integral definida

1. Notación Sigma
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos
sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega
sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de"suma" ). La notación
sigma es de la siguiente manera:
Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite
inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite
superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:
Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos
hacerlo de esta forma:
Partición de un intervalo
- Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P =
{ x0, x1, x2, ..., xn} tal que:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b

2. - La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición, se
llama norma de la partición, y se denota por || P || , es decir:
|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}
- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos
de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud.
Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función
acotada definida en ese intervalo. Entonces:
•La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
•La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticasen el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la
ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.

3. Teorema fundamental del cálculo integral
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por
medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece
que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente
que:
Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida
en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F′(x) = f(x) para todo x de
[a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces
Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa
dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.