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ARITMÉTICA
FINANCIERA

                Juan Carlos Ballabriga Escuer
  Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
              Departamento de Matemáticas
                      IES Benjamín de Tudela
Sucesiones y Progresiones
• Aritméticas:
  – 3,5,7,9,……     sumamos 2 al término anterior
  – 2,-1,-4,-7,…   restamos 3 al término anterior
• Geométrica:
  – 3,6,12,24,…… multiplicamos por 2
  – 6,3,3/2,3/4,… dividimos por 2
• Otras
  – 1,1,2,3,5,8,13,… sumamos los 2 anteriores
  – 2,6,12,20,30,… n2+n
Notación
Término general
                         1            a1       2
Ej: 2,4,6,…              2            a2       4
                         3            a3       6
                                         
                         n           an        ¿?


      an             Término: tiene un valor
                     determinado

                       Subíndice: indica el
                       término
Progresiones Aritméticas
• Cada término se obtiene del anterior
  sumándole siempre la misma cantidad

           a1       2
           a2       4       a2   a1 2
           a3       6       a3   a2 2
                               
            an              an   an   1    2

                                      (Ley de recurrencia)
En el caso general

        a1                                            a1
   a2   a1 d                                    a2     a1 d
   a3   a2 d         a3   a1 d d                a3    a1 2d
   a4   a3 d         a4   a2 d d               a4    a1 3d
                                                    
  an    an   1   d   an   an   2   d d    an        a1 (n 1)d

Término general de una progresión aritmética
                     an        a1 (n 1) d
Suma de n términos consecutivos de
      una progresión aritmética
S n a1 a2 a3  an 2 an 1 an




 Cada pareja suma lo mismo por, tanto hay n/2 sumandos iguales, es
 decir basta conocer el primero y el último de los términos a sumar

                             a1 an
                    Sn             n
                               2
Ejemplos:
• Sea la progresión: 4,7,10,13,….
   a) Hallar el término general:
   b) Hallar el término 4501
   c) Hallar la suma desde a10 hasta a100
   Solución:
   Como es progresión aritmética el término general es

      an    a1 (n 1) d         4 (n 1) 3
      an    4 (4501 1) 3 4 13500                13504

           a1 an          a10 a100    31 891
     Sn          n                 91        91 41951
             2               2          2
Progresiones Geométricas
• Cada término se obtiene del anterior
  multiplicándolo siempre la misma cantidad

            a1    2
            a2    6       a2   a1 3
           a3 18          a3    a2 3
                             
             an           an   an   1   3

                                            (Ley de recurrencia)
En el caso general
           a1                                           a1
      a2    a1 r                                   a2    a1 r
      a3    a2 r        a3    a1 r r               a3   a1 r 2
      a4    a3 r        a4    a2 r r              a4   a1 r 3
                                                     
     an    an   1   r   an   an   2   r r  an          a1 r n   1



Término general de una progresión geométrica
                                             n 1
                         an           a1 r
Suma de los n términos consecutivos
      de una progresión geométrica
                       Sn    a1 a2   a3  an   1   an
             Sn   a1 a1 r a1 r 2 a1 r 3  a1 r n 2 a1 r n 1
           r Sn   a1 r a1 r 2 a1 r 3 a1 r 4  a1 r n 1 a1 r n
       Sn    r Sn     a1       /        /      /         a1 r n
                            (1 r ) S n a1 a1 r n
restando                             a1 a1 r n
                               Sn
                                       (1 r )

                               n
                  a1 a1 r            a1 an         1    an 1 a1
      Sn
                    (1 r )             1 r                r 1
Caso particular
En caso de que |r|<1 se pueden sumar “todos”
  los términos de una progresión geométrica
                             a1
                 S
                           (1 r )
             1 1 1
Ejemplo:   1, , , , 
             2 4 8
                     n 1
                 1
           an 1
                 2
                1 1        1     1
           S 1                         2
                2 4        8   1 1/ 2
Índices de variación
         Aumentos y disminuciones porcentuales

