a continuación se
describe:
1. Se determinan los caudales de escorrentía directa. Para ello, a cada valor de la
escorrentía total se le resta el caudal base; como puede observarse, en este caso dicho
caudal base puede tomarse como un valor constante e igual a 20 m3
/s.
2. El volumen de escorrentía directa puede calcularse sumando las ordenadas del
hidrograma de escorrentía directa, en m3
/s, y multiplicándolo por el intervalo de tiempo del
hidrograma, en segundos: 2 * 3600 seg
3. Este volumen escurrido se divide entre el área de la cuenca para obtener la lámina de
escorrentía directa del evento:
.0506.0
10*150
3600*2*/31055*
6
mts
sm
Area
tQd
Le ===
∑

47. 42
42
4. El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina dividiendo cada uno de los
valores de caudal de escorrentía directa entre Le. Los cálculos detallados se presentan en el
cuadro siguiente:
T(h) Qt(m3/s) Qb(m3/s) Qd(m3/s) HU(m3/s)mm
2 horas
0 20 20 0 0
2 20 20 0 0
4 110 20 90 1.78
6 200 20 180 3.55
8 270 20 250 4.94
10 220 20 200 3.95
12 180 20 160 3.16
14 120 20 100 1.97
16 70 20 50 0.99
18 45 20 25 0.49
20 20 20 0 0
22 20 20 0 0
Multiplicando ahora el HU por cada una de las láminas de escorrentía directa,
teniendo en cuenta los respectivos desplazamientos, y sumando se obtiene el hidrograma de
escorrentía directa resultante, tal como se aprecia en el cuadro adjunto:
T(h) HU(m3/s)mm Qd=Hu*22 Qd =HU*6 Qdt(m3/s)
2 horas
0 0 0 0
2 0 0 0
4 1.78 39.16 0 39.16
6 3.55 78.1 0 78.1
8 4.94 108.68 10.68 119.36
10 3.95 86.9 21.3 108.2
12 3.16 69.52 29.64 99.16
14 1.97 43.34 23.7 67.04
16 0.99 21.78 18.96 40.74
18 0.49 10.78 11.82 22.6
20 0 0 5.94 5.94
22 0 0 2.94 2.94
Como puede observarse, el caudal pico generado es de 119.36 m3
/s.

48. 43
43
PROBLEMA 4.6.2
Es una cuenca de 0.5 Km2
determine el índice φ , la infiltración acumulada, la
precipitación efectiva acumulada y el hidrograma unitario de los siguientes datos de lluvia-
escorrentía.
T(h) 0 1 2 3 4 5 6
P(mm) 0 27 33 20 19 18 15
Qd(m3
/s) 0 0.8 1.6 1.3 0.8 0.4
SOLUCIÓN:
La lámina de escorrentía directa será:
m
Area
tQd
Le 03528.0
10*5.0
3600*9.4*
6
===
∑
Le = 35.28 mm
En cada intervalo de tiempo una parte de la precipitación se infiltra y otra queda en
la superficie como lámina de escorrentía directa; el valor de la infiltración puede asumirse
constante e igual al denominado índice φ.
Para determinar el valor de φ puede seguirse el procedimiento que se ilustra en el
gráfico adjunto y que se explica a continuación. En primer lugar, se asume un valor inicial
de φ; por ejemplo, 1 mm; eso implica que la láminas de escorrentía directa será:
Le = (27-1) + (33-1) + (20-1) + (19-1) + (18-1) +(15-1) = 126 mm

49. 44
44
Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo que deberá
asumirse un valor mayor de φ ; este procedimiento de tanteo debe seguirse hasta obtener
una sumatoria de láminas de escorrentía directa igual a 35.28 mm. En este caso, ello se
produce para un valor de φ igual a 16.344 mm.
Luego la infiltración acumulada será:
Infiltración acumulada = 16.344 mm*5 + 15mm = 96.72 mm
Y la precipitación efectiva acumulada:
Precipitación efectiva acumulada = Precipitación acumulada – infiltración acumulada
Precipitación efectiva acumulada = 132 mm – 96.72 mm = 35.28 mm
Para calcular las ordenadas del hidrograma unitario, se dividen las ordenadas del
hidrograma de escorrentía directa entre la lamina de escorrentía directa. La duración de este
HU será de 5 horas ya que esa es la duración efectiva del evento o, dicho en otras palabras,
el número de horas durante los cuáles se produce escorrentía directa.
T(h) Qd(m3/s) HU(m3/s)/mm
0 0 0
1 0.8 0.023
2 1.6 0.045
3 1.3 0.037
4 0.8 0.023
5 0.4 0.011
PROBLEMA 4.6.3
La precipitación efectiva y la escorrentía directa registrada para una tormenta son las
siguientes:
T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pe(mm) 1 2 1
Qd(m3
/s) 10 120 400 560 425 300 265 170 50
Calcular el hidrograma unitario de 1 hora, sin utilizar el método de la curva S.
SOLUCIÓN
Designando por X1, X2, ... X7 a los valores del hidrograma unitario buscado. Si
este HU se multiplicase por cada una de las precipitaciones efectivas, considerando los
respectivos desplazamientos, el resultado sería el hidrograma de escorrentía directa que es

50. 45
45
proporcionado como dato del problema. Este procedimiento permitiría formar el sistema de
ecuaciones que se muestra en el cuadro siguiente:
T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3
1 10 X1*1
2 120 X2*1 X1*2
3 400 X3*1 X2*2 X1*1
4 560 X4*1 X3*2 X2*1
5 425 X5*1 X4*2 X3*1
6 300 X6*1 X5*2 X4*1
7 265 X7*1 X6*2 X5*1
8 170 X7*2 X6*1
9 50 X7*1
Resolviendo el sistema se tiene:
X1 = 10 100
1
2*10120
2 =
−
=X
190
1
1*102*100400
3 =
−−
=X 80
1
1*1002*190560
4 =
−−
=X
75
1
1*1902*80425
5 =
−−
=X 70
1
1*802*75300
6 =
−−
=X
50
1
1*752*70265
7 =
−−
=X
luego, el HU buscado será:
T(h) HU(m3/s)/mm
1 hora
1 10
2 100
3 190
4 80
5 75
6 70
7 50
Sin embargo, es conveniente acotar que este procedimiento no siempre conduce a
soluciones directas, debiendo realizarse procesos de corrección y ajuste.

51. 46
46
PROBLEMA 4.6.4
Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento de precipitación:
Tiempo (h) Precipitación Acumulada(mm) Índice Fí (mm/h)
1 5 2.5
2 11 2
3 19 1.5
Dicho evento genera el siguiente hidrograma de escorrentía directa:
T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Qd(m3
/s) 4.5 84.45 349.3 647.75 898.86 638.37 598.18 231.52 11.7
Con base a ello, se pide calcular el hidrograma unitario de la cuenca para una hora
de duración. Así mismo, determinar el área de la cuenca:
SOLUCIÓN
1. Calculo de la precipitación efectiva.
Para el calculo de la precipitación efectiva es necesario, determinar la precipitación
parcial y restarle la infiltración o índice Fí.
Tiempo(h) Precipitación parcial (mm)
1 5
2 6
3 8
Pe1 = 5 mm - 2.5 mm/h * 1 h = 2.5 mm
Pe2 = 6 mm - 2.0 mm/h * 1 h = 4 mm
Pe3 = 8 mm – 1.5 mm/h * 1 h = 6.5 mm
2. Calculo del Hidrograma Unitario de 1 hora de duración.
Se hace un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las ordenadas del
Hidrodrama Unitario.

