Investigación de la Integral Definida

1. Tema 6
Integral Definida
6.1 Introducci´on
En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto
matem´atico que esencialmente puede describirse como el l´ımite de una suma cuando
el n´umero de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el
punto de vista hist´orico la construcci´on del concepto riguroso de integral est´a asociado
al c´alculo de ´areas.
6.2 Definici´on de Integral Definida
Comenzaremos analizando el problema de calcular el ´area determinada por el eje de
abscisas, las rectas x = a, x = b y la gr´afica de la funci´on f(x), que supondremos en un
primer caso continua y positiva en el intervalo [a, b]:
La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en varios subintervalos: [a, x1],
[x1, x2], . . . [xn−1, b], de manera que el ´area que buscamos ser´a la suma de las ´areas de
cada una de las figuras planas que resultan de dicha divisi´on. Tomemos ahora en cada
sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ1, . . . , ξn}, y construyamos el rect´angulo
de altura f(ξ) correspondiente a cada uno de los subintervalos (ver Figura 8.1 derecha).
Podemos as´ı aproximar el valor del ´area buscada por la suma:
A ≈ f(ξ1) (x1 − a) + f(ξ2) (x2 − x1) + . . . + f(ξn) (b − xn−1)
Evidentemente esta aproximaci´on ser´a tanto mejor cuanto m´as subintervalos se in-
troduzcan, y en particular si el n´umero de ellos tiende a infinito (y la anchura de todos
y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en dicho l´ımite el resultado ser´a exacto y nos
proporcionar´a el ´area buscada.
Este proceso de paso al l´ımite es el que define la integral definida o integral de
Riemann, que veremos a continuaci´on con m´as detalle:
59

2. 60 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
a b
x
y
a Ξ1 x1 Ξ2 x2 Ξ3 x3 Ξ4 b
x
y
Figura 6.1: Construcci´on de una suma de Riemann.
El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite
una suma cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito y simult´aneamente cada uno
de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos
las siguientes definiciones:
Definici´on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on
de n + 1 puntos P = {x0, x1, · · · , xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1, xk] de anchuras
respectivas ∆xk = xk − xk−1.
Definici´on. Dada una funci´on f(x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P =
{x0, x1, · · · , xn} de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1, ξ2, · · · , ξn} tales que ξk ∈ [xk−1, xk],
se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f(x) en [a, b] correspondiente
a la partici´on P y a la elecci´on de puntos ξ a la suma siguiente:
S(f, P, ξ) =
n∑
k=1
f(ξk)∆xk = f(ξ1)∆x1 + · · · + f(ξn)∆xn
Si suponemos que la funci´on es continua1 en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass,
f(x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1, xk],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores,
obteniendo la suma superior de Riemann de f(x) en [a, b] con respecto a la partici´on P:
U(f, P) =
n∑
k=1
Mk∆xk
y la respectiva suma inferior:
L(f, P) =
n∑
k=1
mk∆xk
1
Realmente ser´ıa suficiente con que f(x) fuera continua en cada subintervalo de la partici´on P.

3. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 61
Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´on dada
en un intervalo, con respecto a una partici´on concreta P, est´a acotado superiormente
por U(f, P) e inferiormente por L(f, P).
Definici´on. Se dice que una funci´on f(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de
Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores
de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´umero se le
denomina integral definida o integral de Riemann de f(x) en [a, b] y se denota como:
∫ b
a
f(x) dx
Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el l´ımite de las sumas
de Riemann de la funci´on en el intervalo cuando el n´umero de puntos de las particiones
consideradas tiende a infinito mientras que la anchura m´axima de los subintervalos deter-
minados por la partici´on tiende a cero, siempre que dicho l´ımite sea adem´as independiente
de la elecci´on de puntos realizada para construir las sumas de Reiemann.
La definici´on de integral definida se completa a˜nadiendo que se considerar´a tambi´en el
caso en el que a > b, y el caso a = b, de la forma:
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx ;
∫ a
a
f(x)dx = 0
Ejemplo: Calculemos las integrales:
∫ b
a
dx ,
∫ b
a
x dx
En el primer caso las sumas de Riemann ser´an de la forma:
S(f, P, ξ) = 1 ∆x1 + 1 ∆x2 + . . . + 1∆xn = b − a
independientemente de la partici´on tomada y de la elecci´on de puntos realizada. La integral por
tanto es: ∫ b
a
dx = b − a
que obviamente coincide con el ´area del rect´angulo de base b − a y altura 1. (Ver Figura 8.2,
izquierda).
Para calcular la segunda integral podemos proceder de varias formas. En primer lugar es
evidente que el resultado de la integral va a ser el ´area del trapecio de la Figura 8.2 (derecha), y
sabemos que el ´area de un trapecio es igual al producto de la altura (b − a) por la suma de las
bases dividida por dos 1
2 (a + b), es decir:
∫ b
a
x dx =
1
2
(a + b)(b − a) =
1
2
(
b2
− a2
)