Ej: Si queremos aumentar una cantidad en un 7% lo que
haríamos es lo siguiente:
                                    107
                    100 % 7 % 107 %     1,07
                                    100
Este número es el que utilizaremos para multiplicar la cantidad a
aumentar para obtener la final
Si partimos de 1000€: 1000x1,07=1070€
(En caso de ser disminución 100 % 7 % 93 % 93 0,93 )
                                             100


                                                   CF
      CF        CI I                  CI
                                                    I
Interés simple
• Nos ofertan un interés que aplicamos a la
  cantidad ingresada durante todo el periodo
• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años
  0,05x1500=75€ 75x6=450€
1500+450=1950€ tendremos al final, ó de forma
  equivalente 1500(1+0,05x6)=1450€

            C     C0 (1 r t )
Interés compuesto
• Cada periodo acumulamos el interés anterior
• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años
  1er año 0,05 x 1500 = 75€ 1500+75=1575€
  2o año 0,05 x 1575 = 78,75€
            1575+78,75 = 1653,75€
  3eraño 0,05 x 1653,75 = 82,69€
            653,75 + 82,69 = 1736,44€…….
  Al final …….2010,14€
De otra forma
       1500 x 1,05 = 1575 €
       1575 x 1,05 = 1653,75€    Índice de
                                 variación
     1653,75 x 1,05 = 1736,44€
     1736,44 x 1,05 = 1823,26€
     1823,26 x 1,05 = 1914,42€
     1914,42 x 1,05= 2010,14 €
De manera resumida 1500x1,056 =2010,14 €
                              t
          C      C0 (1 r )
Periodos de capitalización distintos a un año

• El periodo de capitalización es el tiempo en el que se abonan
  los intereses por un capital.
• La fórmula se transforma en la siguiente
                                    nt
                             r
                   C    C0 1
                             n

Donde n representa el nº de periodos anuales en el que se
abonan (Ej: trimestres 4, semestres 2,…)
Ejemplo:
Se disponen de 5000€ a un interés compuesto del 7,5% durante 3 años con
periodos de capitalización mensuales. Si Hacienda retiene el 18% cuando se
recupera el capital, calcular el capital final

                        nt                     12 3
              r                      0,075
   C     C0 1                 5000 1                    6257,23€
              n                       12


Los intereses son:             6257,23 5000 1257,23€
Hacienda retiene:              1257,23 0,18   226,30€
El capital final neto será:    6257,23 226,30         6030,93€
Tasas y números índices
• Tasas:
     • Tasa de alcoholemia       0,15          0,15cm3/l
     • Tasa de paro              12%
            12 parados por cada 100 personas en edad laboral
     • Tasa de natalidad:        21,640/00
             nacieron 21,64 bebés por cada 1000 habitantes
• Números índices:
     • Índice de Precios al Consumo (IPC)
     • Índice de las bolsas       IBEX35
Capitalización
• Supongamos que cada periodo de tiempo
  ingresamos la misma cantidad y queremos
  averiguar cuánto dinero tendremos al final de
  todo el tiempo que estamos utilizando
• El interés que aplicamos es compuesto, es
  decir después de cada periodo se produce la
  liquidación de intereses y por tanto vamos
  acumulando intereses
Caso general

•   Llamaremos C0 al capital invertido
•   C es la cantidad final que obtendremos
•   r es el interés o rédito (expresado en %)
•   t el número de años que estamos pagando
C0   C0 (1 r)   C0 (1 r)2    C0 (1 r)3  C0 (1 r)t
                     C0    C0 (1 r)    C0 (1 r)2  C0 (1 r)t       1


                                  C0    C0 (1 r) C0 (1 r)t        2


                                                        
sumando                                             C0 (1 r )

                              2                 3                      t
C    C 0 (1 r) C 0 (1 r)           C 0 (1 r)         C 0 (1 r)

                   t 1                                         t
          C 0 (1 r) - C 0 (1 r )          (1 r ) (1 r) - 1
    C                                  C0
                 (1 r ) 1                         r
Veamos un ejemplo
Nos planteamos crear un plan de pensiones y
nos ofrecen dos posibilidades:
• Liquidaciones anuales al 5% anual
• Liquidaciones trimestrales al 4,5% anual

¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 20 años si
ingresamos en el primer caso 6000€ cada año y
en el segundo 1500€ cada trimestre?
• 1er caso
              nt 1                                1 20 1
         r               r                 0,05            0,05
       1             - 1                 1             - 1
         n               n                  1                1
C C0                              6000
                r                                  0,05
                n                                   1
                                                      208315,51€
• 2º caso
                         4 20 1
               0,045             0,045
             1               - 1
                 4                 4
C 1500                                              195140,9€
                         0,045
                           4
T.A.E.
• La Tasa Anual Equivalente, es la tasa de interés que
  produce el mismo capital final si los periodos de
  capitalización fuesen anuales.
                           n
                       r                    n es el nº de periodos
            TAE      1         1 100
                       n

Ejemplo: Hallar el TAE de un deposito al 5% si los
periodos de capitalización son mensuales
                               12
                        0,05
               TAE    1             1 100   5,116 %
                         12
Amortización de préstamos
• Nos hacen un préstamo y tenemos que
  devolverlo
• El dinero prestado genera intereses que
  tenemos que devolver también
• Las cuotas que vamos pagando a su vez
  también generan intereses al banco que
  deben reflejarse en la cuota
Ejemplo: Un banco nos concede un préstamo de 10000€ que
debemos amortizar en un año mediante 12 pagos mensuales
idénticos. El banco dice que cobra un interés del 12% anual y fija
la cuota en 888,49€

• La primera mensualidad se pagará al cabo de un mes, es decir
   hemos dispuesto de 10000€. Los intereses generados en ese
   mes es de 1%, por tanto 1% de 10000=100€. Como la cuota
   era fija, realmente hemos amortizado
                 888,49-100=788,49€
Y lo que nos queda realmente por pagar es
                 10000-788,49=9211,51€
• La segunda mensualidad: 1% de 9211,51=92,12€
   Cantidad amortizada        888,49-92,12=796,37€
   Deuda pendiente            9211,51-796,37=8415,14€
Tabla de los 12 pagos

              Deuda antes      Intereses                Cantidad   Deuda
Mensualidad                                 Pago
               del pago       pendientes               amortizada pendiente

    1              10.000 €         100 €   888,49 €      788,49 €   9.211,51 €
    2            9.211,51 €       92,12 €   888,49 €      796,37 €   8.415,14 €
    3            8.415,14 €       84,15 €   888,49 €      804,34 €   7.610,80 €
    4            7.610,80 €       76,11 €   888,49 €      812,38 €   6.798,41 €
    5            6.798,41 €       67,98 €   888,49 €      820,51 €   5.977,91 €
    6            5.977,91 €       59,78 €   888,49 €      828,71 €   5.149,20 €
    7            5.149,20 €       51,49 €   888,49 €      837,00 €   4.312,20 €
    8            4.312,20 €       43,12 €   888,49 €      845,37 €   3.466,83 €
    9            3.466,83 €       34,67 €   888,49 €      853,82 €   2.613,01 €
    10           2.613,01 €       26,13 €   888,49 €      862,36 €   1.750,65 €
    11           1.750,65 €       17,51 €   888,49 €      870,98 €     879,67 €
    12             879,67 €        8,80 €   888,49 €      879,69 €      -0,03 €
Ejemplo 2:Recibimos un préstamo de 20000€, al 15% anual, que
tenemos que devolver en 5 pagos anuales idénticos. Nos quieren
cobrar 5966,31€. Comprobar que es correcto



                  Deuda antes Intereses                Cantidad       Deuda
    Mensualidad                            Pago
                   del pago pendientes                amortizada     pendiente

        1            20.000 €    3.000 € 5.966,31 €     2.966,31 €    17.033,69 €
        2          17.033,69 €   2.555 € 5.966,31 €     3.411,26 €    13.622,43 €
        3          13.622,43 €   2.043 € 5.966,31 €     3.922,94 €     9.699,49 €
        4           9.699,49 €   1.455 € 5.966,31 €     4.511,39 €     5.188,10 €
        5           5.188,10 €     778 € 5.966,31 €     5.188,09 €         0,01 €
Ejemplo 3: Un banco nos concede un préstamo de 50000€ que
debemos amortizar en un año al 10% anual mediante 4 pagos
anuales. Los tres primeros pagos son de 15000€. ¿A cuánto
ascenderá el último pago?


