1. Objetivo Terminal
Precisar el concepto de la integral definida mediante el desarrollo
del Teorema Fundamental del Cálculo en la aplicación de ejercicios
inherentes al área de ingeniería.
Objetivos Específicos
1. Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y
propiedades.
2. Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo
de la suma inferior y superior.
3. Establecer la integral definida de una función estableciendo
como límite de la suma de Riemann.
4. Demostrar las propiedades de la integral definida e
interpretarlas geométricamente.
5. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para
integrales.
6. Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la
aplicación de los métodos de sustitución y cambios de
variables.
Integral definida: dada una función f(x) y un intervalo [a,b] la integral
definida es igual al area limitada entre la grafica f(x), el eje de las abscisas
y las rectas verticales x=a y x=b.
Cabe destacar que otro de concepto de laintegral definida es que la función
F que este limitada desde a hasta b por donde “a” represente el límite
inferior y “b” el limite superior de la integral.
.

2. Teorema fundamental del calculo
Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x) es una
antiderivada de f(a). entonces:
=F(x) ]b
a= f(b) – f(a)
Ejemplo:
Usos de la integral indefinida en la ingenieria
Ejemplo 1:Enel odómetro delcarro integra la velocidad del carro y obtiene
entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).
Ejemplo 2 : En el campo de las construcciones , los arquitectos , ingenieros
yprofesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener
elárea de superficies irregulares.

3. Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan con los
costos de una empresa. al tener el costo marginal de producción de
unproducto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales
Notación sigma:
Definición: dado un conjunto de los números reales {a1,a2,a3,….an}. se
define la suma o sumatoria como:
K: llama índice de la sumatoria y recorre los enteros desde “1” hasta “n”.
La letra griega sigma simboliza la sumatoria.
Ejemplo:
Exprese cada suma en notacion sigma:
(a)
Solucion:
Propiedades de la sumatoria: dados dos conjuntos de números reales
{a1,a2,a3,….an} y {b1,b2,b3,…..bn}
Las propiedades son la asociativa y conmutativa.
Si una suma contiene demasiados términos, no resulta práctico escribirlos a
todos individualmente, así que se usan tres puntos suspensivos para indicar los
términos que faltan. Ejemplo:
La suma de los primeros naturales del 1 al 50 es:

4. Objetivo 3:
La suma superior e inferior es un método de integración numérica que
nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar
el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemático Alemán BernhardRiemann.
La suma superior o inferior o suma de Riemann consiste básicamente en
trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular,
calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema
de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.
Ejemplo:
una función
donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales
que a = x0 < x1 < x2... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma
de Riemannde f sobre I con la partición P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de
Riemann por la izquierda.

5. Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por
la derecha.

6. Objetivo 4:
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es
Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que,
para todo número real positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una
partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann
entonces |S(P, f) - I| < ε.
Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma
una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los
puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la
función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del
intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores
extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que
tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún
número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos
tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es
integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso
de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando
llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el
valor de la integral:
Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos
que son integrables como por ejemplo las continuas, podemos
demostrar que toda función que es continua en un intervalo [a, b], es
integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor
de la integral, por supuesto si ya estamos familiarizados con
el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar
una función F(x) (denominada "una primitiva" de f(x)) cuya derivada
nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral
es F(b)-F(a). No siempre podemos hallar una función primitiva de la
que estamos integrando, en esos casos se recurre a una expresión
como la anterior o a métodos de aproximación.

7. Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de
Riemann
En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un
intervalo cerrado [a,b] (igual que en los apartados anteriores).
Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann
(no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función
continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de
Riemann, incluso una función con un número numerable de
discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones
con un número no numerable de discontinuidades pueden ser
integrables. El siguiente teorema establece que una función es
integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede
recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras
puede hacerse arbitrariamente pequeña.
Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann
Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las
discontinuidades de f en [a,b]. Entonces f (con el conjunto de
las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D
tiene medida cero
De este modo, cualquier función continua o con un conjunto
numerable de discontinuidades es integrable.
Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de
discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:
siendo C el conjunto de Cantor.

9. Objetivo 5:
Propiedades de la integral definida
a) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
b) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
c) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales
(Propiedad de linealidad)·
e) Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como
una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

10. Objetivo 6:

11. Objetivo 7: