Ejercicios de matemática basica

1. UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Matematica Básica
Guia 01
__________Agosto 2015__________________
1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?
(a) x=x es un entero par y x2 = 9
(b) fx 2 Z=x + 18 = 18g
(c) x 2 Z=x2 3x 4 = 0
(d) fx 2 Z=x < 0g
(e) x 2 Z=6x2 + 5x 4 = 0
2. Determinar los elementos de cada conjunto
(a) A = números naturales x que satisfacen x2 = 16
(b) A = números enteros x que satisfacen x2 = 16
(c) C = fx 2 N=2x + 3 = 15g
(d) D = fx 2 Q= (2x + 1) (x 2) = 0g
(e) E = x 2 Z=x2 2x 3 = 0
(f) G = fx 2 N=5 < x < 12g
3. Si A = f2; 3; 5; 7g ; diga cuál de las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas.
(a) 5 2 A
(b) 3 A
(c) f7g A
(d) f3; 5g 2 A
4. Dados los siguientes conjuntos A = f7x + 2=x 2 Zg ; B = f7x + 26=x 2 Zg ; C =
f4x + 1=x 2 Zg y D = f2x + 1=x 2 Zg, analizar y justi…car debidamente su con-
clusión en los siguientes casos
(a) A = B
(b) C = D
5. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
1

2. (a) A = x=x3 7x + 6 = 0
(b) B = x=6x2 5x + 1 = 0
(c) C = fx 2 N=x 3 _ 5 < x < 7g
(d) B = x2 1=x 2 Z ^ 1 x 3
(e) B = f3 5x=x 2 Z; 2 x < 5 ^ 3 < x 8g
6. Sea U = f1; 2; 3; 4; 5; 9g el conjunto universal, si A = x2=x 2 U hallar A y Ac por
extensión.
(a) Sea A = x+1
2 =x 2 Z; 0 < x < 4 y B =
n
x2 1
2 =x 2 Z; 2 x 3
o
determi-
nar cual de las relaciones se cumplen A B; B A; A = B:
7. Si A = x 2 N=x3 3x2 6x + 8 = 0 y B = x+1
2 =x 2 Z; 4 < x 3 determi-
nar cual de las relaciones se cumplen A B; B A; A = B:
8. Dibujar el diagrama que aparece a continuación tantas veces como sea necesario, para
representar, por sombreado, cada uno de los conjuntos que a continuación se indican
1. (a) A B
(b) A C
(c) A B C
(d) A [ B
(e) Ac Bc
(f) A B
(g) (A B)c
(h) (A [ B)c
(i) A [ Ac
(j) A Ac
(k) [A (B [ C)]c
2

3. (l) [A [ (B C)] [A B C]
(m) fA (B C)g 4 (A [ Ac)
(n) A (B [ C)
(o) [A (B [ C)] 4 [A (B [ C)c
]
2. Si los conjuntos son unitarios A = fx + y; 12g ; B = fx + y; 14g ; C = fy + z; 16g :
Hallar x + y + z
3. Determinar por extensión A = f(2x 1) =x 2 N; 3 x < 6g
4. Determinar por comprensión A = 2; 23; 25; 27
5. Determinar por extensión M = x 2 Z=x2 3x 4 = 0
6. Determinar por extensión P = x 2 Z=2x4 3x3 3x2 + 2x = 0
7. Dados los conjuntos A = f0; 1; 2g ; B = f0; 2; 4g : Hallar el número de subconjuntos
que tiene el conjunto A B:
8. Marilú come frijoles y/o arroz chaufa en su almuerzo cada dia durante el mes de
marzo. Si come 24 dias frijoles y arroz chaufa 19 dias. ¿Cuántos dias comio frijoles
con arroz chaufa?
9. De 73 alumnos, 36 estudian en el dia, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos
estudian en sólo dos turnos, si sólo uno estudia en los tres turnos?.
10. De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNI; 109 no postulan a San marcos y 70
no postulan a ninguna de estas dos universidades. ¿Cuántos postularán a ambas
universidades?.
11. De un grupo de 109 personas; 60 juegan futbol; 44 juegan tenis; 45 juegan voley y
6 juegan los tres deportes. ¿Cuántos juegan solamente un tipo de deporte, sabiendo
que éstos pre…eren por lo menos un deporte?.
12. De 3750 personas consultadas acerca de su preferencia por los productos A,B y C se
obtuvo el siguiente resultado: El número de personas que pre…eren los tres productos
es 1
6 de los que pre…eren sólo A, 1
4 de los que pre…eren sólo C, 1
3 de los que pre…eren
B y C, 1
5 de los que pre…eren A y C e igual a la mitad de los que pre…eren A y B.
¿Cuántas personas pre…eren sólo A?. Si 114 personas pre…eren sólo el producto B.
13. En un salon de clases hay 72 alumnos que se preparan para postular a la UNI o
la Católica. La cantidad de postulantes a la UNI es el quíntuplo de quienes sólo
postulan a la Católica; la cantidad de los que sólo postulan a la UNI es el triple de
los que postulan a las dos universidades. ¿Cuántos postulan sólo a una universidad?.
3