                Deuda antes Intereses                Cantidad       Deuda
  Mensualidad                              Pago
                 del pago   pendientes              amortizada     pendiente

      1            50.000 €      5.000 € 15.000,00 € 10.000,00 € 40.000,00 €
      2         40.000,00 €      4.000 € 15.000,00 € 11.000,00 € 29.000,00 €
      3         29.000,00 €      2.900 € 15.000,00 € 12.100,00 € 16.900,00 €
      4         16.900,00 €      1.690 €     x       16.900,00 €       0,00 €



                     X=16900+1690=18590€
Caso general

• Llamaremos C al capital prestado
• C0 son los pagos que realizamos
  periódicamente
• r es el interés o rédito
• t el número de años que estamos pagando
C        C(1 r)    C(1 r) 2        C(1 r) 3      C(1 r) t
     C0       C0 (1 r) C0 (1 r)2         C0 (1 r)3  C0 (1 r)t -1
                    C0 C0 (1 r)          C0 (1 r)2  C0 (1 r)t 2
                                   C0     C0 (1 r) C0 (1 r)t     3

Sumando
e igualando
                                                         
                                                         C0


  C(1 r) t        C0    C 0 (1 r) C 0 (1 r) 2  C 0 (1 r) t -1

                    t   C 0 (1 r) t - C 0      (1 r) t - 1
          C(1 r)                            C0
                           (1 r ) 1               r
                                   (1 r) t r
                         C0 C             t
                                  (1 r) - 1
Las fórmulas generalizadas
• Para periodos n (meses, trimestres,…)
                               nt 1
                           r              r
                         1            - 1
• Capitalización C C       n              n
                     0
                                 r
                                 n
                                      nt
                              r             r
                           1
                              n             n
• Amortización    C0     C             nt
                                r
                            1               -1
                               n
Productos financieros

• Acciones:                  Participaciones del capital de una
                             empresa. Las transacciones se realizan en
                             el mercado de valores (bolsa)
• Bonos:                     Se adquiere el compromiso de devolver
                             una cantidad en un tiempo determinado.
                             A largo lazo se llama obligaciones
• Crédito hipotecario: Además de los intereses hay otros gastos:
                              comisión de apertura, tasación, notaría
• Fondos de inversión: Ahorro colectivo. Renta fija, variable y
                               mixta
• Planes de pensiones: Ahorro en edad laboral

