1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Juan Carlos Ballabriga
Departamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela

2. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN
LÍMITE TIENDE A….
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
aproxima a un valor a, podemos escribir:
lim f(x) L
x a
Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”

3. y=f(x)
Veamos un ejemplo: Sea la
función dada por:
L
x3 1
x a x f ( x)
x 2 x f(x)
1,9 1,5023
1,99 1,7245
1,999 1,7474
1,99999 1,74997
2 ?
2,00001 1,75003
2,001 1,7526
x3 1 7
lim f ( x) 2,01 1,7757
x 2 x 2 4 2,1 2,0149

4. LÍMITES
lim f(x)
x a
L
lim f(x)
x a lim f(x)
x a
L
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L
y=f(x)
L
a
x a- x a+

5. Propiedades para el cálculo de
límites
a) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x a x a x a
b) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x a x a x a
c) lim f(x)/g(x) lim f(x) / lim g(x)
x a x a x a
d ) lim K g(x) K lim g(x)
x a x a
n n
e) lim f(x) lim f(x)
x a x a

6. Cálculo de límites
• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
variable x por el punto en el que queremos
calcular el límite (incluso si es ):
– Si da un valor finito ese es el límite
– Si el valor es uno de los siguientes:
k 0
, , , 1 ,
0 0
Diremos que hay una indeterminación que
intentaremos resolver con el procedimiento
adecuado

7. Ejemplos
x 2 3x 1 4 6 1 9
a) lim este es el límite
x 2 x 2 2
x 2
2 x2 2 Por tanto el límite
x 2 lim 1
b) f ( x) x lim f ( x) x 2 x es 1
x 2
2x 3 x 2 lim 2 x 3 1
x 2
c) x2 2x 3 0
lim es una indeterminación
x 1 x 1 0

8. EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1? y
2
1
x
1 5
Lim f(x) no existe
x 1

9. EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1? y
3
2
x
1 5
Lim f(x) = L =2
x 1

10. EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de y
x=1?
2
1
x
1 5
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1

11. EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
f(x)
5
3.5
3
x
-3 -2 3
Encuentre:
a) lim f(x)
x 3
b) lim f(x)
x 3
c) lim f(x) d) lim f(x)
x 0 x 2

12. PASOS A SEGUIR PARA EL
CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:
• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos
notables, racionalización, sustitución de alguna
identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

13. PROBLEMA 1
Evalúe los siguientes límites:
x 4 2
1) lim , Rpta : 1/4
x 0 x
1 x 1 x
2) lim , Rpta : 1
x 0 x
2 1/3 1/3
x x 2 3 3
3) lim 3
; Rpta : 3
x 1 x 4x 2 3x 2 2
x2 2, si x 3
4)lim f(x); donde f(x)
x 3 1/ x 1, si x 3

14. PROBLEMA 2
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:
x4 1 x 2
1) lim 2) lim
x 1 x -1 x 2 4 - x2
x b a b
3) lim 2 2
, a b
x a x a
4x x2
4) lim
x 4 2 x
2x 4, x 0
5) lim f(x); f(x)
x 0 x 1, x 0

15. PROBLEMA 3
• Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2x (x 1)
a. lim
x 1 x 1
x 2
b. lim (x 3)
x 2 (x 2)

16. LÍMITES INFINITOS
• Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2x (x 1)
a. lim
x 1 x 1
x 2
b. lim (x 3)
x 2 (x 2)

17. PROBLEMA 4
• Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
lim F(x) 4; lim F(x) 2
x 3 x 3
F(3) 3;F( 2) 1

18. PROBLEMA 5
• Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
lim F(x) -1; lim F(x) 1
x 0 x 0
lim F(x) 1; lim F(x) 0
x 2 x 2
F(2) 1;F(0) indefinida

19. TEOREMA DEL SANDWICH
• En caso de que se cumpla la siguiente
relación (para toda x perteneciente a algún
intervalo abierto que contenga a c):
g(x) f(x) h(x)
• y además se cumple:
lim g(x) lim h(x) L
x c x c
• Entonces:
lim f(x) L
x c

20. TEOREMA DEL SANDWICH
y
h(x)
f(x)
L
g(x)
x
c

21. PROBLEMA
• 1. Si
2 x 2 f(x) 2cosx, para toda x
Halle lim f(x)
x 0
• 2. Dada la función g(x)=xsen(1/x).
Estime :
lim g(x)
x 0
(trabaje gráficamente)

22. PROBLEMA
A partir de la gráfica de la función:
f(x) x cos( 1
2
3 )
x
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:
lim f(x)
x 0
*Confirma tu resultado con una demostración

23. PROBLEMA
Analice el comportamiento de la función dada
cerca de x = - 4
5
f(x)
(x 4) 2
Esta función muestra un comportamiento
consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale
5 5
lim lim
x 4 (x 4)2 x 4 (x 4)2
5
lim
x 4 (x 4)2

24. Gráficamente...
y
5/(x+4)^2
16
14
12
10
8
6
4
2
x
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4
x