1. Estadística
Estadística Descriptiva. Se encarga de la recopilación , organización, presentación e interpretación
de datos muestrales para predecir el comportamiento de una población.
Inferencia Estadística. Se encarga de conocer (estimar valores de la población (parámetros) a partir
de valores observados (estadísticos)
Los subtemas son:
Medias
Distribuciones muestrales Sumas y diferencias de medias
Y Varianzas
Puntual
Estimación
Por intervalo de confianza
Pruebas de hipótesis
Inferencia Estadística
Distribución muestral de medias
Parámetros :
NOTA.- Las muestras x1, x2,.. xn son
N variables aleatorias; no se sabe que valores
m mnm tomarán los elementos seleccionados.
m2 m3 Muestra
de tam tamaño n La teoría anterior se fundamenta en la ley
x1 xnm de los grandes números. Y el teorema del
x2 x3 limite central.
Sx1 Sx2 Sx3 Sxnm
˲#
˭˥ˤ˩I ˤ˥ ˬI ˭˯˥JˮJI ŵ
Estadísticos: ˲ ˳ š‹
˲$
˭˥ˤ˩I ˤ˥ ˬI ˭˯˥JˮJI Ŷ
˲ ˭˥ˤ˩I ˤ˥ ˬI ˭˯˥JˮJI J˭
˲
Si el muestreo es con reemplazo:
J˭ ˚
˲ ˩ ŵ J˭
˗{˲{ (#
˚
Si el muestreo es sin reemplazo:
F
#
{˗{˲# { - ˗{˲$ { - ˗{˲ {{ J
ˢIJ{˲{ ˰IJ Ӝ ӝ - ˢIJ Ӝ ӝ - ˰IJ Ӝ ӝ
$
- - JӘ ә

2. Actividad de aprendizaje:
Tiempo para realizarla: 15 minutos
1. Si se tiene una población de tamaño N:
1.a) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se tienen en un muestreo con reemplazo?
1.b) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se tienen en un muestreo sin reemplazo?
2. Defina:
2.1 Espacio muestral
2.2 Media de la población
2.3 Media de la muestral
2.5 Estadístico
3. Enunciar las propiedades del operador esperanza E{h(x)}
4. Obtener ú$L { {ƒš - „ . L {$ {
5. Graficar las siguientes distribuciones:
5.1 Uniforme
5.2 Exponencial Negativa
5.3 Distribución Normal
6. Dado el espacio muestral S:
S={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}
6.1 Obtener la población
6.2 A partir de S, calcular: L M úL
6.3 Graficar la función de distribución de la población
7. ¿Cómo se estandariza una variable aleatoria x con distribución normal?
8. Demostrar que : N( Ŵ

3. Demostrar: $
I$ $
{Š{š{{ B{L{
‹ Š{š{ š ‡–‘…‡• {š{ ‹ Š{š{ {š . L{
$
‡–‘…‡• {{š . L{
$
{ ú$
L
˟˩ ˨{˲{ I˲ - I ˥JˮJJI˥J ˗{ I˲ - I{ I -„ L
˟˩ ˨{˲{ {ƒš - „ . L {
$
‡–‘…‡• { {ƒš - „ . L {
$
{ ú$L
$ $
ú$L Ӝ ƒš - „ . { ƒ L - „{ ӝ { {ƒš . ƒ L {$ { { {ƒ{š . L {{
${
{ƒ$ {š . L{ {
ú$L I$ $
Ley de los grandes números. Sean x1, x2…xn, n variables aleatorias independientes con la
misma función densidad de probabilidad y por lo tanto con la misma con la misma ˳ ,
entonces la sucesión de valores aleatorios definida como:
˲ (#
Satisface la expresión:
P{É˲ . É 2 { 7 Ŵ É É É
I˯IJˤJ J 7
Teorema del límite central .Sean x1, x2…xn, n variables aleatorias independientes con la misma
función densidad de probabilidad y por lo tanto con la misma con la misma ˳ , entonces la
sucesión de valores aleatorios definida como:
˲. ˲
˴ ˤJJˤ˥ ˲
(# J
Tiene una distribución normal cuando J 7 y empíricamente, cuando J 4 ŷŴ
Gráficamente:
Población
Distribución muestral de medias
Distribución Uniforme
x
Exponencial negativa
˲
x
Normal
x
:

