1. CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE POTENCIAS Y RAÍCES
−1
23 a−1 + b−1 ⎛ a−1b−2 ⎞
( )
−1
1. Realizar las siguientes operaciones: a) 23 + + 2−1 23 b) ⎜ ⎟
2−1 a−2 − b−2 ⎜ (ab)−3 ⎟
⎝ ⎠
Solución
23
( ) 1 1
−1
a) 23 + + 2−1 23 = 23(−1) + 23 −(−1) + 2−1+ 3 = 2−3 + 24 + 22 = + 16 + 4 = + 20
−1 3 8
2 2
1 + 160 161
= =
8 8
b) Estas operaciones se pueden realizar de distintas maneras que evidentemente han de conducir al
mismo resultado, a continuación se muestra una de ellas:
−1 1 1 b+a b+a b+a
+
a−1 + b−1 ⎛ a−1b−2 ⎞ a b ab =
2
ab 1 ab ab b + a b2 − a2
⎜ ⎟ = = = = : =
a−2 − b−2 ⎜ (ab)−3 ⎟
⎝ ⎠
1
−
1 a3b3 b2 − a2 a2 b b2 − a2 b2 − a2 ab b
2 a2 b
a b2 a2 b2 a2 b2 b
(b + a) b 1
= =
a b (b + a)(b − a) a (b − a)
2. Realizar las siguientes operaciones:
⎛ 1 ⎞ 3 3 3 6
a) ( 3 − 1)( 2 − 3)2 b) (1 − 18) ⎜ 2 + ⎟ c) 54 + 3 3 40 d) 16ab2 + 250ab2 + 4a2 b4
⎝ 2⎠
Solución
a) ( 3 − 1)( 2 − 3)2 = ( 3 − 1)(2 + 3 − 2 2 3) = ( 3 − 1)(5 − 2 6) = 5 3 − 2 3 6 − 5 + 2 6 =
= 5 3 − 2 322 − 5 + 2 6 = 5 3 − 6 2 − 5 + 2 6
⎛ 1 ⎞ 1 18 1 18 1
b) (1 − 18) ⎜ 2 + ⎟ = 2+ − 18 2 − = 2+ − 36 − = 2+ −6− 9 =
⎝ 2⎠ 2 2 2 2 2
1 1 2 +1−9 2 3−9 2
= 2+ −6−3 = 2+ −9= =
2 2 2 2
3 4 3
c) 5 + 3 3 40 = 53 5 + 3 23.5 = 53 5 + 6 3 5 = 11 3 5
3 3 6 3 4 3 6 3 3 3
d) 16ab2 + 250ab2 + 4a2 b4 = 2 ab2 + 2.53 ab2 + 22 a2 b4 = 2 2ab2 + 5 2ab2 + 2ab2 =
3
= 8 2ab2
6 2 2 4
Observar en la segunda igualdad que en la raíz 2 a b se han dividido el índice y los exponentes
entre 2.
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Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
3. Decir si las siguientes igualdades son ciertas:
3 −1 1− 3 3 −1
a) = 2− 3 b) = 2− 3 c) = 3 −2
2 2 2
Solución
3 −1
a) Al ser positivos ambos miembros de la igualdad = 2 − 3 , esta será cierta si el cuadrado
2
del primer término es igual al radicando del segundo.
2
⎛ 3 − 1⎞ 3+1−2 3 4 −2 3
⎜
⎜ ⎟ =
⎟
= =2− 3
⎝ 2 ⎠ 2 2
Luego la igualdad es cierta.
1− 3
b) La igualdad = 2 − 3 no es cierta ya que el primer miembro es un número negativo ( 3
2
es mayor que 1) y el segundo es positivo.
3 −1
c) La igualdad = 3 − 2 no es cierta ya el segundo miembro no existe pues es la raíz
2
cuadrada de un número negativo ( 3 es menor que 2).
4. Indicar cuál de los dos números es mayor expresando para ello las raíces con el mismo índice:
5
a) 2 y 8 b) 3 30 y 5 280 c) 4 4 y 6 6
Solución
a) Al ser m.c.m(2, 5) = 10, se tiene:
2.5 5 5 5.2 2
2 = 2 = 10 32 8 = 8 = 10 64
10
Como 32 < 64, se deduce que 32 < 10 64 , por tanto 5 8 es mayor que 2.
b) Como m.c.m(3, 5) = 15, se tiene:
3.5 5.3
3
30 = 305 = 15 24300000 5
280 = 2803 = 15 21952000
3
Por tanto, 30 es mayor que 5 280
c) Como m.c.m(4, 6) = 12, se tiene:
4 4.3 3 6 6.2 2
4 = 4 = 12 64 6 = 6 = 12 36
4 6
Por tanto, 4 es mayor que 6
5. Realizar las siguientes operaciones:
5 3 5 3 1 1+ 3 ab2 a2 b
a) + b) . c) 3 .6 d) .
1− 2 1+ 2 2 −1 1+ 2 1+ 3 3 −1 a+b a−b
Solución
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Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
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a)
5
+
3
=
(
5 1+ 2 +3 1− 2 ) ( )= 5+5 2 +3−3 2
=
8+2 2
= -8 − 2 2
1− 2 1+ 2 (1 − 2) (1 + 2 ) 1−2 −1
5 3 5.3 15
b) . = = = 15
2 −1 1+ 2 ( 2 − 1).( 2 + 1) 2 −1
1 1+ 3 1 1+ 3 1+ 3 1 1 1 1
c) 3 .6 =6 .6 = 6 =6 =6 =6 =
1+ 3 3 −1 2 3 −1 2 (1 + 3)( 3 − 1) 3 −1 2 6
(1 + 3) (1 + 3) ( 3 − 1) 2
ab2 a2 b a3b3 ab
d) . = = ab
2 2
a+b a−b a −b a − b2
2
2 2 1
6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 51 + x = 25x b) 3x + 3x+1 = 4 c) 21− x =
16
Solución
a) Aplicando propiedades de las potencias se tiene:
( )
2
2 x 2
5
1+ x
= 25x ⇔ 5
1+ x
= 52 ⇔ 5
1+ x
= 52 x
Para que dos potencias de la misma base sean iguales se ha de cumplir que los exponentes también
sean iguales, así
⎧ 4
=1
1± 1+8 1±3 ⎪ 4 ⎪
1+x = 2x2 ⇔ 2x2 - x - 1 = 0 ⇔ x= = =⎨
4 4 ⎪ −2 = −1
⎪4
⎩ 2
−1
Por tanto, x = 1 y x = son las soluciones.
2
b) Escribiendo 3x+1 = 3. 3x la ecuación queda 3x + 3.3x = 4. Sacando 3x factor común se tiene
3x(1+3) = 4, es decir, 3x = 1.
Por tanto, x = 0 es la solución de la ecuación.
c) Procediendo de forma similar a la del apartado a) se tiene:
2 1 2 1 2
21− x = ⇔ 21− x = ⇔ 21− x = 2−4 ⇔ 1 - x2 = -4 ⇔ 5 = x2 ⇔ x = ± 5
16 2 4
Por tanto, las soluciones son x = 5 y x =- 5.
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