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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN




                    Juan Carlos Ballabriga
           Departamento de Matemáticas
                  IES Benjamín de Tudela
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE
          UNA FUNCIÓN


LÍMITE                          TIENDE A….


     Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
     aproxima a un valor a, podemos escribir:

                 lim f(x)         L
                 x   a

Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
y=f(x)


                            Veamos un ejemplo: Sea la
                            función dada por:
    L
                                      x3 1
x        a      x            f ( x)
                                      x 2       x      f(x)


                                                 1,9    1,5023
                                                1,99    1,7245
                                               1,999    1,7474
                                             1,99999   1,74997
                                                   2         ?
                                             2,00001   1,75003
                                               2,001    1,7526
             x3 1   7
lim f ( x)                                      2,01    1,7757
x   2        x 2    4                            2,1    2,0149
LÍMITES
                                lim f(x)
                                x   a
                                                 L
    lim f(x)
      x   a                     lim f(x)
                                x   a
                                                 L


Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L
                                        y=f(x)




              L

                     a
              x a-       x a+
Propiedades para el cálculo de
            límites
a) lim f(x) g(x)                  lim f(x)                lim g(x)
  x       a                       x       a               x       a

b) lim f(x) g(x)              lim f(x) lim g(x)
  x       a                   x           a           x       a

c) lim f(x)/g(x)          lim f(x) / lim g(x)
   x      a                   x       a           x       a

d ) lim K g(x)            K lim g(x)
   x      a                           x       a
                  n                           n
e) lim f(x)           lim f(x)
      x       a       x   a
Cálculo de límites
• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
  variable x por el punto en el que queremos
  calcular el límite (incluso si es ):
  – Si da un valor finito ese es el límite
  – Si el valor es uno de los siguientes:
             k     0
               ,     ,   , 1 ,
             0     0
    Diremos que hay una indeterminación que
    intentaremos resolver con el procedimiento
    adecuado
Ejemplos

             x 2 3x 1         4 6 1       9
a)       lim                                este es el límite
         x 2     x              2         2

              x   2
                      2                               x2 2      Por tanto el límite
                          x   2                  lim        1
b)   f ( x)     x                 lim f ( x)     x 2     x      es 1
                                  x   2
              2x 3        x   2                   lim 2 x 3 1
                                                  x   2




c)             x2 2x 3        0
          lim                   es una indeterminación
          x  1   x 1          0
EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
 x=1?                               y



                                2

                                1

                                                                   x
                                        1                     5


                                            Lim f(x)   no existe
                                            x      1
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
 x=1?                               y



                                3

                                2

                                                                x
                                        1                 5



                                              Lim f(x) = L =2
                                              x     1
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de       y
 x=1?


                                2

                                1

                                                                x
                                        1                 5



                    Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
                    x           1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
                                f(x)

                        5

                      3.5
                            3

                                                              x
            -3   -2                     3


                                       Encuentre:
                                       a) lim f(x)
                                            x   3
                                                     b)    lim f(x)
                                                              x   3

                                       c) lim f(x)   d)   lim f(x)
                                            x   0         x       2
PASOS A SEGUIR PARA EL
             CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
  estamos en presencia de una forma indeterminada

# 2:
• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
  de operaciones algebraicas: factorización, productos
  notables, racionalización, sustitución de alguna
  identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
PROBLEMA 1
Evalúe los siguientes límites:
             x 4 2
1) lim             , Rpta : 1/4
    x    0     x
             1 x             1 x
2) lim                             , Rpta : 1
     x   0               x
                     2             1/3                   1/3
                 x        x 2                        3                  3
3) lim           3
                                         ; Rpta :                  3
     x   1   x           4x 2 3x                    2                  2
                                           x2   2, si x 3
4)lim f(x); donde f(x)
    x    3                                 1/ x 1, si x        3
PROBLEMA 2
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:
               x4 1                             x       2
        1) lim                      2) lim
           x 1 x -1                     x   2   4 - x2
                   x   b            a b
        3) lim             2        2
                                            ,       a       b
           x   a       x        a
               4x          x2
        4) lim
           x 4 2           x
                                        2x 4, x 0
        5) lim f(x); f(x)
           x   0                        x 1, x 0
PROBLEMA 3