4. 14. De 40 personas se sabe que: 15 no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3
personas estudian y trabajan. ¿Cuántos realizan sólo una de las actividades?.
15. De 200 alumnos que dieron exámenes, se observó que 56 estudian Matemática, 60
Física, 84 Química, 16 Matematica y Fisica, 20 Matemática y Quimica, 10 Fisica
y Quimica y los tres cursos 6 alumnos. ¿Cuántos no estudian ninguno de los tres
cursos?.
16. Si A = h 1; 2], hallar Ac
17. Si A = h1; 11] y B = [7; 18i : Hallar A B y A [ B
18. Si A = h 7; 1i [ h0; 6] ; B = h 1; 1] [ [4; 8i : Hallar
(a) Ac
(b) A B
(c) (A [ B)c
19. Si A = h 1; 4] [ [4; 6i y B = [ 12; 6i [ h5; 7] ; encontrar (A [ B) (A B)
20. Si A = fx 2 R= 3 < x 5g ; B = fx 2 R=2 x 7g y C = fx 2 R=4 x 5g :
Hallar:
(a) A [ B [ C
(b) (A B) (A [ C)
(c) (A [ B)c
(A B)c
21. Simpli…car los siguientes conjuntos:
(a) (h 2; 0] [ h 1; 5i) [ 2; 10]
(b) (h 2; 3i [ h0; 4]) [2; 6]
(c) (h 2; 3] [ [2; 6]c
) [ (h0; 4i (h 1; 2i [ h6; +1i))
22. Simpli…car y expresar en términos de reuniones de intervalos:
(a) [2; 7i 4 h0; 1i
(b) h1; 4i 4 (h2; 6i [ h0; 1i)
(c) [2; 9] f(h 1; 3]c
[ [3; 6]) h2; 8]g
(d) (h 1; 5i [ h6; 12i) 4 f1; 7g
23. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
4

5. (a)
2p q = 3
p = 5 3q
(b)
7x 8y = 4
x
2 + y
3 = 3
(c)
x+y
2
x y
3 = 8
x+y
3
x y
4 = 11
(d) x
4 + y
5 + 1 = x
5 + y
4 = 23
(e)
x 2y
3 = 2 + 2x+3y
4
3x 2y
2 = y+5x+11
4
(f)
5x 7y + 2 = 0
15x 21y = 7
(g)
2u 3v = 12
u
3 + v
2 = 4
(h)
x + 2y = 4
3x + 6y = 12
(i)
2p + q = 3
2
3 p + 1
3 q = 1
(j)
8
<
:
x + y = 3
y + z = 5
x + z = 4
(k)
8
<
:
x + 2y = 1
3y + 5z = 7
2x y = 7
(l)
8
<
:
x + y + z = 6
2x y + 3z = 9
x + 2y + z = 6
(m)
8
<
:
x + 2y z = 3
3y + 4z = 5
2x y + 3z = 9
(n)
8
<
:
3x1 + 2x2 + x3 = 6
2x1 x2 + 4x3 = 4
x1 + x2 2x3 = 5
(o)
8
<
:
2u 2v 4w = 13
u + v + w = 6
3u + 2v w + 1 = 0
5