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Aritmética mercantil

  • 1. ARITMÉTICA FINANCIERA Juan Carlos Ballabriga Escuer Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Departamento de Matemáticas IES Benjamín de Tudela
  • 2. Sucesiones y Progresiones • Aritméticas: – 3,5,7,9,…… sumamos 2 al término anterior – 2,-1,-4,-7,… restamos 3 al término anterior • Geométrica: – 3,6,12,24,…… multiplicamos por 2 – 6,3,3/2,3/4,… dividimos por 2 • Otras – 1,1,2,3,5,8,13,… sumamos los 2 anteriores – 2,6,12,20,30,… n2+n
  • 3. Notación Término general 1 a1 2 Ej: 2,4,6,… 2 a2 4 3 a3 6    n an ¿? an Término: tiene un valor determinado Subíndice: indica el término
  • 4. Progresiones Aritméticas • Cada término se obtiene del anterior sumándole siempre la misma cantidad a1 2 a2 4 a2 a1 2 a3 6 a3 a2 2    an an an 1 2 (Ley de recurrencia)
  • 5. En el caso general a1 a1 a2 a1 d a2 a1 d a3 a2 d a3 a1 d d a3 a1 2d a4 a3 d a4 a2 d d  a4 a1 3d     an an 1 d an an 2 d d  an a1 (n 1)d Término general de una progresión aritmética an a1 (n 1) d
  • 6. Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética S n a1 a2 a3  an 2 an 1 an Cada pareja suma lo mismo por, tanto hay n/2 sumandos iguales, es decir basta conocer el primero y el último de los términos a sumar a1 an Sn n 2
  • 7. Ejemplos: • Sea la progresión: 4,7,10,13,…. a) Hallar el término general: b) Hallar el término 4501 c) Hallar la suma desde a10 hasta a100 Solución: Como es progresión aritmética el término general es an a1 (n 1) d 4 (n 1) 3 an 4 (4501 1) 3 4 13500 13504 a1 an a10 a100 31 891 Sn n 91 91 41951 2 2 2
  • 8. Progresiones Geométricas • Cada término se obtiene del anterior multiplicándolo siempre la misma cantidad a1 2 a2 6 a2 a1 3 a3 18 a3 a2 3    an an an 1 3 (Ley de recurrencia)
  • 9. En el caso general a1 a1 a2 a1 r a2 a1 r a3 a2 r a3 a1 r r a3 a1 r 2 a4 a3 r a4 a2 r r  a4 a1 r 3     an an 1 r an an 2 r r  an a1 r n 1 Término general de una progresión geométrica n 1 an a1 r
  • 10. Suma de los n términos consecutivos de una progresión geométrica Sn a1 a2 a3  an 1 an Sn a1 a1 r a1 r 2 a1 r 3  a1 r n 2 a1 r n 1 r Sn a1 r a1 r 2 a1 r 3 a1 r 4  a1 r n 1 a1 r n Sn r Sn a1 / / /  a1 r n (1 r ) S n a1 a1 r n restando a1 a1 r n Sn (1 r ) n a1 a1 r a1 an 1 an 1 a1 Sn (1 r ) 1 r r 1
  • 11. Caso particular En caso de que |r|<1 se pueden sumar “todos” los términos de una progresión geométrica a1 S (1 r ) 1 1 1 Ejemplo: 1, , , ,  2 4 8 n 1 1 an 1 2 1 1 1 1 S 1  2 2 4 8 1 1/ 2
  • 12. Índices de variación Aumentos y disminuciones porcentuales Ej: Si queremos aumentar una cantidad en un 7% lo que haríamos es lo siguiente: 107 100 % 7 % 107 % 1,07 100 Este número es el que utilizaremos para multiplicar la cantidad a aumentar para obtener la final Si partimos de 1000€: 1000x1,07=1070€ (En caso de ser disminución 100 % 7 % 93 % 93 0,93 ) 100 CF CF CI I CI I
  • 13. Interés simple • Nos ofertan un interés que aplicamos a la cantidad ingresada durante todo el periodo • Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años 0,05x1500=75€ 75x6=450€ 1500+450=1950€ tendremos al final, ó de forma equivalente 1500(1+0,05x6)=1450€ C C0 (1 r t )
  • 14. Interés compuesto • Cada periodo acumulamos el interés anterior • Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años 1er año 0,05 x 1500 = 75€ 1500+75=1575€ 2o año 0,05 x 1575 = 78,75€ 1575+78,75 = 1653,75€ 3eraño 0,05 x 1653,75 = 82,69€ 653,75 + 82,69 = 1736,44€……. Al final …….2010,14€