• Utilice propiedades para hallar los
  siguientes límites:
                            2x (x 1)
          a. lim
               x    1        x 1
                                 x 2
          b.       lim (x 3)
               x        2        (x 2)
LÍMITES INFINITOS

• Utilice propiedades para hallar los
  siguientes límites:
                            2x (x 1)
          a. lim
               x    1        x 1
                                 x 2
          b.       lim (x 3)
               x        2        (x 2)
PROBLEMA 4

• Con la información que aparece a
  continuación, construya el gráfico de
  F(x):
       lim F(x) 4; lim F(x) 2
      x   3         x   3

      F(3) 3;F( 2) 1
PROBLEMA 5

• Con la información que aparece a
  continuación, construya el gráfico de
  F(x):
       lim F(x)   -1; lim F(x) 1
       x   0             x       0

       lim F(x) 1; lim F(x)          0
       x   2         x       2

       F(2) 1;F(0) indefinida
TEOREMA DEL SANDWICH
• En caso de que se cumpla la siguiente
  relación (para toda x perteneciente a algún
  intervalo abierto que contenga a c):
                            g(x) f(x) h(x)
• y además se cumple:
                    lim g(x) lim h(x) L
                      x c       x c


• Entonces:
              lim f(x)      L
              x   c
TEOREMA DEL SANDWICH
    y

        h(x)

                                f(x)


L



                         g(x)

                                       x
                  c
PROBLEMA

• 1. Si
          2 x 2 f(x) 2cosx, para toda x
          Halle lim f(x)
                x       0


• 2. Dada la función g(x)=xsen(1/x).
     Estime :
                lim g(x)
                    x       0


          (trabaje gráficamente)
PROBLEMA
A partir de la gráfica de la función:

              f(x)       x cos( 1
                          2
                                        3   )
                                    x
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:

                     lim f(x)
                     x   0


*Confirma tu resultado con una demostración
PROBLEMA
Analice el comportamiento de la función dada
cerca de x = - 4
                                         5
                               f(x)
                                       (x 4) 2

Esta función muestra un comportamiento
consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale

                    5            5
        lim                  lim
        x      4 (x   4)2 x 4 (x 4)2
                       5
              lim
            x     4 (x   4)2
Gráficamente...
                                 y