52. 47
47
T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3
1 4.5 X1*2.5
2 84.45 X2*2.5 X1*4
3 349.3 X3*2.5 X2*4 X1*6.5
4 647.75 X4*2.5 X3*4 X2*6.5
5 820.4 X5*2.5 X4*4 X3*6.5
6 512.86 X6*2.5 X5*4 X4*6.5
7 394.22 X7*2.5 X6*4 X5*6.5
8 231.52 X7*4 X6*6.5
9 11.7 X7*6.5
X1 =
5.2
5.4
=1.8
9.30
5.2
4*8.145.84
2 =
−
=X
6.85
5.2
5.6*8.14*9.303.349
3 =
−−
=X
8.41
5.2
5.6*9.304*6.8575.647
4 =
−−
=X
72.38
5.2
5.6*6.854*8.414.820
5 =
−−
=X
51.34
5.2
5.6*8.414*72.3886.512
6 =
−−
=X
8.1
5.2
5.6*72.384*51.3422.394
7 =
−−
=X
T(h) HU(m3/s)/mm
1 hora
1 1.8
2 30.9
3 85.6
4 41.8
5 38.72
6 34.51
7 1.8
Para determinar el área de la cuenca se suman las ordenadas del hidrograma unitario, se
multiplica por el tiempo y los milímetros se llevan a metros, de la siguiente forma:

53. 48
48
26
3
10*468.846
/001.0
3600*/)/((
m
mmm
smmsmHU
A =
Σ
=
A= 846.468 km2
PROBLEMA 4.6.5
Tres subcuencas A, B y C confluyen en un punto común a la salida de ellas. Sobre las
mismas ocurren los siguientes hietogramas de precipitación media efectiva, en milímetros.
El hidrograma de escorrentía directa resultante del evento, en el punto de confluencia, es el
siguiente:
T(h) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
Qd(m3
/s) 9 159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510 718.3 249.8 88 28.8
Tiempo después se produce una tormenta de seis horas de duración en la subcuenca A, en
el cuál existen tres estaciones de precipitación P1, P2, y P3, con porcentajes de influencia
de 30%, 40% y 30%, del área de la subcuenca, el cual es de 85 Km2
. Los valores del índice
φ, expresados en mm/h, pueden considerarse variables de acuerdo a los tipos de suelos, tal
como se muestra en el cuadro adjunto. Los hietogramas de precipitación en las estaciones
también se presentan en el cuadro adjunto de la derecha.
Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante de este evento, asumiendo que el
hidrograma unitario de 1 hora es el mismo para las tres subcuencas.
Valor de φ mm/h Hietograma (mm)
Area(Km2
) h02 h04 h06 h02 h04 h06
10 5 4 3 P1 18 12 14
30 4 3 2.5 P2 16 12 9
45 5 4.5 3.5 P3 13 10 8
Tiempo(h) A B C
1 10
2 12 6
3 15 8 9

54. 49
49
SOLUCIÓN.
1. Calculo del HU de 1 hora, por el método de deconvolución:
Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo como incógnita el hidrograma unitario, como
dicho hidrograma es el mismo para las tres subcuencas, se procede de la siguiente manera:
SUBCUENCA A SUBCUENCA B SUBCUENCA C
T(h) Qd=HU*10 Qd=HU*15 Qd=HU*12 Qd=HU*8 Qd=HU*6 Qd=HU*9 QdR(m3/s)
0 X1*10 0
0.5 X2*10 9
1 X3*10 X1*12 X1*6 159.2
1.5 X4*10 X2*12 X2*6 444.2
2 X5*10 X1*15 X3*12 X1*8 X3*6 X1*9 487.1
2.5 X6*10 X2*15 X4*12 X2*8 X4*6 X2*9 872.2
3 X7*10 X3*15 X5*12 X3*8 X5*6 X3*9 898.1
3.5 X8*10 X4*15 X6*12 X4*8 X6*6 X4*9 1510
4 X5*15 X7*12 X5*8 X7*6 X5*9 718.3
4.5 X6*15 X8*12 X6*8 X8*6 X6*9 249.8
5 X7*15 X7*8 X7*9 88
5.5 X8*15 X8*8 X8*9 28.8
01 =X
9.0
10
9
2 ==X
92.15
10
6*112*12.159
3 =
−−
=
XX
X
8.42
10
6*212*22.444
4 =
−−
=
XX
X
054.20
10
9*16*38*112*315*11.487
5 =
−−−−−
=
XXXXX
X
3.7
10
9*26*48*212*415*22.872
6 =
−−−−−
=
XXXXX
X
769.2
10
9*36*58*312*515*31.898
7 =
−−−−−
=
XXXXX
X
9.0
10
9*46*68*412*615*41510
8 =
−−−−−
=
XXXXX
X

55. 50
50
T(h) HU(m3/s)/mm
1 hora
0 0
0.5 0.9
1 15.92
1.5 42.8
2 20.054
2.5 7.3
3 2.769
3.5 0.9
Como la precipitación en el hietograma de precipitación esta cada 2 horas se debe
determinar el Hu de 2 horas de duración:
T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm
1 horas 1 hora 2 horas
0 0 0 0
0.5 0.9 0.9 0.45
1 15.92 0 15.92 7.96
1.5 42.8 0.9 43.7 21.85
2 20.054 15.92 35.974 17.99
2.5 7.3 42.8 50.1 25.05
3 2.769 20.054 22.823 11.41
3.5 0.9 7.3 8.2 4.1
4 2.769 2.769 1.38
4.5 0.9 0.9 0.45
2. Calculo de la precipitación efectiva:
2.1 Calculo de la precipitación media en cada intervalo:
P0-2 = 18 * 0.3 + 16 * 0.4 + 13 * 0.3 = 15.7 mm
P2-4 = 12 * 0.3 +12 * 0.4 + 10 * 0.3 = 11.40 mm
P4-6 = 14 * 0.3 + 9 * 0.4 + 8 * 0.3 = 10.2 mm
2.2. Calculo del φ promedio:
hmm/65.4
85
45*530*410*5
20 =
++
=−φ
hmm/91.3
85
455.430*310*4
42 =
+++
=−φ
hmm/09.3
85
45*5.330*5.210*3
64 =
++
=−φ

56. 51
51
2.3 Precipitación efectiva:
Pe0-2 = 15.7 mm – 4.65 mm/h * 2h = 6.4 mm
Pe2-4 = 11.4 mm – 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mm
Pe4-6 = 10.2 mm – 3.09 mm/h * 2h = 4.02 mm
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa, se multiplica el hidrograma unitario de 2
horas por la precipitación efectiva de 2 horas de la forma siguiente:
T(h) HU(m3/s)/mm Qd=HU*6.4 Qd=HU*3.58 Qd=HU*4.02 QdR(m3/s)
2 horas
0 0 0 0
0.5 0.45 2.88 2.88
1 7.96 50.94 50.94
1.5 21.85 139.84 139.84
2 17.99 115.14 0 115.14
2.5 25.05 160.32 1.61 161.93
3 11.41 73.02 28.5 101.52
3.5 4.1 26.24 78.22 104.46
4 1.38 8.83 64.4 0 73.24
4.5 0.45 2.88 89.68 1.81 94.37
5 40.85 32 72.85
5.5 14.68 87.84 102.52
6 4.94 72.32 77.26
6.5 1.61 100.7 102.31
7 0 45.87 45.87
7.5 16.48 16.48
8 5.55 5.55
8.5 1.81 1.81
PROBLEMA 4.6.6
Se tiene dos cuencas, A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en
las cuales simultáneamente ocurre un evento de precipitación, con los siguientes
hietogramas:
Intervalo (hrs)
Precipitación
cuenca A (mm)
Precipitación
cuenca B (mm)
0 - 1.0 31 13
1.0 - 2.0 21
2.0 - 3.0 22

