Taller de la Semana 1 de Fundamentos de Matemática

1. FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICAS
TALLER DE L´OGICA
1. Suponga que 𝑝 es 2 es un n´umero par y que 𝑞 es 3
2
es un n´umero
racional. Por medio de palabras exprese las siguientes proposiciones
a) 𝑝 ∨ 𝑞
b) (𝑝∧ ∼ 𝑞) ⇒ 𝑝
c) ∼ 𝑝 ⇒ 𝑞
d) ∼ (𝑝 ⇒∼ 𝑞)
2. Utilizando las proposiciones 𝑝, 𝑞, 𝑟, ..., escribir en notaci´on simb´olica
las siguientes proposiciones
a) 𝑥 es un numero real y complejo, pero no irracional
b) 𝑦 no es un isosceles o 𝑦 tiene dos ´angulos iguales
c) No es cierto que 𝑝 sea rubia o elegante
d) 𝑝 es rubia o 𝑝 no es elegante
e) Sergio es doctor y Gustavo es Matem´atico.
f ) El ´arbol es alto y da mucha sombra.
g) Si corro entonces no llego tarde.
h) 7 − 2 = 5 o 2 + 3 = 5
i) 16 = 42 si y s´olo si 16 = 4 × 4.
j) No ocurre que el 3 sea n´umero par e impar.
k) No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiem-
po.
l) Si no estudio y no asisto a clases entonces no pasar´e el examen.
3. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) 7 + 2 = 5 o 2 + 3 = 5.
b) 16 = 42 si y s´olo si 16 = 4 × 4.
c) No ocurre que el 3 sea n´umero par e impar.
d) Si 2 > 3 y 1 > −5 entonces 2 > −4.
e) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si y s´olo si 1 + 1 = 4.
f ) Si 2 + 2 = 4, entonces no es cierto que 2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10.
4. Construir la tabla de las siguientes proposiciones
a) 𝑝∧ ∼ 𝑞
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2. FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICAS
TALLER DE L´OGICA
b) ∼ 𝑝 ⇒ 𝑞
c) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝
d) ∼ (𝑝 ⇔∼ 𝑞)
5. Verificar si las siguientes proposiciones condicionales son equivalencias
l´ogicas o no.
a) ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝∨ ∼ 𝑞 (Ley de Morgan)
b) ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝∧ ∼ 𝑞 (Ley de Morgan)
c) ∼ (𝑝 ⇒ 𝑞) ≡ 𝑝∧ ∼ 𝑞
d) ∼ (𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ 𝑝 ⇔∼ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ⇔ 𝑞
e) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) (Ley asociativa)
f ) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) (Ley distributiva)
g) ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝∨ ∼ 𝑞 (Ley de Morgan)
h) ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝∧ ∼ 𝑞 (Ley de Morgan)
i) ∼ (𝑝 ⇒ 𝑞) ≡ 𝑝∧ ∼ 𝑞
j) ∼ (𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ 𝑝 ⇔∼ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ⇔ 𝑞
k) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) (Ley asociativa)
l) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) (Ley distributiva)
6. Simbolizar los argumentos que se dan y utilice tablas de verdad para
verificar si son v´alidos o no.
a) Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro
plan.
No nos despedimos ahora.
Por tanto, no cumpliremos nuestro plan.
b) Si llovi´o la pasada noche, entonces la pista se ha limpiado.
La pista no se ha limpiado.
Por tanto, no llovi´o la pasada noche.
c) Este hombre es un abogado o un pol´ıtico.
No es un abogado.
Por tanto, no es un pol´ıtico.
d) Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se sepa-
rar´an con seguridad.
Si los estados del sur se separan, entonces estallar´a una guerra
civil.
Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallar´a una guerra
civil.
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3. FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICAS
TALLER DE L´OGICA
e) Si 5 > 3, entonces 7 > 3.
Si 7 > 3, entonces 5 > 0.
Por tanto, 5 > 0.
7. Julio Cesar, que siempre dice la verdad, le ha contado a su amigo Iv´an
lo siguiente: “Me gusta Liliana o Victoria, pero no ambas. Adem´as
si me gusta Liliana, me gustar´ıa tambi´en Victoria”. ¿Quien le gusta
realmente a Julio Cesar?.
8. Una prisi´on esta dotada de dos puertas: una conduce a la libertad y
otra a la muerte; en cada puerta hay un guardi´an que conoce la funci´on
de las dos puertas; cada guardi´an puede responder ´unicamente si o no;
uno de los dos siempre da una respuesta verdadera, el otro siempre una
respuesta falsa. El prisionero ignora cual dice la verdad y cual miente.
Le puede hacer una y s´olo una pregunta a uno de los guardianes. ¿
Qu´e pregunta debe hacer para poder determinar la puerta que conduce
a la libertad?
9. Exprese en forma simb´olica y escriba en forma simb´olica y verbal la
negaci´on de las siguientes proposiciones.
a) Todos los n´umeros racionales son enteros.
b) Existe un n´umero par que no es impar.
c) Todos los n´umeros primos son impares.
d) Ning´un conjunto es subcojunto de vac´ıo.
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