  • 15. De otra forma 1500 x 1,05 = 1575 € 1575 x 1,05 = 1653,75€ Índice de variación 1653,75 x 1,05 = 1736,44€ 1736,44 x 1,05 = 1823,26€ 1823,26 x 1,05 = 1914,42€ 1914,42 x 1,05= 2010,14 € De manera resumida 1500x1,056 =2010,14 € t C C0 (1 r )
  • 16. Periodos de capitalización distintos a un año • El periodo de capitalización es el tiempo en el que se abonan los intereses por un capital. • La fórmula se transforma en la siguiente nt r C C0 1 n Donde n representa el nº de periodos anuales en el que se abonan (Ej: trimestres 4, semestres 2,…)
  • 17. Ejemplo: Se disponen de 5000€ a un interés compuesto del 7,5% durante 3 años con periodos de capitalización mensuales. Si Hacienda retiene el 18% cuando se recupera el capital, calcular el capital final nt 12 3 r 0,075 C C0 1 5000 1 6257,23€ n 12 Los intereses son: 6257,23 5000 1257,23€ Hacienda retiene: 1257,23 0,18 226,30€ El capital final neto será: 6257,23 226,30 6030,93€
  • 18. Tasas y números índices • Tasas: • Tasa de alcoholemia 0,15 0,15cm3/l • Tasa de paro 12% 12 parados por cada 100 personas en edad laboral • Tasa de natalidad: 21,640/00 nacieron 21,64 bebés por cada 1000 habitantes • Números índices: • Índice de Precios al Consumo (IPC) • Índice de las bolsas IBEX35
  • 19. Capitalización • Supongamos que cada periodo de tiempo ingresamos la misma cantidad y queremos averiguar cuánto dinero tendremos al final de todo el tiempo que estamos utilizando • El interés que aplicamos es compuesto, es decir después de cada periodo se produce la liquidación de intereses y por tanto vamos acumulando intereses
  • 20. Caso general • Llamaremos C0 al capital invertido • C es la cantidad final que obtendremos • r es el interés o rédito (expresado en %) • t el número de años que estamos pagando
  • 21. C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2 C0 (1 r)3  C0 (1 r)t C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2  C0 (1 r)t 1 C0 C0 (1 r) C0 (1 r)t 2   sumando C0 (1 r ) 2 3 t C C 0 (1 r) C 0 (1 r) C 0 (1 r)  C 0 (1 r) t 1 t C 0 (1 r) - C 0 (1 r ) (1 r ) (1 r) - 1 C C0 (1 r ) 1 r
  • 22. Veamos un ejemplo Nos planteamos crear un plan de pensiones y nos ofrecen dos posibilidades: • Liquidaciones anuales al 5% anual • Liquidaciones trimestrales al 4,5% anual ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 20 años si ingresamos en el primer caso 6000€ cada año y en el segundo 1500€ cada trimestre?
  • 23. • 1er caso nt 1 1 20 1 r r 0,05 0,05 1 - 1 1 - 1 n n 1 1 C C0 6000 r 0,05 n 1 208315,51€ • 2º caso 4 20 1 0,045 0,045 1 - 1 4 4 C 1500 195140,9€ 0,045 4
  • 24. T.A.E. • La Tasa Anual Equivalente, es la tasa de interés que produce el mismo capital final si los periodos de capitalización fuesen anuales. n r n es el nº de periodos TAE 1 1 100 n Ejemplo: Hallar el TAE de un deposito al 5% si los periodos de capitalización son mensuales 12 0,05 TAE 1 1 100 5,116 % 12
  • 25. Amortización de préstamos • Nos hacen un préstamo y tenemos que devolverlo • El dinero prestado genera intereses que tenemos que devolver también • Las cuotas que vamos pagando a su vez también generan intereses al banco que deben reflejarse en la cuota