57. 52
52
El hidrograma unitario de ½ hora para ambas cuencas es el siguiente:
t(h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
HU(m3
/s/mm) 0 0.47 2.12 2.60 2.24 1.65 1.06 0.59 0.30 0.12 0
En la cuenca A el índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en 10% en cada intervalo; en
la cuenca B puede considerarse constante e igual a 6 mm/hora. Calcular el hidrograma de
escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas.
SOLUCIÓN
Cálculo de la precipitación efectiva en cada subcuenca:
Los valores del índice φ y de la precipitación efectiva en la subcuenca A, en cada
intervalo serán:
Intervalo Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)
0 - 1 8 31 – 8 = 23
1 – 2 8 – 0.10*8 = 7.2 0
2 – 3 7.2 – 0.10*7.2 = 6.48 22 – 6.48 = 15.52
Análogamente, para la subcuenca B se tendrá:
Intervalo Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)
0 - 1 6 13 – 6 = 7
1 – 2 6 21 – 6 = 15
Los hietogramas de precipitación para cada subcuenca están en intervalos de 01
hora mientras que el hidrograma unitario proporcionado como dato corresponde a 0.5 horas
de duración. Ello hace aconsejable determinar el HU de 01 horas.
Para ello, se desplaza el HU de ½ hora, una vez y un intervalo respecto a sí mismo,
determinándose luego la sumatoria del hidrograma original y el desplazado. El resultado
será un hidrograma de 1 hora de duración y 2 mm de precipitación efectiva; dividiendo este
nuevo hidrograma entre dos se obtendrá el HU correspondiente a 01 horas de duración. El
procedimiento descrito se resume en el cuadro adjunto:

58. 53
53
T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm) HU(m3/s)/mm)
1/2 hora 1/2 hora 1 hora
0 0 0 0
0.5 0.47 0 0.47 0.24
1 2.12 0.47 2.59 1.3
1.5 2.6 2.12 4.72 2.36
2 2.24 2.6 4.84 2.42
2.5 1.65 2.24 3.89 1.95
3 1.06 1.65 2.71 1.36
3.5 0.59 1.06 1.65 0.83
4 0.3 0.59 0.89 0.45
4.5 0.12 0.3 0.42 0.21
5 0 0.12 0.12 0.06
5.5 0 0 0
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de
ambas cuencas, se procede de la forma siguiente:
SUBCUENCA A SUBCUENCA B
T(h) HU(m3/s)/mm) Qd= HU*23 Qd= HU*15.52 Qd=HU*7 Qd=HU*15 QdR(m3/S)
1 hora
0 0 0 0 0
0.5 0.24 5.52 1.68 7.20
1 1.3 29.9 9.10 0 39.00
1.5 2.36 54.28 16.52 3.60 74.4
2 2.42 55.66 0 16.94 19.50 92.04
2.5 1.95 44.85 3.72 13.65 35.4 97.62
3 1.36 31.28 20.18 9.52 36.3 97.28
3.5 0.83 19.09 36.63 5.81 29.25 90.67
4 0.45 10.35 37.56 3.15 20.40 71.46
4.5 0.21 4.83 30.26 1.47 12.45 49.01
5 0.06 1.38 21.11 0.42 6.75 29.66
5.5 0 0 12.88 0 3.15 16.03
6 6.98 0.9 7.88
6.5 3.26 0 3.26
7 0.93 0.93
7.5 0 0
PROBLEMA 4.6.7
En una cuenca de 15 Km2
de superficie se tiene información de precipitaciones máximas
anuales para una hora de duración las cuáles puede asumirse se ajustan a una distribución

59. 54
54
Extrema Tipo I. Dicha información indica que la probabilidad de exceder la lámina de 80
mm en una hora es del 29 %, mientras que la probabilidad de exceder los 140 mm de lluvia,
también en una hora, es de 5.19 %.
Sobre dicha cuenca ocurre una precipitación de 3 horas de duración. En la primera hora,
cae la precipitación de periodo de retorno, Tr = 25 años; en la segunda hora cae la
precipitación Tr = 15 años y finalmente, en la tercera ocurre la precipitación de Tr = 10
años. El hidrograma unitario de la cuenca, para una duración de 1/3 de hora, es:
T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
HU((m3
/s)/mm) 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0
El índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en un 15 % cada intervalo. Calcular el
hidrograma de escorrentía directa generado por la tormenta.
SOLUCIÓN
Como las precipitaciones se ajustan a una distribución extrema Tipo I , se calcula los
parámetros de la distribución con los siguientes datos:
Para P= 80 mm la P(X≥x) = 0.29 Para P = 140mm la P(X≥x) = 0.0519
luego:
e e
x )(
129.0
βα −−
−
−=− e e
x )(
10519.0
βα −−
−
−=−
resolviendo:
β= 45.45 α=0.031
Con los parámetros calculados se determinan las precipitaciones para las horas indicadas en
el hietograma. En la primera hora, para Tr = 25 años se tiene:
Tr
xXP
1
)( =≥ =
25
1
= 0.04
Luego, sustituyendo en la ecuación probabilística se obtiene:
e e
x
−−=
−− )45.45(031.0
104.0
despejando el valor de x (precipitación en la primera hora): P01= 148,63 mm
Igualmente, en la segunda hora y para Tr = 15 años:
Tr
xXP
1
)( =≥ =
15
1
= 0.0667

60. 55
55
Sustituyendo: e e
x
−−=
−− )45.45(031.0
10667.0
el valor de x, (precipitación en la segunda hora), será: P02= 131.68 mm
análogamente, para la tercera hora: Tr = 10 años, la
Tr
xXP
1
)( => =
10
1
= 0.1
Sustituyendo: e e
x
−−=
−− )45.45(031.0
11.0
despejando el valor de x (precipitación en la tercera hora): P03= 118.04 mm
Para determinar la precipitación efectiva, se debe calcular el índice φ para cada intervalo y
restárselo a la precipitación: luego:
Hora (h) Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)
1 8 148.63 – 8 = 140.63
2 8 – 0.15*8 = 6.8 131.68 – 6.8 = 124.88
3 6.8 – 0.15*6.8 = 5.78 118.04 – 5.78 = 112.26
Para calcular el hidrograma de escorrentía directa se debe determinar primero el
hidrograma unitario de 1 hora, por desplazamientos, tal como se ilustra a continuación:
T(horas) HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1 hora
(m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s/mm)
0 0 0 0
0.33 0.31 0 0.31 0.1
0.67 1.02 0.31 0 1.33 0.44
1 2.12 1.02 0.31 3.45 1.15
1.33 2.44 2.12 1.02 5.58 1.86
1.67 2.48 2.44 2.12 7.04 2.35
2 2.24 2.48 2.44 7.16 2.39
2.33 1.85 2.24 2.48 6.57 2.19
2.67 1.45 1.85 2.24 5.54 1.85
3 1.06 1.45 1.85 4.36 1.45
3.33 0.75 1.06 1.45 3.26 1.09
4 0.3 0.75 1.06 2.11 0.7
4.33 0.18 0.3 0.75 1.23 0.41
4.67 0.08 0.18 0.3 0.56 0.19
5 0.08 0.18 0.26 0.09
5.33 0.08 0.08 0.03

