Este documento resume los conceptos clave de las expresiones algebraicas. Explica qué son las expresiones algebraicas, monomios, polinomios, sumas y productos de monomios, y cómo calcular valores numéricos de expresiones sustituyendo valores. También cubre clasificación de expresiones algebraicas, grado de polinomios, y operaciones como multiplicación y división con monomios.

1. Contenido Analítico PIU noviembre 2023
Unidad Curricular: Pensamiento Estratégico Matemático
Ing. MSc. Barmen Gutiérrez Barboza
Email: barmengutierrezb@gmail.com, Teléfono: 04264948735
Objetivo 2: Expresiones Algebraicas
 Clasificación de expresiones algebraicas
 Polinomio: definición, elementos, operaciones
 Potenciación
 Productos notables
 Factorización
Para un buen desempeño con el tema de las expresiones algebraicas, es
necesario:
1. Un buen dominio en las propiedades y operaciones básicas del Aritmética.
2. Tener muy en cuenta las Leyes de los Signos (multiplicación y división).
3. Tener buena habilidad y destreza en realización de cálculos en los que
intervienen operaciones con signos de agrupación ( ), [ ], { },
Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
El lenguaje numérico expresa la información matemática a través de los números,
pero en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar números
desconocidos.
El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y
números.

2. Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signo de
operaciones. Relacionados mediante operaciones aritméticas. Adición,
sustracción, multiplicación, división y potenciación
Así, x+2 es una expresión algebraica formada por la letra X, el signo + y el número
2. Esta expresión algebraica puede leerse como un número más dos.
Ejemplo 4y-3xy+7; donde 4y-3xy+7 son términos.
Entonces, un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo
o de varios símbolos separados únicamente por la multiplicación o la división.
Aquí no hay sumas ni restas para separarlos.
Grado absoluto de un término: Se denomina grado absoluto de un término
algebraico a la suma de los exponentes de sus factores literales:
5x3, este término es de grado tres, -5x3y4, es de grado 7, porque la suma de los
exponentes de sus factores literales es 3 + 4 = 7.
Grado relativo: Está dado por el exponente de la variable considerada (con
relación a una letra). -5x3y4: Es de 3º grado con respecto a la variable (x) ahora si
-5x3y4: Es de 4to grado con respecto a la variable (y)
Para escribir una expresión algebraica debes tener en cuenta que puedes sustituir
el signo x de la multiplicación por el signo o bien puedes suprimirlo. 3 x x2 → 3 *
x2 → 3x2 y también que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1. 1x5
→ x5 8x1 → 8x

3. Traducción de enunciados
Como has visto el lenguaje algebraico permite expresar operaciones con números
desconocidos. Así, se puede representar la suma de dos números como X+Y y el
triple de la suma de dos números como 3 (x+y). Por ejemplo, Observa la
siguiente suma:
Si 3, 5,9 es el número ¿Cuáles son los números de a y b?
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏𝑐𝑐
=
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏33
=
112
121
233
;
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏𝑐𝑐
=
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏55
=
223
232
455
y
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏𝑐𝑐
=
𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑏99
=
455
454
499
1. Extraemos 12 fichas de una bingo que contiene x fichas. La expresión
algebraica que da el número de bolas que quedan es x – 12.
2. Si la edad de Patricia es x y Juana tiene el quíntuple de la edad de Eduard más
cuatro años, se puede expresar la edad de Juana como 5x+4 y si Antonio tiene
el doble de la edad de Juana, se puede expresar la edad de Antonio como 2
(5x+4).
3. Si Simón tiene x teléfonos y Johana tiene el triple de los teléfonos que tiene
Simón más 6 se puede expresar el número de laptops que tiene Johana como
3x+6.
4. Si el precio de un cargador es x soberanos y el de un auricular y soberanos, el
precio de 8 cargadores y 4 auriculares se puede expresar como 8x+4y.

4. Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas.
Las expresiones algebraicas indican operaciones con números desconocidos.
El valor numérico de 4x3 – 6x2 para x=2
4*23 – 6*22 = 4*8 – 6*4 = 32 – 24 = 8
4 (2*2*2) – 6 (2*2) = (4*8) – (6*4) = 32 – 24 = 8
Ejemplos.
1.- Si un Docente Universitario de la UPTYAB cobra 290 Soberanos al mes por el
por Formar de estudiantes y 18 Soberanos por cada hora, la expresión algebraica
290+18x; indicar el monto que cobrará por un número desconocido x de horas de
trabajo. Y si queremos averiguar cuanto cobrará por trabajar 3 horas sustituiremos
x por 3. Y queda 290+18x `para x=3 290+ (18*3)= 290+54 = 344 Soberanos.
De esta forma hemos hallado el valor numérico de 290+18x para x = 3; y hemos
obtenido 344.
2.- Si el precio de alquiler de un Vehículo en UPTYAB es de 1225 Soberanos
diarios más 0,54 soberanos por km recorrido, la expresión algebraica
1225x+0,54y, e indicar el precio que se debe pagar por alquilar x días un vehículo
Y recorrer y km.
Podemos hallar el precio que se debe pagar por alquilar un vehículo 2 días y
recorrer 356 km sustituyendo la x por 2 y la y por 512. Obtenemos lo siguiente.

5. 1225*2+ (0,54*512)=2 540+276,48= 2726,48 Se deberán pagar 2726,48
Soberanos
3.- Representamos por x el número de vehículos que hay en un estacionamiento
en la UPTYAB en el intensivo PIU Noviembre 2023 y por y el número de motos.
Escribe una expresión algebraica que indique el número de ruedas que hay en
total
Mediante la expresión algebraica hallada calcula el número total de ruedas si en
el estacionamiento hay 57 vehículos y 24 motos.
Ruedas de vehículos → 4x Ruedas de motos →2y Total 4x+2y Hallamos el valor
numérico de 4x + 2y para x = 57; y= 24
4*57 + 2*24 = 228 + 48 = 276, En el estacionamiento hay 276 ruedas.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Polinomio
Grado de un
Polinomio
Absoluto
Operaciones con
Polinomios
Monomios
(1er Término)
Monomios
(2do Término)
Monomios
(3er Término)
Monomios
(4to Término)
Relativo
Multiplicación
Resta
División
Suma
Potenciación
Radicación

6. Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un
monomio.
Monomios
Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x²y³z, o 8m3n2 - 2mn2. – 4x+3y
Partes de un monomio El coeficiente del monomio es el número que aparece
multiplicando a las variables.
Ejemplos:
1) 6xy 2) –0,4xy 3) 7ab 4) -2xyz 5) 94abc 6) 5xz
Debes tener en cuenta que en un monomio hay:
1. un factor numérico que se llama coeficiente, que en los ejemplos anteriores
serían: 6,-0.4, 7,-2, 94, 5 respectivamente,
2. Una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal,
como son xy, xy, ab, xyz para nuestros ejemplos anteriores.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. El grado de un
monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado
de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Grado 5
8x5
Coeficiente 8
Parte Literal x5

7. Llamamos
Binomio: a la suma o resta de 2 monomios
Trinomio: a la suma o resta de 3 monomios
Cuatrinomio: a la suma o resta de 4 monomios. El resto de los polinomios se los
denomina según el número de monomios que tengan de la siguiente manera, por
ejemplo si el polinomio tuviera 6 monomios, lo llamaríamos polinomio de seis
términos.
Ejemplos
Binomio: 5a3b2 c - 3x2y4
Trinomio: 6a3b2c - 3x2y3 + 9ax7
Cuatrinomio: 3ax3 + 2bx2- 5x + 5
Polinomio de cinco términos: 7bx - 3ax - 6bx2 + 9x2y3 + 2ax
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
4x3 y2 z es semejante a 6x3 y2 z
Par sumar o restar monomios semejantes se suman o se restan los coeficientes
y se deja la misma parte literal. Ejemplos
15x3 y 7x3 tienen la misma parte literal, son semejantes.
1.- 15x3 + 7x3 = 22x3 y si restamos 15x3 - 7x3 = 8x3

8. 2.- 9x3 + 5x3 = 14x3 y si restamos 9x3 - 5x3 = 4x3
Si tenemos 3x -x3 + 4x = 7x2 - x3 reducción de términos semejantes
Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado.
3x3b3+ 3a2x4+ 3 b2c2z2 todos los términos son de 6º grado
3x2b3+ 3ax4+ 3 b3cz todos los términos son de 5º grado
Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto a las potencias
crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un
exponente mayor o igual que en el anterior y está ordenado con respecto a las
potencias decrecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término
con un exponente menor o igual que en el anterior.
Ejemplos:
6-4ab5+7a2b-3a7 ordenado en forma creciente respecto de la letra a
12ab3- b2– 4 ordenado en forma decreciente respecto de la letra b
3.- En el Centro de Estudiantes de la UPTYAB (FEUV) hay x celulares BLU y el
quíntuple de celulares Tecno más once, es decir 5x+11 celulares Tecno.
Podemos expresar algebraicamente la suma de celulares que hay en el centro de
Estudiantes la UPTYAB (FEUV) como: x+ 5x+11 = 5x+11; Podemos expresar la
diferencia de celulares Tecno y BLU como: 5x+11- x = 4x + 11.
Suma de Monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes.

9. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes a xn+ b xn = (a + b) bxn
2x2 y3 z + 3x 2y3 z = 5x2 y3 z Si los monomios no son semejantes se obtiene un
polinomio
Producto de un número por un monomio El producto de un número por un
monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del
coeficiente de monomio por el número.
5 x 2x 2y3 z = 10x 2y3 z; 7x3 x 6x5 = 7 x 6 x3 x x4 = 42 X7
Producto de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene
por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de
las potencias.
axn x bxm = (a x b) bxn+m 4x4 y3 z x 2 y7 z5 = 8x4 y10 z6
Cociente de monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por
coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo
entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
6𝑥4
𝑦8
𝑧3
3𝑥2𝑦4𝑧3
= 3𝑥2
𝑦4
Las dimensiones de un rectángulo, se puede expresar
algebraicamente su área como 6x x 5x = 30x
6x
5x

10. 12𝑥6
𝑦4
𝑧10
4𝑥3𝑦2𝑧10
= 3𝑥3
𝑦2
Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva,
cada elemento de éste, al exponente de la potencia
(axn)m = am x bxn x m
(3 x3)3 = 33 (x3)3 = (3*3*3) 27x27
(2 x3)3 = 23 (x3)3 = (2*2*2) 8x8
(-3x2)3 = (-3)3 x (x3)2 = (3*3*3) x (X3*2) = −27x6
Concepto de polinomio de una sola variable
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn-2 +... + a1 x1+ a0
Siendo a n, an - 1... a1, ao números, llamados coeficientes.
n = un número natural.
x = la variable o indeterminada.
an = es el coeficiente principal.
ao = es el término independiente
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada
la variable x. Tipos de polinomios El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes
nulos.

11. Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente
hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3+ 3x 2+ 5x – 3 P(x) = 6x3+ 7x 2+ 8x – 9
Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo
forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3+ 5x – 3 P(x) = 7x2+ 10x -5
Tipos de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero P(x) = 3
Polinomio de primer grado P(x) = 4x + 5
Polinomio de segundo grado P(x) = 6x2 + 7x + 5
Polinomio de tercer grado P(x) = x3 - 4x2 + 9x + 3
Polinomio de cuarto grado P(x) = x4+ x3- 4x2+ 5x + 2
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la
variable x por un número cualquiera.
P(x) = 4x3+ 6x - 3; (x = 1) = P (1) = 4 x 13 + 6 x1 -3 = 4 + 6 -2 = 10-2 = 8
P(x) = 4x3+ 6x - 3; (x=2) = P (2) = 4x23 + 6 x 2 – 3 = 24+12-1 = 36-1 = 35
Suma de polinomios

12. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo
grado. P (x) = 6x3 + 6x - 9 y Q (x) = 2x - 5x2 + 3x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q (x) = 3x3 - 5x2 + 2x P(x) + Q(x) = (6x3 + 6x - 9) + (3x3 - 5x2 + 2x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P (x) + Q (x) = 6x3 + 3x3 - 5x2 + 6x + 2x - 9
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q (x) = 9x3 - 5x2 + 8x – 9 y obtenemos el resultado
Resta de polinomios: La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del
sustraendo.
P (x) – Q (x) = (2x3 + 7x - 6) − (2x3 - 5x2 + 4x)
P (x) – Q (x) = 2x3+ 7x - 6 − 2x3+ 5x2− 4x
P (x) – Q (x) = 2x3 − 2x3 + 5x2 + 7x − 4x – 6
P (x) – Q (x) = 5x2 + 3x – 6
Producto
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes
el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 x (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