4. 62 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
a b
x
y
a b
x
a
b
y
Figura 6.2: Funciones f(x) = 1 y f(x) = x en el intervalo [a, b].
Demostraremos no obstante este resultado aplicando directamente la definici´on de integral
definida. Dado que la funci´on f(s) = x es continua, ser´a integrable en [a, b]. Las sumas de
Riemann correspondientes a una partici´on cualquiera P = {x0, x1, . . . , xn}, con a = x0 < x1 <
. . . < xn = b ser´a:
S(f, P, ξ) = ξ1 ∆x1 + ξ2 ∆x2 + . . . + ξn∆xn = ξ1(x1 − x0) + ξ2(x2 − x1) + . . . + ξn(b − xn−1)
siendo ξ = {ξ1, . . . , ξn} una elecci´on cualquiera de puntos en los subintervalos de la partici´on P.
Dado que f(x) es creciente siempre, las sumas superiores e inferiores de Riemann se obtienen
eligiendo ξi = xi y ξi = xi−1 respectivamente:
U(f, P) = x1(x1 − x0) + x2(x2 − x1) + . . . + xn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
(x2
i − xixi−1)
L(f, P) = x0(x1 − x0) + x1(x2 − x1) + . . . + xn−1(xn − xn−1) =
n∑
i=1
(xixi−1 − x2
i−1)
Observamos entonces que sea cual sea la partici´on P la suma de U(f, P) y L(f, P) es:
U(f, P) + L(f, P) = x2
n − x2
0 = b2
− a2
Si tomamos ahora el l´ımite de Riemann, teniendo en cuenta que f(x) es integrable, resulta que
tanto U(f, P) como L(f, P) tienden a la integral definida y por tanto:
U(f, P) + L(f, P) −→ 2
∫ b
a
x dx = b2
− a2
⇒
∫ b
a
x dx =
1
2
(
b2
− a2
)
Q.E.D.
6.3 Propiedades b´asicas
1. Si f(x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b].

5. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 63
2. Si f(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].
3. Si f(x) est´a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´umero finito de
discontinuidades, entonces es integrable en [a, b]. Esta propiedad tambi´en es cierta si el
n´umero de discontinuidades es infinito pero contable (numerable).
4. La integral definida es lineal, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables
en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica:
∫ b
a
(f(x) + g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ b
a
g(x)dx
mientras que si k es un n´umero real cualquiera, entonces:
∫ b
a
kf(x)dx = k
∫ b
a
f(x)dx
5. Dados tres n´umeros reales a, b y c, se verifica:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
siempre que las integrales anteriores existan.
6. Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica:
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx
7. Si a < b y f(x) es integrable en [a, b], se verifica:
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
|f(x)| dx
6.4 Teorema Fundamental del C´alculo y Regla de Barrow
Teorema del Valor Medio del C´alculo Integral. Si f(x) es una funci´on continua
en el intervalo [a, b], entonces existe en [a, b] al menos un punto c tal que se verifica:
∫ b
a
f(x)dx = (b − a) f(c)
Nota: al n´umero real ¯f = 1
b−a
∫ b
a
f(x)dx se le llama valor medio o valor promedio de f(x) en
[a, b].
Demostraci´on: Dado que f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Weierstrass alcanza
en [a, b] su valor m´aximo, M y su m´ınimo, m. Tendremos entonces, utilizando las propiedades
anteriormente expuestas:
m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] ⇒

