1. ARITMÉTICA
FINANCIERA
Juan Carlos Ballabriga Escuer
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Departamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela

2. Sucesiones y Progresiones
• Aritméticas:
– 3,5,7,9,…… sumamos 2 al término anterior
– 2,-1,-4,-7,… restamos 3 al término anterior
• Geométrica:
– 3,6,12,24,…… multiplicamos por 2
– 6,3,3/2,3/4,… dividimos por 2
• Otras
– 1,1,2,3,5,8,13,… sumamos los 2 anteriores
– 2,6,12,20,30,… n2+n

3. Notación
Término general
1 a1 2
Ej: 2,4,6,… 2 a2 4
3 a3 6
  
n an ¿?
an Término: tiene un valor
determinado
Subíndice: indica el
término

4. Progresiones Aritméticas
• Cada término se obtiene del anterior
sumándole siempre la misma cantidad
a1 2
a2 4 a2 a1 2
a3 6 a3 a2 2
  
an an an 1 2
(Ley de recurrencia)

5. En el caso general
a1 a1
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 d d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a2 d d  a4 a1 3d
   
an an 1 d an an 2 d d  an a1 (n 1)d
Término general de una progresión aritmética
an a1 (n 1) d

6. Suma de n términos consecutivos de
una progresión aritmética
S n a1 a2 a3  an 2 an 1 an
Cada pareja suma lo mismo por, tanto hay n/2 sumandos iguales, es
decir basta conocer el primero y el último de los términos a sumar
a1 an
Sn n
2

7. Ejemplos:
• Sea la progresión: 4,7,10,13,….
a) Hallar el término general:
b) Hallar el término 4501
c) Hallar la suma desde a10 hasta a100
Solución:
Como es progresión aritmética el término general es
an a1 (n 1) d 4 (n 1) 3
an 4 (4501 1) 3 4 13500 13504
a1 an a10 a100 31 891
Sn n 91 91 41951
2 2 2

8. Progresiones Geométricas
• Cada término se obtiene del anterior
multiplicándolo siempre la misma cantidad
a1 2
a2 6 a2 a1 3
a3 18 a3 a2 3
  
an an an 1 3
(Ley de recurrencia)

9. En el caso general
a1 a1
a2 a1 r a2 a1 r
a3 a2 r a3 a1 r r a3 a1 r 2
a4 a3 r a4 a2 r r  a4 a1 r 3
   
an an 1 r an an 2 r r  an a1 r n 1
Término general de una progresión geométrica
n 1
an a1 r

10. Suma de los n términos consecutivos
de una progresión geométrica
Sn a1 a2 a3  an 1 an
Sn a1 a1 r a1 r 2 a1 r 3  a1 r n 2 a1 r n 1
r Sn a1 r a1 r 2 a1 r 3 a1 r 4  a1 r n 1 a1 r n
Sn r Sn a1 / / /  a1 r n
(1 r ) S n a1 a1 r n
restando a1 a1 r n
Sn
(1 r )
n
a1 a1 r a1 an 1 an 1 a1
Sn
(1 r ) 1 r r 1

11. Caso particular
En caso de que |r|<1 se pueden sumar “todos”
los términos de una progresión geométrica
a1
S
(1 r )
1 1 1
Ejemplo: 1, , , , 
2 4 8
n 1
1
an 1
2
1 1 1 1
S 1  2
2 4 8 1 1/ 2

12. Índices de variación
Aumentos y disminuciones porcentuales
Ej: Si queremos aumentar una cantidad en un 7% lo que
haríamos es lo siguiente:
107
100 % 7 % 107 % 1,07
100
Este número es el que utilizaremos para multiplicar la cantidad a
aumentar para obtener la final
Si partimos de 1000€: 1000x1,07=1070€
(En caso de ser disminución 100 % 7 % 93 % 93 0,93 )
100
CF
CF CI I CI
I

13. Interés simple
• Nos ofertan un interés que aplicamos a la
cantidad ingresada durante todo el periodo
• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años
0,05x1500=75€ 75x6=450€
1500+450=1950€ tendremos al final, ó de forma
equivalente 1500(1+0,05x6)=1450€
C C0 (1 r t )

14. Interés compuesto
• Cada periodo acumulamos el interés anterior
• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años
1er año 0,05 x 1500 = 75€ 1500+75=1575€
2o año 0,05 x 1575 = 78,75€
1575+78,75 = 1653,75€
3eraño 0,05 x 1653,75 = 82,69€
653,75 + 82,69 = 1736,44€…….
Al final …….2010,14€

