Expresiones Algebraicas

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
INTEGRANTES:
Eddimar Soto CI: 25.421.540
SECCION:
Profesor:
Barquisimeto, Marzo del 2021

2. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números
y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas.
Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del
lenguaje habitual.
Término.
Un Término separamos de otro, con los signos más o menos:
Un Término consta de dos partes: coeficiente y factor literal. Coeficiente: Es el número
que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra, recuerda que lleva el 1).
Factor Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.
Tipos de expresiones algebraicas
monomio binomio trinomio
3x 2x + 4 X2 + x + 5
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.
Operaciones con monomios
 Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.

3. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn= (a + b)x n
Ejemplo: 2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes,
al sumarlos, se obtiene un polinomio.
Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio
es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio
por el número.
Ejemplo: 5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la
misma base.
axn· bxm= (a · b)xn + m
Ejemplo: (5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3
División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando:
 1. Tienen la misma parte literal
 2. El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los
coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma
base.
axn: bxm= (a : b)xn – m
Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada
elemento de este, al exponente que indique la potencia.
(axn)m = am· xn · m

4. Ejemplos: (2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9 (-3x2)3 = (-3)3 · (x2)3= -27x6
Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2+ .. + a1 1 + a0 Siendo:
an, an-1 ... a1, ao números, llamados coeficientes n un número natural x la variable o
indeterminada anes el coeficiente principal ao es el término independiente
Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se
encuentra elevada la variable x.
Según su grado los polinomios pueden ser de:
Tipos de polinomios
 1. Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0x2 + 0x + 0
 2. Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
 3. Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
 4. Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
 5. Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.

5. P(x) = 2x3 + 5x - 3
 6. Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a
menor grado o inversamente.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x
por un número cualquiera.
P(x) = 2x3+ 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:
 Los dos polinomios tienen el mismo grado.
 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma
parte literal. P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x3 - 2x – 7
Operaciones con expresiones algebraicas
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
 1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x 3- 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2+ 4x)
 2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
 3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3 También podemos sumar polinomios

6. escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en
columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3 P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) - Q(x) = (2x3 + 5x - 3) - (2x3 - 3x2 + 4x) P(x) - Q(x) = 2x3 + 5x - 3 - 2x3 + 3x2 - 4x
P(x) - Q(x) = 2x3 - 2x3 + 3x2 + 5x - 4x - 3 P(x) - Q(x) = 3x2 + x – 3
Multiplicación de Polinomios
1. Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado
el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio
por el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplo: 3 · (2xˆ3 - 3xˆ2 + 4x - 2) = 6xˆ3 - 9xˆ2 + 12x - 6
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos
y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
Ejemplo: 3xˆ2 · (2xˆ3 - 3xˆ2 + 4x - 2) =
= 6xˆ5- 9xˆ4 + 12xˆ3 - 6xˆ2
3. Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos
formas distintas.
Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
OPCIÓN 1
 1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del
segundo polinomio.

7. P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 - 6x4 + 8x3 - 6x3+ 9x2 - 12x =
 2. Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 - 6x4 + 2x3 + 9x2 - 12x
 3. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que
se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
OPCIÓN 2 Ejemplo de división de polinomios
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:
P(x) = xˆ5 + 2xˆ3 - x - 8 Q(x) = xˆ2 - 2x + 1 P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo.
Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 :
x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2xˆ4 : xˆ2 = 2 xˆ2
Procedemos igual que antes.
5xˆ3 : xˆ2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8xˆ2 : xˆ2 = 8

8. 10x - 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
xˆ3 + 2xˆ2 + 5x + 8 es el cociente.
Los productos notables o identidades notables
Nos permiten realizar operaciones con expresiones algebraicas de una manera más
sencilla; debido a que podemos transformar un polinomio grande en dos polinomios más
pequeños sin alterar la expresión o polinomio original, usando cualquiera de los tipos de
producto notable. En el siguiente post estudiaremos las definiciones de producto notable y
conoceremos algunos de sus tipos.
Qué es un producto notable
Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son un producto
o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen como reglas
fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una inspección, sin
necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.
Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una factorización,
formada de polinomios que poseen varios términos
En los polinomios, son de gran ayuda ya que con el uso de sus reglas y formulas,
permiten que el proceso sea mucho más corto y que podamos expresar un polinomio
directamente sin necesidad de ir probando cada termino.
Para qué se usan los productos notables?
Los productos notables los podemos usar para realizar operaciones algebraicas de una
manera más rápida, sin necesidad de hacer una comprobación de la multiplicación
realizada.
En otros casos son utilizados porque ayudan al encontrar: medidas, o en el cálculo de área,
superficies, e intensidades en el área de la ingeniaría.