6. 64 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
∫ b
a
m dx ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫
M dx ⇒ m(b − a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M(b − a)
y as´ı:
m ≤
∫ b
a
f(x)dx
b − a
≤ M
Pero al ser M y m alcanzados en [a, b] (supongamos que en los puntos x1 y x2, [x1, x2] ⊂ [a, b]),
tendremos que f(x) alcanza todos los valores intermedios entre m y M, y por tanto: ∃c ∈
[x1, x2] ⇒ c ∈ [a, b] tal que:
f(c) =
∫ b
a
f(x)dx
b − a
Q.E.D.
Plantearemos a continuaci´on el Teorema Fundamental del C´alculo, que relaciona dos
conceptos aparentemente diferentes como son el de integral indefinida (operaci´on inversa
o rec´ıproca de la derivaci´on) y el de integral definida (l´ımite de sumas cuando el n´umero
de sumandos tiende a infinito mientras que cada sumando tiende a cero):
Teorema Fundamental del C´alculo. Sea f(x) una funci´on continua en el intervalo
[a, b], entonces la funci´on F(x) definida de la forma:
F(x) =
∫ x
a
f(t)dt
en el intervalo [a, b] es derivable en (a, b) y adem´as F′(x) = f(x).
Nota: Si f(x) es integrable pero no continua en [a, b] entonces s´olo podemos asegurar que F(x) es
continua en [a, b], pero la derivabilidad de F(x) s´olo est´a garantizada en los puntos de continuidad
de f(x).
La funci´on F(x) tiene un significado geom´etrico evidente dado que nos proporciona el “´area
determinada2
” por la gr´afica de f(x) entre el punto inicial a y un punto concreto x del intervalo
[a, b].
Regla de Barrow. Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x) en
[a, b], entonces se verifica:
∫ b
a
f(x)dx = G(x)|b
a = G(b) − G(a)
Demostraciones:
Demostraremos en primer lugar el Teorema Fundamental del C´alculo: Dada la funci´on f(x)
continua en [a, b], definiremos entonces en [a, b] la funci´on:
F(x) =
∫ x
a
f(u)du
2
Evidentemente hablamos de ´area en sentido figurado, pues se trata realmente de un ´area para
funciones definidas positivas en [a, b].

7. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 65
Consideremos h > 0 tal que x y x + h pertenezcan ambos al intervalo [a, b], tendremos entonces
(aplicando las propiedades b´asicas de las integrales) que:
F(x + h) − F(x) =
∫ x+h
a
f(u)du −
∫ x
a
f(u)du =
∫ x+h
x
f(u)du
Aplicando a continuaci´on el Teorema del Valor Medio en el intervalo [x, x + h], existir´a un valor
c ∈ [x, x + h] tal que:
∫ x+h
x
f(u)du = f(c)(x + h − x) = f(c) h
Pero entonces la derivada de F(x) en el punto x se re-escribe de la forma:
F′
(x) = lim
h→0
F(x + h) − F(x)
h
= lim
h→0
f(c)
y dado que f(x) es continua en [a, b] y, en consecuencia, en [x, x + h], tendremos que h → 0 nos
lleva a que x ≤ c ≤ x + h ⇒ x ≤ c ≤ x, y en definitiva, al ser f(x) continua:
lim
h→0
f(c) = lim
c→x
f(c) = f(x) ⇒ F′
(x) = f(x)
Q.E.D3
.
Demostraci´on de la regla de Barrow:
Dada al funci´on continua f(x) en [a, b], si G(x) es una primitiva de f(x) en [a, b] tendremos
que, dado que F(x) definida anteriormente tambi´en lo es, ambas deben diferenciarse tan s´olo en
una constante C, de esta forma:
G(x) − F(x) = C , ∀x ∈ [a, b]
En particular:
G(a) − F(a) = C ⇒ G(a) −
∫ a
a
f(x)dx = C
G(b) − F(b) = C ⇒ G(b) −
∫ b
a
f(x)dx = C
restando ambas expresiones, y considerando que
∫ a
a
f(x)dx = 0, tendremos:
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
Q.E.D.
6.5 Integrales Impropias
En la construcci´on y definici´on de integral definida o integral de Riemann hemos par-
tido de una funci´on f(x) definida en un intervalo finito [a, b] y adem´as acotada en el
mismo. Las integrales impropias se definen precisamente para contemplar la posibilidad
de integrar en intervalos infinitos, por un lado, e integrar funciones no acotadas, por
otro.
3
Estrictamente hablando hemos demostrado tan s´olo que la derivada por la derecha de F(x) es f(x).
Es trivial completar la demostraci´on en el otro sentido.