4. Población finita o sin reemplazo:
ƒ…–‘” †‡ …‘””‡……‹×
# #
.
Población infinita o con reemplazo:
Factor de corrección = 1
Ejemplo 1. Se extrae una muestra aleatoria, sin reemplazo, de tamaño 2 de una población de 5
números. Los números están escritos en fichas idénticas y son: 2,4,6,8 y 10.
Calcular ˳
X Frecuencia Frecuencia x* f(x) ˲$ ˲ $ ˦{˲{
(f) relativa (˦ )
2 1 1/5 2/5 4 4/5
4 1 1/5 4/5 16 16/5
6 1 1/5 6/5 36 36/5
8 1 1/5 8/5 64 64/5
10 1 1/5 10/5 100 100/5
˲ ˦{˲{ ź ˲Ŷ ˦{˲{
ŶŶŴ
ŸŸ
Ź
ź
ú$
L {˲ $ { . $
ŸŸ . ŷź %
Número total de muestras:
('
($
ŵŴ ; ź ú$
L
{˲ $ { . $
39 – 36 = 3 ;
Muestra ˲ ˲ ˦ ˦ ˲ ˦ ˲$ ˲$ ˦
(2,4) 3 3 1 1/10 3/10 9 9/10
(2,6) 4 4 1 1/10 4/10 16 16/10
(2,8) 5 5 2 2/10 10/10 25 50/10
(2,10) 6 6 2 2/10 12/10 36 72/10
(4,6) 5 7 2 2/10 14/10 49 98/10
(4,8) 6 8 1 1/10 8/10 64 64/10
(4,10) 7 9 1 1/10 9/10 81 81/10
(6,8) 7 60/10 39
(6,10) 8
(8,10) 9

5. Ejemplo 2. Una población muy grande tiene una media de 20 y una desviación estándar de 1.4. Si
se toma una muestra de 49 observaciones, conteste la siguientes preguntas:
a)¿Cuál es la media de la distribución muestral de medias?
b)¿ Cuál es la desviación estándar de la distribución muestral de medias?
c)¿ Qué porcentaje de posibles valores medios de la muestra diferencian de ( por más de 0.2?
Resolución:
a) ( 20
#
ŴŶ
b)
c) : ˜{ŵ% % 3 ˲ 3 ŶŴ Ŷ{ : ˜{.ŵ 3 ˴ 3 ŵ{ Ŵ ź%
Ejemplo 3. 500 cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5.02 y una desviación típica de .3
onzas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 cojinetes, elegidos al azar, tenga
un peso total
a) Comprendido entre 496 y 500 onzas
b) De más de 510 onzas
Resolución:
N= 500 cojinetes
n= 100 cojinetes
( Ź ŴŶ ( ŷ
Se trata de obtener: ˜{Ÿ %ź 3 ˲ 3 Ź{
Es decir; de una distribución muestral de Medias
– ' $ –
˴#
= %
= %
= -2.23
% % ##
' – ' $ – $
˴$ . ŻŸŹ = = .
% %
% % ##
˜{Ÿ %ź 3 ˲ 3 Ź{ ˜{ .Ŷ Ŷŷ 3 ˴ 3 . ŻŸŹ{ ŶŵźŻ
˜{˲ 2 Ź ŵ{ ŵ . ˜{˲ 3 Ź ŵ{
Ejemplo 4. Un fabricante de acumuladores asegura que su producto tienen una vida esperada
(promedio) de 50 meses. Mediante estudios realizados por la compañía se sabe que Ÿ
meses. ¿Qué porcentaje de muestras de 36 observaciones tendrá una vida promedio que valla de
49 a 51 meses?, suponiendo que 50 es el promedio de vida esperada de los acumuladores. ¿Cuál
es la respuesta si se toma una muestra de 64 observaciones?
Resolución:
a) n= 36
( ŹŴ ( Ÿ
˜{Ÿ% 3 ˲ 3 Źŵ{ ˜{.ŵ Ź 3 ˴ 3 ŵ Ź{
'# ' # %
˴$
$
˜{˴ 3 ˴$ ŵ Ź{ %ŷŷŶŴ
' # %
˴# .
$
˜{Ÿ% 3 ˲ 3 Źŵ{ Ŷ{ %ŷŷŶ . Ź{ Ŷ{ ŸŷŷŶ{ %źźŸ
b) n = 64