15. De otra forma
1500 x 1,05 = 1575 €
1575 x 1,05 = 1653,75€ Índice de
variación
1653,75 x 1,05 = 1736,44€
1736,44 x 1,05 = 1823,26€
1823,26 x 1,05 = 1914,42€
1914,42 x 1,05= 2010,14 €
De manera resumida 1500x1,056 =2010,14 €
t
C C0 (1 r )

16. Periodos de capitalización distintos a un año
• El periodo de capitalización es el tiempo en el que se abonan
los intereses por un capital.
• La fórmula se transforma en la siguiente
nt
r
C C0 1
n
Donde n representa el nº de periodos anuales en el que se
abonan (Ej: trimestres 4, semestres 2,…)

17. Ejemplo:
Se disponen de 5000€ a un interés compuesto del 7,5% durante 3 años con
periodos de capitalización mensuales. Si Hacienda retiene el 18% cuando se
recupera el capital, calcular el capital final
nt 12 3
r 0,075
C C0 1 5000 1 6257,23€
n 12
Los intereses son: 6257,23 5000 1257,23€
Hacienda retiene: 1257,23 0,18 226,30€
El capital final neto será: 6257,23 226,30 6030,93€

18. Tasas y números índices
• Tasas:
• Tasa de alcoholemia 0,15 0,15cm3/l
• Tasa de paro 12%
12 parados por cada 100 personas en edad laboral
• Tasa de natalidad: 21,640/00
nacieron 21,64 bebés por cada 1000 habitantes
• Números índices:
• Índice de Precios al Consumo (IPC)
• Índice de las bolsas IBEX35

19. Capitalización
• Supongamos que cada periodo de tiempo
ingresamos la misma cantidad y queremos
averiguar cuánto dinero tendremos al final de
todo el tiempo que estamos utilizando
• El interés que aplicamos es compuesto, es
decir después de cada periodo se produce la
liquidación de intereses y por tanto vamos
acumulando intereses

20. Caso general
• Llamaremos C0 al capital invertido
• C es la cantidad final que obtendremos
• r es el interés o rédito (expresado en %)
• t el número de años que estamos pagando

21. C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2 C0 (1 r)3  C0 (1 r)t
C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2  C0 (1 r)t 1
C0 C0 (1 r) C0 (1 r)t 2
 
sumando C0 (1 r )
2 3 t
C C 0 (1 r) C 0 (1 r) C 0 (1 r)  C 0 (1 r)
t 1 t
C 0 (1 r) - C 0 (1 r ) (1 r ) (1 r) - 1
C C0
(1 r ) 1 r

22. Veamos un ejemplo
Nos planteamos crear un plan de pensiones y
nos ofrecen dos posibilidades:
• Liquidaciones anuales al 5% anual
• Liquidaciones trimestrales al 4,5% anual
¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 20 años si
ingresamos en el primer caso 6000€ cada año y
en el segundo 1500€ cada trimestre?

23. • 1er caso
nt 1 1 20 1
r r 0,05 0,05
1 - 1 1 - 1
n n 1 1
C C0 6000
r 0,05
n 1
208315,51€
• 2º caso
4 20 1
0,045 0,045
1 - 1
4 4
C 1500 195140,9€
0,045
4

24. T.A.E.
• La Tasa Anual Equivalente, es la tasa de interés que
produce el mismo capital final si los periodos de
capitalización fuesen anuales.
n
r n es el nº de periodos
TAE 1 1 100
n
Ejemplo: Hallar el TAE de un deposito al 5% si los
periodos de capitalización son mensuales
12
0,05
TAE 1 1 100 5,116 %
12

25. Amortización de préstamos
• Nos hacen un préstamo y tenemos que
devolverlo
• El dinero prestado genera intereses que
tenemos que devolver también
• Las cuotas que vamos pagando a su vez
también generan intereses al banco que
deben reflejarse en la cuota

26. Ejemplo: Un banco nos concede un préstamo de 10000€ que
debemos amortizar en un año mediante 12 pagos mensuales
idénticos. El banco dice que cobra un interés del 12% anual y fija
la cuota en 888,49€
• La primera mensualidad se pagará al cabo de un mes, es decir
hemos dispuesto de 10000€. Los intereses generados en ese
mes es de 1%, por tanto 1% de 10000=100€. Como la cuota
era fija, realmente hemos amortizado
888,49-100=788,49€
Y lo que nos queda realmente por pagar es
10000-788,49=9211,51€
• La segunda mensualidad: 1% de 9211,51=92,12€
Cantidad amortizada 888,49-92,12=796,37€
Deuda pendiente 9211,51-796,37=8415,14€