61. 56
56
T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26 QdR
(m3/s/mm) m3/s m3/s m3/s m3/s
0 0 0 0
0.33 0.1 14.06 14.06
0.67 0.44 61.88 61.88
1 1.15 161.72 0 161.72
1.33 1.86 261.57 12.49 274.06
1.67 2.35 330.48 54.95 385.43
2 2.39 336.11 143.61 0 479.72
2.33 2.19 307.98 232.28 11.23 551.49
2.67 1.85 260.17 293.47 49.39 603.03
3 1.45 203.91 298.46 129.10 631.47
3.33 1.09 153.29 273.49 208.80 635.58
4 0.7 98.44 231.03 263.81 593.28
4.33 0.41 57.66 181.08 268.30 507.04
4.67 0.19 26.72 136.12 245.85 408.69
5 0.09 12.66 87.42 207.68 307.76
5.33 0.03 4.22 51.20 162.78 218.2
5.67 23.73 122.36 146.09
6 11.24 78.58 89.82
6.33 3.75 46.03 49.78
6.67 21.33 21.33
7 10.10 10.10
7.33 3.37 3.37
PROBLEMA 4.6.8
Dado el hidrograma unitario de 4 h de duración, se pide calcular el hidrograma unitario de
3 horas, en una cuenca de 300 Km2
de superficie.
T(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
HU(m3
/s)/mm 0 6 36 66 91 106 93 79 68 58 49
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
41 34 27 23 17 13 9 6 3 1.5
SOLUCIÓN
Para resolver este problema se utilizará el procedimiento de la curva S para lo cuál debe
determinarse primero el número de desplazamientos mínimos que deben efectuarse
empleando la relación:

62. 57
57
Du
Tb
Nd =
donde:
Nd: número mínimo de desplazamientos
Tb: tiempo base del hidrograma unitario en h
Du: duración del hidrograma unitario h.
Luego:
5
4
20
==Nd
Se calcula ahora la curva S, sumando el hidrograma unitario y los 5 desplazamientos
cada 4 horas (duración del hidrograma unitario), obteniéndose:
T(h) HU(m3/s/)mm Suma de los 5 Curva S
4 h Desplazamientos
0 0 0
1 6 6
2 36 36
3 66 66
4 91 0 91
5 106 6 112
6 93 36 129
7 79 66 145
8 68 91 159
9 58 112 170
10 49 129 178
11 41 145 186
12 34 159 193
13 27 170 197
14 23 178 201
15 17 186 203
16 13 193 206
17 9 197 206
18 6 201 207
19 3 203 206
20 1.5 206 207.5
21 206 206
22 207 207
23 206 206
Esta curva S debe corregirse a fin de eliminar las oscilaciones que se presentan en la parte
superior de la curva; esta corrección puede efectuarse de manera gráfica, tal como se
aprecia en la figura adjunta y cuadro adjuntos.

63. 58
58
Curva S Corregida
T(h) CSC CSCD CSC - CSCD HU(m3/s)/mm
3 h
(CSC-CSCD)*4/3
0 0 0 0
1 6 6 8
2 36 36 48
3 91 0 91 121.33
4 112 6 106 141.33
5 129 36 93 124
6 145 91 54 72
7 159 112 47 62.67
8 170 129 41 54.67
9 178 145 33 44
10 186 159 27 36
11 193 170 23 30.67
12 197 178 19 25.33
13 201 186 15 20
14 203 193 10 13.33
15 206.5 197 9.5 12.67
16 206.5 201 5.5 7.33
17 206.5 203 3.5 4.67
18 206.5 206.5 0 0
CSC : CURVA S CORREGIDA
CSCD: CURVA S CORREGIDA DESPLAZADA

64. 59
59
Como puede apreciarse, para determinar el hidrograma unitario de 3 horas se resta de la
curva S corregida la curva S, también corregida, desplazada previamente un intervalo igual
a la duración del hidrograma que se desea calcular. En el cuadro, el resultado corresponde a
la columna CSC – CSCD.
Luego, dicho resultado se multiplica por el factor obtenido al dividir la duración del
hidrograma con el que se construyó la curva S, en este caso 4 horas, entre la duración del
hidrograma que se desea calcular. Para el problema el factor es igual a 4/3; el resultado será
el HU de la duración deseada.
PROBLEMA 4.6.9
Se tiene dos cuencas A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en las
cuales simultáneamente empieza a llover, con los siguientes hietogramas de precipitación
en cada cuenca:
Cuenca A Cuenca B
0 - 1.5 40
1.5 – 3 30
3.0 – 4.5 60 25
El hidrograma unitario de 1/3 de hora para ambas cuencas es el siguiente:
T(h) 0 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3
HU(m3
/s)/mm 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12
En la cuenca A el índice φ es de 7 mm/h y se reduce en 12 % cada intervalo; en la cuenca B
puede considerarse constante e igual a 5 mm/h. Calcular el hidrograma de escorrentía
directa resultante en la confluencia de ambas cuencas.
SOLUCIÓN:
En este caso, y procediendo de forma similar a problemas anteriores se tendrá para la
cuenca A:
Intervalo (h) Indice φ Precipitación efectiva (mm)
0 – 1.5 7 40 – 7*1.5 = 29.5
1.5 – 3.0 7 – 7*0.12 = 6.16
3.0 – 4.5 6.16 – 6.16*0.12 = 5.42 60 – 5.42*1.5 = 51.87
En la cuenca B el índice φ es constante, por lo tanto, la precipitación efectiva en cada
intervalo será:

65. 60
60
Pe 1.5-3 = 30 mm – 5 mm/h*1.5 h =22.5 mm
Pe 3-4.5= 25 mm – 5 mm/h*1.5 h =17.5 mm
Para determinar el hidrograma unitario de 1.5 h puede emplearse el método de la curva S a
partir del HU de 1/3 hora; el número mínimo de desplazamientos será:
10
3
1
3
10
===
Du
Tb
Nd
Luego, la curva S será:
T(h) HU(m3/s)/mm Suma de los 10 Cuva S
1/3 h desplazamientos
0 0 0
0.33 0.47 0 0.47
0.67 2.12 0.47 2.59
1 2.6 2.59 5.19
1.33 2.24 5.19 7.43
1.67 1.65 7.43 9.08
2 1.06 9.08 10.14
2.33 0.59 10.14 10.73
2.67 0.3 10.73 11.03
3 0.12 11.03 11.15
3.33 0 11.15 11.15
Y la curvas S corregida:

66. 61
61
El HU de 1.5 horas de duración será entonces:
T(h) CSC CSCD CSC –CSCD HU(m3/s)/mm
1.5 H
(CSC-CSCD)*(1/3)/1.5
0 0 0 0
0.5 1.4 1.4 0.31
1 5.19 5.19 1.15
1.5 8.5 0 8.5 1.89
2 10.14 1.4 8.74 1.94
2.5 10.9 5.19 5.71 1.27
3 11.15 8.5 2.65 0.59
3.5 11.15 10.14 1.01 0.22
4 11.15 10.9 0.25 0.06
4.5 11.15 11.15 0 0
CSC: CURVA S CORREGIDA
CSCD: CUEVA S CORREGIDA DESPLAZADA
Luego, el hidrograma de escorrentía directa en la confluencia de ambas cuencas es:
Cuenca A Cuenca B
T(h) HU(m3/s)/mm Qd = HU*29.50 Qd=HU*51.87 Qd =HU*22.5 Qd=HU*17.5 QdR(m3/s)
0 0 0 0
0.5 0.31 9.15 9.15
1 1.15 33.93 33.93
1.5 1.89 55.76 0 55.76
2 1.94 57.23 6.98 64.21
2.5 1.167 34.43 25.88 60.31
3 0.59 17.41 0 42.53 0 59.94
3.5 0.22 6.49 16.08 43.65 5.43 71.65
4 0.06 1.77 59.65 26.26 20.13 107.81
4.5 0 0 98.03 13.28 33.08 144.39
5 100.63 4.95 33.95 139.53
5.5 60.53 1.35 20.42 82.3
6 30.6 10.33 40.93
6.5 11.41 3.85 15.26
7 3.11 1.05 4.16

