1. Estudio analítico de las cónicas y sus
propiedades geométricas
1º Bachillerato Ciencas
Juan Carlos Ballabriga
IES Benjamín de Tudela

2. El tema de las secciones cónicas no
pertenece a la geometría elemental.
El tratamiento más antiguo que ha
llegado hasta nosotros es el que
aparece en las Cónicas escrito por
Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.

3. Una SECCION CONICA es la curva que se traza
sobre un cono, al ser intersectado por un plano.

4.  Se define como el conjunto de puntos del plano
que cumplen una misma propiedad
 Se obliga de forma analítica a qué cumpla la
condición y se deduce la ecuación que se busca

5.  Lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de dos puntos dados
r P(x,y) Q(a’,b’)
R(a,b)
d(P,Q)=d(P,R) ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = ( x − a ') 2 + ( y − b ') 2
Desarrollando sale la ecuación general de una recta

6.  Lugar geométrico de puntos que equidistan de
dos rectas dadas
r:=Ax+By+C=0
P(x,y)
r’:=A’x+B’y+C’=0
d(P,r)=d(P,r’)

7. Ax + By + C A' x + B ' y + C '
d ( P, r ) = = = d ( P, r ' )
A2 + B 2 A'2 + B '2
 Para resolver la expresión con el valor absoluto
se obtienen dos soluciones que corresponden a
las dos bisectrices que se generan
geométricamente
r’
r
bisectrices

8.  Lugar geométrico de puntos que están a la misma
distancia de otro llamado centro
P(x,y)
C(a,b)
Radio
Centro
La distancia constante la llamaremos radio

9. d ( P, C ) = ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = R ⇒ ( x − a ) + ( y − b) = R 2
2 2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 = R 2
De donde podemos deducir que para el caso general, podemos
escribir
m = −2 a
x + y + mx + ny + p = 0
2
con
n = −2b
p = a2 + b2 − R2
Es decir cualquier polinomio de 2 variables y
segundo grado de la forma anterior es siempre la
ecuación de una circunferencia

10.  Lugar geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancias a 2 puntos fijos llamados
focos es constante
P(x,y)
a
2b F c
2a Eje mayor. Por
tanto a es el
semieje mayor
d ( P, F ) + d ( P, F ' ) = cte

11.  La constante es 2a, con a el semieje mayor.
Supondremos una elipse centrada en el origen
d ( P, F ) + d ( P, F ' ) = 2a
P(x,y)
F(c,0)
F(-c,0)
d(P,F)+d(P,F’)=2a ( x + c) 2 + ( y ) 2 + ( x − c) 2 + ( y ) 2 = 2a

12. a −c = b
2 2 2
b a
a
c

13. ( x + c) + ( y ) = 2a − ( x − c) + ( y)
2
2 2 2 2 
 ( x + c) 2
+ ( y)
2  =  2a −
  ( x − c) 2
+ ( y)
2 

   
simplificando
x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 − 4a ( x − c) 2 + ( y) 2
( )
2
a
 ( x − c) 2
+ ( y )  = a 2 − cx
2

2
  a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 + c 2 x 2 − 2a 2 cx
(a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) a 2 −c 2 = b 2
b x +a y =a b
2 2 2 2 2 2
dividiendo b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
2 2
+ 2 2 = 2 2
a b a b a b
x2 y2
2
+ 2 =1
a b

14.  Lugar geométrico de los puntos del plano cuya
resta de distancias a 2 puntos fijos llamados focos
es constante
P
d ( P, F ' ) − d ( P, F ) = cte
2a
2c

15.  La constante es 2a, con a el semieje mayor.
Supondremos una hipérbola centrada en el origen
P(x,y)
F’(-c,0) F(c,0)
d(P,F)-d(P,F’)=2a ( x + c) 2 + ( y ) 2 − ( x − c) 2 + ( y ) 2 = 2a

16. ( x + c) + ( y ) ( x − c) + ( y)
2
2 2
= 2a +
2 2 
 ( x + c ) + ( y )  =  2a +
2 2
  ( x − c) + ( y ) 
2 2

   
simplificando
x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 + 4a ( x − c) 2 + ( y) 2
( )
2
a
 ( x − c) 2
+ ( y )  = a 2 + cx
2

2
  a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 + c 2 x 2 + 2a 2 cx
(a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) a 2 −c 2 = −b 2
b x −a y = a b
2 2 2 2 2 2
dividiendo b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
2 2
− 2 2 = 2 2
ab ab ab
x2 y2
2
− 2 =1
a b

17. Centrada en el origen
P(x,y)
F(-c,0) F(c,0)
Centrada en un punto cualquiera
x2 y2
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 2
− 2 =1
2
− 2
=1 a b
a b
P(x,y) y2 x2
Con el eje focal vertical 2
− 2 =1
a b
F(x0-c, y0) F(x0+c, y0)
F(0,c)
y0
P(x,y)
x0
F(0,-c)

18. b
y=± x
a

19.  Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de una recta llamada directriz y de un punto, el foco
P
d ( P, F ) = d ( P, d )
V
p
d

20. d ( P, F ) = d ( P, d )
O F=(p/2,0)
X= -p/2
2
p  p
d ( P, F ) = d ( P, d ) x + =  x −  + y2
2  2

21. 2 2
 p  p
 x +  =  x −  + y2 desarrollando
 2  2
x 2 + px + p 2 = x 2 − px + p 2 + y 2 y =2 px
2
Ecuación de una parábola
y =2 px
2

22. El vértice no es el origen
( x − x0 ) = 2 p ( y − y0 )
2
V(x0, y0)
V(x0, y0)
( y − y0 ) 2 = 2 p ( x − x0 )
La directriz es horizontal

23. L
CL =
1
 Coeficiente de sustentación 2
ρ 2 St
V
D
CD =
1
 Coeficiente de resistencia 2
ρ 2 St
V
Y
CY =
 Coeficiente de fuerza lateral 1
ρ 2 St
V
2

26. Tiro parabólico

30. 30

31. ELIPSE Y
CICLISMO
31

32. Bobby Julich, GANADOR de la
Paris Niza 2005 con plato elíptico
Harmonic O.Symetric
32

33. 33

34. 34

35. 35

36. 36

37. 37

38. 38

39. 39

40. 40

41. 41

42. 42