  • 26. Ejemplo: Un banco nos concede un préstamo de 10000€ que debemos amortizar en un año mediante 12 pagos mensuales idénticos. El banco dice que cobra un interés del 12% anual y fija la cuota en 888,49€ • La primera mensualidad se pagará al cabo de un mes, es decir hemos dispuesto de 10000€. Los intereses generados en ese mes es de 1%, por tanto 1% de 10000=100€. Como la cuota era fija, realmente hemos amortizado 888,49-100=788,49€ Y lo que nos queda realmente por pagar es 10000-788,49=9211,51€ • La segunda mensualidad: 1% de 9211,51=92,12€ Cantidad amortizada 888,49-92,12=796,37€ Deuda pendiente 9211,51-796,37=8415,14€
  • 27. Tabla de los 12 pagos Deuda antes Intereses Cantidad Deuda Mensualidad Pago del pago pendientes amortizada pendiente 1 10.000 € 100 € 888,49 € 788,49 € 9.211,51 € 2 9.211,51 € 92,12 € 888,49 € 796,37 € 8.415,14 € 3 8.415,14 € 84,15 € 888,49 € 804,34 € 7.610,80 € 4 7.610,80 € 76,11 € 888,49 € 812,38 € 6.798,41 € 5 6.798,41 € 67,98 € 888,49 € 820,51 € 5.977,91 € 6 5.977,91 € 59,78 € 888,49 € 828,71 € 5.149,20 € 7 5.149,20 € 51,49 € 888,49 € 837,00 € 4.312,20 € 8 4.312,20 € 43,12 € 888,49 € 845,37 € 3.466,83 € 9 3.466,83 € 34,67 € 888,49 € 853,82 € 2.613,01 € 10 2.613,01 € 26,13 € 888,49 € 862,36 € 1.750,65 € 11 1.750,65 € 17,51 € 888,49 € 870,98 € 879,67 € 12 879,67 € 8,80 € 888,49 € 879,69 € -0,03 €
  • 28. Ejemplo 2:Recibimos un préstamo de 20000€, al 15% anual, que tenemos que devolver en 5 pagos anuales idénticos. Nos quieren cobrar 5966,31€. Comprobar que es correcto Deuda antes Intereses Cantidad Deuda Mensualidad Pago del pago pendientes amortizada pendiente 1 20.000 € 3.000 € 5.966,31 € 2.966,31 € 17.033,69 € 2 17.033,69 € 2.555 € 5.966,31 € 3.411,26 € 13.622,43 € 3 13.622,43 € 2.043 € 5.966,31 € 3.922,94 € 9.699,49 € 4 9.699,49 € 1.455 € 5.966,31 € 4.511,39 € 5.188,10 € 5 5.188,10 € 778 € 5.966,31 € 5.188,09 € 0,01 €
  • 29. Ejemplo 3: Un banco nos concede un préstamo de 50000€ que debemos amortizar en un año al 10% anual mediante 4 pagos anuales. Los tres primeros pagos son de 15000€. ¿A cuánto ascenderá el último pago? Deuda antes Intereses Cantidad Deuda Mensualidad Pago del pago pendientes amortizada pendiente 1 50.000 € 5.000 € 15.000,00 € 10.000,00 € 40.000,00 € 2 40.000,00 € 4.000 € 15.000,00 € 11.000,00 € 29.000,00 € 3 29.000,00 € 2.900 € 15.000,00 € 12.100,00 € 16.900,00 € 4 16.900,00 € 1.690 € x 16.900,00 € 0,00 € X=16900+1690=18590€
  • 30. Caso general • Llamaremos C al capital prestado • C0 son los pagos que realizamos periódicamente • r es el interés o rédito • t el número de años que estamos pagando
  • 31. C C(1 r) C(1 r) 2 C(1 r) 3  C(1 r) t C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2 C0 (1 r)3  C0 (1 r)t -1 C0 C0 (1 r) C0 (1 r)2  C0 (1 r)t 2 C0 C0 (1 r) C0 (1 r)t 3 Sumando e igualando   C0 C(1 r) t C0 C 0 (1 r) C 0 (1 r) 2  C 0 (1 r) t -1 t C 0 (1 r) t - C 0 (1 r) t - 1 C(1 r) C0 (1 r ) 1 r (1 r) t r C0 C t (1 r) - 1
  • 32. Las fórmulas generalizadas • Para periodos n (meses, trimestres,…) nt 1 r r 1 - 1 • Capitalización C C n n 0 r n nt r r 1 n n • Amortización C0 C nt r 1 -1 n
  • 33. Productos financieros • Acciones: Participaciones del capital de una empresa. Las transacciones se realizan en el mercado de valores (bolsa) • Bonos: Se adquiere el compromiso de devolver una cantidad en un tiempo determinado. A largo lazo se llama obligaciones • Crédito hipotecario: Además de los intereses hay otros gastos: comisión de apertura, tasación, notaría • Fondos de inversión: Ahorro colectivo. Renta fija, variable y mixta • Planes de pensiones: Ahorro en edad laboral