67. 62
62
CAPÍTULO V
5.1 Método de la curva número
La relación entre la escorrentía y la lluvia que la origina ha sido objeto de múltiples
análisis e interpretaciones hidrológicas. Si bien es cierto que existe una estrecha
interrelación entre ambos elementos hidrológicos, ésta no es una asociación fija e invariable
en el tiempo y en el espacio. Básicamente, la relación lluvia- escorrentía está determinada
por las características específicas de la cuenca tales como pendiente, vegetación, tipo de
suelos y otras. El conjunto de ellas determina la respuesta del sistema, o cuenca, ante la
ocurrencia de la lluvia.
Los diversos métodos desarrollados para el análisis del proceso tratan de cuantificar
esta capacidad de respuesta de la cuenca. La forma más simple está dada por la adopción de
un coeficiente global que expresa, en forma de porcentaje, la relación entre lo precipitado y
lo escurrido. Esto es lo que se denomina el coeficiente de escorrentía. Aún cuando este
método ha sido bastante difundido, sus limitaciones son obvias si se tiene en cuenta la
excesiva simplificación del ciclo hidrológico que él mismo hace.
El servicio de Conservación de Suelos, SCS, de los Estados Unidos, luego del
análisis de gran número de datos de cuencas experimentales, ha desarrollado un método de
estimación de la escorrentía. Dicho método se basa en el análisis del complejo suelo -
cobertura y las condiciones de humedad del suelo antes de la ocurrencia de la precipitación.
La relación básica del procedimiento es:
PotencialaEscorrentì
alaEscorrentí
Potencialtención
altención
_
Re_
_Re
Re_Re
= (5.1)
Si se adopta la designación de variables siguientes:
S: retención potencial
Q: escorrentía real
Ia: pérdidas por intercepción, almacenamiento en depresiones e infiltración.
P: precipitación.
La ecuación (5.1) puede escribirse ahora como:
IaP
Q
S
QIaP
−
=
−− )(
(5.2)
Efectuando operaciones:
[ ] SQIaPQIaP *)(*)( =−−−

68. 63
63
SQQIaPIaP **)()( 2
=−−−
)(**)( 2
IaPQSQIaP −+=−
))((*)( 2
IaPSQIaP −+=−
)(
)( 2
IaPS
IaP
Q
−+
−
= (5.3)
Trabajos realizados en diversas cuencas experimentales han permitido establecer
que el valor de Ia es aproximadamente el 20% del valor de S, o sea:
Ia = 0.20 * S (5.4)
Reemplazando (5.4) en (5.3), se tiene:
SPS
SP
Q
*20.0
)*20.0( 2
−+
−
=
Finalmente:
SP
SP
Q
*80.0
)*20.0( 2
+
−
= (5.5)
El valor de S, en centímetros, se relaciona con el número de curva de escorrentía a
través de la expresión:
40.25
2540
−=
CN
S (5.6)
donde:
CN: valor de la curva número
El valor de CN se determina a partir de las características de infiltración y uso del
suelo, la cobertura vegetal y las condiciones de humedad en la cuenca al momento de
producirse la precipitación, lo que se denomina humedad antecedente; los rangos
establecidos experimentalmente son:
Condición de humedad Lluvia total de los 5
Antecedente días previos (cm)
I 0 - 3.50
II 3.50 - 5.25
III más de 5.25
ILRI, 1978

69. 64
64
Las condiciones hidrológicas pueden aproximarse a partir del grado de cobertura vegetal
del área en estudio, de la forma siguiente:
Condición Hidrológica Porcentaje de Cobertura vegetal (%)
Buena más de 75
Regular Entre 50 y 75
Mala menos del 50
ILRI, 1978
En lo referente al grupo hidrológico del suelo, éste es un parámetro que trata de
ponderar las características de infiltración del suelo. De acuerdo a ello, se han establecido
cuatro grupos:
Grupo Infiltración
A Alta
B Moderada
C Lenta
D Muy lenta
ILRI, 1978
Con la información descrita puede determinarse el número de curva, CN,
empleando la Tabla Nº1, la cual corresponde a condiciones de humedad antecedente II.
Para otras condiciones, debe emplearse la Tabla Nº 2, en el anexo 2.
5.2 Distribución del evento en el tiempo
El método del número de curva no considera la variable tiempo por lo que
previamente a su aplicación se requiere distribuir la precipitación a lo largo de la duración
total del evento; luego para el cálculo de los hidrogramas generados por la precipitación
efectiva de cada intervalo también se requerirá considerar el factor tiempo.
Para la distribución de la lluvia en el tiempo debe considerarse previamente el
intervalo de trabajo a emplear. Una regla práctica para ello establece que dicho intervalo
debe ser igual o menor que la cuarta parte del tiempo al pico de la cuenca.
Establecido el intervalo de trabajo se utiliza la denominada curva adimensional de
tormentas que es un gráfico que relaciona la fracción acumulada de tiempo transcurrido,
respecto a la duración total del evento, con la fracción acumulada, respecto a la lámina total
del evento, de la lámina precipitada. En la figura 5.1. Pueden apreciarse las curvas
adimensionales de lluvia típicas desarrolladas por el Servicio de Conservación de Suelos,
SCS.

70. 65
65
Figura 5.1. Curvas adimensionales de tormentas (SCS, 1958)
Sin embargo, es recomendable tratar de obtener curvas características para las
zonas en estudio a partir de la información disponible.
Para el cálculo de los valores de caudales en los hidrogramas generados puede
utilizarse el hidrograma adimensional de escorrentía. Este es un gráfico donde en el eje x
se encuentran los valores discretizados en intervalos de 0.25 del tiempo al pico y desde 0
hasta 5 veces el tiempo al pico. En el eje y se colocan los correspondientes valores para
cada x, pero expresados en términos qt / qp; es decir como una fracción del caudal pico. El
hidrograma adimensional desarrollado por el SCS se muestra a continuación:
T/Tp qt/qp
0 0
0.25 0.12
0.5 0.43
0.75 0.83
1 1
1.25 0.88
1.5 0.66
1.75 0.45
2 0.32
2.25 0.22
2.5 0.15
2.75 0.105
3 0.075
3.25 0.053
3.5 0.036
3.75 0.026
4 0.018
4.25 0.012
4.5 0.009
4.75 0.006
5 0.004

71. 66
66
El procedimiento a seguir puede resumirse en los siguientes pasos:
• La duración de la lluvia total se divide en intervalos iguales, o menores, a 0.25 del
tiempo al pico
• Para cada intervalo se calcula la relación:
totalDuración
ervaloelhastaacumuladotiempo
_
int____
• Empleando la curva adimensional de tormenta, se calcula la relación:
Precipitación acumulada hasta el intervalo dado
Precipitación total
• Con el valor anteriormente obtenido se calcula el valor de la lluvia acumulada
• Con la lluvia acumulada, y las ecuaciones (5.5) y (5.6), pueden obtenerse los valores de
la lámina de escorrentía directa acumulada.
• Con los valores obtenidos en el paso anterior pueden obtenerse las láminas de
escorrentía directa generados en cada intervalo
• Luego, se calcula el caudal pico producido por la lámina de escorrentía correspondiente
a cada intervalo de tiempo. Para ello se emplea la siguiente ecuación:
Tp
Q
Aqp **208.0= (5.7)
donde:
A: área de la cuenca, Km2
Q: escorrentía directa, mm
Tp: tiempo al pico, horas
qp: caudal pico en m3
/s.
• Empleando el hidrograma adimensional de escorrentía se calcula el hidrograma
correspondiente a cada intervalo de tiempo.
• Se suman los hidrogramas de cada intervalo, para calcular el hidrograma de escorrentía
directa resultante