6. 24. Dos metales, X e Y pueden extraerse de dos tipos de mineral, I y II. Cien libras de
mineral I producen 3 onzas de X y 5 onzas de Y, por otro lado, 100 libras del mineral
II producen 4 onzas de X y 2.5 onzas de Y, ¿Cuántas libras de los minerales I y II se
requieren para producir 72 onzas de X y 95 onzas de Y?
25. Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada producto tiene que ser procesado
por dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere 1 hora de procesamiento
de la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere 3
horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible
300 horas al mes y la máquina II 350 horas, ¿Cuántas unidades de cada tipo podrá
fabricar al mes si utiliza el tiempo total que dispone en las dosmmáquinas?
26. Una compañía tratamde adquirir y almacenar dos tipos de artículos X e Y. Cada
artículo X cuesta $3 y cada artículo Y cuesta $2.50. Cada artículo X ocupa 2 pies
cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupa un espacio de 1 pie cuadrado
del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse si se
dispone de $400 para la adquisición y 240 pies cuadrados de espacio para almacenar
estos artículos?
27. Una tienda vende dos tipos de café, uno a $2.00 el kilo y el otro a $1.50 por la misma
cantidad. El propietario de la tienda produce 50 kilos de un nuevo producto de café
mezclando estos dos tipos y vendiéndolo a $1.60 el kilo. ¿Cuántos kilos de café de
cada tipo deberá mezclar para no alterar los ingresos? Un almacén de productos
químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y
la otra contieme 15%. ¿Cuántosmgalones de cada tipo deberá mezclar para obtener
200 galones de una mezclaque contenga 18% de ácido?
28. Un pez de la especie 1 consume por día 10 gramos de comida 1 y 5 gramos de comida
2. Un pez de la especie 2 consume por día 6 gramos de comida 1 y 4 gramos de comida
2. Si un mediomambiente dado tiene 2.2 kilogramos de comida 1 y 1.3 kilogramos
de comida 2 disponible diariamente, ¿Qué tamaño de población de las dos especies
consumirá toda la comida disponible?
29. Hallar el dominio y rango de las relaciones en A :
A = f1; 2; 3; 4; 5g
R1 = f(x; y) 2 A A=x + y = 7g
R1 = f(x; y) 2 A A=x + y 4g
30. Sea B = f1; 2; 3; 4g y las relaciones:
R1 = f(x; y) 2 B B=x = yg
R2 = f(x; y) 2 B B=x < yg
6

7. R3 = f(x; y) 2 B B=y > xg
Hallar: n (R1) + n (R2) + n (R3)
31. Sea A = fx 2 N=x 9g
R = (x; y) 2 A2=y = x2
S = (x; y) 2 A2=y = 2x
T = (x; y) 2 A2=x < 4 ^ y > 7
Hallar n (R) + n (S) + n (T)
32. Si R = f(x; y) 2 N N=x + y = 6g Hallar el número de elementos del rango de la
relación R:
33. Dada la relación R = (x; y) 2 N2=x + y = 5 : Hallar: Dom (R) Ran (R)
34. Dada la relación R = (x; y) 2 N2=x + 3y = 12 : Hallar: Ran (R) Dom (R)
35. Sea A = f 2; 1; 0; 1; 2g : Si R = (x; y) 2 A2=x2 + y2 = 5 : Hallar: Dom (R)
Ran (R) :
36. Si: A = x 2 Z=x3 = x
R = (x; y) 2 A2=y2 = x2 : Entonces, n (R) es:
37. Se de…ne las relaciones:
R1 = f(1; a) ; (2; b) ; (3; c) ; (3; d) ; (4; d)g
R2 = f(a; 2) ; (c; 3) ; (c; 4) ; (d; 1)g
(x; y) 2 R3 , (x; z) 2 R1 ^ (z; y) 2 R2
Hallar: Ran (R3) Dom (R3)
38. Consideramos las siguientes relaciones de…nidas en Z :
R = f(2; 3) ; (4; 6) ; (9; 3) ; (5; 13) ; (8; 9)g
S = f(2; 4) ; (4; 6) ; (8; 9) ; (6; 4) ; (5; 12)g
¿Cuántas de las siguientes a…rmaciones osn verdaderas?
(a) (2; 3) 2 (R S)
(b) (4; 6) =2 (R S)
(c) (5; 13) 2 (R S)
(d) S (R [ S)
7

8. 39. Sea A = f 2; 1; 0; 1; 2g
R1 = (x; y) 2 A2=y x 2 = 0
R2 = (x; y) 2 A2=y x2 = 0
Hallar la suma de todos los elementos de los pares ordenados comunes a R1 y R2:
40. Si A = f2; 3; 5; 8; 10; 12g
R1 = f(x; y) 2 A A=x es un número par ^ x = yg
R2 = f(x; y) 2 A A=x = 2y + 2g
¿cuántas de las siguientes a…rmaciones son falsas?
(a) R1 tiene 9 elementos.
(b) R2 tiene 4 elementos.
(c) R1 R2 = ?
8