8. 66 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
6.5.1 Integrales Impropias de Primera Especie
Una integral impropia de primera especie es una integral extendida a un intervalo no
finito. Para definirla utilizaremos la siguiente expresi´on:
∫ ∞
a
f(x)dx = lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx
Si dicho l´ımite existe y es finito diremos que la integral impropia de primera especie
∫ ∞
a
f(x)dx
es convergente, en caso contrario ser´a divergente.
De manera an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie siguientes:
∫ b
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx ;
∫ ∞
−∞
f(x)dx = lim
k→∞
∫ k
−k
f(x)dx
6.5.2 Integrales Impropias de Segunda Especie
Una condici´on necesaria para que f(x) fuera integrable en [a, b] era que estuviera acotada
en [a, b]. Si f(x) es integrable en [a, b−ε] y no est´a acotada en un entorno de b, definimos
la integral impropia de segunda especie:
∫ b
a
f(x) dx = lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f(x) dx
La integral ser´a convergente si el l´ımite existe y es finito.
Ejemplos: Una integral impropia de primera especie convergente:
∫ ∞
0
dx
x2 + 1
= lim
b→∞
(arctan b − arctan 0) =
π
2
y otra de segunda especie:
∫ 1
0
dx
√
1 − x2
= lim
ε→0+
(arcsen(1 − ε) − arcsen 0) =
π
2
6.6 Aplicaciones geom´etricas de la Integral definida
6.6.1 C´alculo de ´Areas.
Funciones expl´ıcitas en Coordenadas Cartesianas.
Dada una curva y = f(x), el ´area determinada por dicha curva, las rectas x = a,
x = b (con a < b) y el eje de abscisas nos viene dada por la integral definida:
A =
∫ b
a
|f(x)| dx

9. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 67
En el caso de que la variable despejada sea la x, es decir una ecuaci´on expl´ıcita de
la forma x = g(y), la expresi´on:
A =
∫ d
c
|g(y)| dy
nos proporciona el ´area determinada por el eje de ordenadas, las rectas y = c, y = d y
la gr´afica de g(y).
Expresiones en param´etricas:
El ´area delimitada por la curva c expresada en ecuaciones param´etricas, c ≡
{
x = x(t)
y = y(t)
y el eje OX entre las abscisas x(t1) y x(t2) es,
A =
∫ t2
t1
|y(t)||x′
(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El ´area delimitada por la curva c expresada en ecuaciones polares r = r(θ) y las
rectas radiales θ = θ1 y θ = θ2 es dada por,
A =
1
2
∫ θ2
θ1
r2
(θ)dθ
6.6.2 C´alculo de longitudes de arco de curva:
Expresiones en coordenadas cartesianas:
La longitud de la curva y = f(x) entre las abscisas x = x1 y x = x2 viene expresada
mediante la f´ormula:
L =
∫ x2
x1
√
1 + (f′(x))2dx
Expresiones en param´etricas:
La longitud de la curva c ≡
{
x = x(t)
y = y(t)
entre las abscisas x(t1) y x(t2) viene dada
por:
L =
∫ t2
t1
√
(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La longitud de la curva r = r(θ) entre las coordenadas angulares θ = θ1 y θ = θ2
viene dada como:
L =
∫ θ2
θ1
√
(r(θ))2 + (r′(θ))2dθ

10. 68 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
6.6.3 C´alculo de vol´umenes de revoluci´on (alrededor del eje OX):
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El volumen generado por la curva y = y(x) al girar alrededor del eje OX entre las
abscisas x1 y x2 corresponde a la f´ormula:
V = π
∫ x2
x1
(f(x))2
dx
Expresiones en param´etricas
El volumen de revoluci´on respecto del eje OX de la curva (x(t), y(t)) delimitado por
las abscisas x(t1) y x(t2) est´a dado por:
V = π
∫ t2
t1
(y(t))2
|x′
(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El volumen de revoluci´on de la curva r = r(θ) sobre el eje OX delimitado por las
variables angulares θ1 y θ2 es
V =
2π
3
∫ θ2
θ1
r3
(θ)|senθ|dθ
6.6.4 C´alculo de ´areas de revoluci´on (alrededor del eje OX):
El ´area generado por la curva c al girar alrededor del eje OX puede ser calculado seg´un
las siguientes expresiones:
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El ´area lateral referido anteriormente de la curva y = f(x) entre las abscisas x1 y x2
ser´a:
AL = 2π
∫ x2
x1
|f(x)|
√
1 + (f′(x))2dx
Expresiones en param´etricas:
En ecuaciones param´etricas, el ´area lateral limitada por las abscisas x(t1) y x(t2)
viene dada por:
AL = 2π
∫ t2
t1
|y(t)|
√
(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La expresi´on en coordenadas polares es:
AL = 2π
∫ θ2
θ1
r(θ) sen θ
√
(r(θ))2 + (r′(θ))2dθ