9. Son usados para reducir procedimientos matemáticos; ya que con sus reglas se pueden
obviar varios pasos en la resolución de problemas matemáticos.
En los polinomios son usados para reducirlos, usando las diferentes reglas de productos
notables. Tipos de productos notables
Existen varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su
característica particular, sus diferentes formas de resolver y con distintas reglas que
cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
Equivalencias fundamentales
Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma:
a(b + c + d) = ab + ac + ad
Reglas de Stevin (Binomios con un término en común):
(x + a) (x + b) = x2 +(a + b)x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 +(a + b + c) x2 +(ab + bc + ac)x + abc
Cuadrado de binomio:
(a + b)ˆ2 = aˆ2 + 2ab + bˆ2
(a - b)ˆ2 = aˆ2 – 2ab + bˆ2
Identidades de Legendre:
(a + b)ˆ2 + (a + b)ˆ2 = 2(aˆ2 + bˆ2)
(a + b)ˆ2 - (a + b)ˆ2 = 4ab

10. (a + b)ˆ4 - (a + b)ˆ4 = 8ab (aˆ2 + bˆ2)
Diferencia de cuadrados:
(a + b) (a – b) = aˆ2 - bˆ2
Cubo de binomio:
(a + b)ˆ3 = aˆ3 + 3(aˆ2) b + 3a (bˆ2) + bˆ3
(a - b)ˆ3 = aˆ3 – 3(aˆ2) b + 3a (bˆ2) - bˆ3
Disposición práctica de Cauchy:
Se usa en casos donde conoces la suma y el producto de a y b.
(a + b)ˆ3 = aˆ3 + bˆ3 + 3ab (a + b)
(a + b)ˆ3 = aˆ3 - bˆ3 - 3ab (a - b)
Suma y diferencia de cubos:
(a+b)(a2 - ab + b2) = aˆ3 + bˆ3
(a+b)(a2 + ab + b2) = aˆ3 - bˆ3
Factorización
Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos
de factorización que estudiaremos son los siguientes:
Factor común
Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.
Ejemplo:

11. 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3
Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la
forma:
15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su
factorización.
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las
bases.
aˆ2 – bˆ2 = (a + b) (a – b)
Ejemplo: 25aˆ2 – 16bˆ4
Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4bˆ2 :
Por lo tanto: (5a)ˆ2 – (4b2)ˆ2 = (5a + 4bˆ2) (5a — 4bˆ2)
Factorización de trinomio cuadrático perfecto
Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de
binomio, por lo tanto, su factorización es:
aˆ2 + 2ab + bˆ2 = (a + b) ˆ2
Ejemplo: 16xˆ2 – 24xy + 9yˆ2
En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16xˆ2 = (4x) ˆ2 y
9yˆ2 = (3y) ˆ2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:
(4x - 3y)ˆ2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la
expresión dada.

12. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto
En este caso hay dos subcasos:
Caso en que el coeficiente cuadrático es 1
Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:
(x + a)(x + b) = xˆ2 + (a + b)x + ab
Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: xˆ2 + px + q
Ejemplo: xˆ2 – 10x + 24
El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b
= –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:
xˆ2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)
Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1
Ejemplo: 2xˆ2 + 7x – 15
Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la
expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:
El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a) (2x + b), donde a y b son números
tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:
Diferencia de cubos
aˆ3 – bˆ3 = (a – b) (aˆ2 + ab + bˆ2)
Ejemplo: 125zˆ3 – 64yˆ6
La expresión 125zˆ3 es el cubo de 5z y 64yˆ6 es el cubo de 4yˆ2, por lo tanto:

13. 125zˆ3 – 64yˆ6 = (5z)ˆ3 – (4y2)ˆ3
Ocupando que a = 5z y b = 4yˆ2 en la expresión dada, tenemos que:
(5z)ˆ3 – (4yˆ2) ˆ3 = (5z – 4yˆ2)(25zˆ2 + 20yˆ2z + 16yˆ4)

14. Bibliografía
https://es.wikibooks.or/wiki/Matematicas/Algebra/Productos_Notables#
Factorizacion
https://sites.google.com/site/algebra2611/unidad-2/productos-notables
http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad0
5.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_notable