27. Tabla de los 12 pagos
Deuda antes Intereses Cantidad Deuda
Mensualidad Pago
del pago pendientes amortizada pendiente
1 10.000 € 100 € 888,49 € 788,49 € 9.211,51 €
2 9.211,51 € 92,12 € 888,49 € 796,37 € 8.415,14 €
3 8.415,14 € 84,15 € 888,49 € 804,34 € 7.610,80 €
4 7.610,80 € 76,11 € 888,49 € 812,38 € 6.798,41 €
5 6.798,41 € 67,98 € 888,49 € 820,51 € 5.977,91 €
6 5.977,91 € 59,78 € 888,49 € 828,71 € 5.149,20 €
7 5.149,20 € 51,49 € 888,49 € 837,00 € 4.312,20 €
8 4.312,20 € 43,12 € 888,49 € 845,37 € 3.466,83 €
9 3.466,83 € 34,67 € 888,49 € 853,82 € 2.613,01 €
10 2.613,01 € 26,13 € 888,49 € 862,36 € 1.750,65 €
11 1.750,65 € 17,51 € 888,49 € 870,98 € 879,67 €
12 879,67 € 8,80 € 888,49 € 879,69 € -0,03 €

28. Ejemplo 2:Recibimos un préstamo de 20000€, al 15% anual, que
tenemos que devolver en 5 pagos anuales idénticos. Nos quieren
cobrar 5966,31€. Comprobar que es correcto
Deuda antes Intereses Cantidad Deuda
Mensualidad Pago
del pago pendientes amortizada pendiente
1 20.000 € 3.000 € 5.966,31 € 2.966,31 € 17.033,69 €
2 17.033,69 € 2.555 € 5.966,31 € 3.411,26 € 13.622,43 €
3 13.622,43 € 2.043 € 5.966,31 € 3.922,94 € 9.699,49 €
4 9.699,49 € 1.455 € 5.966,31 € 4.511,39 € 5.188,10 €
5 5.188,10 € 778 € 5.966,31 € 5.188,09 € 0,01 €

29. Ejemplo 3: Un banco nos concede un préstamo de 50000€ que
debemos amortizar en un año al 10% anual mediante 4 pagos
anuales. Los tres primeros pagos son de 15000€. ¿A cuánto
ascenderá el último pago?
Deuda antes Intereses Cantidad Deuda
Mensualidad Pago
del pago pendientes amortizada pendiente
1 50.000 € 5.000 € 15.000,00 € 10.000,00 € 40.000,00 €
2 40.000,00 € 4.000 € 15.000,00 € 11.000,00 € 29.000,00 €
3 29.000,00 € 2.900 € 15.000,00 € 12.100,00 € 16.900,00 €
4 16.900,00 € 1.690 € x 16.900,00 € 0,00 €
X=16900+1690=18590€

30. Caso general
• Llamaremos C al capital prestado
• C0 son los pagos que realizamos
periódicamente
• r es el interés o rédito
• t el número de años que estamos pagando

31. C C(1 r) C(1 r) 2 C(1 r) 3  C(1 r) t
C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2 C0 (1 r)3  C0 (1 r)t -1
C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2  C0 (1 r)t 2
C0 C0 (1 r) C0 (1 r)t 3
Sumando
e igualando
 
C0
C(1 r) t C0 C 0 (1 r) C 0 (1 r) 2  C 0 (1 r) t -1
t C 0 (1 r) t - C 0 (1 r) t - 1
C(1 r) C0
(1 r ) 1 r
(1 r) t r
C0 C t
(1 r) - 1

32. Las fórmulas generalizadas
• Para periodos n (meses, trimestres,…)
nt 1
r r
1 - 1
• Capitalización C C n n
0
r
n
nt
r r
1
n n
• Amortización C0 C nt
r
1 -1
n

33. Productos financieros
• Acciones: Participaciones del capital de una
empresa. Las transacciones se realizan en
el mercado de valores (bolsa)
• Bonos: Se adquiere el compromiso de devolver
una cantidad en un tiempo determinado.
A largo lazo se llama obligaciones
• Crédito hipotecario: Además de los intereses hay otros gastos:
comisión de apertura, tasación, notaría
• Fondos de inversión: Ahorro colectivo. Renta fija, variable y
mixta
• Planes de pensiones: Ahorro en edad laboral