72. 67
67
5.3 Problemas de aplicación de la Curva Número
PROBLEMA 5.3.1
Una cuenca tiene 47.36 Km de longitud máxima de recorrido de la escorrentía y una
diferencia de cota de 1000 mts entre el punto más remoto y la salida, con un área total de
350 Km2
. En ella, el 30 % del área tiene CNII de 88; 40% posee CNII de 82 y el 30%
restante tiene CNII de 75.
Sobre esta cuenca ocurre una lluvia de 70 mm en tres horas. Calcular el hidrograma de
escorrentía directa resultante del evento empleando la curva adimensional de lluvia y el
hidrograma adimensional de escorrentía que se dan a continuación y asumiendo que al
producirse el evento las curvas números están en condición I.
t/T 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
p/Pt 0 0.3 0.5 0.7 0.8 0.87 0.91 0.95 0.97 0.99 1.0
t/Tp 0 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50
qt/qp 0 0.12 0.4 0.83 1.0 0.85 0.66 0.45 0.32 0.22 0.15
2.75 3.0 3.25 3.50 3.75 4.0 4.25 4.50 4.75 5.0
0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004
SOLUCIÓN
La curva adimensional de lluvia permite desagregar la duración total del evento en
intervalos de tiempo más pequeños. Sin embargo el problema será determinar cuál es el
intervalo de trabajo más recomendable de manera de no perder precisión en el cálculo o
generar un excesivo, e innecesario, número de segmentos.
Al respecto, una regla práctica establece que la longitud del intervalo de trabajo
recomendado es que sea menor o igual a la cuarta parte del tiempo al pico; de allí que la
solución de este problema se inicie por calcular el tiempo de concentración de la cuenca,
para lo cuál se dispone de la información necesaria, y luego relacionarlo con el tiempo al
pico, luego:
385.0155.1
**0195.0 −
= HLTc
385.0155.1
1000*)1000*36.47(*0195.0 −
=Tc
Tc = 5.715 h
A partir de este valor puede calcularse el tiempo al pico empleando la relación:
Tp = 0.7*Tc = 0.7*5.715 h = 4 h

73. 68
68
Luego el intervalo de trabajo será:
IT ≤ 0.25 Tp IT ≤ 0.25* 4 h IT ≤ 1.0 h.
El resultado indica que el evento de tres horas de duración total será segmentado en 3
intervalos de una hora cada uno. Luego se calcula la relación t/T, en la cual t es el tiempo
acumulado hasta el intervalo considerado y T la duración total del evento. Empleando la
curva adimensional de lluvia puede determinarse el valor p/P, correspondiente a cada t/T.
El valor p es la precipitación acumulada hasta el tiempo t y P la precipitación total del
evento.
Los valores de p/P permiten calcular la precipitación acumuladas hasta cada intervalo, Pa,
tal como se aprecia en el cuadro siguiente.
T(h) t/T p/P Pa(cm) Qa(cm) Qparc.(mm) qp(m3/s)
0 0 0 0 0 0 0
1 0.33 0.73 5.11 0.382 3.82 69.52
2 0.67 0.938 6.566 0.888 5.06 92.09
3 1 1 7 1.069 1.81 32.94
El valor Qa corresponde a la lamina escorrentía directa acumulada hasta el intervalo t y se
calcula utilizando la expresión:
)*8.0(
)*20.0( 2
SP
SP
Q
+
−
=
donde S es el coeficiente de retención potencial del suelo el cuál puede calcularse por la
relación siguiente, para S en centímetros:
4.25
2540
−=
CN
S
aquí, CN es la curva número de la cuenca y es función de las condiciones de suelo,
vegetación y humedad antecedente. De acuerdo al enunciado del problema la condición de
humedad antecedente es I al momento de producirse el evento, por lo cual cada una de las
curvas número proporcionadas deberán ser llevadas a esta condición; para ello pueden
utilizarse las ecuaciones:
II
II
I
CN
CN
CN
*058.010
*2.4
−
=
II
II
III
CN
CN
CN
*13.010
*23
+
=
luego:

74. 69
69
CNII = 88→CNI = 75.49
CNII = 82→CNI = 65.675
CNII = 75→CNI = 55.75
Como existen 3 sectores de la cuenca con diferentes valores de CN resulta conveniente
ponderar dichos valores por sus respectivas áreas obteniéndose:
CNp = 75.49 * 0.3 + 65.675 * 0.4 + 55.75 * 0.3 = 65.642
y el coeficiente de retención será:
cmS 29.1340.25
642.65
2540
=−=
Determinada la precipitación efectiva acumulada, por diferencia puede calcularse la
escorrentía directa para cada intervalo, Qparc; cada una de estas láminas producirá un
hidrograma de salida del cuál puede conocerse su caudal pico aplicando la ecuación:
Tp
QA
qp
*
*208.0=
donde:
qp: caudal pico, m3
/seg
A: área de la cuenca, Km2
Q: lámina de escorrentía, mm
Tp: tiempo al pico de la cuenca, horas
El problema será ahora definir completamente los hidrogramas de escorrentía directa de
cada intervalo. Para ello se utiliza el concepto de hidrograma adimensional de escorrentías
el cuál no es otra cosa sino la relación entre el porcentaje de tiempo transcurrido, t/Tp, y el
porcentaje del caudal instantáneo con relación al caudal pico, qt/qp.
En el cuadro adjunto las dos primeras columnas corresponden a la relación adimensional de
tiempos y caudales. Por ejemplo el par de valores 0.25 y 0.12 de la segunda línea debe
interpretarse como que en el instante en que ha transcurrido el 25 % del tiempo al pico, el
caudal es igual al 12 % del caudal pico correspondiente a la primera hora.
Ello permite calcular el tiempo absoluto transcurrido hasta este intervalo, el cuál será igual
a 0.25*Tp = 0.25*4 h = 1; este valor se coloca en la columna T(h). El caudal instantáneo,
columna Qd, para ese momento será entonces igual a 0.12*69.52 = 8.34 m3
/seg.
Procediendo de forma análoga para la tercera línea se tendrá que transcurrido un lapso igual
al 50 % del tiempo al pico se produce un caudal igual al 40 % del caudal pico de la
primera hora lo cuál equivale a 0.4*69.52 = 27.81 m3
/seg. El resto de los valores del

75. 70
70
hidrograma generado por la escorrentía directa de la primera hora se calculan procediendo
de forma similar.
Los hidrogramas correspondientes a la segunda y tercera hora se calcula de la misma forma
teniendo en cuenta los desplazamientos que deben efectuarse. El hidrograma de escorrentía
directa resultante, Qdt, se muestra en la última columna del cuadro.
t/Tp qt/qp T(h) Qd=qt/qp*69.52 Qd=qt/qp*92.09 Qd=qt/qp*32.94 Qdt(m3/s)
0 0 0 0 0
0.25 0.12 1 8.34 0 8.34
0.5 0.4 2 27.81 11.05 0 38.86
0.75 0.83 3 57.7 36.84 3.95 98.49
1 1 4 69.52 76.43 13.18 159.13
1.25 0.85 5 59.09 92.09 27.34 178.52
1.5 0.66 6 45.88 78.28 32.94 157.1
1.75 0.45 7 31.28 60.78 28 120.06
2 0.32 8 22.25 41.44 21.74 85.43
2.25 0.22 9 15.29 29.47 14.82 59.58
2.5 0.15 10 10.43 20.26 10.54 41.23
2.75 0.105 11 7.3 13.81 7.25 28.36
3 0.075 12 5.21 9.67 4.94 19.82
3.25 0.053 13 3.68 6.91 3.46 14.05
3.5 0.036 14 2.5 4.88 2.47 9.85
3.75 0.026 15 1.81 3.32 1.75 6.88
4 0.018 16 1.25 2.39 1.19 4.83
4.25 0.012 17 0.83 1.66 0.86 3.35
4.5 0.009 18 0.63 1.11 0.59 2.33
4.75 0.005 19 0.35 0.83 0.4 1.58
5 0.004 20 0.28 0.46 0.3 1.04
21 0.37 0.16 0.53
22 0.13 0.13