6. '
˴$ Ŷ
$
J{Ÿ% 3 ˲ 3 Źŵ{ ˜{.Ŷ 3 ˴ 3 Ŷ{ Ŷ{ %ŻŻŶ . Ź{ { ŸŻŻŶ{ %ŹŸŸ
Ejemplo 5. Supóngase que las estaturas de 3,000 estudiantes de una universidad se distribuyen
normalmente ( ź% ˳ ( ŷ pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una,
¿cuál será la media y la desviación estándar esperada de la distribución muestral de medias
resultante si el muestreo se realizó: a) con reemplazo y b)sin reemplazo.
Resolución:
a) n= 25
%
( ź% ( ŷ ː ›
$'
Ŵ ź J˯ˬ˧IˤIJ
% $ '
ː ›
# $' $
b) =0.597
Ejemplo 6. Considerando el enunciado del problema anterior, ¿en cuántas muestras cabría esperar
una media: a)entre 66.8 y 68.3 y b) menor de 66.4
Resolución:
a) n= 25
( ź% ( ŷ
˜{źź % 3 ˲ 3 ź% ŷ{ ˜{.Ŷ 3 ˴ 3 Ź{
#$
˴# .Ŷ ˜{˴ 3 ˴$ ŵ Ź{ %ŷŷŶŴ
% %
˴$ Ź
˜{źź ŷ 3 ˲ 3 ź% ŷ{ ˜{.Ŷ 3 ˴ 3 Ź{ źź%Ż
Finalmente: (.6687)(80)= 53 muestras.
b) ˜{˲ 3 źź Ÿ{ ˜{ ˴ 3 .Ŷ Żŵ{ ŴŴŷŸ
Finalmente: (.0038)(80)= 0 muestras
Estimación. Es el proceso de utilizar datos muestrales para estimar los valores de parámetros
desconocidos de una población.
Tipos de estimación: Puntual y por intervalos de confianza
Estimación Puntual.
Definición. Se dice que el estadístico es un estimador insesgado del parámetro si y sólo sí:
˗
Ejemplos:
1) ˲ ˗{ ˲{
2) Investigar si $
˟ $
es o no un estimador insesgado.

7. { {
˗{ (# { { (#{˲ .˲- . {$ {
$
{ (# {˲ . { . {˲ . { {
˗{ {{ ˲ . { $ . Ŷ{ ˲ . {{˲ . { - {˲ . {$ {{
{
{
{
{$
˗{ (# . Ŷ{˲ . { (# Ә ә- (# {
Ŷ
˲˩ . ˲ $
˗| (# .Ŷ ˲.
˲ ˲.
˲ - ˲.
˲ |
J
{
{
˗Ӝ (# . {˲ . {Ŷ ӝ
Donde:
{
{ {
{ {
{ {
{ {
{
E{ (# { ˗{ { - ˗{ { - ˗{ {- ˗{ {
{
{
{
Ŷ
˲ Ŷ
E{ (# ˲
Por otro lado:
˗{. {˲ . {$ { .˗{{ {˲ . {$ { . $
Finalmente:
{˲ . {$ $ {J . ŵ{
˗ . {˲ . {$ = $
. $ $
. $
J J J
(#
${ #{
˗ $
˟ $
JJ ˥J ˯J ˥Jˮ˩˭IˤJJ ˩JJ˥J˧IˤJ
$
Para ser insesgado: ˗Ӝ $
{
˟ ӝ
#{
Definición Estimador de Varianza mínima. Sean # I $ dos estimadores insesgados (˗{ #{
˗{ $ { ) del parámetro .
Se dice que # es un estimador de varianza mínima si: ˢ˓˞ # ˢ˓˞ $
Definición Estimador Consistente, Se dice que un estimador # es un estimador consistente del
parámetro si:
a) # es un estimador insesgado
b) ˟˩ ˢ˓˞ # 7 Ŵ I˯IJˤJ J 7
Ejemplo.- ˲ es un estimador consistente:
a) E{ ˲ {
b) ˢ˓˞{ ˲ { $

8. Estimación por intervalos de confianza
=e error de estimación
.˴ ˴
;
˲
{ŵ. {Nivel de confianza
9Ŷ 9Ŷ
˲
LI LS ;
Límites del intervalo de confianza:
LI es el lílmite inferior y LS el límite superior
|LI| = |LS| ;
Para efectos de estimación:
˜{HH 3 ˲
3 H˟{ ŵ.
{ŵ. { Nivel de confianza
9Ŷ 9Ŷ
.˴ ( LI
Ŵ ˴ =LS
˜ .˴ 3˴3 ˴ F ŵ. {I{
$ $
Recordando : ˴ {I{
˟˯Jˮ {I{˥J {I{
˲.
˜ .˴ 3˴
˲
3˴ F ŵ. {I{
Ŷ
˲ Ŷ
Multiplicando por
˜ Ә.˴ 3 ˲.
3˴ ә ŵ.
Ŷ
˲
˲
Ŷ
˲
˜ Ә˲ . ˴
3 3˲-˴
ә ŵ.
Ŷ
˲
˲ ˲
Ŷ
˲

