1. Trabajo de Calculo ll
Integrante:
Hernan Arcaya
Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Facultades de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Ingeniera en Telecomunicaciones.

2. • Notación Sigma
• El operando matemático que nos permite
representar sumas de muchos sumandos, n o
incluso infinitos sumandos está expresado con
la letra griega sigma (sigma mayúscula, que
corresponde a nuestra S de"suma”). La
notación sigma es de la siguiente manera:

3. • Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n,
de x sub-i.
•
La variable i es el índice de suma al que se le
asigna un valor inicial llamado límite
inferior, m. La variable i recorrerá los valores
enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente debe cumplirse que:m≤ n
• Si queremos expresar la suma de los cinco
primeros números naturales podemos hacerlo
de esta forma:

4. • Partición de un intervalo
• - Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un
conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal
que:
• a = x0 < x1 < x2 < ...< xn-1 < xn = b
• - La diferencia máxima entre cualesquiera dos
puntos consecutivos de la partición, se llama norma
de la partición, y se denota por || P || , es decir:

5. La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos
consecutivos de la partición, se llama norma de la
partición, y se denota por || P || , es decir:
|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}
- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que
contiene todos los puntos de P y además otros puntos
adicionales, también ordenados en orden de magnitud.
Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una
función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
•La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) =
cj (xj - xj-1)

6. • La suma superior de f respecto de la partición
P se define así:
•
S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-
1, xj].
• La suma inferior de f respecto de la partición
P se define así:
• I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1,
xj].

7. • La integración es un concepto
fundamental del cálculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una
generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
• .
•
• El cálculo integral, encuadrado en el cálculo
infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o anti derivación, es muy
común en la ingeniería y en la ciencia también; se
utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

8. • las matemáticas en el proceso de integración o
antiderivación, es muy común en la ingeniería y en
la ciencia también; se utiliza principalmente para el
cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos
de revolución.
•
• Dada una función f, no existe para ella una única
primitiva F, ya que cualquier otra función de la
forma F+C, donde C es una constante, también
cumple la condición de que su derivada es igual a f
• Además, si F y G son primitivas de f en I entonces F-
G=C (constante) en I pues

9. • Las primitivas de una función forman una familia de
funciones cuya representación gráfica es siempre la
misma, estando cada una desplazada verticalmente
respecto de las demás:

10. • Fue usado por primera vez por científicos
como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los
trabajos de este último y los aportes de Newton
generaron el teorema fundamental del cálculo
integral, que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.
• Teorema fundamental del cálculo integral
• La relación entre derivada e integral definida queda
establecida definitivamente por medio del
denominado teorema fundamental del cálculo
integral, que establece que, dada una función f (x),
su función integral asociada F (x) cumple
necesariamente que:

11. • Segundo teorema fundamental del cálculo.
Sea f una función real, integrable definida en un
intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal
que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es
una primitiva de f), entonces
Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a,
b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la
derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor
promedio, conocido también como valor medio para
integrales.