Estadística, teoremas de probabilidad.

1. Profesora : Ing. Ranielina Rondón
(Septiembre de 2017)
Alumno : Esteban García
Electricidad, sede puerto la cruz.
Estadística

2. “Teoría de la Probabilidad”
Teoria de conjunto : La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia
las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos,
consideradas como objetos en sí mismas.
Características :
-La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado
un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto
-Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el
conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
-Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
-El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma
tabular, extensión o enumeración de los elementos.
-Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
-En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
Membresia
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el
contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará
cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .

3. Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B
Subconjunto
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general
si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo
elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se
indicará con una diagonal Ë .
Note que Îse utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.
Universo
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el
nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se
denota con la letra U.
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto
queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la
letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z
donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de
dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el
cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

4. • Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es
decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos
por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se
hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la
notación llamada comprehensión.
Operaciones con conjunto
- unión
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
-intersección
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama
intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
- conjunto vació
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que
denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

5. A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso
se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
-Conjuntos ajenos
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos
les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
-Complemento
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U
que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión
como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:A'= { 2, 4, 6, 8 }
-Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los
elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }

6. En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no
estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
Definición de experimento estadístico
Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o
no numéricos.
Un conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de un
experimento se llama espacio muestral y se representa como S. El espacio muestral de un
experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra
valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.
Sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio
muestral.
Existen dos tipos de sucesos:
· Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.
· Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral.
Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral
o unión de sucesos simples.
Un diagrama de árbol :es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades
se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se
pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Se emplea para descomponer una meta u objetivo en una serie de actividades que deban
o puedan hacerse. A través de la representación gráfica de actividades se facilita el
entendimiento de las acciones que intervendrán.
Cómo se elabora
Establezca el objetivo que se analizará a través del diagrama de árbol. Es muy importante
que el objetivo quede claro para todos y que esté expresado de manera activa.

7. Arme el equipo adecuado. Se sugiere un equipo de 4 a 8 participantes. Considere que
aquellos que seleccione deberán estar involucrados en la problemática a fondo para
aportar soluciones y que el diagrama de árbol cuente así con los niveles de análisis
necesarios.
Genere el mayor número posible de “cabeceras del diagrama de árbol” Esto es las ideas o
sub-objetivos hacia los que se enfocarán las acciones para lograr el objetivo principal.
Descomponga cada “cabecera” o título principal en mayor detalle. Vaya acomodando
las ideas por subtemas llegando a tres o cuatro niveles.
Detenga la descomposición de temas cuando ya se perfilen tareas específicas a realizarse.
Revise el diagrama de árbol. Asegúrese de que tiene un flujo lógico y que esté lo más
completo posible.
Pregunte al equipo si observa algún punto que sea muy obvio y se haya olvidado incluir.
Pregúntese junto con el equipo si las tareas resultantes son necesarias para lograr el
objetivo.
Ventajas
Exhorta a los integrantes del equipo a ampliar su modo de pensar al crear soluciones.
Mantiene a todo el equipo vinculado a las metas y submetas generales de una tarea.
Mueve al equipo de planificación de la teoría al mundo real.
Ejemplos:
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino),
tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).
Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?

8. N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de
clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN,
MBA, MBB, etc, etc.
Espacio muestral : es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio. A cada uno de sus elementos se los denomina como punto muestral o,
simplemente, muestra.
Un evento : es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los
eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la
característica de ser subconjuntos de S ((A, B, C) Ì S). Los eventos pueden ser:
Evento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. S = A Þ #S = #A. Por
ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.
Evento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado
obtener una puntuación igual a 7.