76. 71
71
PROBLEMA 5.3.2
Una cuenca de 15 Km2
de área total tiene 6 Km2
con curva número 60, 5 Km2
con curva
número 85, el resto del área con curva número 93. El tiempo al pico de la cuenca se puede
estimar en 2 horas. Sobre ella ocurre una precipitación de 3 horas de duración y lámina
total precipitada igual a 39.87 mm.
Se pide calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante, empleando la curva
adimensional de lluvia y el hidrograma adimensional de escorrentía que se da a
continuación:
t/T 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
p/Pt 0 0.3 0.5 0.7 0.8 0.87 0.91 0.95 0.97 0.99 1.0
T/Tp 0 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50
qt/qp 0 0.12 0.4 0.83 1.0 0.85 0.66 0.45 0.32 0.22 0.15
2.75 3.0 3.25 3.50 3.75 4.0 4.25 4.50 4.75 5.0
0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004
SOLUCION
En este caso, el intervalo de trabajo a utilizar será IT≤ 0.25*2 = IT≤ 0.5 horas. La curva
número promedio ponderada para el conjunto de la cuenca es:
13.77
15
93*485*560*6
=
++
=CN
para el cuál se tendrá un valor igual a 7.53 cm para el almacenamiento potencial del suelo.
Luego, aplicando los mismos criterios y relaciones del problema anterior pueden elaborarse
los cuadros mostrados a continuación.
T(h) t/T p/P Pa(cm) Qa(cm) Qp(mm) qp(m3/s)
0 0 0 0 0 0 0
0.5 0.17 0.44 1.75 0.008 0.08 0.12
1 0.33 0.73 2.91 0.22 2.12 3.31
1.5 0.5 0.87 3.47 0.406 1.86 2.9
2 0.67 0.938 3.74 0.511 1.05 1.64
2.5 0.83 0.976 3.89 0.573 0.62 0.97
3 1 1 3.99 0.616 0.43 0.67

77. 72
72
T/Tp qt/qp T(h) Qd1(m3/s) Qd2(m3/s) Qd3(m3/s) Qd4(m3/s) Qd5(m3/s) Qd6(m3/s) Qdt(m3/s)
qt/qp*0.12 qt/qp*3.31 qt/qp*2.9 qt/qp*1.64 qt/qp*0.97 qt/qp*0.67
0 0 0 0 0
0.25 0.12 1 0.014 0 0.014
0.5 0.4 2 0.048 0.397 0 0.445
0.75 0.83 3 0.1 1.324 0.348 0 1.772
1 1 4 0.12 2.747 1.16 0.197 0 4.224
1.25 0.85 5 0.102 3.31 2.407 0.656 0.116 0 6.591
1.5 0.66 6 0.079 2.814 2.9 1.361 0.388 0.08 7.622
1.75 0.45 7 0.054 2.185 2.465 1.64 0.805 0.268 7.417
2 0.32 8 0.038 1.49 1.914 1.394 0.97 0.556 6.362
2.25 0.22 9 0.026 1.059 1.305 1.082 0.82 0.67 4.962
2.5 0.15 10 0.018 0.728 0.928 0.738 0.64 0.57 3.622
2.75 0.105 11 0.013 0.497 0.638 0.525 0.44 0.44 2.553
3 0.075 12 0.009 0.348 0.435 0.361 0.31 0.302 1.765
3.25 0.053 13 0.006 0.248 0.305 0.246 0.213 0.214 1.232
3.5 0.036 14 0.004 0.175 0.218 0.172 0.146 0.147 0.862
3.75 0.026 15 0.003 0.119 0.154 0.123 0.102 0.101 0.602
4 0.018 16 0.002 0.086 0.104 0.087 0.073 0.07 0.422
4.25 0.012 17 0.001 0.06 0.075 0.059 0.051 0.05 0.296
4.5 0.009 18 0.001 0.04 0.052 0.043 0.035 0.036 0.207
4.75 0.005 19 0.001 0.03 0.035 0.03 0.025 0.024 0.145
5 0.004 20 0 0.017 0.026 0.02 0.018 0.017 0.098
21 0.013 0.015 0.015 0.012 0.012 0.067
22 0.012 0.008 0.009 0.008 0.037

78. 73
73
CAPITULO VI
6.1 Tránsito por embalses
Un embalses es una estructura de almacenamiento que permite regular el escurrimiento
de un río; es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las
temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las épocas de sequía cuando los
escurrimientos son escasos.
Las características topográficas de un sitio de presa se resumen en la denominada curva
altura – área – capacidad, la misma que permite calcular el volumen almacenado y el área
de la superficie libre para cualquier altura del nivel de agua. Esta curva se calcula siguiendo
los siguientes pasos:
• Se mide el área encerrada por cada curva de nivel.
• El volumen almacenado entre dos curvas de nivel se calcula como el producto de la
semisuma de las áreas inicial y final por el intervalo entre curvas.
• El volumen de agua almacenada hasta una altura dada se obtiene acumulando los
valores obtenidos en el paso anterior.
Los volúmenes característicos de un embalse se muestran en la figura 6.1.
Figura 6.1 Volúmenes característicos en un embalse
En el gráfico:
CNM: cota de nivel muerto
CNN: cota de nivel normal
CNMa: cota a nivel máximo
VM: volumen muerto
VU: volumen útil
VSA: almacenamiento de seguridad, (control de crecientes)

79. 74
74
El tránsito a través del embalse es el procedimiento por medio del cuál se
determina el hidrograma de salida, conocidos el hidrograma de entrada, el nivel del
agua al inicio del tránsito y las normas de funcionamiento de la estructura. El
procedimiento se esquematiza en la figura 6.2.
Figura 6.2 Esquema del tránsito de una creciente a través de un embalse
Las ecuaciones de tránsito a través de un embalse se deducen a partir de la ecuación
fundamental de la hidrología:
ENTRADAS - SALIDAS = CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO
Expresando esta ecuación en términos de volumen, y para un intervalo de tiempo ∆t,
se tendrá:
12*
2
)21(
*
2
)21(
SSt
OO
t
II
−=∆
+
−∆
+
(6.1)
Los términos con subíndice 1 corresponden al instante inicial del intervalo, mientras
que los poseen el subíndice 2 son los instante 2; el valor O1 corresponde al caudal de
salida al iniciarse al cálculo, siendo dato del problema o pudiendo deducirse de las
condiciones iniciales. Si ahora los valores de la ecuación (6.1) se reordenan colocando
en el lado izquierdo los valores conocidos, se tendrá:
t
S
t
S
OOII
∆
−
∆
=−−+
1*22*2
2121

80. 75
75
2
2*2
1
1*2
21 O
t
S
O
t
S
II +
∆
=−
∆
++ (6.2)
La ecuación (6.2) tiene dos incógnitas; para resolverla se construye una expresión
que relaciona los valores de O
t
S
+
∆
*2
con O. El procedimiento a seguir es el descrito
brevemente a continuación:
1. Se fija el intervalo ∆t que se empleará para el transito; es recomendable que
dicho intervalo sea el del hidrograma de entrada.
2. Se calcula O con la ecuación, (o ecuaciones) de descarga
3. Se determina S con la curva Altura- Area-Capacidad
4. Se determina O
t
S
+
∆
*2
Para el tránsito por el embalse deben seguirse los siguientes pasos:
1. Se fija el nivel del agua en el embalse.
2. Se determina O1 y 1
1*2
O
t
S
+
∆
, correspondiente del nivel al inicio del transito, en la
curva O
t
S
+
∆
*2
Vs O.
3. Se Calcula 1
1*2
O
t
S
−
∆
, restándole 2*O1 a 1
1*2
O
t
S
+
∆
4. Con los valores de I1 e I2, conocidas del hidrograma de entrada y el resultado del
paso 3, se calcula 2
2*2
O
t
S
+
∆
2
2*2
1
1*2
21 O
t
S
O
t
S
II +
∆
=−
∆
++
5. Con el resultado anterior y la curva O
t
S
+
∆
*2
Vs O , se determina O2
6. Se resta O2 dos veces de 2
2*2
O
t
S
+
∆
, con esto se obtiene 2
2*2
O
t
S
−
∆
7. Se pasa al siguiente intervalo y se vuelve al paso 4

