potencias

1. Potencias
Primero calculamos potencias aplicando la definición de la
operación de potenciación, después explicaremos y
aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:
Enlace: Ejercicios interactivos (operaciones con enteros)
Definición
La potencia anan representa el producto que tiene nn veces el
número aa. El número aa se llama base y el número nn se llama
exponente.
Ejemplo: potencias de 2:
Solució

2. Por lo que hemos visto, podemos decir:
Dicho en palabras,
 Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.
 Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la
base.
 Si el exponente de una potencia es 0 (y la base no es 0), el
resultado es 1.

3. Problema 2
Calcular las siguientes potencias de números
negativos: (−1)2
,(−2)3
(−5)2
𝑦 (−1)5
Ayuda: utilizar la regla de los signos (el producto de números
con el mismo signo es un número positivo y el producto de
números con signos distintos es un número negativo).
Solución
La potencia (−1)2(−1)2 es el producto de dos unos negativos:
La potencia (−2)3(−2)3 es el producto de tres doses negativos:
La potencia (−5)2(−5)2 es el producto de dos cincos negativos:
La potencia (−1)5(−1)5 es el producto de cinco unos negativos:

4. Observad que si la base de una potencia es negativa:
 El resultado es positivo si el exponente es par.
 El resultado es negativo si el exponente es impar.
Esto puede resumirse como:
Problema 3
Comprobar que (−3)3
= −(33) 𝑦 𝑞𝑢𝑒 (−5)2
= (5)2
La potencia (−3)3
es el producto de tres treses negativos:
La potencia (−5)2
es el producto de dos cincos negativos:
Exponente negativo
La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su
inverso:

5. La potencia de un número distinto de 0 elevado al número
negativo −n−n es el inverso del número elevado a nn:
Problema 4
Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:
Solución
La potencia 7−17−1 es el inverso de 7:
La potencia 5−25−2 es el inverso de 5252:
La potencia 2−32−3 es el inverso de 2323:

6. La potencia (−3)−2
es el inverso de (−3)2
:
La potencia (−1)−5
es el inverso de (−1)5
La potencia (−2)−3
es el inverso de la potencia (−2)3
Producto y cociente de potencias
El producto de dos potencias con la misma base es la potencia
de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:
El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia
de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:
Problema 5
Calcular los siguientes productos de potencias:

7. Solución
Los dos primeros productos se calculan rápidamente. El primero
es el producto de dos potencias con base 2:
El segundo es el producto de cuatro potencias con base 5:
En el tercero tenemos dos bases distintas:
En el cuarto tenemos tres bases distintas:

8. Problema 6
Calcular los siguientes cocientes de potencias:
Solución
En las divisiones, cuando las bases son iguales, se restan los
exponentes:
Si un número no tiene exponente, es porque su exponente es 1:

9. Al igual que en el producto, si las bases son distintas, tenemos
que agrupar las potencias:
En el siguiente cociente hay tres bases distintas:
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia con base a es la potencia con
base a y cuyo exponente es el producto de los exponentes:
Problema 7
Calcula las siguientes potencias de potencias:

10. Solución
Sólo tenemos que multiplicar los exponentes.
Calculamos el cubo de dos al cuadrado:
Calculamos el cuadrado de tres al cuadrado:
Calculamos la potencia de una potencia de base menos uno:
Para terminar, calculamos el cuadrado de un cociente de
potencias:
Nota: en esta última potencia hemos podido calcular el cuadrado
de un cociente al simplificar el cociente ya que el numerador y
denominador son potencias con la misma base. Ahora veremos
cómo calcular potencias de cocientes.

11. Potencia del producto y del cociente
La potencia de un producto de factores es igual al producto de
las potencias de los factores:
La potencia de un cociente de números es igual al cociente de
las potencias de los números:
Problema 8
Calcular las siguientes potencias de fracciones:
Solución
Calculamos la potencia (
2
3
)
3
:
Calculamos la potencia (
5
3
)
2
:
Calculamos la potencia (
3
2
)
4
:

12. Potencia de una fracción con
exponente negativo
El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa
(intercambiar el numerador y el denominador):
La potencia de una fracción con exponente negativo −n−n es la
potencia del inverso de la fracción con exponente nn:
Problema 9
Calcular las siguientes potencias cuyos exponentes son
negativos:
Solución
Escribimos la potencia (2 ⋅ 3)−3
como el producto de las potencias:

13. La potencia de una fracción con exponente negativo -3 es la
potencia del inverso con exponente 3:
Repetimos los pasos:
Repetimos el proceso, pero ahora tenemos una base negativa:

14. Problema 10
Escribir los siguientes números como productos de potencias
cuyas bases sean números primos: 56, 60 y 90.Solución
Descomponemos el número 56:
Descomponemos el número 60:
Descomponemos el número 90:
Las propiedades de las potencias nos permiten simplificar
operaciones.
Problema 11
Simplificar la siguiente operaciónentre potencias escribiendo las
bases como productos de números primos:
Solución

15. Si tuviésemos que calcular la operación sin simplificarla,
tenríamos que operar con números muy grandes. Vamos a
aplicar las propiedades que hemos visto para simplificarla.
El primer paso es escribir las bases como productos. El número
6 puede escribirse como 2⋅32⋅3, el número 20 como 22⋅522⋅5, el
número 125 como 5353, el número 25 como 5252 y el número 12
como 3⋅223⋅22:
Ahora aplicamos la propiedad de la potencia de un producto:
Ahora calculamos los productos y cocientes de las potencias que
tienen base común (los exponentes del numerador suman y los
del denominador restan):

16. Ejercicios:
1) Escribe el valor de cada potencia:
3 3
=
10 3
=
7 2
= 5 2
=
8 4
= 6 4
=
10 5
= 3 2
=
2 6
= 10 1
=
Toda potencia elevada a cero es igual a 1 a 0
= 1
2) Completa la siguiente tabla:
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor
10 4
10 4 10 10 10 10 10.000
2 6
9 2
5 3
2 5
3) Completa siguiendo las instrucciones de la tabla:
Nombre Potencia
Seis elevado a la cuarta
Tres elevado al cubo
Ocho elevado a la quinta
Nueve elevado al cuadrado
Diez elevado a doce
Cinco elevado a la séptima
Dos elevado a la sexta
Potencia Nombre
2 7
3 4
5 2
8 5
10 3
7 6
9 8

17. Calcular:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)