9. Límites de confianza:
˲ ˴
Ŷ
˲
Nota.- Los limites de confianza (LI y LS) se modifican de acuerdo al valor ˲ muestreado que se
toma como estimador.
Ejemplo 6. A continuación se mostrará, mediante un ejemplo sencillo, el concepto de estimación
de la media de la población por intervalos de confianza. Cabe aclarar que en situaciones reales
no se conoce.
Supongamos que tenemos una población de tamaño N=7 con los siguientes elementos: A={
1,2,3,4,5,6,7 }. Si seleccionamos una muestra de tamaño n=2, sin reemplazo, obtener el intervalo
de confianza correspondiente para un nivel de confianza ŵ. %Ŵ ( e = ˴ ˲{
$
Resolución:
Conocemos el valor de Ÿ, valor que se estima con ˲ y donde ˲ es el valor
promedio de una muestra, por lo tanto:
˜ Ә˲ . Ә˴
ŵ źŸә ˲ 3 3 ˲ - {˴
ŵ źŸ{ ә %
Ŷ
˲ ˲
Ŷ
˲
Lo anterior significa que de100 muestras, 90 muestras contendrán el valor desconocido en los
intervalos de confianza calculados para cada muestra.
Número de muestras : $
Ŷŵ; Ŷ
$ $ $ '
›
# $ # $
=1.29
Para un intervalo de confianza de .9 : z= 1.64 y el error de estimación es: e = ˴
˲=
$
2.1
˲ ˲ . Ә˴
ŵ źŸә ˲ 3 ˲ 3 ˲ - {˴
ŵ źŸ{
˲
$ $
Mi Muestra
1 1,2 1.5 .Ŵ ź 3 ˲ 3 ŷ ź
2 1,3 2 .Ŵ ŵ 3 ˲ 3 Ÿ ŵ
3 1,4 2.5 ŴŸ 3 ˲ 3 Ÿź
4 1,5 3.0 Ŵ% 3 ˲ 3 Źŵ
5 1,6 3.5 1.4 3 ˲ 3 Ź ź
6 1,7 4.0 1.9 3 ˲ 3 ź ŵ
7 2,3 2.5 ŴŸ 3 ˲ 3 Ÿź
8 2,4 3.0 Ŵ% 3 ˲ 3 Źŵ
9 2,5 3.5 1.4 3 ˲ 3 Ź ź
10 2,6 4.0
11 2,7 4.5
12 3,4 3.5
13 3,5 4.0
14 3,6 4.5
15 3,7 5.0
16 4,5 4.5
17 4,6 5.0
18 4,7 5.5
19 5,6 5.5
20 5,7 6.0
21 6,7 6.5

10. Ejemplo 7. Una muestra aleatoria de 50 calificaciones de matemáticas de un total de 200, arrojó
una media de 75 y una desviación típica de10. a)¿Cuáles son los límites de confianza del 95%
para la estimación de la media de las 200 calificaciones?, b)¿Con qué grado de confianza podrá
decirse que la media de las 200 calificaciones es ŻŹ ŵ?
Resolución:
a) N=200, n=50, ˲ ŻŹ ˳ ˟ = 10
˜{HH 3 ˲
3 H˟{ ŵ.
˜ HH 3 ˲
3 H˟ %Ź
# #'
ŵ ŶŸ =
# # # # #
O bien :
J $ ŹŴ
$
˟ {ŵŴ{$ ŵŴ ŵ
{J . ŵ{ {Ÿ%{
# # $ '
' #
= 1.24
HH ˲ - ˴ HH ˲ . ˴
Ŷ Ŷ
ŻŹ - ŵ %ź ŵ ŶŸ ŻŹ . ŵ %ź ŵ ŶŸ ŻŶ ŹŻ
Z=1.96 ; e=1.96*1.24= 2.4
HH ŻŻ Ÿŷ HH
Finalmente:
˜ ŻŶ ŹŻ 3 ˲
3 ŻŻ Ÿŷ %Ź
b)
˜ ŻŸ ŻŹ . ŵ 3 ˲
3 Żź ŻŹ - ŵ ŵ.
e= ˴
#
$
˲ = 1 ; z=
= 0.8
˜{.Ŵ % 3 ˴ 3 Ŵ %{ ŴŹ%Ŷ