                 5/(x+4)^2
16


14


12

10


8


6

4


2
                                             x
0

 -8    -6   -4      -2       0       2   4
                    x

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Limites

  • 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Juan Carlos Ballabriga Departamento de Matemáticas IES Benjamín de Tudela
  • 2. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE TIENDE A…. Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir: lim f(x) L x a Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
  • 3. y=f(x) Veamos un ejemplo: Sea la función dada por: L x3 1 x a x f ( x) x 2 x f(x) 1,9 1,5023 1,99 1,7245 1,999 1,7474 1,99999 1,74997 2 ? 2,00001 1,75003 2,001 1,7526 x3 1 7 lim f ( x) 2,01 1,7757 x 2 x 2 4 2,1 2,0149
  • 4. LÍMITES lim f(x) x a L lim f(x) x a lim f(x) x a L Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L y=f(x) L a x a- x a+
  • 5. Propiedades para el cálculo de límites a) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x a x a x a b) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x a x a x a c) lim f(x)/g(x) lim f(x) / lim g(x) x a x a x a d ) lim K g(x) K lim g(x) x a x a n n e) lim f(x) lim f(x) x a x a
  • 6. Cálculo de límites • Para el cálculo de límites 1º se sustituye la variable x por el punto en el que queremos calcular el límite (incluso si es ): – Si da un valor finito ese es el límite – Si el valor es uno de los siguientes: k 0 , , , 1 , 0 0 Diremos que hay una indeterminación que intentaremos resolver con el procedimiento adecuado
  • 7. Ejemplos x 2 3x 1 4 6 1 9 a) lim este es el límite x 2 x 2 2 x 2 2 x2 2 Por tanto el límite x 2 lim 1 b) f ( x) x lim f ( x) x 2 x es 1 x 2 2x 3 x 2 lim 2 x 3 1 x 2 c) x2 2x 3 0 lim es una indeterminación x 1 x 1 0
  • 8. EJERCICIO 1 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y 2 1 x 1 5 Lim f(x) no existe x 1
  • 9. EJERCICIO 2 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y 3 2 x 1 5 Lim f(x) = L =2 x 1
  • 10. EJERCICIO 3 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de y x=1? 2 1 x 1 5 Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1) x 1
  • 11. EJERCICIO 4 Dado el gráfico de f(x) : f(x) 5 3.5 3 x -3 -2 3 Encuentre: a) lim f(x) x 3 b) lim f(x) x 3 c) lim f(x) d) lim f(x) x 0 x 2
  • 12. PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES # 1: • Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada # 2: • INTENTAR desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
  • 13. PROBLEMA 1 Evalúe los siguientes límites: x 4 2 1) lim , Rpta : 1/4 x 0 x 1 x 1 x 2) lim , Rpta : 1 x 0 x 2 1/3 1/3 x x 2 3 3 3) lim 3 ; Rpta : 3 x 1 x 4x 2 3x 2 2 x2 2, si x 3 4)lim f(x); donde f(x) x 3 1/ x 1, si x 3
  • 14. PROBLEMA 2 Utilice las reglas para calcular límites para determinar: x4 1 x 2 1) lim 2) lim x 1 x -1 x 2 4 - x2 x b a b 3) lim 2 2 , a b x a x a 4x x2 4) lim x 4 2 x 2x 4, x 0 5) lim f(x); f(x) x 0 x 1, x 0
  • 15. PROBLEMA 3 • Utilice propiedades para hallar los siguientes límites: 2x (x 1) a. lim x 1 x 1 x 2 b. lim (x 3) x 2 (x 2)
  • 16. LÍMITES INFINITOS • Utilice propiedades para hallar los siguientes límites: 2x (x 1) a. lim x 1 x 1 x 2 b. lim (x 3) x 2 (x 2)
  • 17. PROBLEMA 4 • Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de F(x): lim F(x) 4; lim F(x) 2 x 3 x 3 F(3) 3;F( 2) 1
  • 18. PROBLEMA 5 • Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de F(x): lim F(x) -1; lim F(x) 1 x 0 x 0 lim F(x) 1; lim F(x) 0 x 2 x 2 F(2) 1;F(0) indefinida
  • 19. TEOREMA DEL SANDWICH • En caso de que se cumpla la siguiente relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a c): g(x) f(x) h(x) • y además se cumple: lim g(x) lim h(x) L x c x c • Entonces: lim f(x) L x c
  • 20. TEOREMA DEL SANDWICH y h(x) f(x) L g(x) x c
  • 21. PROBLEMA • 1. Si 2 x 2 f(x) 2cosx, para toda x Halle lim f(x) x 0 • 2. Dada la función g(x)=xsen(1/x). Estime : lim g(x) x 0 (trabaje gráficamente)
  • 22. PROBLEMA A partir de la gráfica de la función: f(x) x cos( 1 2 3 ) x Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de: lim f(x) x 0 *Confirma tu resultado con una demostración
  • 23. PROBLEMA Analice el comportamiento de la función dada cerca de x = - 4 5 f(x) (x 4) 2 Esta función muestra un comportamiento consistente alrededor de x = - 4, se puede decir que este límite vale 5 5 lim lim x 4 (x 4)2 x 4 (x 4)2 5 lim x 4 (x 4)2
  • 24. Gráficamente... y 5/(x+4)^2 16 14 12 10 8 6 4 2 x 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 x