13. 4 x (5x4 - 6x3 + 4x2 - 2x - 7) = 20x4 - 24x3 + 16x2 + 8x – 28
6 x (3x5) + 8x4 - 5x3 + 9x2 -15x +12 = 18x5 + 48x4 - 30x3 + 54x2 - 90x + 72
Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y
cada uno de los monomios que forman el polinomio. (Se suman los exponentes)
6x2 * (4x3 - 5x2+ 6x - 7) = (6x2 * 4x3) (6x2 * 5x2) (6x2 * 6x) (6x2 * 7)
Queda el resultado = 24x5- 30x4+ 36x3- 42x2
Producto de polinomios
P(x) = 4x2 - 5 Q (x) = 3x3- 6x2+ 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
P (x) * Q (x) = (4x2 - 5) x· (3x3 - 6x2+ 4x) = 12x5− 24x4+ 16x3− 15x3+ 30x2−20x
Se suman los monomios del mismo grado. = 12x5− 24x4+ x3+ 30x2 − 20x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
Cociente de polinomios o División de Polinomios
Se divide el cociente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación
se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que
tiene el divisor
Resolver el cociente: P(x) = x5+ 2x3 – x – 8 Q (x) = 3x2 – 2x+1

14. P (x): Q (x) o P (x) / Q (x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no
es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan
A la derecha situamos el divisor en una caja
X5+ 2x3 - x - 8
Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y el primer
monomio del divisor. X5 / X2 = X3 o X5: X2 = X3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo.
X5+ 2x3 - x - 8
-x5 +2x4- x -8 x3 +2x2
2x4- x - x3
-2x4+4x3-2x2 procedemos igual que antes
5x3 +2x2-x-8
5x3:+x2 = 5x
X5+ 2x3 - x - 8
-x5 +2x4- x3 x3 +2x2+5x
2x4- x3 –x-8
-2x4+4x3-2x2
5x3 -2x2 -x -8
-5x3+10x2-5x
8x2 -6x-8 volvemos hacer las mismas operaciones 8x2: x2 =8
X5+ 2x3 - x - 8 x2 -2x+1
-x5 +2x4- x3 x3 + 2x2 +5x+8
X2 – 2x+1
X2 – 2x+1
X2 – 2x+1

15. 2x4- x3 –x-8
-2x4+4x3-2x2
5x3 -2x2 -x -8
-5x3+10x2-5x
8x2 -6x -8
-8x2+16x-8
10x-16
10x-16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por lo tanto no
se puede continuar dividiendo x3+2x2+5x+8 es el cociente
Otro ejemplo de división 3x2+ 2x - 8 entre x+2
3x2+ 2x - 8 x3 +2x2
-3x2 -6x 3x+4
-4x - 8
4x+8
Ejemplo de división 3a5 -21a4b 10a3b2+ 64a3b2+32ab4 entre a3-4ab2 -5a2b
3a5 -21a4b 10a3b2+ 64a3b2+32ab4 a3 - 5a2b - 4ab2
3a5 +15a4b +12a3b2 3a2 -6ab -8b2
- 6a4b +22 a3b2+64a2b3
6a4b -30a3b2 -24a2b3
-8a3b2 + 40a2b3 +32ab’
8a3b2 + 40a2b3 +32ab’
Productos notables o identidades notables
Binomio de cuadrado
a+b

16. (a+b)2 = a2+ab+ab+b2
Ecuación 1. (a+b)2 = a2-2ab+b2 Ecuación 2 (a-b)2 = a2+ab+ab+b2
Sustituimos Ecuación 1
(X+3)2 = x2 + 2 x 3 +3x2 = x2 + 6 +9
Sustituimos en Ecuación 2
(2x – 3)2 = -2 x 2x x 3 + 3 = 4x2 -12x +9
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos,
el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados
(a+b) x (a –b) = a2 - b2
(2x+5) (2x-5) = (2 x)2 – 52 = 4x2 – 25
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
ab
a2
b2
ab
b
a
b
a
a b
a+b

17. 𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
= 𝑄(𝑥) ≠ 0
P (x) es el numerador y Q (x) es el denominador
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
𝑦
𝑅(𝑥)
𝑆 (𝑥)
Son equivalentes y lo representamos por
𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
=
𝑅(𝑥)
𝑆 (𝑥)
Si se verifica que P (x) x S (x) = Q (x) x R (x).
𝑥+2
𝑥2+4
=
1
𝑥−2
𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (𝑥 + 2)𝑥(𝑥 + 2) = 𝑥2
− 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de
dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es
equivalente a la dada
𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
=
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑥 𝑀(𝑥)
𝑥 𝑀 (𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
=
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
: 𝑀(𝑥)
: 𝑀 (𝑥)
Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar una fracción
algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un
polinomio que sea factor común de ambos.
𝑥2
+ 4𝑥 + 4
𝑥2 − 4
=
(𝑥 + 2)²
(𝑥 + 2)𝑥 (𝑥 − 2)
=
(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)