9. Eventos compatibles, dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algún eventos
elemental común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener
múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un evento elemental común.
Evento incompatibles, dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún
elemento en común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener
múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Eventos independientes, dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad
de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos
dados los resultados son independientes.
Eventos dependientes, dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de
que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas de
una baraja, sin reposición, son eventos dependientes.
Evento contrario, el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se
realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
Probabilidad :
El enfoque clásico : Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un
evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados
son igualmente posibles y mutuamente excluyente.
El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea
igualmente posible además que permite calcular el valor de probabilidad antes de
observar cualquier evento de muestra.
El enfoque de frecuencia relativa :
Determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento
favorable en un número de observaciones. Ya que los valores de probabilidad se basa en
la observación y recopilación de datos.
El enfoque subjetivo
Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de
un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición.
Al ver todos esto enfoques llegamos a la conclusión, que los cálculos de probabilidad es el
conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando
la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría.

10. Teoremas de Probabilidad
Teorema 1: la probabilidad del evento vació es igual a cero.
P(∅)=0
Teorema 2: si A1, A2, ...... son no eventos mutuamente excluyente, entonces
P( ⋃∞1Ai⋃1∞Ai )= ∑∞i=1∑i=1∞ P(∅)
Teorema 3:
Para cualquier evento A se cumple que P(Ac)=1-P(A)
Teorema 4:
Para cualquier evento A se cumple que 0<= P(A)<=1
Teorema 5:
Si A y B son 2 eventos cualesquiera, se cumple:
P(AUB)= P(A)+P(B) - P(A∩B)
Teorema 6
Si A y B son eventos tales que A ⊆ B
i) P(A)≤ P(B)
ii) P(B-A)=P(B) - P(A)
Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos A y B (), se llama probabilidad de A condicionada a B y se
escribe P ( A / B ) a la probabilidad que existe de que ocurra el suceso A considerando
que antes ha ocurrido el suceso B.
Si suponemos que ha ocurrido B, tendremos un nuevo espacio muestral, B =  
B = B , y así:
P ( A / B ) = nº de casos favorables en AB =
nº de casos posibles en B

11. nº de casos favorables en AB
nº de casos posibles en 
= __________________________ = P ( A  B )
nº de casos posibles en B P ( B )
nº de casos posibles en 
Por lo tanto:
P ( A / B ) = P ( A  B )
P ( B )
Ejemplo :
En un juego de dados, hemos apostado por el 2. Se tira el dado, y antes de ver el
resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.
Sea A = {obtener un 2 al lanzar un dado}
Sea B = {obtener un nº par al lanzar un dado}
P ( A ) = 1 y P ( B ) = 3
6 6
Por la expresión de la probabilidad condicionada, P(A/B) = P(AB)
P(B)
Notar que A  B = {obtener un 2}  {obtener un nº par} =
= {obtener un 2} , por lo que P ( A  B ) = 1
6
Así, P ( A / B ) = P ( A  B ) = 1 / 6 = 1
P ( B ) 3 / 6 3

12. El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso
a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si
hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la
probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la
probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un
accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas
de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y
cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema
de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad
de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que
ocurra un accidente).mientras que en el Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el
suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba
lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Importancia de la estadística en el campo laboral :
La estadística es de gran importancia desde cualquier área profesional ya que ayudan a
lograr una adecuada planificación y control apoyados en los estudios de pronósticos,
presupuestos entre otros. Es una ciencia que se encarga de la recolección y estudio de

13. datos, la cual ha ido evolucionando al pasar de los años cada vez siendo aplicada en más
áreas del saber, como:
* En las ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos
termodinámicos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la
teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos.
* En ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la
sociología aplicada.
* En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre
múltiples parámetros macro y microeconómicos.
* En las ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las
enfermedades y los enfermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos,
el grado de eficacia de un medicamento entre otros.
El objetivo de la aplicación de cualquier técnica estadística va a estar orientado
siempre hacia la mejora del nivel de eficiencia en la toma de decisiones desempeñando
una mejor labor y grandes aportes en el ámbito profesional. Está enfocada en, una
gestión óptima se caracteriza por una utilización racional y sensible de los recursos, tanto
económicos como naturales, compatible con el fin de maximizar beneficios.