81. 76
76
6.2 Tránsito por cauces naturales
El método de Muskingum es un procedimiento de tránsito hidrológico que se usa
comúnmente para manejar la relación caudal – almacenamiento en los cauces naturales.
Este método modela el almacenamiento volumétrico de creciente en un tramo de un río
mediante la combinación del almacenamiento de cuña y prisma, tal como se esquematiza en
la figura 6.3
Figura 6.3 Esquema del tránsito por cauces naturales
Durante el avance de la onda de creciente, el caudal de entrada es mayor que el de
salida, siendo un almacenamiento de cuña. Adicionalmente, existe un almacenamiento por
prisma que esta formado por un volumen de sección transversal constante a lo largo de la
longitud del canal.
Suponiendo, que el área de la sección transversal del flujo de la creciente es
directamente proporcional al caudal en la sección el almacenamiento por prisma es igual a
KO, donde K es un coeficiente de proporcionalidad ( es el tiempo de tránsito de la onda de
creciente a través del tramo del canal). El volumen de almacenamiento por cuña es igual a
Kx(I-O), donde x es un factor de ponderación dentro de un rango 0≤x≤0.5 ( llamado el peso
del volumen de cuña en el calculo de volumen total).
)( OIKxKOS −+= (6.3)
Lo cual puede reordenarse para dar la función de almacenamiento por el método de
Muskingun.
( )[ ]OxxIKS −+= 1 (6.4)
El valor de x depende de la forma de almacenamiento por cuña modelada; su valor
varía desde 0 para un almacenamiento tipo embalse hasta 0.5 para una cuña completamente
desarrollada. Los valores de almacenamientos pueden escribirse como:
( ) ( )( )[ ]12112 OOxIIxKS −−+−=∆ (6.5)

82. 77
77
por continuidad:
( ) ( ) t
OO
t
II
S ∆
−
−∆
+
=∆
2
12
2
21
(6.6)
igualando (6.5) y (6.6):
( ) ( )( )[ ]=−−+− 12112 OOxIIxK
( ) ( ) t
OO
t
II
∆
−
−∆
+
2
12
2
21
(6.7)
despejando O2:
1*
)5.0(
)5.0(
1*
)5.0(
)5.0(
2*
5.0(
)5.0(
2 O
tKxK
tKxK
I
tKxK
tKx
I
tKxK
tKx
O
+−
−−
+
+−
+
+
+−
−−
=
1*21*12*2 OCICICoO ++= (6.8)
los coeficientes deben cumplir la condición:
121 =++ CCCo (6.9)

83. 78
78
6.3 Problemas relativos a el transito por el embalse y transito por el cauce
PROBLEMA 6.3.1
A un tramo de un río, con parámetros de tránsito K= 10 horas y x = 0.08 llega la siguiente
creciente:
T(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
Q(m3/s) 50 65 125 200 320 475 545 490 372 300
T(h) 30 33 36 39 42 45 48 51
Q(m3/s) 250 200 165 140 120 100 85 75
Calcular cuál será el caudal máximo de la creciente a la salida del tramo.
SOLUCION
En este caso los coeficientes de Muskingum para el tránsito en el cauce serán:
0654.0
)3*5.008.0*1010(
)3*5.008.0*10(
)*5.0*(
)*5.0*(
=
+−
−−
=
+−
−−
=
txKK
txK
Co
215.0
)3*5.008.0*1010(
)3*5.008.0*10(
)*5.0*(
)*5.0*(
1 =
+−
+
=
+−
+
=
txKK
txK
C
720.0
)3*5.008.0*1010(
)3*5.008.0*1010(
)*5.0*(
)*5.0*(
2 =
+−
−−
=
+−
−−
=
txKK
txKK
C
Verificando que la suma de los coeficientes cumplan la condición:
Co+C1+C2 = 1
0.0654+ 0.215 + 0.720 = 1
Luego para este cauce la ecuación de tránsito será:
O2 = Co*I2 + C1*I1 + C2*O1
O2 = 0.0654*I2 + 0.215*I1 + 0.720*O1

84. 79
79
Aplicando esta ecuación de tránsito se obtienen los valores que se muestran en la tabla
siguiente; en ella se ha asumido que el primer valor del caudal de salida del tramo es igual
al de entrada.
T(h) Q(m3/s) Co*I2 C1*I1 C2*O O
0 50 50
3 65 4.25 10.75 36 51
6 125 8.18 13.98 36.72 58.88
9 200 13.08 26.88 42.39 82.35
12 320 20.93 43 59.29 123.22
15 475 31.07 68.8 88.72 188.59
18 545 35.64 102.13 135.78 273.55
21 490 32.05 117.18 196.96 346.19
24 372 24.33 105.35 249.26 378.94
27 300 19.62 79.98 272.84 372.44
30 250 16.35 64.5 268.16 349.01
33 200 13.08 53.75 251.29 318.12
36 165 10.79 43 229.05 282.84
39 140 9.16 35.48 203.64 248.28
42 120 7.85 30.1 178.76 216.71
45 100 6.54 25.8 156.03 188.37
48 85 5.56 21.5 135.63 162.69
51 75 4.91 18.28 117.14 140.33
PROBLEMA 6.3.2
Se tiene dos subcuencas A y B, que confluyen en un punto aguas abajo de las mismas. En
dichas subcuencas se tienen los siguientes eventos de precipitación efectiva:
T(h)
Precipitación en A
(mm)
Precipitación en B
(mm)
0.5 5
1 3
1.5 4
2 2
2.5 3
Hasta el punto de confluencia, los parámetros de Muskingum para ambas cuencas son :
Subcuenca A Subcuenca B
Valor K(h) 10 6
Valor x 0.02 0.03

85. 80
80
El hidrograma unitario de media hora de duración para ambas subcuencas es:
T(h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Q(m3/s)/mm 0 1.8 30.9 85.6 41.8 14.6 5.5 1.8
Se pide calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas
subcuencas.
SOLUCIÓN
El hidrograma de escorrentía directa en la subcuenca A será:
T(h) HU(m3/s)/mm Qd = HU*5 Qd = HU*4 Qd = HU*2 QdR(m3/s)
0 0 0 0
0.5 1.8 9 9
1 30.9 154.5 0 154.5
1.5 85.6 428 7.2 435.2
2 41.8 209 123.6 0 332.6
2.5 14.6 73 342.4 3.6 419
3 5.5 27.5 167.2 61.8 256.5
3.5 1.8 9 58.4 171.2 238.6
4 22 83.6 105.6
4.5 7.2 29.2 36.4
5 11 11
5.5 3.6 3.6
y para la subcuenca B:
T(h) HU(m3/s)/mm Qd = HU*3 Qd = HU*2 QdR(m3/s)
0 0 0
0.5 1.8 0 0
1 30.9 5.4 5.4
1.5 85.6 92.7 0 92.7
2 41.8 256.8 3.6 260.4
2.5 14.6 125.4 61.8 187.2
3 5.5 43.8 171.2 215
3.5 1.8 16.5 83.6 100.1
4 5.4 29.2 34.6
4.5 11 11
5 3.6 3.6
Se transita el Hidrograma de escorrentía directa producido por la Subcuenca A hasta la
confluencia. Aplicando las ecuaciones del problema anterior los coeficientes de tránsito
serán: